CC BY
41
Теоретическая механика
УДК 531.8
С.Л. Кудюров, Л.В. Кудюров
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛЯ ЗУБА ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ БЕЗ СКОЛЬЖЕНИЯ В КОНТАКТЕ
Рассматривается задача определения профиля рабочей части зуба волновой зубчатой передачи из условия отсутствия относительного проскальзывания контактирующих зубьев. Установлено, что полученная в работе линия профиля зуба близка к траектории, которую описывает точка, движущаяся по радиусу с постоянной скоростью, а радиус вращается вокруг полюса с постоянным замедлением.
Как известно, работа зубчатой передачи сопровождается проскальзыванием зубьев друг относительно друга в зоне контакта. Возникающее при этом трение скольжения неизбежно приводит к износу рабочих поверхностей зубьев. Учитывая, что ресурс передачи во многом зависит от интенсивности изнашивания зубьев, проблему снижения трения скольжения зубьев можно отнести к разряду актуальных и до настоящего времени окончательно не решённых. И если для обычной пары жёстких колёс решение этой проблемы представляется затруднительным, то в волновой передаче для устранения трения имеются некоторые предпосылки. В частности, как показали графоаналитические исследования движения зуба гибкого колеса при деформации [1] в случае, когда гибкое колесо является ведущим, а деформация кручения оболочки гибкого колеса в сечении, перпендикулярном общей оси, пренебрежимо мала, скорость точки контакта С (полюса) внутренней поверхности гибкого колеса с рабочей поверхностью эллиптического волнообразователя направлена вдоль местного радиуса ведомого жёсткого колеса. Это обстоятельство позволяет предположить, что при определённом выборе профиля рабочей поверхности зуба можно уменьшить или исключить совсем скольжение в контакте. Ниже предлагается кинематическая модель такой передачи.
При выводе основных соотношений использованы следующие допущения:
- оболочку гибкого колеса с венцом зубьев можно разделить на абсолютно твёрдые части, соединённые упругими связями;
- периметр гибкого колеса при деформации не изменяется;
- деформация кручения вокруг общей оси отсутствует;
- каждый из элементов движется плоско-параллельно.
На рис. 1 представлен элемент гибкого колеса, находящийся в зацеплении с зубом жёсткого колеса. Точка А - точка контакта зубьев. Точка С, полюс, совпадает в каждый момент времени с точкой К эллиптического волнообразователя, вращающегося с постоянной угловой скоростью в . Введём неподвижную систему координат ХОУ с началом в точке О , лежащей на оси вращения волнообразователя и жёсткого колеса, и осью ОХ, направленной по радиусу р0 (рис. 1). Введём также подвижную систему координат хСу с началом в точке С и осью Сх, направленной по оси симметрии зуба к его вершине. На рисунке ось ОУ перенесена в точку С для удобства выкладок.
Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки А зуба гибкого колеса хА, уА, то есть
при условии отсутствия проскальзывания зубьев в точке контакта. Из (1) следует, что неизвестными являются г (t), у (7) ,у (7). Проведём следующие аналитические преобразования.
Согласно теории плоско-параллельного движения скорость точки А зуба гибкого колеса равна
ХА = г ■ 008 (у + у ), ХА = г ■ (у + у )
(1)
где уа - абсолютная скорость точки А зуба гибкого колеса, ус - скорость полюса С, уас -линейная скорость вращения точки А относительно полюса: уас = (ОX г .
Исходя из построения, точка В - мгновенный центр скоростей точек зуба гибкого колеса.
Поэтому угловая скорость зуба
О=
(3)
(4)
Из геометрических соображений следует:
r = p BC = AB
CB
Скорость точки A при этом vA = w ■ AB .
откуда
sin вA sin a sin a cos g
BC = p ■ tg вA, r■cos g
AB =
(5)
(6) (7)
После подстановки (б), (7) в (3) и (4) получим
О = p ■ ctg в a , p
= p cosg
p sin вА
(8)
(9)
где p = vC =
dp
согласно полученным в
Р и с. 1. Кинематика передачи на участке входа в зацепление:
1 - волнообразователь; 2 - гибкое колесо; 3 - жесткое колесо
[1] результатам.
Как известно, чтобы исключить проскальзывание рабочих поверхностей зубьев, нужно выполнить равенство проекций скорости точки А зуба гибкого колеса и проекции скорости точки А зуба жёсткого колеса на касательную к профилю зуба в точке контакта А .
В поставленной задаче рассмотрим случай равенства скоростей точек А для обоих зубьев и по направлению, и по величине. Тогда высказанное выше условие равенства проекций выполняется автоматически. Равенство величин этих скоростей выполним из следующих соображений. Пусть угловая скорость жёсткого колеса постоянна и равна в2. Тогда величина скорости точки А зуба жёсткого колеса
vA = вА ^ RA
(І0)
Можно показать, что в2 связана с угловой скоростью волнообразователя формулой
в2 =-^в,
Z!
где zx и z2 - числа зубьев гибкого и жёсткого колёс соответственно.
Значение Ra - радиуса точки А жёсткого колеса относительно центра O можно определить из DOAC:
sing
Из(І0)и(І І)следует Сравнивая (9) и (І2), получаем
=
sing sin в А
g = arctg
/ \ p
p(2
(ІІ)
(І2)
(І3)
v
C
r = p —
(14)
ЯП( - Эа )
Таким образом, неизвестными являются р,р,Эа и у . Чтобы определить р, р и у , рассмотрим движение волнообразователя.
Волнообразователь изображён на рис. 2 эллиптической кривой АВ . Оси координат цОХ связаны с волнооб-разователем и направлены по малой а и большой Ь полуосям эллипса. Вращаясь вокруг общей оси О с угловой
го колеса по неподвижной оси ОХ, сообщая этой точке скорость ус = р .
При этом угол с между касательной к эллипсу в точке К (или точке С) и осью Х увеличивается от некото-
р
рого Со в начальный момент зацепления до %1 = у, а затем меняет знак, а угол в изменяется соответственно от некоторого в0 до нуля. Важным параметром является угол у наклона оси симметрии зуба гибкого колеса (или нормали к поверхности волнообразователя в точке К ) к оси ОХ . Из геометрических соображений следует:
У=2-(+СУ
где
С = arctg
в = (t + в0
в0 - значение в в начальный момент контакта.
(15)
(16)
(17)
(18)
р - рвtgO
Если величины а и Ь эллипса заданы, то значение р получим, подставив (17) в уравне-
Продифференцировав координаты точки K h и X по времени, то есть
h = рsin#, X = рcos# ,
и поделив первое уравнение на второе, получим
С = arct§
ґ p tg( + p(л
ние
X2+і-=і
a2 b2
После подстановки имеем
1
Дифференцируя (19) по времени, найдём
a2 b2
-(a2 -b2)os2 в
2p a2
где
(19)
р = 2PГ , (2°)
(21)
r Sing
eA = arctg---------------------------------------------------. (22)
р+rcosg
Чтобы определить неизвестную r, рассмотрим движение точки контакта A, которая участвует в двух движениях: в переносном - вместе с точкой A, принадлежащей зубу гибкого ко-
a = a2b2 (a2 - b2 У, a2 = a2 - (a2 - b2) cos2 в .
Значение в a выразим из (14):
леса, и в относительном - по кривой, совпадающей с профилем рабочей поверхности зуба с относительной скоростью
n = vp ,
r P >
направленной по касательной к профилю зуба в точке контакта A . Согласно [2] величина этой скорости равна
VP = WPпр , (23)
где рпр - приведенный радиус кривизны в точке контакта:
р = _PiP^,
ПР р1 + р2
Здесь р1, р2 - радиусы кривизны профилей пары зубьев гибкого и жесткого колёс соответственно. Считая vp известной величиной, можно определить скорость изменения радиуса r в каждый момент времени по формуле
r = vn sin [p -(g + y)], (24)
а значение самого радиуса на каждом i -м шаге Dt по времени равно
r = r-i + vpisin [P - (7i + У,)] Dt. (25)
Угол p определяет положение касательной к профилю зуба в связанной системе коорди-
нат. Продифференцировав (1) по времени и поделив первое уравнение на второе, получим:
r - r (g + y)
p = arctg
rtg ( + y) + r ( + y)_ Значение g найдём, продифференцировав (14) по времени, в виде:
рр - р ^ 2
(26)
g 2 & cos g. (27)
р в
Значение р определяется из (20) дифференцированием его по времени:
a# [~26?a2 р cos2#-(рa2 + 2a2 р )sin2# 1
Р =------------------;г^л,----------------’ (28)
2 р a2
где
a2 = в(a1 -b2)sin2# . (29)
Угловая скорость y равна w по величине и направлена в противоположную сторону, то
есть
y = -w. (30)
Но кривизна профиля зуба неизвестна. Формула (23) может быть использована только в начальный момент контакта путём подбора рпр. Процедура подбора следующая. Допустим нам
известна другая формула для определения vp. Обозначим это значение vp, . Зададим первое
приближение рпр (t0) = R0. Вычислим по (23) величину vp (t0) = v0 и по другой формуле -
vp, (to) = v*0. Сравним
К - vo| £ e , (31)
где e - заданная точность. Если (31) выполняется, значит R0 задан верно. Если (31) не выполняется, задаём новое значение R0 (второе приближение) и так далее. После выполнения (31) вычисление vp осуществляется по формуле для vp, .
Значение v^, найдём из следующих соображений. Радиус-вектор r участвует в двух движениях - вместе с зубом с угловой скоростью w и относительно зуба с угловой скоростью
gr = r cos [p -(r + y)] (32)
и направленной противоположно w. Следовательно, абсолютная угловая скорость радиуса-
вектора r равна
gr = о - r cos j-(у+У ) . (33)
Решая (33) с учётом (27) относительно vp, то есть теперь уже vp* , получим другую (точную) формулу для вычисления vp :
v *
pp - p 2
о - п cos2 g
(34)
р^в1 ') 008 [^-( + у )]'
После этого задача определения координат точки контакта xA, уа стала замкнутой. Для определения траектории точки контакта нужно из уравнений (1) исключить время. Однако получить аналитически xA и уа в явной зависимости только от времени затруднительно. Поэтому окончательное решение было получено численными методами. Прежде всего был решён вопрос с подбором приведенного радиуса кривизны по описанной выше процедуре и были вычислены постоянные величины a1 и в2. Время считалось по шагам. На каждом шаге были определены переменные в последовательности г,в,р,a2,р,С,У,a2,р,7,вА,®,У,7,,г по формулам (25), (16), (19), (21), (20), (18), (15), (29), (28), (13), (22), (8), (30), (27), (26), (34), (24). Положение точки контакта в начальный момент было принято известным. Это позволило вычислить значение в0 и другие переменные в этот момент времени.
В качестве контрольного примера был проведён численный расчёт для гибкого колеса с параметрами a = 50 мм, Ь = 47,5 мм, г0 = 2,4 мм, ^ = 100, z2 = 102, в0 = 190,037 , R0 = 6,33
мм, при скоростях волнообразователя в = -0,25 рад/с, в = -0,5 рад/с, в = -0,75 рад/с с шагом по времени Лt = 0,1 с. Результаты расчёта приведены в графической форме на рисунках 3-5.
Р и с. 5. Профиль зуба гибкого колеса при скорости волнообразования в = -0,5 рад/с
Р и с. б. Скорость изменения радиуса r по величине
Кривые получены для одного и того же периода времени, а скорости движения точки контакта по дуге профиля разные, и поэтому участок дуги, пройденный с меньшей скоростью, соответствующей, например в = —0,25 рад/с, короче двух других. Но при наложении трёх кривых друг на друга в одном масштабе построения они в точности совпадают. Это значит, что профиль зуба гибкого колеса не зависит от скорости волнообразователя, что в общем является естественным. Однако доказать это было необходимо, учитывая, что форма профиля получена из условия отсутствия проскальзывания контактирующих зубьев, столь важного для увеличения ресурса волновой передачи. На рис. б представлены графики скорости изменения величины радиуса r . При данной скорости волнообразователя значение r не зависит от времени: при в = -0,25 рад/с - r = 0,51531 мм/с; при в = -0,5 рад/с - r = 1,030б мм/с, при в = -0,75 рад/с -r = 1,030б мм/с. Это обстоятельство позволяет аппроксимировать профиль зуба кривой, которая является геометрическим местом последовательных положений точки, движущейся по радиусу r с постоянной скоростью, а сам радиус вращается вокруг полюса C не с постоянной угловой скоростью (случай спирали Архимеда), а с постоянным угловым ускорением (замедлением). Например, при скорости волнообразователя в = -0,5 рад/с значение r = 1,030б мм/с, а значение g с точностью до 1,2% равно: g = 1,085-0,0375t- 1,б5^.
Таким образом, в отличие от [3] скорость движения точки контакта по профилю зуба явно входит в математические соотношения предлагаемой модели. Это позволило существенно уточнить решение задачи и построить искомый профиль рабочей поверхности зуба такого колеса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудюров С.Л., Кудюров Л.В. Об одном подходе к кинематике и динамике гибкого колеса волновой зубчатой передачи // Актуальные проблемы надёжности технологических, энергетических и транспортных машин. Сб. трудов международной науч.-технич. конф. М.: Машиностроение, 2003. Т.1. С.314-318
2. БухгольцН.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука, 19б9. Часть 1. С.125-127
3. Кудюров С.Л., Кудюров Л.В. Обоснование волновой зубчатой передачи без скольжения в контакте // Известия НЦ РАН. Самара: СНЦ РАН, 2003. С.74-77.
Поступила 14.10.2005 г.
