CC BY
8
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1969
Том 156
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ВОЛНОВОДНЫХ СИНХРОТРОНАХ (УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧЛЕНОВ)
А. Н. ДИДЕНКО, В. К. КОНОНОВ
Ускоряющие системы на основе изогнутых замкнутых волноводов могут представлять определенный интерес для ускорительной техники [1, 2]. Отличительной особенностью ускорителей с такими ускоряющими системами является то, что в них ускоряющее ноле имеет все компоненты, быстро изменяющиеся по радиусу и высоте волновода.
В работах [3, 4] было рассмотрено движение частиц в волновод-ных синхротронах в линейном приближении. Показано, что в таком приближении высокочастотное поле не приводит к перераспределению декрементов затухания. Однако необходимо отметить следующее: так как в волноводных синхротронах величиной, по которой ведется разложение, является /р, то линейная теория справедлива только для тех р, для которых выполняется соотношение Величина - (г1 и Го — внутренний и внешний радиусы камеры),
г-2~г1
и поэтому линейная теория справедлива для отклонений, значительно меньших тех, для которых справедлива линейнгя теория колебания частиц в обычных синхротронах, в которых разложение ведется
по — . Отсюда следует, что нелинейные члены в волноводных
синхротронах должны оказывать более существенное влияние на движение частиц по сравнению с их влиянием в обычных синхротронах.
Данная работа посвящена - исследованию влияния нелинейных членов на движение частиц в волноводных синхротронах. Для простоты вычислений будем предполагать, что для ускбрения используются волны типа ЬЕ изогнутых замкнутых волноводов прямоугольного сечения (Ег=0) с диафрагмами, расположенными по изогнутым стенам.
Записывая уравнения движения, можно убедиться, что в этом случае колебания по 2 не связаны с радиальными колебаниями. Поэтому рассмотрение удобнее начать именно с аксиальных колебаний. Ограничимся при разложении в ряд высокочастотного поля только квадратичными членами. Что касается разложения в ряд компонент внешнего магнитного поля, то будем считать, что для него по-прежнему достаточно ограничиться удержанием линейных членов. Без учета
излучения для частиц, движущихся во внешнем магнитном поле при наличии высокочастотного поля ЬЕ- волны изогнутого замкнутого волновода прямоугольного сечения, существует следующий интеграл движения:
>29 _ Ч_
со
с
const,
(1)
V с*
где Ле" и Ль'4 — 0-я компонента вектора-потенциала
внешнего
магнитного и высокочастотного полей, ц — кратность.
Наличие этого интеграла сильно упрощает решение нашей задачи. Ограничиваясь членами первого порядка при разложении 9 в ряд, можно показать, что
9-9
гВ.Ч
1 __ JL _ te's
кг* Hi
(2)
_ Г-.В. Ч Г?В.Ч
Где Eq,s = £«,max COS ср5.
Воспользовавшись этим выражением для 9, уравнение движения частиц в волноводном синхротроне с учетом членов второго поряд-ка^малости можно записать в следующей форме:
d dt
Е • \
" г I
с- }
9^ я о Аг = — ^ 9 % п0г
\2
где
с-
2 2 Kz V s
В J- + D'b
rs
(3)
1 Я
e,j
КГ5 п0 Н
tg
В =
D = А
2 2 КгГ8
ПгКг* Hi
Р в.ч
„у
tg <Ps,
2 2 кгг3
(4)
r-в.ч tn.S
nrsHT nQKrs H
n0 — показатель магнитного поля,
кх =
Ь — высота волновода.
Так как справа стоят величины второго порядка, то вместо риф молено подставить их значения, найденные из решения линейных уравнений.
Наличие члена —р в правой части уравнения приводит только к перекачке энергии радиальных колебаний в аксиальные и поэтому не представляет большой опасности.
Большую опасность представляет член который приводит
к связи поперечных и продольных колебаний и в случае резонанса может привести к неограниченному возрастанию амплитуд поперечных колебаний. Поэтому и подробно исследуем влияние этого члена на аксиальные бетатронные колебания частиц. Уравнение (3) тогда будет иметь вид:
— (mz) + в? m dt
п,
Кг \2qe V^maxSin ср^
2-Е
= m
к
Kz у qe VmaxSin
2 zE
гъ.
(5)
Как известно [5,6], уравнения такого типа описывают воздействие внешних периодических сил на нелинейные колебательные системы с медленно меняющимися параметрами. В общем случае, который имеет место и у нас, частоты и амплитуды внешних сил будут медленно изменяться со временем.
Используя метод решения, подробно изложенный в [о], можно показать, что в первом приближении
Z = a cos
i ¡ «*), (6)
где а я должны удовлетворять уравнениям
da a d(moy) , ¿2 ¡hz\2 qe Vmax cos vs 7 sin 26
U'Jq -:—
Q2 /М2 Яе ^ax COS 5 [ кj 2ъЕ
dt 2mu> dt \ к I 2кЕ 2v
db 1 , Д 2 ¡Kz \2 qe l/max eos r cos21> + —^-Фо
(7)
dt 2 \к ) 2-Е 2v
со и v — частоты бетатронных и фазовых колебаний соответственно:
л , / , Kz \2 Це VmaxSin^p.
со = 0,1 / п0 ' 1
h ! 2т: Е
V 2-(1 -п0)Е
q , / -í- ^max Sin cps
Введя новую переменную
1 / тс» , 2 I wHf«>H
а' = a¿? v н н
систему уравнений (7) можно преобразовать к следующему виду:
da' ■ (кЛ27 Яе V^maxcoscpe , sin 2 Ь - = Hj — % --ci - ,
d~ \к/ 2 ъЕ 2v
(8)
db 1 , n 2 (кг V 7 l/max COS <ps COS 26 = ш--v 9? — --:--— ,
di 2 [ к J ' 2r.E 2v
где x = 9st.
Из выражений (8) видно, что если в какой-то момент времени
ш(£) = — v (i), то в этот момент будут выполняться условия резо-2
нанса между бетатронными и фазовыми колебаниями. Однако, так как частоты изменяются во времени, то увеличение амплитуды бетатронных колебаний при прохождении через резонанс будет зависеть от скорости изменения параметров. При определенной скорости изменения параметров системы наличие таких резонансов не будет оказывать существенного влияния на движение частиц в волновод-ных синхротронах.
На рис. 1 —3 представлены результаты численного решения системы (8) для ускорителя со следующими параметрами:
п0 = 0,6; (^J - 0,6; rs = 33 см; t0QP - 10-* сек;
q = 500; X = 40 см; e'Vmax = 5- 10г> эв.
Эти параметры близки к тем, которые могут представлять практический интерес. Большая напряженность высокочастотного поля 184
в первоначальный момент времени необходима для того, чтобы размеры сепаратрисы равнялись радиальным размерам камеры при высокой кратнссти. Зависимость энергии частиц от времени была выбрана в виде
£ = + р = ЮО, Е0 = 5-Ю7 за
\ Ту К ]
0.9657
Рис. 1
а
0 100 200 300 Ш 500 600 7С0
Рис. 2
и расчеты произведены для Туск = 0,01 сек, 0,1 сек и 1 сек (рис. 1,2 и 3 соответственно).
Из этих рисунков видно, что при прохождении через резонанс амплитуда бетатронных колебаний изменяется незначительно, если Туск = 1 сек и будет сильно возрастать при уменьшении времени ускорения. Этот на первый взгляд неожиданный результат является следствием того, что при изменении времени ускорения мы одновременно меняем напряженность высокочастотного поля.
а_
00
т
1,03 102 1.01
1
<0 12 24 36 йв 60 12 64 96 Юв £ Ю*
^= "ifj"0,55941 Рис. 3
Если же ^изменением времени ускорение напряжения не изменять, то коэффициенты при sinи cos2^ в уравнениях (8) будут оставаться постоянными и полученные в этом случае результаты будут свидетельствовать о том, что с увеличением скорости прохождения через резонанс возрастание амплитуд колебаний будет уменьшаться.
Аналогичным образом могут быть учтены нелинейные члены и для радиальных бетатронных колебаний. Полученное уравнение может быть также решено численными методами, и для него можно определить такие скорости прохождения через резонанс, при которых увеличение амплитуды будет незначительно.
Таким образом, из рассмотренного видно, что в волноводных синхротронах возможно появление дополнительных резонансов. При определенных скоростях прохождения через резонансы их влияние может стать несущественным.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. Воробьев, А. Н. Диденко, Е. С. Коваленко, Б. Н. Морозов. Ргос. Intern. Conf CERN, p. 680, 1959.
2. А. А. Воробьеви др. Волновидный синхротрон на 10 Мэв. Атомная энергия. 18, 6 (.1965).
3. Е. С. Коваленко. Изв. высш. учебн. заведений, Физика. № 6, 85 (1959).
4. Е. С. Коваленко. Там же, № 3, 175 (1960).
5. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва, 1958.
6. Ю. А. Митропольский. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. Москва, 1964.
