CC BY
30
УДК 519.62/64
О КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА С НЕЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
© 2007 Зайнулабидов М.М., Зайнулабидова З.М. Дагестанский государственный педагогический университет
Ключевые слова: классическая задача, уравнение Даламбера, нелинейное уравнение Keywords: classic task, Dalamber ’s equation, non-linear equation
Рассмотрим нелинейное уравнение
- Uyy - bpU - Ul ]= 0, (1)
Ux
где Ь (и) - заданная достаточно гладкая функция.
Можно показать, что довольно широкий класс решений И (х,у) уравнения (1) выражается в неявном виде равенством /(х + у)+ я(х - у)= а1
и(х,у) ( Б ^
Uo
o(lo. yo)
J exp - Jb(t)dt
ds + a2
(2)
где / и g - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции,
а, а2
1 и 2 - произвольные постоянные, фиксированные из области
So>(lo.Уо) _
функций b(U) и U(l’y)
точ-
определения ки.
Решения (2) уравнения (1) можно использовать для решения классических задач Коши, Гурса, Дарбу для этого уравнения. При этом без особого труда можно убедиться в том, что решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям Коши:
U(х,0)=х (х) Uy\y=o = v (x) 0<x<1 представимо в виде
X (х+y ) f S \ х (х- y ) f S \
| exp - jb(t)dt ds + j exp - jb(t)dt\ds +
x+y f х (S) Л x- y f х (S) Л
+ j exp - jb(f)fty (s)ds - j exp - jb(t)div (s)/s =
U (x, y) f S \
= 2 j exp - jb(t)dt ds;
удовлетворяющее условиям Гурса U(х,-x)=х (x)U(x, x)=v (x)0 < x < 1,х (o)=v (o)
представимо в виде
ífcyJl
x (0)
J exp - Jb(t)dt ds - J exp - Jb(ty¡t as +
U (i, y)
+ J exp-Jb(yity (s)ds - J exp-Jb(yity (s)ds;
удовлетворяющее условиям Дарбу U(i,0)=x(x)U(x,x)=v(x)0 < x < 1,x(o)=v (o)
представимо в виде
rCx+y)l
x (x - y)
J expl - J b(ta ds + J expl - J b(t)dt as -
4 2 J / X Л и(х, у) / X Л
- | ехр| -1 Ь(у (¿¡У1з = | ехр| -1 Ь(^ ш.
Следует обратить внимание на то, что при нулевых начально-краевых условиях,
то есть когда х (х)= 0 и у (х)= 0, из формул (15)(1б) (17) вытекает, что и(х’у = 0) Рассмотрим задачу нахождения решения для уравнения (1), удовлетворяющего условиям:
и(х,-х)=х (х)иу (х,0)=V (х)0 < х < 1 (3) Подчиняя (2) условиям (3), получим
Í
g(x)= a1 J exp - Jb(t)dt ds + .a2 - f (0)
V °0 U(x,0) Л
f'(x)= a1exp- Jb(t)ít^V(x)+1a1expi- Jb0it
Следовательно, для нахождения /(х) условий (3) не хватает, надо еще знать
V
2
V
2
x
т
x
X
2
значение искомого решения и(х,у) на отрезке 0 — х — 1 прямой у=0. Другими словами, условия (3) не позволяют выразить неизвестную функцию /(х) через данные задачи, то есть задача (1),(3) некорректна. Задание дополнительного условия и (х,о) = ф (х) приведет к переопре-деленности задачи: три условия для нахождения двух неизвестных / и g.
Если второе из условий (3) заменить
( и(х,у) \
Нгпехр - |иу(х,у) = V(х) условием ^ 0 '
то задача становится корректно поставленной и ее решение имеет вид:
1 *+> —I
( г s л \
Л-2
exp
- Ib(d і 'I — Ids + jv (d +
4 2 J Г S Л U(x,y) Г S Л
+ j exp -jb()й ds = j exp - jb(t)ft ds;
b(U ) = 0
из которого при v ' получаем решение обычной второй задачи Дарбу для уравнения Даламбера [2. C.167]
Примечания
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: «Наука», 1982. - 448 с. 2. Нахушев А.М. Уравнение математической биологии. - М.: «Высшая школа», 1995. - 301 с.
