Обобщённые характеры числовых полей и аналог гипотезы Н. Г. Чудакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

fic Bulletin. Mathematics & Physics], 2014, iss. 34, no. 5(176), pp. 12-16 (in Russian).

6. Rudin U. Functional analysis. McGraw-Hill, 1973, 424 p. (Rus. ed. : Rudin U. Functional analysis. Moscow, Mir, 1975, 449 p.)

7. Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S. Nelineyniye pochty periodicheskiye kolebaniya [Nonlinear almost periodic fluctuations]. Moscow, Nauka, 1970, 352 p. (in Russian).

УДК 511.3

8. Baskakov A. G., Duplishcheva A. Yu. Difference operators and operator matrices of the second order. Izv. RAN. Ser. Matem., 2015, vol. 79, no. 2, pp. 3-20 (in Russian).

9. Baskakov A. G. Harmonic and Spectral Analysis of Power Bounded Operators and Bounded Semigroups of Operators on Banach Spaces. Math. Notes, 2015, vol. 97, no. 2, pp. 164-178. DOI: 10.1134/S0001434615010198.

ОБОБЩЁННЫЕ ХАРАКТЕРЫ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ И АНАЛОГ ГИПОТЕЗЫ Н. Г. ЧУДАКОВА

В. А. Матвеев1, O. А. Матвеева2

1 Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2Аспирантка кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В случае числовых характеров известная гипотеза Н. Г. Чудакова, высказанная им в 1950 году, предполагает, что конечнозначный числовой характер h(n), удовлетворяющий условиям: 1) h(p) = 0 почти для всех простых p; 2) S(x) = h(n) = ax + O(l), является характером Дирихле. Числовой характер, удовлетворяющий условиям

n<x

гипотезы Н. Г. Чудакова, получил название обобщённого характера: главного в случае a = 0 и неглавного, в противном случае. Для главных обобщённых характеров гипотеза Н. Г. Чудакова была доказана в 1964 году; для неглавных обобщённых характеров эта гипотеза остаётся открытой и по настоящее время. В работе даётся определение обобщённого характера в случае характеров числовых полей, высказывается аналог гипотезы Н. Г. Чудакова и приводится доказательство этого предположения в случае главных обобщённых характеров.

Ключевые слова: гипотеза Чудакова, обобщённые числовые характеры.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть К — числовое поле, а х — конечнозначный характер, заданный на полугруппе целых идеалов поля К.

Определение 1. Характер х будем называть обобщённым характером, если выполняются следующие условия:

1) х(р) = 0 почти для всех простых идеалов р поля К;

2) 5(х) = Е х(а) = ах + 0( 1).

а,

N (а)<х

При этом обобщённый характер х будем называть главным обобщённым характером, если а = 0, и неглавным, в противном случае.

Замечание 1. В общем случае даже для характеров Дирихле числовых полей известна [1] только оценка вида

0 (V-, X = Хо, 1-

^ Х(а) = ч + п( 1-iN а, ах + Ox -г) , х = Хо,

N (а)<х V V У

где 7 — некоторое натуральное число.

В данной работе мы укажем класс числовых полей, для которых существуют обобщённые характеры, выскажем аналог гипотезы Н. Г. Чудакова [2-4] о том, что такие характеры являются характерами Дирихле, и докажем это предположение для главных обобщённых характеров.

Отметим, что в основе доказательства этого утверждения лежит изучение аналитических свойств рядов Дирихле:

/(*) = £ , * = а + И,

¿а N (а)*

где х — главный обобщённый характер.

1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЁННЫХ ХАРАКТЕРОВ

Определение 2. Характер Дирихле х поля К называется норменным, если существует числовой характер Дирихле XI, такой, что для любого простого идеала р поля К выполняется равенство

х(р) = XI ^ (р)).

В работе [5] рассматривается задача описания числовых полей К, для которых существуют нормен-ные харакетры Дирихле. В частности, если поле К есть композит циклических круговых расширений поля Q степеней дП, где — различные простые, то любой характер Дирихле поля К является норменным.

Для норменных характеров Дирихле поля К имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Пусть х — неглавный норменный характер Дирихле числового поля К. Тогда

Е Х(а) = 0(1),

а,

N (а)<х

где константа не зависит от х.

Доказательство. В работе [5] показано, что Х-функция Дирихле

£(*'Х- ю = I! (1 - ^Г = Е ^ХЙ)*, * = а+«. (1)

в случае неглавного норменного характера х раскладывается в конечное произведение Х-функций Дирихле с неглавными числовыми характерами хг:

г

Х(*,х, К) = Ц Х(*,Хг). (2)

г=1

Пусть д(г) = ^х(a)xN(а) и дг(г) = ^ Хг(п)хп есть степенные ряды, отвечающие (т.е. с теми же

П=1

коэффициентами) Х-функциям Дирихле К) и Х(*,хг) соответственно.

В силу (2) имеет место равенство:

д(г) = д1 (г) о д2 (г) о ... о дг ), (3)

где д1 (г) о д2(г) — произведение по Дирихле двух степенных рядов д1 (х) и д2(г). Рассмотрим случай произведения по Дирихле двух сомножителей:

д(г) = д1(г) о д2(г)- (4)

Каждый из сомножителей определяет рациональную функцию, голоморфную в точке г = 1, и, следовательно, частичные суммы этих рядов ограничены в совокупности на интервале [0,1).

Заметим, что ограниченность степенного ряда д(г) при г ^ 1 — 0 эквивалентна тому, что для любой точки х < 1 существует такое N, что при всех п > N частичные суммы этого ряда Бп(х) удовлетворяют неравенству

|£п(х)| <м,

где константа М не зависит от п и х.

N N2

По условию для каждого х существует N такое, что частичные суммы ^ х(п)хп и ^ х2(п)хп,

П=1 П=1

где N1 > N и N2 > N, ограничены константой М.

В силу абсолютной сходимости степенных рядов в единичном круге представим д(х) и д1 (х) ■ д2(х), где используется обычное произведение степенных рядов в виде

N1 N2

д(х) = д11т V V х1(п)х2Мх

N2;^^ п=1 т=1

N1 N2

д1(х) ■ #2(х) = 11т V V Х1(п)Х2(т)х *—/ *—/

Щ^ж п=1 т=1

п+т

(5)

(6)

Отсюда в силу (5) для ограниченности сумматорной функции 5(х) = ^ х(а) достаточно

N (а)<х

показать, что для любого х £ [0,1) существует N такое, что

N1 N2

Е Е Х1 (п)Х2 (т)х'

п=1 т=1

< М,

(7)

где N > N, N > N, и константа М не зависит от N и х. В силу ограниченности д1 (х) ■ д2(х) имеем:

Е Е Х1(п)Х2(т)х

п=1 т=1

Покажем, что из оценки (7) следует оценка вида

N1 N2

п+т

< М.

(8)

N1 N2

Е Е Х1 (п)Х2(т)х'" ' ""х

п+т хпт- (п+т)

п=1 т=1

< М.

(9)

В силу абсолютной сходимости слагаемые суммы (9) можно расположить по возрастанию показателей степеней хпт-(п+т). Тогда, применив к сумме (9) неравенство

N

!>

п=1

< Л1 тах

N1

Еап

п=1

где 0 < Л1 < Л2 < ... < Лп, которое получается в результате применения формулы суммирования Абеля, мы в силу (8) получим неравенство (9), что доказывает (7).

Ясно, что наше утверждение имеет место для произведения по Дирихле любого конечного числа сомножителей. Тем самым, утверждение теоремы 1 полностью доказано. □

Замечание 2. Можно показать, что если х — неглавный обобщённый характер числового поля, а Хо — главный характер Дирихле, то хоХ — главный обобщённый характер числового поля.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЯДОВ ДИРИХЛЕ С ОБОБЩЁННЫМИ ХАРАКТЕРАМИ

Рассмотрим класс рядов Дирихле вида

/(«) = Е

Х(а) N(а)5'

5 = а + а ,

(10)

где х — обобщённый характер числового поля К.

Для рядов вида (10) докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Ряд Дирихле (10) определяет функцию, голоморфную почти во всех точках полуплоскости а > 0, за возможным исключением точки 5 = 1, где она может иметь полюс первого порядка, и у которой на границе а = 0 нет точек «типа полюса».

а

Замечание 3. Здесь точка 5 = И0 называется точкой «типа полюса», если |/(ст + г£0) ^ 0 при ст ^ 0+.

Доказательству теоремы 2 предпошлём доказательство двух утверждений. Лемма 1. Пусть х — неглавный обобщённый характер. Тогда степенной ряд

g(x) = S х(а)

N (а)

(11)

определяет функцию, имеющую конечный односторонний предел в точке x = 1, т. е. предел вида

lim g(x) = ао.

x —> 1 — 0

Замечание 4. Ограниченность сумматорной функции для характера х обеспечивает только ограниченность функции (11) в окрестности точки x = 1.

Доказательство леммы 1. Рассмотрим пространства C[0,1] и C[0,1 — е], где е > 0. Обозначим через En,e(g) и E^ e(g) величины наилучшего приближения функции g(x) вида (11) на отрезке [0,1-е] алгебраическими полиномами вида

Рп (x)= £ b(a)xN (а), PП (x)= ^ x(a)x

N (а)

N (а)<п

N (a)<n

где Ь(а) — произвольные, а х(а) — мультипликативные коэффициенты. В случае ограниченности или непрерывности функции д(х) на отрезке [0,1] соответствующие величины обозначим Еп(д) и ЕП (д).

Из результатов работы [6] следует, что в случае существования конечных величин Еп(д) и ЕП(д) имеют место оценки вида

C1

En,e(g) < En(g) < C En,e(g)

< C2-

Е^Дд) " ЕП(д) - ^(д)'

где константы С1 и С2 не зависят от д(х) и е.

Из этой работы и асимптотики простых идеалов следует также, что

Еп(д)

(12)

= O(ln—1 n).

En(g)

(13)

Осталось заметить, что в силу ограниченности функций д(х) вида (11) в окрестности х = 1 следует существование величин Еп(д) и ЕП(д), и, следовательно, оценки (12), (13) доказывают утверждение леммы 1. □

Методы работы [6] позволяют доказать следующий результат.

Лемма 2. Пусть х — конечнозначный характер поля К, для которого

S (x) =

N (a)<x

х(а) = ax + O(1), а = 0.

Тогда степенной ряд

n=1

х(а) — а

а,

N (а)=п

д(х) =

имеет конечный предел вида

Доказательство теоремы 2. Запишем известное интегральное представление:

Hm g(x).

x—1 —0

f(s) = s

S (ц)

1/S—1

du.

эс

эс

Это представление в случае обобщённого характера даёт аналитическое продолжение /(з) в полуплоскость а > 0.

Рассмотрим преобразование Меллина:

/ (з)Г(з) = / д(е-х К-1 ¿х

(14)

где #(е *) = Е х(а)е ^(а)х, Г(з) — гамма-функция Эйлера.age

а

Запишем равенство (14) в виде

/(з)г(з)= / )х8—1 ¿х + / #(е—*)х8—1 ¿х

— Х\„,3 —1 .

Первый интеграл этого равенства абсолютно сходится при любом з. Действительно, для любого з

#(е *)х8

<

е 2 Ее

—(а)—1 )х —1 ¿х<С.

Исследуем второй интеграл равенства (14). В силу леммы 1 и леммы 2 функции

хп (при а = 0) непре-

Е Х(а) - а

а,^ (а)=п

#(х) = Е Е Х(а) хп (при а = 0) и #(х) = Е

п=1 у а,^ (а)=п у п=1

рывны на отрезке [0,1] и раскладываются в степенные ряды с ограниченными в совокупности коэффициентами. Следовательно, в силу теоремы 6.1 монографии [7] существует последовательность полиномов Рп(х), равномерно сходящаяся к д(х) на отрезке [—1,1], и их коэффициенты ограничены в совокупности.

Представим /(з) следующим образом:

/ (з) =

1

Г(з)

д(е—*)х8—1 ¿х + / [#(е—*) - Р„(е—*)]хв—1 ¿х + / Р„(е—Х)х8—1 ¿х

— Ж\1 Я — 1

, — — 1

1

Отсюда получаем:

I/(з)| <

1

|Г(з)|

При надлежащем выборе п имеем:

I/(з)| <

где константа С1 не зависит от а. Рассмотрим интеграл

1

|Г(з)|

Со + ^ +

С +

Рп (е—*)х8—Мх

Рп(е—*)х8—1 ¿х

е кх х8 1 ¿х.

Интегрируя его по частям, получаем:

1

о

Отсюда следует, что

Рп(е—* )х8—1 ¿х = Е

е к к

е—кх х8—1^х =--Ь -т +

з ф + 1)

("М „ — к* * — — ^„Н — к

е )х ¿х — > а ' / е """х" ¿х = > а 'е

¿х = £ акп) е—кЕ

к=о

к=о

т=0

+ 1)... (з + т)

Так как

е* ^ = е* - 1 = Ё

т=0

1 хт т! т + 1'

(е* - 1) ^ = е* - х - 1 = х2

т=0

(т + 2)!

(15)

(16)

зс

0

1

зс

0

зс

1

1

з

0

0

1

а

0

1

0

1

0

1

п

п

з

0

0

X

т

х

0

0

то

1 1

Е

х2 х —' (т + 2)!

т=0 4 '

Отсюда при |£| > 2 получаем:

Е

т=0

к

5(5 + 1)... (я + т)

<

Е

т=0

к

11

2 ■ 3 ■ ... ■ (т + 2) к2 к2 к'

Таким образом, в силу (16) имеем:

Р„ (е-х)ха-1¿х

< М^\к2 к2

к=0

е-к < Мо.

Тогда в силу (15) получаем при а < 0:

I/(5)| <

С

|Г(5)|

= 0(1),

где константа зависит только от |£|, что и завершает доказательство теоремы 2. □

Следствие. Пусть х(р) = %1 (р) только для конечного числа простых идеалов р, где %1 — характер Дирихле. Тогда х не является обобщённым характером.

3. АНАЛОГ ГИПОТЕЗЫ Н. Г. ЧУДАКОВА И ЕГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В СЛУЧАЕ ГЛАВНЫХ ОБОБЩЁННЫХ ХАРАКТЕРОВ

Для обобщённых характеров числовых полей выскажем предположение, которое является аналогом известной гипотезы Н. Г. Чудакова относительно обобщённых числовых характеров. А именно можно предположить, что обобщённые характеры числовых полей являются характерами Дирихле. В случае главных обобщённых характеров будет доказана

Теорема 3. Главный обобщённый характер числового поля К является характером Дирихле этого поля.

Доказательству теоремы 3 предпошлём доказательство следующего утверждения.

Лемма 3. Пусть Р — подмножество простых идеалов поля К, а — полугруппа целых

идеалов, порождённая подмножеством Р. Тогда имеет место равенство

.(а)

«м = Е ^ =Е Шь^(а).),

N (р)* ^ N (а)

реР аев 1 у '

где

д(а) = <

1, а — единичный идеал,

(-1)к, а = р1 ■ р2 ■ ... ■ рг, рг = р^, рг е Р,

0, р21 а,

*(') = П С1 - Ж

реР

N (р)

-1

Е

аег>1

N (а)*

Доказательство. Положим норму единичного идеала равной единице. Во-первых, имеем:

Ь ^(а)=ЕЕ

т=1 реР

1 1

т N (а)

1

V —^(та).

т

т=1

Во-вторых, получаем:

Д(а)

Е ^п^(а).) = Е ^Е ^^(а).) = £ ^ £ .(а) = д(.)

дм

аеС]

N (а)

п N (а) ^ т

аев1 у 7 т=1

г=1

N (а)|г

х

т

е

х

к

е

1

0

а

1

ж

Здесь мы воспользовались свойством функции д(а) (см. [8, § 2.5]):

4а)|/ К г = 1. □

Доказательство теоремы 3. Пусть т — произведение простых идеалов р, для которых х(р) = 0, и Х0 — главный характер Дирихле модуля т. Обозначим

/(') = Е ^(.,Х0,К) = Е = Е N1)7

а а (а,т)=1 4 '

Известно, что Х-функция £(з,Х, К) имеет в точке з = 0 нуль конечного порядка. Пусть к — порядок этого нуля. Будем говорить, что /(з) имеет в точке з = 0 «нуль т-го порядка», если существует такая последовательность ап ^ 0, что

0<шм<С, п^

ат ' т+1

п ап

Рассмотрим случай к < т. Запишем равенство:

/(з) = Х(з,Х0, К) ■ а > 0,

где функция

п (1 - т^Р П 0- (17>

Х(Р)=0,1 х(р)=0,1

определена в точке з.

В силу предположения к < т и теоремы 2 функция ограничена в точках з = ап, п > Т0, и, следовательно,

Яе 1п р(ап) <С, С1 > 0. (18)

Пусть 7 — число, |71 = 1, и пусть

* М = рП (1 - т^У

Точно так же, как и в лемме 3, выводится формула

Е Щ1п * (^(а)^)- (19)

реР ае: у '

Обозначим через Рк, к = 1,1, множество простых идеалов р, для которых х(Р) = Тк, где 71,72,... ,7^ — различные значения Х(а), не равные 0 и 1.

Тогда для функции 1пгде определена равенством (17), имеет место выражение

1п *(«) = Е Е жру + Е Е Е Т-р. (20)

к=1 реРк 4 У к=1 т=1 реРк УГ'

Рассмотрим первое слагаемое

1 - 7к

N(р)7 . к=1 реРк уг/

ЕЕ

В силу леммы 3, формулы (19) и того факта, что 1п (а)з) ~ 2 N(а)ст для любого а > 0 для точки з = а + И, в которой определена функция 1пимеет место оценка вида

I I

£ Е Т^к = £ Е Тру+°(1), (21)

к=1 реРк к=1 реРк,

N (р)<по

где п0а > 1.

Для второго слагаемого для любого а > 0 существует такое т0 (т0а > 1), что верна оценка вида

I ж

ЕЕ Е

1 - тт1

I то

N (р)

ЕЕ Е

1 - 7т

^ ^ ^ N(р)?

к=1 т=2 реРк, У ' N (р)<по

+ 0(1).

(22)

к=1 т=2 реРк

Таким образом, в силу (20)-(22) для любого а > 0 имеет место оценка вида

(

ь = Е

к=1

у- 1 - 7к + у- у-N (и)«

1 - 7т

N(р)* ' ^ ^ N(р)т* реРк, уг/ т=1 реРк, уг/

\^р)<по N (р)<по

\

/

+ 0(1)

(23)

для любой точки я, где определена функция 1п ^(я).

В силу следствия к теореме 2 число простых идеалов р, для которых х(р) = 0, 1, не может быть конечным. Следовательно, для любой константы М > 0 найдётся такое а0 > 0, что для ап, 0 < ап < а0, существует такое п0, что имеет место оценка

1 1 Е Е

к=0 реРк,

N (р)<по

N (р)

> М.

(24)

Заметим, что из оценки (23) следует оценка вида

Яв1п р(а„) > Сз Е Е

к=1 реРк,

N (р)<по

N(р)сто '

которая в совокупности с оценкой (24) противоречит оценке (18), что и доказывает, что при всех р

х(р) = Х0 (р).

В случае, когда к > т, нужно рассмотреть равенство

Х(.,Х0, К) = /(.м.),

1

где

,(.)= п о - п 0 -

х(р)=0,1 х(р)=0,1

и провести приведённые выше рассуждения для Кв(- 1п^(ап)).

Таким образом, теорема 3 полностью доказана. □

Библиографический список

1. Хейльбронн Х. ^-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел. М. : Мир, 1968. С. 310-346.

2. Чудаков Н. Г., Линник Ю. А. Об одном классе вполне мультипликативных функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 2. С. 193-196.

3. Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщённом характере // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, №3. С. 11371138.

4. Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1968. № 2. С. 3-40.

5. Кузнецов В. Н., Сецинская Е. В., Кривобок В. В.

К задаче о разложении в произведение Ь-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сб. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 51-64.

6. Водолазов А. М., Кузнецов В. Н. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 43-59.

7. Демьянов В. Ф., Малозёмов В. Н. Введение в мини-макс. М. : Наука, 1972, 368 с.

8. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М. : Наука, 1971, 416 с.

Л. Л. Рыжкова, И. А. Тришина. О почти периодических на бесконечности решениях

Generalized Characters Over Numerical Fields and a Counterpart of Chudakov Hypothesis

V. A. Matveev, O. A. Matveeva

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected], [email protected]

The well-known Chudakov hypothesis for numeric characters, conjectured by Chudakov in 1950, suggests that finite-valued numeric character h(n), which satisfies the following conditions: 1) h(p) =0 for almost all prime p;2) S(x) = E h(n) = ax + O(1),

n<x

is a Dirichlet character. A numeric character which satisfies these conditions is called a generalized character, principal if a = 0 and non-principal otherwise. Chudakov hypothesis for principal characters was proven in 1964, but for non-principal ones thus far it remains unproved. In this paper we present a definition of generalized character over numerical fields, suggest an analog of Chudakov hypothesis for these characters and provide its proof for principal generalized characters.

Key words: Chudakov hypothesis, generalized numerical characters. References

1. Kheil'bronn H. Z-funktsii i L-funktsii [^-functions and L-functions]. Algebraicheskaia teoriia chisel [Algebraic Number Theory]. Moscow, Mir, 1968, pp. 310-346 (in Russian).

2. Chudakov N. G., Linnik J. A. On certain class of completely multiplicative functions. USSR AS Reports, 1950, vol. 74, iss. 2, pp. 193-196 (in Russian).

3. Chudakov N. G., Rodosskii K. A. On generalized character. USSR AS Reports, 1950, vol. 74, iss. 3, pp. 1137-1138 (in Russian).

4. Glazkov V. V. Characters of multiplicative semigroup of natural numbers. Number theory research: Interacademic tractate collection, Saratov, Saratov Univ. Press, 1968, vol. 2, pp. 3-40 (in Russian).

5. Kuznetsov V. N., Setsinskaia E. V., Krivobok V. V. On a problem of decomposition into a product of Dirichlet

УДК 501.1

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЯХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

А. А. Рыжкова1, И. А. Тришина2

1 Аспирантка кафедры нелинейных колебаний, Воронежский государственный университет, [email protected] 2Аспирантка кафедры нелинейных колебаний, Воронежский государственный университет, [email protected]

Введен в рассмотрение класс почти периодических на бесконечности последовательностей. Необходимость исследования таких последовательностей связана с тем, что они возникают при рассмотрении разностных уравнений. Основные результаты статьи связаны с доказательством почти периодичности на бесконечности решений разностных уравнений.

Ключевые слова: периодические на бесконечности последовательности, разностные уравнения, спектральная теория.

L-functions over numerical fields. Chebyshevskii sbornik [Chebyshev collection], 2004, vol. 5, iss. 3, pp. 51-64 (in Russian).

6. Vodolazov A. M., Kuznetsov V. N. On analytical continuation of Dirichlet series with multiplicative coefficients. Research on algebra, number theory and complementary areas: Interacademic tractate collection, Saratov, Saratov Univ. Press, 2003, iss. 1, pp. 43-59 (in Russian).

7. Dem'ianov V. F., Malozemov V. N. Vvedenie v minimaks [Introduction to minimax]. Moscow, Nauka, 1982, 368 p. (in Russian).

8. Postnikov A. G. Vvedenie v analiticheskuiu teoriiu chisel [Introduction to analytical number theory]. Moscow, Nauka, 1971, 416 p. (in Russian).

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Z — множество целых чисел и — комплексное банахово пространство. Через = (Z, X) обозначим банахово пространство ограниченных последовательностей x : Z ^ X с нормой = sup ||x(n)||. Через с0 обозначим (замкнутое) подпространство последовательностей из ,

тееж

убывающих на бесконечности, т.е. lim ||x(n)|| =0, x <G c0 .В пространстве рассмотрим операторы сдвига S(n) : ^ (S(n)x)(k) = x(k + n), k <G Z, n <G Z, x <G . Используемые результаты из гармонического анализа, функции и векторов, содержатся в работах [1-7]. Следуя [1, 6, 7], дадим определение медленно меняющейся на бесконечности последовательности.