CC BY
33
УДК 621.924.6:621.833
А.А. РЫЖКИН, Д.В. МОИСЕЕВ
К ВОПРОСУ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПРОФИЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЗУБА КОЛЕСА
Уточнены полученные ранее аналитические зависимости для оценки координат профиля вогнутых участков эллиптического зуба, учитывающие ограничение его высоты размером радиуса окружности впадин колеса. Представлен алгоритм программы расчета координат профиля эллиптического зуба колеса.
Ключевые слова: зубчатые колеса, эллиптический профиль, червячные фрезы, профиль инструментальной рейки.
Введение. Разработка метода профилирования зуборезного инструмента, работающего методом обкатки, и разработка его конструкции - важные условия обеспечения требуемого качества изделий. В полной мере это относится и к обработке нового типа зубчатых колес с эллиптическим профилем в нормальном к зубу сечении [1].
В нашей публикации [2] по этой проблеме получены зависимости для определения профиля боковых сторон эллиптического зуба, при этом боковая сторона профиля делилась на два участка: выпуклый и вогнутый, а их границей служила точка касания сопряженных эллипсов, лежащая на радиусе R0 J Rд. При таком подходе нижняя точка вогнутого профиля эллиптического зуба не находится на окружности впадин колеса Ri, в результате полная расчетная высота зуба может оказаться завышенной для
некоторых размеров зубьев и диаметров колес.
В реальных условиях высота эллиптического зуба колеса h = 2Ь соответствует высоте кругового зуба Ь = 2г только в плоскости уо (рис.1); в
этой же плоскости и линейные размеры колеса в торцевом и нормальном сечениях также совпадают.
Введенное в работе [2] для вывода уравнений профиля боковых
сторон эллиптического зуба понятие радиуса Л0 точек касания сопряженных эллипсов имеет самостоятельное значение только для решения этой задачи, но не отражает всех нюансов образования профиля зуба методом обкатки с применением червячных фрез.
В самом деле, для нахождения профиля зуборезного инструмента реечного типа необходимо без искажений знать параметры эллиптического зуба в плоскости хоу (см.рис.1), поэтому методика определения уравнений боковых сторон эллиптического зуба требует некоторых уточнений. При этом следует иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, по парата а а
метру Л0 находили доли углового шага — и — в нормальном зубу сече-
нии, используемые для расчетов профиля, при этом Л0 £ Лд [2]; во-вто-
рых, при некоторых сочетаниях размеров колеса
В АІІ
, угла подъема зуба
Ь не исключен вариант, когда R0 @ Rд, и полученные ранее зависимости для определения профиля зуба будут уже другими.
Рис. 1. Профиль эллиптического зуба колеса
Корректировка зависимостей для определения профиля эллиптического зуба выполняется при следующих условиях:
- размер эллиптического зуба по высоте И = 2Ь ограничивается по минимуму плоскостью у = К (см.рис.1);
- расчет координат профиля для выпуклого участка зуба А - В - С (см.рис.1) (К0 * Яд) производится по уравнениям, получена
ным в [2], а полярные углы ех и ф х находятся в пределах 0 £ е х £ — и
0 £ фх £ фс. Если К0 = Кд, то следует находить параметры профиля А - В по зависимостям [2]; уравнения же для нахождения профиля вогнутого участка С - D будут другими.
Отличие подхода для определения координат вогнутого участка С - D левой стороны эллиптического зуба от методики, принятой в [2], состоит в том, что находится уравнение линии С - D0 как части эллипса, уравнение которого известно, а затем путем параллельного пере-
носа этой кривой влево на величину С1 - D0 (см.рис.1) получаем координаты вогнутой части зуба С - D ; очевидно, ординаты точек кривых С1 - D0 и С - D одинаковы, а их абсциссы будут отличаться на величи-
а
ну С1 - С0 = 2Я^іп — (см.рис.1).
Получим зависимости для расчета координат вогнутого участка зуба Сі - Do для двух случаев: Я0 № Яд и Я0 - Яд.
1. Вариант Я0 * Яд.
Выпуклый и вогнутый участки профиля эллиптического зуба сопрягаются в точке касания эллипсов на радиусе Я0 .
Участок С1 - D0
Расчетные зависимости для участка эллипса С1 - D0 (см.рис.1) имеют вид:
- декартовы координаты текущей точки М1:
xM, =- rX1sin e
- r cos e
Л1
(1)
Ум,
- связь между полярными углами е х, и ф х, (как и для зоны
А - В - С [2])
™ф х
№.
Rд
2 sin2 j x1 ; (2)
COs j x1 + ------ГГ + COsj x1
1 cos2 b
Ь\
- текущий радиус - вектор ГХ1 точки М,. Как и в [2], совместно
решая уравнение эллипса в координатах с началом в центре эллипса
2 2
Х0 М, У0 М,
" '-’Ш1 л
2Т + ~Г~= 1 x0 м, Z-P M,sin j У0м, Z-P M,cosj щ, x = xo M,
2
ab
У = Rd - У0 M, = RC) = -P M,COsj x1> а также используя зависимости (1), получим
Rд - bcosb cosjx
r=
x1
8ІП
1
2 j x1 + cos2 j X1cos2 b ; (3)
cose x
X1
- пределы изменения полярных углов <Р Х1 и е х (см.рис.1):
0л рХ1л р0л ехл е^
0 J j X, J arctg-
a
R0 sin— ^ 4
(4)
Rд - R0 cos
4
a
Входящий в зависимость (4) угловой параметр — рассчитывали
. a a' 0 a'
по формуле tg — = tg—cos р , где — - четверть углового шага
колеса в торцевом сечении, а Р - угол наклона зуба. Для колеса, параметры которого приведены в заголовке табл.1,
a . a . i \
tg — = tg11°15 cos18° = 0,1881 и — = 10°39 (10,65°). Из рис.1 следу-
ет, что
a
e в = arctg
в cos P
R.д
arctg
6,2- 0,9511 31,8
откуда
0- = 10°32 (10,53°). Ошибка в оценке угла а этими двумя способами
составляет всего 1,03 %, поэтому предпочтительней использовать последнюю зависимость;
- координаты текущей точки М1 (получим из (1) и (3)):
йж
xm. = - к3R - bcosP cos j,
д sU 1
1
ц щ
x2p Чg ,ъ;
sin j x, +cos j x1cOs P J 1 ы
Умд = R - b cos P cos j,
1
(5)
Sin j + cos j X1 cos Р
Участок D - C
Для определения уравнений профиля D - C координаты xM1 следует перенести влево на расстояние C - Cx = D0 - D, совместив точку C1 с точкой C , тогда
x
a
XM, + CCi xm, + 2a XM, + 2Ro sin 4 ;
У = Ум,-
(б)
Из (5) и (б) будем иметь:
йж
x = - кз Rд - b cos P cos j x Й 1
sin! j x, + cos2 j x, cos! P J
■ц Щ
g x, ъ + 2R0sin
a
У = Rд - b cos P cos2 j x,
sin2 j x, + cos2 j x, cos2 P
(7)
2. Вариант Ro = r. .
a
4
a
4
1
4
I
Отличается от предыдущего тем, что выпуклый и вогнутый участки эллиптического зуба сопрягаются в плоскости у = и по высоте имеют
И
одинаковый размер — = Ь (рис.2).
Рис.2. Профиль эллиптического зуба колеса (вариант ко=Кд)
Участок А - В
Расчетные зависимости для нахождения координат точек на участке эллипса А - В :
- декартовы координаты текущей точки М :
хм = гх БІП е х; Ум = гх cos е х; (8)
- связь между полярными углами ф х и £Х1 :
Ф х,
'
2 , ьіп2 Ф ; (9)
СОБ ф х + ------+ СОБф
СОЬ2 Ь х
- текущий радиус - вектор точки М :
Rd + b cos b cosj
sin2 j x + cos2 j x cos2 b ;
(10)
cose
- пределы изменения полярных углов jx и ex (см.рис.2):
0 J j xJ j в; 0 J e xJ e в;
bcosb ; (11)
0 J j x J 90; 0 J e x J arctg-
Rd ’
- расчетные зависимости для определения координат профиля:
x =
Rd + b cos b cos j
l
sin j x + cos j x cos b
у = Rd + b cos b cosj
(12)
sin2 j x + cos2 j x cos2 b Участок B - D (Bj - D0)
Сначала определим координаты эллиптического участка Bx - D0 . Здесь:
xм1 =- г, sin е x, ; Ум, = г, cos е x, ;
sin j x
Rd
b \
Rd - bcosb cosj x
2
2 sin j x,
cos j + -------------yt + cosj
cos b
r =
x1
sin j x + cos j x cos b
cose
0J jxJ jxb,; 0J £x,J exb,;
0 J j x, J 900; 0 J e x, J arctg
(13)
(14)
(15)
(16)
R
д
иж 1
Хмд =- к3 R - bcosP cos j M —----------------+-----2 x 2 P ч — 1
1 Ли Vsin j x +cos j x,cos p ш 1 ы
ц щ
2. x 20 ч g ,ъ;
Умд = R - bcosр cosj ,
1
sin2 j x + cos2 j x cos2 P
Уравнения профиля B - D эллиптического зуба:
1
r=
' x
x
1
1
x =- хм1 + BBi =- хм1 +2a =- хм1 +2b cos p;
y = yM-
В итоге имеем:
й
x = - к Rд - b cos P cos ф x
л 1
(18)
1
"Щ
• 2 2 2 0 Ъ g x1 + 2b cos P ;
sln ф _ + cos ф _ cos P b 1
y = Rд - b cos P cos Ф x
(19)
sln2 ф x1 і cos2 ф x1 cos2 P
Для расчета координат профиля эллиптического зуба по вариантам Ro = Rд и К0 * К-д разработана блок-схема (рис.3) программы с использованием зависимостей (1) - (19).
В табл.1,2 приведены данные расчетов профиля для случая, когда К0 = Кд (выпуклый и вогнутый участки профиля зуба сопрягаются на делительной прямой).
Таблица 1
Координаты точек профиля эллиптического зуба колеса.
Левая сторона зуба.
= 76,0; ^ = 31,8; Ь = г = Ьі/2 = 6,2; h = 12,4; z = 8; р = 18 °)
1
Номер п/п Выпуклый профиль (зона А-В)
jx° tg £x £x У x = y tg £x
1 О О Оо З8,О О
2 1О О,ОЗО 1043' 37,9 О,77
3 2О О,О55 Зо 9' 37,б 1,48
4 ЗО О,О8З 4043' 37,1 2,2О
5 4О О,1О7 бо 9' Зб,45 2,9О
6 5О О,1ЗО 7025' 35,б7 З,бЗ
7 6О О,154 8045' 34,78 4,44
8 7О О,165 9022' 33,83 4,9О
9 8О О,176 1О02' 32,82 5,5О
1О 9О О,185 1О029' 31,8 5,89
Номер п/п Вогнутый профиль (зона Ві - Do : В - D)
jx° tg £x £x x'=-y tg £x x = -x' +2 b cosP
1 9О О,185 1О029' -5,89 5,89
2 8О О,176 1О02' -5,5О б,28
3 7О О,165 9022' -4,9О б,88
4 6О О,154 8045' -4,44 7,34
5 5О О,1ЗО 7025' -З,бЗ 8,15
6 4О О,1О7 бо 9' -2,9О 8,88
7 ЗО О,О8З 404З' -2,2 9,58
8 2О О,О55 30 9' -1,48 1О,ЗО
9 1О О,ОЗО 1043' -О,77 11,О1
1О О О Оо О 11,78
Таблица 2
Координаты точек профиля эллиптического зуба колеса.
Правая сторона зуба.
= 76,0; ^ = 31,8; Ь = г = Ь|/2 = 6,2; h = 12,4; z = 8; р = 18 °)
Номер п/п Выпуклый профиль (зона А-В
фх° tg Ех Ех У х = у 1д Ех
1 0 0 0° 38,0 0
2 10 0,030 1°43' 37,9 -0,77
3 20 0,055 3° 9' 37,6 -1,48
4 30 0,083 4°43' 37,1 -2,20
5 40 0,107 6° 9' 36,45 -2,90
6 50 0,130 7°25' 35,67 -3,63
7 60 0,154 8°45' 34,78 -4,44
8 70 0,165 9°22' 33,83 -4,90
9 80 0,176 10°2' 32,82 -5,50
10 90 0,185 10°29' 31,8 -5,89
№ Вогнутый профиль (зона В1 - Do : В - D)
фх° tg Ех Ех х'=-у tg Ех х = -х' +2 Ь cosЗ
1 90 0,185 10°29' -5,89 -5,89
2 80 0,176 10°2' -5,50 -6,28
3 70 0,165 9°22' -4,90 -6,88
4 60 0,154 8°45' -4,44 -7,34
5 50 0,130 7°25' -3,63 -8,15
6 40 0,107 6° 9' -2,90 -8,88
7 30 0,083 4°43' -2,2 -9,58
8 20 0,055 3° 9' -1,48 -10,30
9 10 0,030 1°43' -0,77 -11,01
10 0 0 0° 0 -11,78
о
Ве; і; г; Ь; /3
ФХи /иХц
(2)
De - наружный диаметр колеса
Zz - число зубьев
Rr - радиус профиля в торцевом сечении
ВЬ - половина высоты элептического профиля
Ф х, = 00; <р ,, = 0
І 1 1г=2г=2Ь Р- высота зуба колеса
і Бд=Ве-2г Р- [~/) | - диаметр делительной окружности
—і—, [)і=[)(>-2г Р- - диаметр окружности впадин
—*—і її д=І) д/2 Р- ["/?(> - радиус делительной окружности
—*—і а'=збо щ |~а'-угловой шаг в торцевом сечении
угловой шаг е нормальном сечении
-------|~Уа - абсцисса точки касания сопряженных эллипсов
10'
----I Ун - ордината точки касания сопряженных эллипсов
-----1~/?^ - радиус точки касания сопряженных эллипсов
7?
<рх - полярный угол точки на эллиптическом профиле (выпуклая часть: зоны А-В-С и А-В1 -С1) в системе координат с началом в О0 в центре зуба
0<<рх< <рМ АХ
Рис.3. Блок-схема программы расчета профиля эллиптического зуба колеса (вариант ЯД*Я0) (см. также с.707-710)
Рис.3. Продолжение (начало см. на с.706)
Рис.3. Продолжение (начало см. на с.7об, 7о7)
Рис.3. Продолжение (начало см. на с.706-708)
Рис.3. Окончание (начало см. на с.706-709)
Выводы. 1. Получены новые уточненные аналитические зависимости для определения в единой системе координат вогнутой части профиля эллиптического зуба, высота которого ограничена размерами радиусов окружностей выступов и впадин колеса.
2. Уточненная методика профилирования эллиптического зуба позволяет без использования дополнительной системы координат получить исходные данные для расчета профиля инструментальной рейки, зная только габаритные размеры зуба и шестерни.
Библиографический список
1. Зубчатая передача: патент № 20572667. Российская федерация / Г.П. Гребенюк: зарег. от 27.03.96. - Опубл. в Б.И., 1999. - №9.
2. Рыжкин А.А. Определение координат боковых сторон зубьев колес с эллиптическим профилем /А.А, Рыжкин, А.А. Андросов, Г.П. Гребенюк, М.В. Савинков, В.В. Вялая // Вестник ДГТУ. - 2009. - Т.9. - №2(41).
- С. 284-295.
A.A. RYZHKIN, D.V. MOISEEV TO THE TOPIC OF THE ANALYTICAL DEFINITION OF THE COG OF THE WHEEL HAVING AN ELLIPTIC PROFILE
Analytical dependence for the estimation of coordinates of a concave cog side having an elliptic profile, which take into account the limitation of it's height by the value of internal circle radius of the wheel, is presented.
An algorithm for the calculation of profile coordinates of elliptic cog is presented.
РЫЖКИН Анатолий Андреевич (р. 1938), заведующий кафедрой «Инструментальное производство» ДГТУ, доктор технических наук (1985), профессор (1986). Окончил РИСХМ (1960) по специальности «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструмент».
Область научных интересов - повышение работоспособности режущих инструментов управлением термодиссипативными процессами в зоне резания.
Автор 365 научных работ, в том числе 8 монографий, 7 авторских свидетельств и патентов.
МОИСЕЕВ Денис Витальевич (р. 1989), студент 3-го курса факультета «Технология машиностроения» ДГТУ специальности «Технология машиностроения».
Область научных интересов - кинематика и динамика механических систем, информационные технологии. По этой теме опубликована 1 статья.
