К теории нелинейных колебательных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 1957- 1958

1957

УДК 517.946

К ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

© 2011 г. Ш.Г. Алиев1, М.М. Зайнулабидов2

1 Дагестанский государственный технический университет, Махачкала 2Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала

[email protected]

Поступила в редакцию 24.08.2011

Исследовано нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, которое получается при моделировании некоторых колебательных процессов.

Ключевые слова: нелинейность, краевые задачи, колебания, условия Коши, условия Гурса.

В работе [1] изучено нелинейное уравнение

д2и ди ди

+ —— = / (х, у),

(1)

дхду дх ду которое, как было отмечено в [1], появляется при математическом моделировании различных процессов, таких как, например, определение закона изменения расстояния между точками путей двух движущихся объектов; определение закона взаимодействия токов в электродинамике.

В [1] показано, что (1) эквивалентно уравнению

д 2и дхду

= 2 / (х, у),

*2 а+1

ди

дхду

когда а Ф 1, и в виде

д 21п и дхду

когда а = 1.

= (а +1) / (х, у),

= /( х, у),

Как известно, решения (3), (4) соответственно имеют представления

„ а+1/

х у

(х, у) = ф(х) + у(у) + | dт j /(т, ґ)№ґ,

х0 уо

а +1Ф 0,

и( х, у) = ехр

ху

ф( х) + у( у) +| dтj / (т, ґ )№ґ

х0 у0

(5)

(6)

а + 1 = 0,

вследствие чего установлено, что закон изменения квадрата расстояния между точками, движущимися по двум кривым независимо друг от друга, как функция двух переменных, совпадает с законом колебания струны с вытекающими отсюда последствиями в смысле корректности постановки краевых задач для (1).

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых нелинейных уравнений общего вида, частным случаем которых является (1).

Рассмотрим уравнение а д2и а-1 ди ди

и ІГ^Т + аи = /(х, у), (2)

дхду дх ду

которое при а = 1 совпадает с (1).

Легко заметить, что уравнение (2) можно представить в виде

где а(х) и ^) — произвольные функции, (х0,у0) -фиксированная точка области задания функции

/ (х, у).

Из представлений (5) и (6) следует корректность постановки классических задач Коши, Гурса, Дарбу для нелинейного уравнения (2) при любом действительном параметре а

Рассмотрим более общее, чем (2), уравнение

, . . д 2и ,,. .ди ди .

Ь(м^—- + Ь (и)—— = /(х,у). (7)

дхду дх ду

Легко заметить, что (7) можно представить в виде

д

ду

Ь(и) ^

дх

= /( х, у),

что равносильно уравнению

д

2 и

дхду

| Ь(ґ )Ж = / (х, у),

(8)

(3)

(4)

решение и(х, у) которого в неявном виде имеет представление

и( х, у) х у

|Ь(1 )й = ф(х) + у(у) +|йт |/(т, t)Л, (9)

0 х0 уо

где ф(х) и ^(у) — произвольные функции.

В характеристическом треугольнике со сторонами х = 1, у = 1, х — у = 0 исследуем задачу

и

Коши для уравнения (7) с начальными условиями

( du du Л dx dy

u( x, y) = т( x),

= v( x),

y=x (10)

I b ( t) dt

2

dxdy *

нение (15) не проще, чем (14). Однако при

дu

c(u) exp I a(t)dt = 1 и при c (u)

0

дx

0 < х < 1.

Полагая/(х,у) = 0, что не ограничивает общности, подчиним решение (9) условиям (10). В результате получим, что ф(х) и ^(у) должны быть решениями системы уравнений

ф(х) + у(у) = Т1(х), ф'(х) +у'(у) = У1(х), (11)

где

т( х)

т1( х) = | Ь^ ^, у1( х) = Ь[т( х)]у( х),

0

0 < х <1. (12)

Подставляя решение (11) в (9) (см., напр. [3]), получим, что решение ^х, у) задачи Коши (7), (10) для случая / (х, у) = 0 представимо в неявном виде

и( х,у)

Т1(х) + т2(у) , 1

уравнение (15) может быть представлено соответственно в виде:

д 2v дxдy

д2v дv

= f( x, y), = т~ f( x, y), (16)

dxdy дx'

где

u ( x , y )

(

\

d т.

(11)

v (x, y) = I exp I a(t )dt

о V о у Первое уравнение из (16) — хорошо изученное линейное уравнение Даламбера. Что касается второго уравнения из (16), то оно представимо в виде

д dv дv

—In — = f (x, y), — > 0,

ay ox дx

(18)

а следовательно, его решение имеет представление

■+ -1 v1(t)dt, (13)

v( x, y) = I exp

где Tj(x) и v1(x) — функции, определенные в (12).

Заметим, что единственность решения задачи Коши (7), (10) зависит от однозначной разрешимости (13) относительно u(x, y), что, естественно, связано с видом заданной функции b(u). Рассмотрим уравнение

d2u „ ч du du „ ч

—— + a(u)—— = c(u) f( x, y), (14)

dxdy dx dy

частным случаем которого является (7). Уравнение (14) эквивалентно уравнению

д 2 u ( т Л u

| exp|a(t)dt d т=f(x,y)c(u)|a(t)dt, (15) о V о j о

в чем легко убедиться непосредственным вычислением смешанной производной в левой части. При произвольной заданной функции с(п) урав-

ф( s) I f (s, t )dt

| ds + у(у), (19)

0 |_ 0

где ф(s) и ^(у) — произвольные функции.

В силу (16)—(19) заключаем, что решение ^х, у) уравнения (15), а значит, и (14), в указанных случаях относительно с(п) имеет представление в неявном виде типа (9), которое может быть использовано в начально-краевых и краевых задачах для уравнения (14).

Список литературы

1. Зайнулабидов М.М., Зайнулабидова З.М. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала: ДГУ 2009. С. 120—124.

2. Лоренц Г., Шереметьевский В. Элементы высшей математики. Т. 2. М., 1926. 528 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука,1982. 336 с.

ON THE THEORY OF NONLINEAR OSCILLATORY PROCESSES

Sh.G. Aliev, M.M. Zaynoulabidov

The article presents an investigation of the second order nonlinear partial differential equation which is obtained by modeling some of the oscillatory processes.

Keywords: nonlinearity, boundary problems, vibrations, the Cauchy condition, Goursat conditions.

X