К ПОЛИГОНАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ КРИВЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ $R^m$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 107-112

= Математика =

УДК 517.5

К полигональной интерполяции кривых в пространстве Мт

А. А. Шабозова

Аннотация. Для некоторых классов функций в пространстве задаваемых модулями непрерывности, найдены точные верхние грани уклонений производных координатных функций параметрически заданных кривых от производных их интерполяционных ломаных.

Ключевые слова: наилучшее приближение, полигональная интерполяция, кривая, модуль непрерывности, оценка погрешности, верхняя грань.

1. Вопросы, связанные с приближением кривых ломаными и сплайн-кривыми, рассматривались, например, в работах [1-9] и монографиях [10, 11], где оценки погрешности приближения выражены через дифференциально-разностные характеристики формулы кривой, заданной в явном или параметрическом виде.

Экстремальная задача отыскания точной верхней грани оценки погрешности приближения некоторых классов гладких кривых Г £ Ят, заданных параметрическими уравнениями

X = 2 = 1, т, 0 ^ Ь ^ Ь, (Ь — длина Г), (1)

вписанными в них интерполяционными ломаными, в случаях, когда координатный функции фг(£), 2 = 1, т, являются непрерывными и дифференцируемыми на отрезке [0, Ь] функциями, рассмотрена недавно в работе [9]. Следует отметить, что для параметрически заданных кривых экстремальные задачи аппроксимационного характера исследованы значительно меньше, чем для явно задаваемых функций.

В настоящей работе рассматривается задача отыскания точной верхней грани погрешности приближения кривых, лежащих в евклидовом пространстве Кт, вписанными в них параметрическими интерполяционными ломаными в различных метриках.

Через Нш := Нш[0, Ь] обозначим множество функций / £ С[0, Ь], которые для любых двух точек Ь £ [0, Ь] удовлетворяют условию

\/(г) — /(Г)| < ш(\г — г |),

где u(t) - заданный на отрезке [0, L] модуль непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая и полуаддитивная на [0, L] функция, в нуле равная нулю. В том случае, когда u(t) = Kta, o < а ^ 1,K = const > 0, то класс Иш [0, L] называют классом Липщица порядка а и пишут Иш [0, L] = = КИа[0, L]. Аналогично, через W (1)И ш [0, L] обозначим класс функций f Е C[0, L], у которых f'(t) Е Иш [0, L].

Всюду далее через ИШ1'Ш2'-'Шт := И[0,L] обозначим класс кривых Г, определенных параметрическими уравнениями (1), и таких, у которых pi(t) Е И[0, L], а через W(1)ИШ1'Ш2'-'Ш™ := W(1)Иш1'ш2'-'шт [0, L] -класс гладких параметрически заданных кривых (1), у которых pi(t) Е Е W(1)И^[0, L]. В случае ui(t) = u(t), i = 1,m, соответствующие классы функций обозначим Ит'ш и W(1^Ит'ш. В [9] доказан ряд теорем о точной верхней грани величины оценки погрешности, возникающей при приближении кривых Г Е Rm, принадлежащих классам ИШ1>Ш2>->Шт и W(1)ИШ1>Ш2>->Шт вписанными в них интерполяционными ломаными.

Пусть r,G Е Rm. Если pi(t) — координатные функции Г, а фi(t) — координатные функции G, то расстояние между этими кривыми определим одной из следующих формул:

N 1/2

а) р1(Г, G) = ^^ — фт,\\С[о l] ( — евклидово расстояние;

б) р2(Г, С) = тах — фгЦс[о ь\ — расстояние Минковского;

т

в) рз(Г, С) = ^^ — фгЦс[0,ц — хэммингово расстояние.

г=1

Условимся, что если кривые Г и С соответственно определены параметрическими уравнениями хг = фг(Ь) и уг = фг(Ь), г = 1,ш, и функции рг,фг Е С1 [0, Ь], то через Г(1)

и С(1) будем обозначать кривые, координатные функции которых соответственно заданы уравнениями

йхг , йуг

It = (t) и It = Ф (t) i = 1m

то есть положим

г(1) : хг = ФгЮ; Уг = ф№, г = 1,т.

2. Пусть Дп := ^ < < ... < -1 < = Ь - произвольное разбиение отрезка [0, Ь], а Г^ - вписанная в кривую Г е W(1)иШ1'-'Шт ломаная с вершинами в точках Рь Е Г, к = 0, N, соответствующих точкам tk разбиения Д^. Пусть Д^ : tk = кН,Н = Ь/N,к = 0N - равномерное разбиение отрезка [0, Ь]. Г^ - вписанная в кривой Г ломаная в точках Р* := Р* (<р1(кН),ф2(Щ,.., фт(Щ) Е Г, к = ; Н = Ь/N.

Требуется найти точные верхние грани величины

т^(1)Н, Дм; рг) =

К полигональной интерполяции кривых в пространстве Кт

109

= вир {рг(Г(1), Г$) : Г £ W(1)НШ1'-'Шт} ,1 = 0,1; 2 = 1, 3. (2)

Величина (2) при I = 0, когда Г(0) = Г, = Гм, найдена в [9]. Здесь мы вычислим значение величины (2) при I = 1. Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма [8]. Пусть Н[а,Ь] - класс функций ф £ Нш[а,Ъ], для которых ¡Ь ф(Ь)(Ь = 0. Тогда

1 г Ь—а

вир {\\ф\\са,ь] : ф £ НО'[а,Ъ]} = -- и(Ь)(И.

Ъ — а 0

Имеет место следующая общая

Теорема. Пусть Г - произвольная кривая, принадлежащая классу W (1)Н Ш1>~>Ш™ .

Если Гм - вписанная в кривую Г ломаная с вершинами в точках С Г, то для произвольных модулей непрерывности шг(Ь)(2 = = 1, т; 0 ^ Ь ^ Ь) имеют .место равенства

N (т / ГЬ'м * 21 "2

А 5 и ■

т^(1)н, Ам; Р2) = -у шах <*№, (4)

Ь 1<г<т ]о

_ Т т Гь/м

т^(1)НШ1'-'«т, Ам; Рз) = иг№. (5)

Доказательство. Не умаляя общности, докажем соотношение (5) для

хэммингова расстояния рз(Г(1), Г^), поскольку доказательства равенств (3) и (4) основаны на практически аналогичных соображениях. Так как Гм -ломаная с вершинами в точках Р^ £ Г, то параметрические уравнения звена ломаной Гм, соединяющего точки Рк и Рк+1, к = 0, Т — 1, имеют вид

1(фг; г) = фг(Ьк) + Н—1(Ь — Ьк)[фг(Ьк+1) — фг(Ьк)],2 = 1,т, (6)

е^м (W Мн*1-^, Ам; Р1) = Т| ¿Ц <*(*() | , (3

Т гт

где Ьк ^ г ^ Ьк+1 ,к = 0,Т — 1. Следуя В.Н.Малоземову [8], доопределим производной звено ломаной (6) в точках интерполяции Ьк = кН, к = 0, Т следующим образом:

' сСе/ Т - -

I (фг; Ьк) = Ь [фг(Ьк+1) — фг(Ьк)] ,к = 0, Т — 1; 2 = 1,т,

I ¿е/ Т _

I (фг; Ь) = ь [фг(Ь) — фг(Ьм—1)] ,2 = 1,т,

полагая при этом се/ Т

I (фг; Ь) = ь [фг(Ьк+1) — фг(Ьк)], если Ь £ [Ьк, Ьк+1), к = 0, Т — 2,2 = 1,т

I def N _

l (pi; t) = —[<pi(L) — pi (tN-1)] , если t Е [tw-1,L],i = 1,m. L

При выполнении этих условий при t Е [¿к= 0N — 1 имеет место равенство

р'г(г) — ¡' (рг; г) = р'г(г) — Ь [рг(гк+1) — р&к)] ,г = 1,т.

Положим

N

фi(t) = Pi(t) — L \Pi(tk+1) — Pi(tk)] ,i = 1, m.

Очевидно, что функция фi Е И^г[tk,tk+1], i = 1, m, и в силу леммы имеем

N , L/N

N fL'N _

iWc[0,L] ^ L J "i(t)dt,i = 1,m

/0

или, что то же,

N L/N

i N fL/N _

'i — l (Pi)WC[0,L] < L J0 "i(t)dt,i = 1,m. (7)

откуда сразу вытекает, что

sup{P3(Г(1),r(Ny):r Е W(1)ИШ1'-'ШmJ =

m N m fL/N

= sup YhWpi — l'(Pi)Wc[0,L] < T^ "i(t)dt. (8) Viewmn^i i=1 L i=1-J0

Построим теперь экстремальную кривую Г0 е W(1^ИШ1 '■■■>Шт, для которой неравенство (8) обращается в равенство. Для определения экстремальных координатных функций кривой Г0 положим

L/N

' ¡-L/N

"i(N — t) — N ^i(T)dT, 0 < t < L/N,

P0i (t) = <

r L/N

"i (t — L) — L "i(T)dT, L/N < t < 2L/N,

J0

2L\

Рог ^г + N) = рог(г), г = 1,т,

Го : ¡ог(г) = Рог(т)йт, 0 ^ г ^ Ь, г = 1,т. о

Легко проверить, что /ог Е W (1)Н ш*, а, значит, Го Е W(1)НШ1'-<Шт, и тогда,

согласно утверждению вышеприведенной леммы, имеем

N [

Ь. ю

' ' ' N f L/N

Wf0i — l (f0i)WC[0,L] = Wf'0iWc[0,L] = ШС [0,L] = L JQ "i(t)dt. (9)

и

К полигональной интерполяции кривых в пространстве Rm

111

Учитывая (9) для хэммингова расстояния рз, получаем

E« (W(1)Н"ь~.<*», An; рз) > Рз(Г0\ ) =

m N m Г L/N

= £ ll/Oi - l (/0i)llc[0,L] = j £ / (10)

i=i i=i Требуемое равенство (5) получаем из сопоставления оценки сверху (8) и снизу (10), чем и завершаем доказательство теоремы. Из доказанной теоремы вытекает

Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства

__N ГL/N

eONN(W{1)Нт'ш, An; Pi) = jy/Ш J u(t)dt, (11)

_ n ГL/N

О(W(1)Hm, An; P2) = j J u(t)dt, (12)

_ N ГL/N

EmN(W(1)Нт'ш, An; рз) = Tm u(t)dt. (13)

LO

В частности, если w(t) = Kta, 0 < а ^ 1, то из (11)-( 13) получаем

Eil N (W (1)KH An ; pi) = f+f ( j ) ° ,

EON(W(1)KHma, AN; P2) = K (j)' EiiN(W(1)KHma An; рз) = (j)' ■

Список литературы

1. Мартынюк В.Т. О приближении ломанными кривых, заданных параметрическими уравнениями // Укр. мат. журнал. 1976. Т. 28. №1. С. 87-92.

2. Мартынюк В.Т. Некоторые вопросы приближения линий и поверхностей // Теория приближения функций. М.: 1987. С. 282-287.

3. Назаренко Н.А. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами. Геометрическая теория функций и топология. Киев: ИМ АН УССР. 1981. С.55-62.

4. Вакарчук С.Б. О приближении кривых, заданных в параметрическим виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. мат. журнал. 1983. Т. 35. №3. С. 352-355.

5. Вакарчук С.Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Известия вузов. Математика. 1988. №2. С. 14-19.

6. Корнейчук Н.П. Об оптимальном кодировании вектор-функций // Укр. мат. журнал. 1988. Т. 40. №6. С. 737-743.

7. Корнейчук Н.П. Приближение и оптимальное кодирование гладких плоских кривых // Укр. мат. журнал. 1989. Т. 41. №4. С. 492-499.

8. Малаземов В.Н. Об отклонении ломаных // Вестник ЛГУ. Сер. Матемика и механика. 1966. Т. 7. Вып.2. С. 150-153.

9. Шабозов М.Ш., Шабозова А.А. Приближении кривых ломаными // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып.2. С.68-76.

10. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН. 1979. 372 с.

11. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980. 352 с.

Шабозова Адолат Азамовна ([email protected]), аспирант, Таджикский национальный университет, Душанбе.

About the polygonal interpolation of curves in Rm space

A. A. Shabozova

Abstract. In this paper were found an exact error estimates of upper bounds of coordinate functions derivatives approximation given by parametric curves off their correspond interpolation broken lines derivatives in Rm for some classes functions defined by modulus of continuity.

Keywords: best approximation, polygonal interpolation, curve, modulus of continuity, error estimation, upper bound.

Shabozova Adolat ([email protected]), postgraduate student, Tajik National University, Dushanbe.

Поступила 13.09.2015