УДК 539.3: 519.95 Р. А. Абдикаримов,
канд. техн. наук, доцент, Ташкентский финансовый институт;
Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, профессор, СПГУВК
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
NUMERICAL RESEARCH OF NONLINEAR FLUCTUATIONS OF VISCOELASTIC
PLATES OF THE VARIABLE THICKNESS
В статье рассматривается задача о нелинейных колебаниях вязкоупругой пластины переменной толщины. Получена разрешающая система интегродифференциальных уравнений задачи. Численное решение строится методом Бубнова-Галеркина с последующим применением квадратурных формул для аппроксимации интегралов. Рассмотрен числовой пример со слабо сингулярным ядром наследственности Колтунова-Ржаницына.
In the article a problem of nonlinear fluctuations of a viscoelastic plate of a variable thickness is considered. The resolving system of the integrodifferential equations of a problem is received. The numerical decision is constructed by Bubnov-Galerkin’s method with the subsequent application of quadrature formulas for approximation of integrals. The numerical example with weak singular kernel of heredity Koltunov-Rzhanitsyn is considered.
Ключевые слова: нелинейные колебания, вязкоупругость, пластина переменной толщины, интегро-дифференциальные уравнения, квадратурные формулы.
Key words: nonlinear fluctuations, viscoelasticity, a plate of a variable thickness, the integrodifferential equations, quadrature formulas.
Введение. Тонкостенные элементы конструкции, отформованные из композиционных материалов, могут иметь переменную толщину, увеличенную в местах, где требуется дополнительная жесткость или прочность, и уменьшенную там, где достаточно одной тонкой пластинки или оболочки. Толщина материала определяется максимальным значением напряжений, которые должен выдержать какой-либо участок элемента конструкций. Следовательно, исследования напряженно-деформированного состояния элементов
* конструкций летательных аппаратов, судов,
§ различных сооружений с учетом переменно-
сти толщины являются актуальными.
В данной работе с помощью численного метода [1, с. 3-13] дается решение задачи о нелинейных колебаниях вязкоупругой пластинки с плавно изменяющейся толщиной, которая задается единой формулой во всей области изменения переменных. Решение реализуется
m
на алгоритмическом языке Бе1рЫ.
1. Постановка задачи. Рассмотрим вязкоупругую изотропную прямоугольную пластинку (0 < х < а, 0 < у < Ь), с переменной толщиной, изменяющейся по линейному закону в направлении Ох (рис. 1). Пусть пластина нагружена поперечной нагрузкой д. Зависимость закона изменения толщины задается в следующем виде: Н(х) = И0 (1 - а*х), где Н0 — толщина пластинки, при х = 0, а* — параметр, характеризующий переменность толщины; соответствующий профиль приведен на рис. 2.
Рис. 1. Вязкоупругая прямоугольная пластина с переменной толщиной
Рис. 2. Профиль пластины вдоль оси Ох при а* = 0.5
В общем случае граничные условия могут быть любыми, будем рассматривать граничные условия шарнирного опирания по контуру:
IV = 0:
1дг=0,а
= 0.
э2
дх2
Э2и>
= 0,
ду2
(1)
= 0,
у=0,Ь
где м — функция нормального прогиба пластины.
2. Математическая модель. Перейдем к построению математической модели задачи о нелинейных колебаниях изотропной вязкоупругой пластинки с переменной толщиной, с учетом геометрической нелинейности в рамках кинематической гипотезы Кирхгоф-фа-Лява.
Физическую зависимость между напряжениями о , о , т и деформациями є , є , у
х у ху '—'т г х’ уУ • ху
примем в интегральном виде [2; 3]:
о, =
1-ц
Е
(2)
2(1+ц)
где Е — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона; Г* — интегральный оператор с
*
ядром релаксации Щ): Г*е = |г(г-т)е(т)й?т;
о
^ — время наблюдения; т — предшествующее моменту наблюдения время; символ (х <-> у) указывает, что остальные соотношения получаются круговой подстановкой индексов.
Связь между деформациями ех, е, ух и перемещениями и, V, w в срединной поверхности по направлениям х, у, г имеет вид [4]
Э и I ( ды &х ~1к+ 2
\2
дх
/
ди дv Эм> дм?
Эу 1 ’ Еу ~Э^ + 2
Эи> ду
(3)
^ ду дх Эх ду
Изгибающие и крутящие моменты элемента пластинки примем в виде [2; 4]:
мх=-о(1-Г*)
(~\2 -\2 Л
дм? д и>
, (х+*у),
Н = -Б( 1-ц)(1-Г*)
д2м>
дхду
(4)
переменная цилиндри-
Екъ (х, у)
где В =
12(1 -|12)
ческая жесткость пластинки.
Уравнения движения элемента вязкоупругой изотропной пластинки имеет следующий вид [4]:
дNx дЫ д2и
дх ду д і
дN„, Ж
*У
дх
д2Мх
дх2
д
+ ду
У 1 ^2у л
аГ-р*э?=°,
э2м„
ду2
- + 2
д2Н д дхду дх
лг Эи> лг дм *ду
Э2м>
+
+ ?-Ра:;гт = 0, (5)
ді
Здесь N, N и N — усилия, отнесенные
х’ у ху ^ ’
к единице длины сечения пластинки [4].
Если процесс рассматривается без учета распространения упругих волн, то система уравнений (5) упрощается. Становится возможным отбросить инерционные члены в первых двух уравнениях. Эти два уравнения будут удовлетворяться, если ввести функцию напряжений Ф в срединной поверхности по формулам [4]
ЛГ Э2Ф N Э2Ф
С! = —— =------------ С! = —— = ------------
' • ду2’ у к дх2'
к
N.
Э2Ф
ЭхЭу
Э2ег . д\ Э2у.
ху _
ґ Л2 V О
ду дх дхду
дхду
Э2и> д2М! дх2 ду2 ,
Кроме того, используем известное уравнение совместности деформаций [4]
Выпуск 2
Выпуск 2
в котором выразим деформации в срединной поверхности через усилия, а те, в свою очередь, — через функцию напряжений Ф. В результате получим уравнение
гд4Ф Э4Ф Э4ФЛ
^ Эх4 дх2ду2 ду4 ^
М>
Э2м> Э2м>
дхду J дх2 ду2 Окончательно вместо трех уравнений (5) будем иметь следующие два уравнения типа Кармана:
(1-Г>
+ 3(1-Г*)
+ 2
ґд4м> дх4
V У
ґдк
дх2ду2 ду4
2к
дх
+ к
д2к
дх2
( 32
2... Л
3 и» д м>
+
+б(1-Г*)й2Ц
^дъм> дъм> + ■
дх дхду
+
+
дк (дъм/ дъм/ ^
ду
+
2Л
Эу
+ к
г Э2/г
2... Л
дм/ Э №
6(1 м-)(і - г")
дк дк 1± 2 к----------------+ к
д2к
Эл: ду дхду
Э2м>
дхду
12(1-ц2)
Е
д2м> д2Ф , д2м> Э2Ф
к-г—г + к-
дх2 ду2 ду2 дх2
-2 к
д2м> д2Ф дхду дхду
12(1-ц2)
+ ^-------'-д-
Е
12(і-ц2) Э2и>
1_
Е
Е
гд4Ф
р к
дґ
= 0,
4/Ь Л
„ Э4Ф Э4Ф
Эх4 + Эх2Эу2 + ду4
-О-Г*)
Э2и>
Эхд>>
д2м> э2м> Эх2 ду2
(6)
Таким образом, задача о нелинейных колебаниях вязкоупругих изотропных пластин с переменной толщиной в геометрически нелинейной постановке сводится к системе интегродифференциальных уравнений в час-
тных производных вида (6) при соответствующих начальных и граничных условиях.
3. Дискретная модель и метод решения. Решение системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, полученной в предыдущем пункте, при различных граничных условиях и при наличии слабо сингулярных ядер наследственности вызывает значительные математические трудности. Поэтому для построения дискретной модели рассматриваемой задачи используем метод Бубнова-Галеркина.
Решение уравнения (6) с учетом граничных условий (1) будем искать в виде
М N
-IX ^тп ®Утп(Х>У)>
т-1 и=1 М N
(7)
Ф = ЦФтИ ^тп(х>у),
т=1 п=1
/ ч . ткх . ппу
где \х> у) - 81П---81П —Т--
а о
, ч . ткх . пку
Хтп(х>У)=ят--------8т-г-.
а о
Подставляя (7) в уравнение (6) и выполняя процедуру Бубнова-Галеркина, получим следующую систему уравнений:
12(1-ц2)рй-м м
'Ц^Чт +0-Г*)ХХ/и
т=1 п=\
М N
т=1 и=1
= 120 -^2)Ё £яшяга^т„Фга +12(1 -ц2)^,
т,г=1 п,й=1 М N М N
II аШтп^тп У, 1й2Итп>1ти><ге, (8)
т,г=\ п,л=1
™тп (0) = womn, <пФ)=щтп;
к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N где
а Ь
СЫтп = ЦкУтпУы^У’
О о а Ъ
/н = Г Г{л3(\1/^ +2Х2у!У + Г\|Л )+
У Штп III V т тп,хххх Ттп,ххуу т тп,уууу /
О О
+ 6 к(к'хУ {хтпхх + 12№'тп,уу) +
+ 6 к2к'х (хі„іХХХ + rk2xmmnxy^dxdy.
Sklmnrs J mn.xxXrs.yy 2M|/mn,xylLrs,xy
0 0
a b
тп,уу%гз,ххУУы<^х<Ь>- qkl — gjj\\fj^dxdy-
ь 00
^ 1 klmn ^ J"(Xmn,xccc 2^ mn,xxyy
0 0
+ ^Хтп,ууу)іи^у -
a b
®2klmnrs ~ J" ^(%mn,xy'Xirs,xy 'Х,тп,хх%гз,уу)%кІ^Х^У.
0 0
Введя в систему (S) следующие без-
w x у h . a
размерные величины —, —, —, —, A = —-
К а Ъ К b
Ф q
Щ’ Е
V
А„
и сохраняя прежние обозначе-
ния, относительно неизвестных w = w (t),
mn mn
Ф = Ф (t), получим
mn mn
М _N
f klmn wmn
mn mn
M N
Ct,„.w„„ +(l - r*)£ X fklr-- w— =
n=1 n=l
M N
= 12(і-ц2>2 £ %gamnrswmn®rs +12(і-ц2)я4^-
M TV
m,r=l n,s=1
M ЛГ
Х1аіи™ф™ ^ X Xe2“"«W™W™-
m-1 n=l m,r=1 л,5=1
wmn (0) = w0mn- <(°)=4™;
k = І, 2, ..., M; l = І, 2, ..., N-
(9)
где T|=
1
4тЛЄ '
Интегрирование системы (9) выполнялось с помощью численного метода, предложенного в [1; 5, с. 867-871]. Интегрируя полученную систему (9) два раза по ґ, можно записать ее в интегральной форме:
М N МИ
ХХС«'»Л« =ХХси™(н,о«л +Ч™0-
m—1 л=1
т-1 л=1
/шЛ
» » Г М N У ч
-чЯ ХЙ-г-)/,
о о и=і
-12(і-ц2)х2Х 2>h-»w»®» -12(l-H2)A-V,Uft
т,г=1 гс„у=1 J
А/ ЛГ М N
ХХяш™ф™=^2Х X
■ ^2klmn ^тп ^rs -
»тп (0) = w0mn, <Я(°)=Чтл;
к = 1, 2, ...,М; I = 1, 2, ..., N.
Или, заменяя двойной интеграл одинарным, систему (10) можно переписать в следующем виде:
М N МЫ
XXе--™ = ХХ%»>0™ + ^ОтлО-
т-1 л-1 т-1 л-1
* Гм лг
-л|0-т)^ХХ(1_Г*)/и
0 1т=1 п—1
-12(і-ц2)я2Х -12(l-^2)A,4feL
т,г=1 л, 5=1 М N М N
ХХяШ'Л'-^Х Ха2ШИ^тИ^, (ІІ)
т-1 п-\ т,г-\ л,5-1
wmn (°) = W0mn, <»(0)=4m„;
k = 1, 2, M; l = 1, 2, N.
Следующим этапом численного метода является регуляризация системы нелинейных интегродифференциальных уравнений (11) с сингулярным ядром Колтунова-Ржаницына [2]
Г(г) = Ае^‘ • ta-\ A > 0, р > 0, 0 < a < 1.
С помощью замены переменных
t - х = za, 0 < z < ta, (o < a < 1) интеграл при ядре Колтунова-Ржаницына с особенностью следующего вида: t
Aj(t - т)“ 1 exp[-P(f -t)]w(t)c/t
принимает вид exp^-$z^
t-z^a
dz.
Следовательно, систему (І І) можно переписать в виде
^ ^кітп^тп Цск1тмтп+Ч™,0-
т-1 п= 1 т=1 л=1
г м N і л‘г (
-TlJ(?-T>|XX/«™« Wmn--j exp\-$z/a U
о т=1 п=1 0 V J
V
-12(1-II2)*.2X Х^-Л«Ф«-
т,г=1 л, 5=1
(і-д2)х,49і|^-
-12(1-
Выпуск 2
Выпуск 2
М N
М N
(Й>)И
т,г~\ п,5=1
wmn (0) = W0mn, <»(°)=ЧИЯ;
к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N.
Заметим, что после замены переменных подынтегральная функция относительно г становится регулярной.
Затем, полагая t = t, t. = г'Д^ г = 1, 2, ...
5 ^ г ’ ’ ’
^ — шаг интегрирования) и заменяя интегралы квадратурными формулами трапеций для вычисления неизвестных w = ^ (Г ) и
гтп гт^ г 7
Ф = Ф (t ), получим следующие системы
гтп гтпх г /7 ^ ^ '
рекуррентных формул:
М N
М N
Ытп^тп ^^^'рк1тп(}^0тп ^0тг$1 )
т=1 «=1 т=1 л=1
1-1 Г М лг ( д ]
-^Ж-Щ'ЁЁ/ит* ™]тп—гУ1Вре ‘Р^-р,тп
j=Q |^т=1 п=\ р=О
-12(1-ц2)А,2Х Х^йтЛ„Ф,га -12(1-ц2)а,4&[:
т,г—1 и^=1 М N МИ
ЕЕ аШтл®7тя X У.а2Ити^М.м^М.га (13)
Wmn (0) = W0mn, <»(0) =
0/ми?
г = 1, 2, ...; к = 1, 2, ..., М; I = 1, 2, ..., N. которые решаются методом Гаусса.
Здесь А0 = ^^; Л. = At, у = 1, 2, ..., г - 1;
Дг“ _ аКГ-Р-О").
4-% 5о =
я,=-
в.
2 1 2 А^°(Ср + 1Г-(р-1)"), р = 1, 2, ..., у - 1.
Отметим, что начальным моментом колебательного процесса является статическое равновесное состояние пластины под нагрузкой ^. Функция w (0, х, у) представляет собой изогнутую поверхность в этом состоянии. Поэтому для нахождения w0mn решается соответствующая упругая нелинейная статическая задача.
На основе алгоритма решения создана программа на алгоритмическом языке Бе1рЫ.
Результаты вычислений при различных физических и геометрических параметрах вязкоупругой изотропной пластинки приведены на рис. 3-7. Здесь, если не оговорено другое, принято: А = 0.05; а = 0.25; в = 0.05; ц = 0.3; q = 0.3; X = 1; а* = 0.5.
Изучено влияние статической поперечной нагрузки q на поведение вязкоупругой пластины (рис. 3). Следует отметить, что с увеличением статической поперечной нагрузки амплитуда колебаний возрастает. Колебания пластинки происходят около статического равновесного положения.
Соответствующие формы колебаний при безразмерном параметре времени t = 3 приведены на рис. 4. Из рисунка видно, что с уменьшением толщины пластины прогиб увеличивается.
На рис. 5 представлена зависимость прогиба от времени срединной точки упругой (А = 0 — кривая 1) и вязкоупругих пластин (А = 0.05, А = 0.1 — кривые 2, 3). Как и ожидалось, учет вязкоупругих свойств материала пластины приводит к затуханию колебательного процесса, при этом, хотя решение упругой и вязкоупругой задач в начальный период времени мало отличаются друг от друга, с течением времени вязкоупругие свойства оказывают существенное влияние.
Рис. 3. Зависимость прогиба от времени при q = 0.1 (1); 0.2 (2); 0.3 (3)
VI/ А 0,1 0,09
X” 3
0,07 0,06 0,05 0,04
^2
0,02 0,01
Рис. 4. Сравнение форм колебаний при у = 0.5; q = 0.1 (1); 0.2 (2); 0.3 (3)
О 8 16 24 32 /
Рис. 5. Зависимость прогиба от времени при А = 0 (1); 0.05 (2); 0.1 (3)
Изменение толщины вязкоупругой пластины по вышеуказанному закону при равных объемах пластин постоянной и переменной толщины приводит к увеличению максимальных перемещений (рис. 6).
0 8 16 24 32 /
Рис. 6. Зависимость прогиба от времени при а* = 0 (1); 0.5 (2); 0.8 (3)
Во всех рассмотренных случаях изучена сходимость метода Бубнова-Галерки-на. При вычислении прогиба удерживались пять первых гармоник (М = 5, N = 1), что обеспечивает сходимость разложения по формам колебаний. Расчеты показали, что дальнейшее увеличение количества членов не оказывает существенного влияния на амплитуду колебаний вязкоупругой пластины (рис. 7).
О 8 16 24 32 /
Рис. 7. Зависимость прогиба от времени
при М = 5, N = 1 (1); М = 5, N = 5 (2);
М = 1, N = 5 (3)
Аналогичные исследования были проведены и для других зависимостей законов изменения толщины вязкоупругой пластинки, а также для граничных условий.
Список литературы
1. Верлань А. Ф. Численное моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью / А. Ф. Верлань, Р. А. Абдикаримов, Х. Эшматов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2.
2. Ильюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. — М.: Наука, 1970. — 280 с.
3. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация / М. А. Колтунов. — М.: Высш. шк., 1976. —
276 с.
4. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1972. — 432 с.
5. Бадалов Ф. Б. О некоторых методах решения систем интегродифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости / Ф. Б. Бадалов, Х. Эшматов, М. Юсупов // Прикладная математика и механика. — 1987. — Т. 51, № 5.
Выпуск 2