CC BY
23Пусть xi и Х'2 неглавные характеры Дирихле двух числовых полей к\ и к2 с взаимнопростыми (над Q) модулями. Тогда композит L — функций Дирихле и продолжим целым образом на комплексную плоскость.
Замечание. В работе [3] приведен подобный результат, соответствующий случаю разрешимых расширений полей. Рассуждения, которые приводятся для доказательства этого результата в разрешимом случае, отличается от тех, которые приведены в настоящей статье.
Библиографический список.
1. Фоменко О.М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения L — рядов Гекке двух квадратичных полей./ Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, — М.: Паука
- 1972 - т. 128 - сб. статей 2 - С. 232-242.
2. Кузнецов В Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции./ Труды 3-ей Сарат. зимней школы по теории функций и
приближений. — Изд-во Сарат. гос. ун-та — 1988 — ч. 2 — С. 113-115
3. Кузнецов В.II. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле/ Труды 4-ой Сарат. зимней школы по теории функций и приближений. — Изд-во Сарат. гос. ун-та — 1989 — ч. 1 — С. 147-149
4. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции./ Межвуз. сб. научн. трудов. Дифференциальные уравнения и теория функций. Изд-во Сарат. гос. ун-та 1991 — вып. 9 С. 23-29
5. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука - 1967 239 с.
УДК 511.3+517.5 В. Н. КУЗНЕЦОВ, А. М. ВОДОЛАЗОВ
К вопросу аналитического продолжения
рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами
Введение
В дапной статье исследуется и частично решается следующая задача:
при каких дополнительных условиях на вполне мультипликативные коэффициенты а„ ряд Дирихле
оо
(1)
П=1
продолжим целым образом на комплексную плоскость. Эта задача, непосредственно связана с известной гипотезой Н.Г.Чудакова относительно обобщенных характеров, поставленной им в 1950 году |1|, [2|. А именно, с задачей аналитического продолжения ряда
где Л(п)-обобщенный характер.
В основе исследования как метод аналитического продолжения рядов Дирихле лежит, так называемый, метод редукции к степенным рядам, предложенный автором |3], [4], |5|, который сводит задачу аналитического продолжения ряда (1) целым образом на комплексную плоскость к задаче существования односторонних производных в точке х = 1 у степенного ряда с теми же коэффициентами
В связи с этим в данной статье изучается поведение степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами при подходе к точке X = 1. Здесь предлагается аппроксимационный подход, использующий аппарат сильно непрерывных, ограниченных полугрупп операторов
(С.Н.О.П.О.). Известно ¡6), [7], что наличие С.Н.О.П.О. {1/(4), < > 0}, дей-
ствующих в баноховом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы приближения по собственным подпространствам аналогичные классическим, т.е. прямым и обратным теоремам приближения периодических функций тригонометрическими полииомами, но выраженные в терминах оператора, порождающего С.Н.О.П.О. и модулей функции А:-го порядка.
В данном случае построение соответствующих С.Н.О.П.О. позволило сравнить величину наилучшего приближения функции (2) алгебраическими полиномами степени < п Еп(д) с величиной наилучшего приближения функции (2) алгебраическими полиномами с вполне мультипликативными коэффициентами Е'(д) сначала на отрезке [0; 1 — г], а затем
(2)
П=1
в результате предельного перехода при £ —> 0 и на отрезке [—0; 1], что, в свою очередь, позволило получить условия на коэффициенты а„, при которых ряд (2) имеет односторонние производные в точке х — 1.
1. Ограниченная полугруппа операторов и вопросы приближения на отрезке [0; 1-е] полиномами с мультипликативными коэффициентами
Рассмотрим пространство С[0; 1 — е] = Нс. Отображение
д(х) = (¿>(arccos —1 ") 1-е
определяет изоморфизм пространства четных 2тг периодических функций С*[0; 2ir], на пространство Hs. Полугруппа операторов, порожденная квадратом оператора дифференцирования, действующих в пространстве С*[0;27г], при этом изоморфизм индуцирует С.И.О.П.О. {V£(t),t > 0}, действующих в пространстве Не. Собственные функции оператора Ае, порождающего полугруппу {I4(i)}, являются полиномы вида
2 г
Qk(x) = Tk(— -1), (3)
где полиномы Чебышевадля отрезка [—1;1]. Собственное подпро-
странство Нп, порожденное полиномами вида (3) степени < п, совпадает с подпространством полиномов, степень которых не превосходит п.
Пусть Еп(д) величина наилучшего приближения функции д(х) полиномами из подпространства //„; д, {Ve(t)}) модуль функции д(х) к-го порядка:
<4k(i,p,{V;(i)})= sup \\т)-Е)кд\\. о <t<S
Как уже отмечалось в введении в данном случае имеют место прямые и обратные теоремы приближения функции д Е Н£ алгебраическими полиномами, аналогичные классическим теоремам приближения 27Г-псриоди-ческих функций тригонометрическими полиномами, но но выраженными в терминах оператора Ас и модулей функции к-го порядка uJk[6,g, { Vi(i)}). В частности, имеет место
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
1)uk(6,g,{Ve(t)})=0[uj(6)};
2) En(a) = OMI)],
где u>(S) -неубывающая функция на отрезке (0;+оо), удовлетворяющая условию Бари:
[ ы(и)— = 0\ш{5)\ . Jo и
Обозначим через подпространство полиномов в Нп, порожденное степенями {хр}, где /^простое (включая 0) и р < п. Так как любая степень хк имеет следующие разложение по полиномам Qk{x) вида (3):
к
хк = >
>=0
то подпространство порождается некоторой подсистемой {Qik(x)} системы полиномов {Qit(i)} , к < п. Обозначим через Щ подпространство в Я£, являющееся замыканием линейной оболочки подпространств
|, п = 0,1,...}. Тогда С.Н.О.П.О. {Ve(t)} действует и в подпространстве Щ. Обозначим через E^(gi) величину наилучшего приближения функции gi(x) € Щ полиномами подпространства НЦ. Имеет место
Теорема 2. Следующие условия эквивалентны:
1)ик(5,ди{У>т = 0[ш(6)};
2) E*(gi) = где функция и>(8) удовлетворяет условию Бари.
Замечание. Утверждение теоремы 2 аналогично утверждению теоремы 1. Нужно только воспользоваться тем фактом, что размерность подпространства равна (в смысле асимптотики)
Далее, пусть Я* обозначает подмножество полиномов степени i пс вполне мультипликативными коэффициентами. Определим в этом подмножестве операцию "сложение"слсдующим образом. Под суммой двух таких полипомов будем понимать полином с мультипликативными коэффициентами, у которого коэффициенты при простых степенях х определяются как сумма соответствующих коэффициентов слагаемых. Аналогично определяется "умножение на число". В итоге Я* становится линейным пространством той же размерности, что и ЯОбозначим через Я* замыкание линейной оболочки "подпространств"{Я*} в Яе.
Рассмотрим линейное отображение
фе : я; щ,
которое на плотном множестве многочленов с вполне мультипликативными коэффициентами определяется следующим образом:
п
тр2(^акхк) = £архр. fc=0 p<ti
В данном случае имеет место
Теорема 3. Отображение i¡)e является взаимнооднозначным, ограниченным отображением пространства II* в пространство Щ.
Доказательству теоремы 3 предпошлем доказательство двух утверждений. Имеет место
Лемма 1. Пусть коэффициенты ап степенного ряда
оо
д(х) = апхп
п=1
неотрицательные и вполне мультипликативные. Тогда для любого е > 0 равномерная сходимость этого ряда на отрезке [0,1-е] равносильна равномерной сходимости ряда
.91 (г) =
v
где суммирование берется по всем простым р, на этом отрезке.
Доказательство
Рассмотрим конечное произведение
[](1 + а„х") =
р^п
где суммирование берется по бесквадратным п и где р\ • р? ■... ■ ря = п. Применим к сумме
N N
п=1 п—Л
неравенство, полученное в результате преобразования Абеля: N
У^ЬкХк ^ (тах |5„|) ■ Аь —' п
к=1
п
где Sn = Yl^k', Ах > А2 > А3 > ... 3: A* .... В итоге получаем, что в *=i
данном случае ряды
ОО оо
Y^апхп+п+-р"' и ]T'anz"
П=1 71=1
сходятся или расходятся одновременно. Далее имеет место двойное неравенство:
Y, v" < П-> + avx") < е^"арХ • (4)
р<п р<п
Левое неравенство становится очевидным, если раскрыть скобки; правое неравенство следует из того, что 1 + о ^ е" при любом положитель ном а.
Из (4) следует, что ряды
оо
и апх"
р П=1
сходятся или расходятся одновременно.
Наконец, рассмотрим ряд
оо
(5)
п=1
где pi • Р2 ■ ■ • • ■ Pa = п (среди сомножителей есть одинаковые). Пусть ряд
) = "р1* р
сходится. Тогда архр 0 при р —» оо. Следовательно, ряд (5) мажорируется сходящимся рядом
00
и, следовательно, сходится на отрезке [0,1-е].
Применив к ряду (5) приведенные выше рассуждения, связанные с преобразованием Абеля, получим равномерную сходимость ряда
оо П=1
что и доказывает утверждение леммы 1.
Прежде чем формулировать второй результат введем обозначения. Обозначим через Н* класс степенных рядов с мультипликативными коэффициентами
д(х) =
71
сходящимися в интервале (-1,1), а через Н" класс рядов вида:
= аРхР> р
сходящимися в интервале (—1,1). При данных обозначениях имеет место 1 Лемма 2. Следующие условия эквивалентны:
о©
1. ряд д = ап*п принадлежит классу степенных рядов II*;
4=1
3. ряд дг ~ архр принадлежит классу степенных рядов Нр. р
Доказательство
Пусть д 6 Я". Тогда этот ряд абсолютно сходится на любом интервале
[0,1 — е]. В силу леммы 1 и ряд ]Г) \ар\хр сходится на любом интервале
р
[0,1 — е]. Следовательно, е Нр. Ясно, что имеет место и обратное утверждение.
Доказательство теоремы 3
Рассмотрим линеал Я* С Щ, определяемый классом функций II" и
линеал Нр С Нр, определяемый классом функций Нр. Покажем, что
является ограниченным линейным отображением Я* па Нр.
Так как в пространстве степенных рядов, сходящихся в интервале
(-1,1), на любом интервале [0,1-е] система {я"} является безусловным
базисом (ряды сходятся абсолютно), то все проекционные операторы ви-к
да Рщд[х)хщ, где д(х) € Я*, при любых конечных наборах чисел
(п1}п2.....Пк) являются равномерно ограниченными, то есть имеет место оценка
||£арх"Кф(:г)||, (6)
где с не зависит от д(х) и N.
Из оценки (6) следует, что гре ограничен на Я*. В силу леммы 2 отображение тре является отображением линеала Й* на линеал Щ. Это и доказывает утверждение теоремы 3.
Далее, пусть е > £1. Тогда имеет место следующее утверждение.
Лемма 3.Отображение линейных пространств
Ф^г ■■ К — К
являстся взаимнооднозначным оператором, обратный которого является ограниченным оператором на Н*.
Доказательство
Пусть 31(1) £ В силу того, что система {х™} является безусловным базисом в пространстве то все проекционные операторы являются равномерно ограниченными, т.е.
ИХ^МсЫ*)!!,,,
где с не зависит от и N. Отсюда следует
\а1,\хр < 2с||<71(а:)||£1. (7)
Из оценки (7) получаем:
гдее<1. (8)
р<ЛГ р^ЛГ
Из оценки (8) следует:
нХКИ^^МКе., (9)
р^М
где константа с\ не зависит от д\ и N. Рассмотрим множество таких <71, что
\\Ф)\к < М. (10)
Тогда в силу рассуждений, приведенных в лемме 1 и оценки (9), получаем:
II £ К\хп\\€ с2|| X < <ъЫх)\\ъ < Ми (11)
где последняя оценка имеет место для всех и всех 91(1), удовлетворяющих оценке (10).
Из оценки (11) следует ограниченность множества д(х) = ^¿¿(91(2;)), где Я\(х) удовлетворяет (10), что и доказывает утверждение леммы 3.
Как следствие леммы 3 получается
Теорема 4.Существует С.Н.О.Г.О. {У*(Ь), 4 > 0}, действующих в пространстве Я*.
Доказательство
Рассмотрим £] такое, что е > В пространстве Ндействует С.Н.О.Г.О. 4 0}. Пусть у е Щ. Тогда определим
= (12)
В силу леммы 3 и теоремы 3 линейные операторы У*^) вида (12) равномерно ограничены на пространстве Я'*, которое всюду плотно в подпространстве Я*, что и доказывает утверждение теоремы 4.
Таким образом, как показано в [б], [7] для величин наилучшего приближения функции д(х) £ И* алгебраическими полиномами степени < п с вполне мультипликативными коэффициентами Е„{д) имеют место прямые и обратные теоремы, аналогичные теоремам классической теории приближений. В частности имеет место
Теорема 5. Следующие условия эквивалентны: 1)Е'(д) = ОИ^)] ;
еде функция ш(6) удовлетворяет условию Пари.
В заключение отметим один результат относительно поведения величины {КМ}), который будет использоваться в следующем параграфе и который является следствием теоремы 1 и прямых и обратных теорем теории приближения алгебраическими полиномами, выраженных
в терминах гладкости (например, |8]).
Теорема 6. Пусть д(х) £ Я*. Тогда для любого отрезка [0; 1-е] величин и)/с(~,д, {^(£)}) ведет себя следующем образом:
2. О граничном поведении степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами и задача продолжение рядов Дирихле.
В данном параграфе изучается задача поведения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами при походе к точке 1 = 1. В основе исследования граничного поведения таких рядов лежит идея сравнения величин Еп(д) и Е^(д). Как можно видеть из результатов предыдущего параграфа сравнение величин Еп(д) и Е^(д) равносильно сравнению величин Еп(д) и Е^^д^), что значительно проще в техническом исполнении. Это позволяет получить условия на коэффициенты степенного ряда, при которых степенной ряд имеет конечные односторонние щюизводные в точке х = 1, а соответствующий ряд Дирихле продолжим целым образом на комплексную плоскость. Приведенные ниже ряд результатов отражают соотношения между величинами Еп{д) и Е^{д\), а точнее между величинами
и
{*"(«)}).
Лемма 4.Пусть д(х) € Н*. Тогда для любого е > О множество функций <й(х) = — Е)кд(х) равномерно ограничено в пространстве Нс. Более того <7|(х) раскладывается в степенной ряд, сходящийся в интервале (—1;1).
Доказательство
Известно [8], что функция д(х) из пространства Нс тогда и только тогда раскладывается в степенной ряд, сходящийся на отрезке (—1;1), когда существует величина ц > 1, которая определяется величиной £, и для которой выполняется условие:
КШ - 0, п-юо. (13)
Пусть {Р„(х)}- последовательность полиномов наилучшего приближения функции д{х) на отрезке [0; 1-е]. Тогда, как следует из определения полугруппы операторов {^(4)}, Рп.^х) = Уе(Ь)Р„(х) - полином той же степени п. Во-вторых,
\т)д(х) - Уе(*)ЗД||е < ОЕп(з(х)),
где константа С не зависит от л. Отсюда в силу (13) функция gt(x) = Vc(t)g(x) раскладывается в ряд, сходящийся на интервале (—1;1). Следовательно и функция gt(x) = {Vc(t) - Е)кд(х) раскладывается в ряд, сходящийся на интервале (—1; 1). Далее, так как семейство операторов (I4(í) — Е)к равномено ограниченно, то и множество функций gt(х) = {V£(t) Е)кд(х) образуют ограниченное множество в Нс, что и завершает доказательство леммы 4.
Лемма 5. Пусть д 6 Н~. Тогда на любом интервале [0; 1-е]
где модуль непрерывности к-го порядка.
Доказательство
Во-первых, заметим, что Ep(g1) = En(gi). Действительно в [7| указан вид линейного оператора, определяющего элемент наилучшего приближения из подпространства Нп для функции д\(х). Этот оператор определяется в виде линейной комбинации проекционных операторов на подпространства Н/с, к < п. Но проекционный оператор переводит элемент g¡(x) в подпространство 1Г£.
Далее, известно [8], что в случае приближения алгебраическими полиномами прямые и обратные теоремы устанавливают связь между величинами Еп{д(х)) и модулями непрерывности к-то порядка. Это и доказывает утверждение леммы 5.
Лемма 6.Пусть д £ Н*, более того, д(х) и gi(x) принадлежат пространству С[0,1]. Тогда для любого е > О
0. {%(*)» « {V7(É)>) ,
где константа эквивалентности не зависит от е.
Доказательство
Обозначим через
и = {<?!,,(*) = (v¡(t) - E)k9l(x)} ,
L2 = Ых) = (Vc(t) - E)kg(x)} .
Так как нормы операторов (Vc(t) — E)k ограничены в совокупности константой, которая в конечном счете зависит только от величины, ограничивающей С.Н.О.П.О., действующих в пространстве С*[0,2тг], то для
любой функции дг(х) е Ь2, где 0 < Ь < имеем
||й(*)||. < , (16)
где Сп - наименьшая положительная константа, для которой выполняется неравенство (16) для любого отрезка [0; 1-е]. Очевидно, что константы Сп убывают с ростом п с тойже скоростью, что и величины {У(<)}) на отрезке [0,1]. Далее, в силу условий на функции д{х) и д\{х) имеет место оценка
Ы®)||« < СвНяМИ. > (17)
где константа с не зависит от е.
Наконец, нормы операторов () — Е)к ограничены в совокупности ((!?(') это обозначение оператора Уе(Ь), действие которого рассматривается на пространстве Щ) константой, не зависящей от е. Поэтому выполняется оценки
Ы*)||. < < вир 1Ы*)|. , (18)
где константа с* является наименьшей положительной константой, для которой неравенство (18) имеет место для любого е. Ясно, что константы с* с ростом п ворастают с той же скоростью, что и {Ур(4)}) на
отрезке [0,1].
Из условий (16), (17), (18) получаем
где константа сл не зависит от е и п. Аналогичные рассуждения приводит к оценке
& {^(01) < «м» • (2°)
где константа с2 не зависит от г и п.
Из оценок (19) и (20) получаются оцепки вида
Сзик(1п,91,тт) ~ - 'мЬагЛУ})' 1 ;
В силу теоремы 6 на отрезке [0,1-е] выполняется утверждение леммы 6, но с константой эквивалентности не зависящей от е. Двойное неравенство (21) показывает, что эти константы не зависят от е, что и доказывает
утверждение леммы 6.
Лемма 7. При условиях леммы 6 на отрезке [0,1]
Доказательство леммы 6 непосредствнно следует из двойного неравенства (21).
Лемма 8. При условиях леммы 6 на отрезке [0,1] выполняются неравенства
< 51,{У(г)}), (22)
п п
где константа с не зависит от п.
Доказательство Дословно повторяя рассуждения,приведенные при доказательстве леммы 6, получаем двойное неравенство
где константа С\, с3 не зависит от е и гг.
В силу теоремы 6 на отрезке [0,1-е] выполняется условие
где константы эквивалентности зависят от £. В силу (23) эти константы не зависят от е, что доказывает утверждение леммы 8.
Приведенные выше факты позволяют доказать важный результат данной работы о граничном поведении степенных рядов с мультипликативными коэффициентами. Имеет место
Теорема 7. Пусть коэффициенты ап степенного ряда
оо
д{х) = ^2апХп-
П—1
Удовлетворяют условиям:
1) ап- вполне мультипликативные;
8) сумматорная функция коэффициентов 5(х) - ]ГЗп<1Оп ограниче-
S) ряд g(x) = Ylp xP определяет непрерывную на отрезке [0,1] функцию, модуль непрерывности которой удовлетворяет условию Дини-Липишца т.е. < ein-1 и.
Тогда функция д(х) имеет в точке х = 1 односторонние производные любого порядка .
Доказательство
Наряду с рядом д(х) рассмотрим ряд
оо
sW = Erin- (24)
z—' п
П=1
В силу условий на коэффициенты ап функция д(х) ограниченна на интервале [0,1), что получается в результате преобразования Абеля степенного ряда д(х). Следовательно, и функция д'(х) (jj'(x) = является ограниченной на [0,1). Отсюда ряд (24) имеет мультипликативные коэффициенты и определяет функцию, непрерывную на отрезке [0,1). Таким образом, для функции д(х) выполняются условия леммы 8, и в силу этой леммы имеет место неравенство:
(£.*(*). W)}) < c\n'knu:k • (25)
Покажем, что функция д(х) имеет в точке х = 1 односторонние производные любого порядка. Ясно, что тогда и функция д(х) будет обладать этим свойством (д(х) = хд'(х)).
Допустим, что при s = 1,..., существуют пределы вида
lim g^h) = as, х—»1—О"
a lim д^Мх) - не существует. Известно [9], что все последующие про-
х—»1—О
изводные неограниченны в окрестности х = 1. Пусть к > ко + 1. В силу известных теорем приближения функций на отрезке [8] и в силу теорем 1, 2, 6, леммы 6 и условия (25), имеем:
1. Еп{д) ^ шк {V(i)}) ж шк (¿,ff), где шк - модуль непрерывности к-го порядка;
2. Еп(дг) х шк ,дх, {V(i)}) « w* ;
3. Еп(д) < сЕп(д\) 1п~* п, где с не зависит от п.
4. ЗД (±,д) (i,.9i).
Так как по условию теоремы
W* ^ ein-1 п,
то в силу 2. имеем
En(gi) < сх In"1 п, а в силу условия 3. получаем:
Отсюда, в силу условия 1. имеет место оценка
^езкг^п. (26)
Из оценки (26) и условия 4. следует оценка
Повторяя рассуждения, получаем:
Wt(i,sUc8ln-wn, (27)
где I - любое натуральное. Из оценки (27) следует:
(х Л ~ 1
w* I ~,9 ) " -г. \п / п"
что противоречит нашему предположению и что доказывает утверждение теоремы 7.
Как следствие теоремы 7 и метода редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, речь о котором шла в введении, получается основной результат данной работы.
Теорема 8. Пусть коэффициенты а„ ряда Дирихле
оо n=l
удовлетворяют условиям теоремы 7. Тогда функция f(s) продолжима целым образом на комплексную плоскость.
Замечание. Условие ограниченности сумматорной функции S(x) —
а,п является основным условием в гипотезе Н.Г.Чудакова относитель-
г
по обобщенных характеров [1], [2|. В связи с теоремой 8 представляет
интерес задача ограниченности функции ¿>i(x) = ]Г где Л(п) - обобрал
щенный характер.
Библиографи ческий список
1. Чудаков Н.Г., Линник К).В. Об одном классе вполне мультипликативных функций / ДАН СССР - 1950 - т. 74 - Вып.2 - С. 193-196.
2. Чудаков Н.Г. Об одном классе вполне мультипликативных функций / УМН - 1953 - т.8 - Вып.З - С.149-150.
3. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции / Труды 3-ей Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Изд-во Сарат. гос. ун-та - 1988 - ч.2 -С.113-115.
4. Кузнецов В.Н. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле. / Труды 4-ой Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. - Изд-во Сарат.
гос. ун-та - 1989 - ч.1 - с.147-149.
5. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции. / Дифференциальные уравнения и теория функций.//Межвуз. сборн. научн. трудов. Изд-во Сарат. гос. ун-та - 1991 - С.23-29.
6. Купцов H.H. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов. / УМН - 1968 - т.23 - Вып.4 - С.117-178.
7. Терехин А.II. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение. / Дифференциальные уравнения и вычислит, математ. //Межвуз. науч. сборн. - Изд-во Сарат. гос. ун-та - 1975 - С.3-172.
8. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Изд-во Ленингр. гос. ун-та - 1977 - 184 с.
9. Титчмарш Е. Теория функций. - М.: Наука - 1980 - 464 с.
