Оптимальные методы восстановления лапласовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 550.831

И. В. Бойков, М. В. Кравченко

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЛАПЛАСОВЫХ ПОЛЕЙ

Аннотация. В работе рассматриваются оптимальные по порядку методы аппроксимации лапласовых векторных полей. Для этого исследована гладкость лапласовых векторных полей. Введены классы функций Ba1(Q, M),

Q = [-1,1/, l = 1,2,, M = const. Вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко для этих классов функций. Построены локальные сплайны и показано, что данные сплайны являются оптимальными по порядку методами аппроксимации лапласовых полей.

Ключевые слова: лапласовы векторные поля, эллиптические уравнения, сплайны, поперечники Колмогорова и Бабенко, прямые задачи гравиразведки.

Abstract. In the paper considered optimal with respect to accuracy methods for approximation Laplace vector fields. For this purpuse the smooth Laplace vector fields is investigated. Introduced the new functional class Ba1(Q,M), Q = [-1,1]1,

l = 1,2,..., M = const. Evaluated Kolmogorov widths and Babenko widths for this class of functions. Constructed local splines and shown that this splines are optimal with respect to accuracy methods for approximation Laplace fields. bywords: Laplase vector fields, elliptic equations, spline, Kolmogorov and Babenko widths, direct problems of gravity.

Введение

В монографии [1, с. 31] дано определение лапласова векторного поля. Там же отмечено, что лапласово векторное поле, определенное в области D, удовлетворяет в этой области векторному уравнению Лапласа AF = 0 .

Если F - потенциальное в области D поле, удовлетворяющее уравнениям divF = q, rotF = 0, r e D, то справедливы формулы [1]

i ггІ i i

II < (n ■ F)grad|-+ [nxF]xgrad,--------

4tcjj I r - r r - r

— IjfdivF ■ gradr-i-dtf = -1 F(r ^r Є D

4к v - r I

D

r - r

G, r і D;

л i

F + n x grad, 7.

) V - r 1

і jj|n ■grad\r?\

S

+ — jjj divF ■ grad,—^jd # = 4u JJJ V - r

x F !> ds +

D

F(V), r' є D, G, r і D.

Для лапласова векторного поля справедливы формулы

Формулы (i) и (2) дают решение векторного уравнения Лапласа AF = G в области D , ограниченной поверхностью Ляпунова S . Поэтому представляет значительный интерес построение оптимальных методов аппроксимации векторной функции F(г') в области D и построение оптимальных методов вычисления интегралов типа Коши.

Данная работа посвящена оптимальным методам аппроксимации потенциальных полей F(г ), представимых формулами (1) и (2). С этой целью исследована гладкость функции F(r) в предположении, что F(г) на поверхности S принадлежит классу функций Гельдера Hа, а S - поверхность Ляпунова. Будет показано, что F(г')є Bagу(D,M), G<a< 1, 0 <у < 1, M -константа при у = 1. Для класса функций Ba о і (D,M) вычислены поперечники Бабенко и Колмогорова и построены локальные сплайны, являющиеся наилучшим по порядку методом приближения функций из множества

Ba,0,1( D,M) .

Напомним определения поперечников Бабенко и Колмогорова.

Пусть B - банахово пространство, X с B - компакт, П: X ^ X -представление компакта конечномерным пространством X .

Определение 1. Пусть L - множество n -мерных линейных подпространств пространства B . Выражение

dn (X,B) = inf sup inf llx - и||,

Ln xsX иєП1

где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n , определяет n -поперечник Колмогорова.

Определение 2. Пусть X є Rn . Выражение

5n (X) = inf sup diam П-1П(x),

(ttX ^Rn) xeX

где inf берется по всем непрерывным отображениям П: X ^ Rn, определяет n -поперечник Бабенко.

Опишем классы функций, используемые в работе.

Определение 3. Пусть й = [-1,1]1, І = 1,2,..., r = 1,2,..., 0<у< 1. Функция f (x), x = (xi, x2, ..., xi) принадлежит классу функций Br^(^,M), если выполнены условия

llf (x)lС(й) < M;

max

xeQ

Э Vf ( x)

Эx1 ..dx^

< |vPV , 1 < М < r;

Э Vf (x)

ЭxV1 ..dx^

(d (x, Г))

v -r -1+Y

здесь х = (XI, ..., XI), ё(х,Г) - расстояние от точки х до границы Г области Б, определяемое формулой ё(х,Г) = тт тт(|1 + хг|,|1 - хгI), ^ = (^>1,"2,"э),

1<г</ м 11 17

|"и| = г>1 + ^2 + "э, "г - целые неотрицательные числа, г = 1, 2, 3.

Определение 4. Пусть Б = [—1,1]1, I = 1, 2, ..., 0 < а < 1, 0 < у < 1.

Множество Ва0у(В,М) состоит из функций /(х1, ..., х1), удовлетворяющих следующим условиям:

\/(х1,..., х1)| < М, х е Б,

/(х) е На. а (М), 0 < а < 1, х е Б,

Э" /(х1,..., х1)

Э^1... ЭxiUl

я Ац\ іШ M1 1 Ь1 1

(d (x, Г))

d-1+y

(i + |ln (d (x, Г))), ) = 1,2,...

1 Гладкость лапласовых полей

Рассмотрим функцию

F (г 0 = --^ \\\(п • F (r ))grad-—Ц- + [n xF (r)] x grad -—1 ds, (3)

4л JJ I | r - r | | r - r | J

где F = grad^ = {/1, f2, /3} ; £/ - потенциальное поле; S - поверхность Ляпунова, ограничивающая область D; п = {п1, П2, П3} - единичный вектор внешней нормали к поверхности S; r = (x, y, z) - точка, пробегающая поверхность S;

r = (x', y', z') - точка, лежащая внутри области D, grad—1—= {g1, £2, £3} -

| r - r |

вектор-функция градиента.

Преобразуем выражение (3). Для этого, воспользовавшись формулой

[axb]xc = b(a ■ c) - a(b ■ c),

получаем

F (r') = -^ jj-[(ni (r) fi (r) + n2 (r) f2 (r) + Пз (r) УЗ (r) )grad—-

+F (r) (ni (r) gi (r) + n2 (r) g 2 (r) + пз (r) £з (r)) -

-n(r) / (r) / (r) + /2 (r) g 2 (r) + /3 (r) g3 (r))} ). (4)

Так как F(r), n(r), grad— вектор-функции, содержащие по три

| r - r |

компоненты, то равенство (4) можно представить в скалярном виде тремя равенствами:

/i (r') = -4^ И {(nj (r) /i (r) + П2 (r) /2 (r) + П3 (r) /3 (r)) gi (r, /) +

S

+/i (r) (nj (r) gi (r) + П2 (r) g2 (r) + П3 (r) g3 (r)) --n(r)(/(r)gi(r) + /2(r)g2(r) + /3(r)g3(r))} g, i = i, 2,3. (5)

Будем предполагать, что функции /■ (х, у, z), i = i, 2,3 являются кусочно-постоянными. Из предположения гладкости поверхности S следует, что функции n (х, у, z), i = i, 2, 3, определяющие проекции единичного нормального вектора в точке (х, у, z) е S, удовлетворяют условию Гельдера с показателем а.

В этом случае поверхностные интегралы, входящие в равенства (5), распадаются на сумму поверхностных интегралов вида

Цpij (r)gi (r, r')ds, JJPij (r)g2 (r, r')ds, JJPij (r)g3 (r, r')ds, (6)

S S S

где функции Pij (r) - кусочно-непрерывные и имеют вид

Pij(r) = ni.fj, i, j = i,2,3.

Вследствие этого нам достаточно будет рассмотреть следующую функцию:

Ф(г') = JJP(r)gi (r, r )ds, (7)

S

где P(r) - кусочно-постоянная функция.

Остальные интегралы рассматриваются аналогично.

Оценим производные функции (7). Очевидно,

э>(х, у, z') _

JJP( х , у, z) gi ({х, у, z}, {х', у', z'}) ds

JJ P( х, у, z)

Эх'

х - х

u>1. (8)

((х - х)2 + (у - у')2 + (z - z')2 g Введем следующее обозначение: т = (х - х')2 + (у - у')2 + (z - z')2 . Тогда

Э° gi({x, y, z},{x', y', z'})

= (2о + i)!!x

( і і а ^

Ai (x' - x) u+ + A2 (x' - x)u + Aз(x - x)u + + An (x - x)

■u+-

-i+

, о - четное,

Ai* (x' - x)u+i + A-* (x - x)u 1 + A;* (x' - x)u з + + A*N (x' - x)0

о+

о-2+^ ^y2

, о - нечетное,

где Аь ^2,..., An ; Aj, A*,..., An = const, v>i.

Последнее равенство можно представить в виде

Э gi({x, y, z},{x', y', z'}) Эx' u

N

= (2о + 1)!!Z

Ai (x - x)

u-2i+i

0> 1,

. u-i+/?

i=0 х 2

„ 0 + 1 дг О

N = —^-при О нечетном, N = — - при О четном.

Тогда равенство (8) представимо в виде

Э°Ф( x', y', z')

Эx'

ff P( x, y, z) —'0 [ gi({x, y, z}, {x', y', z'}) ] ds S ^

<

< (2о +1)!!

N

Z

i=0

P( x, y, z) Ai (x' - x)

u-2i+i

ff-

S ((x - x )2 + (y - y')2 + (z - z')2)

u-і+~

(9)

i = N = •

В формуле (9) рассмотрим последнее слагаемое при v нечетном, v+ i

2

ff

P( x, y, z) A*n

. .(u+2)/

((x - x ')2 + (y - y')2 + (z - z')2) 2

ds

<

N

(d((x', y', z'), Г) )0

x

ff

P( x, y, z)ds

(x - x')2 + (y - y')2 + (z - z')2

Оценим отдельно интеграл

ff 7—;

P (x, y, z )ds

S (х - х')2 + (у - у')2 + (z - z')2 учитывая, что для функции P (х, у, z) справедливо неравенство

(10)

x

S

S

|Р(х, у, z)| < M, M = const.

Пусть S - прямоугольник [a,b; c,d], лежащий в плоскости XOY. Положим у =0, х =0, a = -b, c = -d. Тогда расстояние от точки (х',y', z') до S равно z'. Используя известные табличные интегралы

dx 1 х ^ г dx

г dx 1 х г dx , [

1-^2-2 = —arctg— + C , I , = ln х + V a + х“

a + х2 a a yja + х2

+ C

и учитывая, что функция /(х) = агС^(х) является нечетной и для нее справедливо неравенство |агС^(х)| — ^ получим

Р( х, у, z)ds

S (х - х')2 + (у - у')2 + (z - z')2

b d

=m

< M

bd

{{

dydx

(x - x')2 + (у - у')2 + z'

dydx

= M

= 2M

b b f

I 2 . a Vx + z

arctg

I 2 , /2

Vx + z

arctg

I 2 . a Vx + z

dx

-b

i

x + z '

arctg

4x2 + z '2

dx

< M к

f_1

J I 2

-bVx + z

rdx =

2

= M к ln

x + V x2 + z '2

(1 + |ln (d ((x', у', z'),

(11)

Здесь и всюду ниже через В обозначаются константы, конкретные значения которых не вычисляются.

Оценим теперь интеграл (10) в случае, когда поверхность £ выпуклая.

* * * / / /

Пусть точка (х , у , г ) реализует расстояние от точки (х , у , г ) до поверхности ^, равное И. Построим сферу ^((х , у , г'), 2И) радиуса 2И с центром в точке (х', у', г') (естественно рассматривается случай достаточно малых значений И). Тогда поверхность £ разбивается на две части: поверхность «^ ,

расположенную внутри сферы «((х', у', г'), 2И), и на поверхность «2, расположенную вне этой сферы.

Оценим в отдельности интегралы

Р (х, у, г) ds

(х - х) + (у - у') + (z - z' )2

b

S

Так как по предположению функция P(x, y, z) кусочно-непрерывная,

то существует M = sup |P(x, y, z)|.

S

* * *

Проведем через точку (x , y , z ) плоскость, касательную к поверхности Sj, и спроектируем на касательную плоскость поверхность Sj, проекцию

*

обозначим через Sj . Так как значение h достаточно, то имеется взаимнооднозначное соответствие между поверхностями Sj и Sj . Обозначим через Oj

*

и O2 площади поверхностей Sj и Sj .Тогда

Я

P( x, y, z) ds

(x - x' )2 + (y - y' )2 + (z - z' )2

< M

01

tf:

02 S* (x - x') + (y - y') + (z - z')

— < 5(1 + |ln h|).

Оценим теперь интеграл

Я

P (x, y, z )ds

(x - x') + (y - y') + (z - z')

2

Покажем, что этот интеграл также ограничен величиной 5(1 + |1п И|). Для этого воспользуемся плоскостью, касательной к поверхности S в точке

* * *

(х ,у ,г ) (плоскость пі). Построим цилиндрическую поверхность, перпендикулярную к этой плоскости, в которую вписана область В . Пусть I - кривая касания поверхности S с цилиндром. Так как область В выпуклая, то такая кривая существует. Обозначим через Бц часть поверхности, расположенную под кривой I. Отметим, что Бц не зависит от И. Обозначим через Н расстояние от точки (х', у', г') до кривой I. Это расстояние также не зависит от И. Спроектируем поверхность Бн \ Бі на плоскость, проходящую через точку (х', у', г') и параллельную касательной плоскости к поверхности Б

* * * * в точке (х , у , г ) (плоскость П2). Обозначим проекцию через Оц . Тогда

Я 7—

P( x, y, z) ds

2

(x - x' )2 + (y - y' )2 + (z - z' )2

ds

=M JJ

S2\Sh (x - x')2 + (y - y')2 + (z - z')2

M

+M

я

ds

(x - x')2 + (y - y')2 + (z - z')2 dxdy

< — JJ ds + My JJ----------------------------------- 2 2.

H2 S JJ JJ (x - x')2 + (y - y')2 + (z - z')2

S2 \ SH

H

S

2

Здесь у определяется углом наклона нормали к поверхности 5н \ 5! и нормалью к касательной плоскости «2 • В качестве у выбирается наибольший коэффициент, равный 1.

Оценим последний интеграл. Пусть ро - радиус наибольшего круга с

центром в точке (х', у', 2'), вписанного в область G*. Очевидно, ро = ВИ . Пусть До - радиус наименьшего круга с центром в точке (х', у', 2'), описан*

ного вокруг области . Очевидно, До = ВН.

Тогда

ёхёу гг ёхёу

Я 7—

73 = Я 77~Т\

<

О

Н

(х - х') + (у - у') + (2 - 2') О* (х - х') + (у - у')

Н

<

Я

В((х',у',2'),1о)\В((х',у',2'),Ро)(х х ) + (у у ) о Ро р

= В|1п 1о - 1про < В(|іпВо\ + |іпро|) < В(1 + |1пИ|). В результате получим

Я 7—7

Р(х, у, 2^

(х - х')2 + (у - у')2 + (2 - 2' )2

< В(1 + |1п И|).

Таким образом, получена оценка для интеграла (10), и в случае, когда поверхность Б выпуклая, эта оценка совпадает с (11).

Тогда

я-

Р( х, у, 2) Лы

I

((х - х')2 + (у - у')2 + (2 - 2')2 )

(и+2У,

-ds

<

В

d (( х', у ', 2'), Г) В

<

' ' ^ Г)Ц (1 + |1п (d (((,у\2'X Г) 11 <

( + |іп (((х',у', 2'), Г

d((х', у', 2'), Г)и Рассмотрим интеграл

ц______ Р(х, у, 2)(х' - х)к

5

(12)

((х - х')2 + (у - у')2 + (2 - 2' )2 ) 2

2

который представляет собой общий вид интегралов, входящих в (9), при любом "и (четном и нечетном), к = и + 1 -2/, / = 0,1,..., N. Для получения необходимой нам оценки используем формулу (12):

я-

Р(х, у, г)(х - х)'

О+2+к

Я

((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2 |Р(х, у, г)\ (х' - х)к

о+2+к

<

я

((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

, ./ ~\к/2

|Р(х, у, г)| ((х - х) ) й*

5 ((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

|Р(х, у, г)| ((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2)

о+2+к

о+2+к

((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

ц___________________|Р( х, у, г )| й*____________

0+2

2

<

((х - хО2 + (у - у')2 + (г - г')2)

(і + |іп(((х ,у',г'),Г

В

й ((х', у', г'), Г)0

їй

тт Э ^({х,у,г},{х ,у ,г }) б и/2 + 1

Число слагаемых в ---------------------------- будет составлять и/2 +1

Эх'и

в случае, когда и четное, и (и +1)/2 + 1 в случае, когда и нечетное.

Но так как при любом и число слагаемых не будет превышать 2и , то получим

Э>( х', у', г')

Эх'

й ((х', у', г'), Г)

0 = 1,2,... (14)

В связи с несимметричностью функции ф(х', у', г') относительно пере/ / / 1 V /

менных х , у и г оценим частные производные функции по переменной у :

Э gl({x,у,г},{х',у',г'}) Эу'0

4(у - у-)v + a2(у - у )ц 2 + Аз(y - у-)v 4 + + АУ (У - У-)°

v+~

v+ 3/, -1

v+ % -2

(v+3).

т

, v - четное,

aN (У - У 0Ц + A2( У - У 0Ц 2 + A3( У - У 0Ц 4 + + N У - уУ

v+~

% -1

v+

* * *

v+

з/ -2

(v+4)/

v - нечетное,

■ ■ ■ v -1 v

где Ai, A2,..., Ay, Ai, A2,..., Ay = const; У = ^ при v нечетном, У = —

при v четном.

Последнее равенство можно представить в виде

av gi(!x,y, zi.ix-,y-,/ i) = (2v+1),,( x - x) ^(y - y T~2i

ay'v

Тогда

d>( x-, y', z')

i=°

v+ 3<-i

2

ay'

[[ P( x, y, z) —— [ gi(!x, y, zi,!x', y-, z-i)] ds

S ay v

< (2v +1)!!

У

z

i=°

Я-

P(x, y, z)Ai (y - y-)v 2i (x- - x)

S ((x - x )2 + (y - y-)2 + (z - z-)2 Рассмотрим интеграл

P( x, y, z)(x- - x)( y - y-)k

■4+v-/

(15)

я-

v+3+k ’

(16)

((x - x)2 + (y - y-)2 + (z - z-)2) 2

который представляет собой общий вид интегралов, входящих в (15), при любом и (четном и нечетном), к = и-2/,/ = 0.^. Для получения необходимой нам оценки используем формулу (12):

я-

P(x, У, z)(x- - x)(У - У-)

v+3+k

Я

((x - x)2 + (y - у-)2 + (z - z-)2) 2

|P(x, У, z)||(x- - x)| (y - y-)k

v+3+k

X

S

Я

1/ 2 к / 2

|Р(х, у, г)| ((х - х) ) ((у - у') ) йя

о+3+к

<

((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

|Р(х, у, г)| ((х - х)2 +(у - у')2 + (г - г')2)2 ((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2)2 сія

Я

((х - х')2 + (у - у ')2 + (г - г ')2) _____________________|Р( х, у, г )| йя

0+3+к

((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2)

0+2

2

-----------------и I1 + 11п ((х, у', г ^ Г

ё ((х', у', г'), Г)и 1

тт Эи^1({х, у, г},{х', у', г'}) б 1

Число слагаемых в ----------------------------- будет составлять и/2 + 1 в

Эу'и

случае, когда и четное, и (и-1)/2 + 1 в случае, когда и нечетное.

Но так как при любом и число слагаемых не будет превышать и, то получим

Эиф(х', у', г') ^

% ((х', у', г'), ГГ

Аналогичным образом вычисляется и оценивается частная производная

Эиф(х', у', г') ^

% ((х', у', г'), ГГ Рассмотрим смешанную производную:

ИР(х,у,г)-х— [£1 ({х,у,г},{х',у',г'})],

Эу'

Во(2о +1)!! їх,..

,((, '. ;)Ц I1+К((((^

у',г'),Г))1), 0 = 1,2,... (17)

Эг'

Э 2ф( х', у', г')

Во(2о +1)!! їх,..

ш , , ч ' (1 + ((((х ■:

у',г'),Г))1), 0 = 1,2,... (18)

Эх Эу

<

|Р(хy,г)\\у - у'|

я— -

5 ((х - х')2 + (у - у')2 + (г - г')2 )

+ 15

|Р(х, у, г)||у - у'|(х' - х)2

Я .

5 ((х - х')2 + (у - у')2 + (г - г')2 )

||_______|Р(х,У,г)||у - у'|

5 ((х - х')2 + (у - у')2 + (г - г')2 )5

<

5

5

5

5

|Р(х,у, г)\\у - у'|((х - х)2 + (у - у')2 + (г - г')2)

+15Я----------;-----------------------------------V----------ё <

« ((( - г')2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

- 3

+15

Я _

5 ((х - ( )2 + (у - у')2 + (г - г')2 )

Ц ____________|Р (x, У, г ^ у - у'|

5 ((х - ( )2 + (у - у')2 + (г - г')2)

= 18

\Р(x, y, г )\\ у - у'|

18

я— т

5 ((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2) 2

|Р(х, у, г)\((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2 )

(ё((х\ у\ г\ Г))2 ^ ( - (2 + (у - у')2 + (г - /)2 )

|Р (х, у, г )|

■ Я!

<-

18

18В

(ё((х', у', г'), Г))2 5 (х - х')2 + (у - у')2 + (г - г')2 (ё((х', у', г'), Г))2

х

х( + (п(((х ,у', г'),

г ш<

2 ■ 5!!В

(ё ((х', у', г'), Г))2

(1 + (п (ё (((, у', г'),

Аналогичным образом можно доказать, что Э^ф( х', у', г')

Эх' и Эу' и2 Эг' из

В ^ (1 + |1п (ё ((х', у', г'), Г ))|), |и| = 1,2,... (19)

ё ((х', у', г'), Г)1

Заметим, что при ё ((х', у', г'), Г) > 1 указанную оценку можно уточнить. Оценим интеграл

я-

Р( х, у, г) AN

((х - х )2 + (у - у')2 + (г - г')2)

(и+2)/

-ё,$

В

Я

(и+2)

ё((х', у', г'), Г) /2 5

ё,$ <

В

ё ((х', у', г'), Г) /2

Аналогичным образом рассматривая общие виды интегралов, входящих в (9) и (15), получим следующую оценку:

5

al%( x', y', z')

ax' "l ay' "2 az' "з

B|u|(2H +l) , ,

-------111 11 '+ , , d(((y^z'),Г)> 1, |u| = 1,2,... (20)

(d ((x', y', z'), Г)) П

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть функции /1(х, у, г), /2(х, у, г), /з(х, у, г) являются кусочно-постоянными. Тогда вектор-функция

Р(х', у', г') = {/1 (х', у', г'), /2 (х', у', г'), /3 (х', у', г')} ,

определяемая равенством (3), имеет счетное множество частных производных, для которых выполняются неравенства

Э|и|/ (х', у', г')

<

ax' "1 ay "2 az' "з

M, u = 0,

MIu|(2| u| +1)!!(1 + |ln(d(,y',z'),Г

[d ((x', y', z'), Г)]

, d((x', y', z'), Г) <1,|o|>1, (21)

MId(21v| +1)!! , , ,

------111 1 1 (v+2)/,d((x', y',z'),Г) > 1,| v|> 1,

[d((x', y',z'), Г)] /2

где i = 1,2,3, d ((x', y', z'), Г) - расстояние точки (x', y', z') до границы Г области D, v = (d, V2, V3), | v |= V1 + V2 + V3, M = const.

При построении оптимальных методов аппроксимации лапласовых полей понадобится следующее утверждение, справедливость которого следует из теоремы А. М. Ляпунова о производных потенциала простого слоя [2, с. 86].

Теорема 2. Пусть функции f (x, y, z), n- (x, y, z), i = 1,2,3, (x, y, z) e S удовлетворяют условию Гельдера с показателем а (0 < а < 1) по каждой переменной x, y, z. Тогда функции f(x', y', z'), (x', y', z') e D, i = 1,2,3 принадлежат классу функций Гельдера с показателем а (0 < а < 1).

2 Оптимальные по точности методы аппроксимации функций из множества Ва 0 1(й,M), й = [-1,1/

Вначале построим оптимальный метод аппроксимации функций из множества Ва о 1(й,M) в предположении, что Q = [—1,1]1, l = 2, 3,..., а затем

укажем на способ распространения этого алгоритма на трехмерные области D , ограниченные гладкими поверхностями S .

Для построения оптимального метода аппроксимации функций из класса Вао1(й, M) вычислим значения поперечников Бабенко и Колмогорова

для этого класса и построим локальные сплайны, точность которых совпадает с величиной поперечников.

Обозначим через А0 множество точек V (V = (^, ..., ^)), расстояние от которых до границы Г = Эй области й удовлетворяет неравенству

0 <й(V,Г) <—^-. Через Ак, к = 1, 2, ..., N обозначим множество точек

2 Л'

Vей, расстояние от которых до границы Г области й удовлетворяет неравенству

2 к —1 2 к

—< й С, Г) < ^, к = 1,2,..., N.

Каждую из областей Ак, к = 0,1,..., N — 1 покроем более мелкими кубами Ак . с гранями, параллельными координатным плоскостям, и с ребрами, равными

1 2 к 2 к—1

— , к = 1,2,..., N.

2 ^"к 2N

То обстоятельство, что среди кубов Ак . могут при каждом к встре-

ч,...,11

титься параллелепипеды, у которых длина одного или нескольких ребер меньше или равна Нк, не влияет на общность рассуждений.

Ниже мы построим два вида локальных сплайнов. Сначала построим локальный сплайн, который может иметь разрывы на гранях кубов Ак . .

и,....

Этот сплайн более удобен при реализации и имеет такую же точность, что и непрерывный сплайн.

Необходимость в построении непрерывного сплайна вызвана двумя обстоятельствами: во-первых, во многих задачах гравиразведки проводится тренд по всей области; во-вторых, для вычисления поперечника Колмогорова необходима аппроксимация непрерывными множествами.

Вначале остановимся на построении необязательно непрерывного сплайна.

При построении необязательно непрерывного локального сплайна, предназначенного для аппроксимации функций из множества Ва о 1 (й,М), достаточно ограничиться описанным выше покрытием области й кубами

Ак ., к = 0,1,..., N — 1.

и,...,.

Обозначим через 3 (/, Ак . ) интерполяционный полином Лагранжа по I переменным, использующий при своем построении Sk узлов полинома Чебышева первого рода по каждой переменной. Здесь

Сплайн, составленный из полиномов „ (/, Ак . ),

’ Як,-,Як^ ’ і1,...,і1/’

к = 0, 1, ..., N, обозначим через /^(і). Можно показать, что, как и в случае построенного ниже непрерывного сплайна (і),

||/(і) - /ш (і)|| < В

2т-

При построении непрерывного локального сплайна, аппроксимирующего /(і) Є Ва 0 1 (й, М), нужно произвести покрытие области й следующим

образом. В области А^ размещается куб А^ . В области А^-1 размещаются кубы А^-1. , грани которых параллельны координатным плоскостям, а дли-

ч,...,ії

ны ребер равны Ик . При этом вершины куба А^ входят в множества вершин кубов А^ 1 . После покрытия области А^ 1 кубами А.'^ 1 проводится покрытие области А^ 2 кубами А.'^ 2 . При этом в число вершин кубов А^ 2 входят вершины кубов А^-1. , лежащие на гранях, общих с А^ 2 . Этот про-

ч,...,ії

цесс продолжается до тех пор, пока все области Ак, к = N -1, N - 2, ...,1,0 не окажутся покрытыми кубами Ак . . То обстоятельство, что при этом при

каждом значении к в каждой области Ак может оказаться конечное число параллелепипедов с гранями, параллельными координатным осям, у которых длина одного или нескольких ребер меньше Ик , не влияет на общность рассуждений.

Построим интерполяционные полиномы таким образом, чтобы в число узлов интерполяции входили концы сегментов.

Полином РЯ (/, [а,Ь]), интерполирующий функцию /(і) Є Ва0 1(й,М) на сегменте [а,Ь], строится следующим образом.

Обозначим через 2к, к = 1, 2,..., я узлы полинома Чебышева первого рода степени я . Отобразим сегмент [2,1, 2Я] с [-1,1] на сегмент [а,Ь] таким образом, чтобы точки 2,1 и 2Я перешли в точки а и Ь соответственно. Образы точек 2,1,..., 2 Я на сегменте [а, Ь] обозначим через 21,.., 2 / . Интерполяционный

полином, построенный по узлам 21,..., 2/ , обозначим через РЯ(/, [а,Ь]).

Через РЯ Я (/, [а1, Ь^;...; аі, Ьі ]) обозначим интерполяционный поли-

ном, который определяется формулой

ря,...,я (/ ,[al, Ь1;...; аі, Ьі])=р1

pH -1

1 Я

р У ,[аі, Ьі ]],[аі -l, Ьі -1]

[а1, Ь1

где полином Р3 (/, [а,6]) определен выше, а верхний индекс в выражении Р (/, [а/,Ь]) определяет переменную, по которой проводится интерполяция.

39

Непрерывный локальный сплайн строится следующим образом. В кубе А ^ функция / (1) аппроксимируется интерполяционным полиномом Ру у (/, А^). В каждом из кубов А^ 1 . функция /(1) аппроксимируется интерполяционным полиномом Ру у (/, А^ 1 . ), который во всех уз-

г ^N

лах интерполяции, за исключением расположенных на гранях куба А , принимает значения Ps у (/, А ^). Построив интерполяционные полиномы

Ру у (/, А^-1 . ), аналогичным образом строим интерполяционные поли-

1\,..;Ч

номы Ру у (/, А. . ), к = N - 2, N - 3,..., 1, 0. Сплайн,

составленный из

полиномов Ру

Д/, А,. . ), к = 0,1,..., N, обозначим через /м(1).

Оценим погрешность аппроксимации. Положим у = [2o(N)MN ] +1, где 1/

о(N) = (1п1 N )) . Очевидно,

II/(1) - ь (1 )|

< Е^ < в( * Т М < в 1

аИ

(22)

где 'к3 - константа Лебега.

При к = 1, 2,..., N получим

и(1) - Ь (1 )\\ с(Ак, ,г1) ^ в

^ 2М Л N 2к л

1 + 1п

2к V 2 ) V 2 М )

^ <

< в

М14 N

2ЛТ1 - 2я N

1~\к

) V 2 )

(N - к) (1п N ) <

в

NNMN (1п N) Из (22) и (23) следует, что

- (N - к) (1п N ) <

в

■,аЫ .

(23)

\\/(1) - /„ (1 )|| <

в

аМ

(24)

Оценим число узлов, используемых при построении локального сплайна

к

\,...,ч

/н (1). Прежде всего оценим число т кубов Ал . , к = 0,1,..., N -1. Очевидно

. ,...,.

/ -1

т

X I

к=0

2 - 2 • 2*

2к+1-N - 2к-#

V2 2 )

X I

к=0

2 • 2" - 2 • 2* 2к (2 -1)

X

п

N-1

п 2N(I-1) I 2-к(I-1) - И п 2N(I-1). к=0

Так как в каждом кубе используется ,у1 узлов сплайна ^ (1), то

п П 2 N (1-1) у1 П 2М(l-1)2al Nl/NNl X N 2 N (1-1)

и, следовательно,

1/ /

N X ІОВ2 Иі-11 - І0Е2І0Е/(і-11 п. (25)

||/(0 - Л (0|1с,о) < ~07 ■ (26)

Из (24) и (25) имеем

/(і) - /,, (і),, „

ІІС (й) “ а,

При а = 1 оценка (26) имеет вид

11с (й)

п (і-1)

К') - /« о )|| с (й) <~1г~ • (27)

(і-1)

п

Заметим, что класс функций В11 (й,М) вложен в класс функций В101(й,М). Для класса функций В11 (й,М) в [3] известна оценка снизу поперечников Бабенко

Следовательно,

8п (В11(й, М)) > Вп/(і-1).

8п (В101 (й, М)) > ВпУ(і-1). (28)

Из (27), (28) и известного [4] соотношения 5п (X) < 2ёп (X, С) приходим к равенству

5п(Ё1,0д(й,М))Хйп(Ё1,0д(й,М),С)Хп У(1 -1).

Таким образом, описанный выше метод оптимален по порядку при

а = 1.

Замечание 1. Можно показать, что метод оптимален по порядку при 0 < а < 1.

Замечание 2. При использовании равномерной сетки имеем погреш-

-а/

П

ность порядка п

Опишем способ построения локального сплайна в областях, ограниченных поверхностями Ляпунова. Для определенности рассмотрим выпуклую область, ограниченную гладкой поверхностью Б. Обозначим через Я радиус

наибольшей сферы, которую можно вписать в поверхность Б. Пусть (х0,У0,г0) - центр этой сферы. Обозначим через N натуральное число. Заключим тело В в параллелепипед О. Покроем параллелепипед О кубами с

Я

ребрами, равными — . Назовем ^отмеченными те кубы, расстояние от кото-

Я

рых до границы Б области В удовлетворяет неравенствам — < ё (і, Б) < Я .

Обозначим эти кубы через А^ . Объединение этих кубов составляет первый этап замощения. Покроем параллелепипед О кубами с ребрами, равными

4 Я . Назовем (N -1)-отмеченными те кубы, которые не входят в первый

этап замощения и расстояние от которых до границы Б удовлетворяет нера-ЯЯ

венствам — < ё(і, Б) < — . Аналогичным образом область В покрываем кубами с ребрами, равными Я",.., . Кубы, которые вошли в покрытие, назовем

(N - 2, N - 3,..., 0) -покрытиями области В . Область, являющуюся объедине-

*

нием (0,1,..., N) -отмеченных кубов, обозначим через В . В каждом из отмеченных кубов Ак, к = 0,1,..., N функцию /(і) аппроксимируем интерполяционным полиномом РЯ Я (/, Ак).

Замечание 3. При построении интерполяционных полиномов РЯ Я(/, Ак) в узлах, расположенных вне области В, значения функции /(і) полагаются равными ее значениям в ближайших узлах, расположенных в области В. Если таких узлов несколько, то выбирается или значение в одном из них, или среднее значение.

Сплайн, составленный из полиномов Р3 3(/, Ак), к = 0,1,..., N, обо-

значим через ^ (і). Очевидно, этот сплайн не является непрерывным. Его

_ В

погрешность на классе функций Ва 0 1 (В,М) равна ^ .

Список литературы

1. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. - М. : Наука, 1984. - 328 с.

2. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гюнтер. - М. : ГИТТЛ, 1953. - 416 с.

3. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 234 с.

4. Бабенко, К. И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1979. - 196 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of Science (in Mathematics), professor, head of sub-department of highest and applied mathematics, Penza State University

Кравченко Марина Витальевна

студент,

Пензенский государственный университет

Kravchenko Marina Vitalyevna graduate student,

Penza State University

УДК 550.831 Бойков, И. В.

Оптимальные методы восстановления лапласовых полей /

И. В. Бойков, М. В. Кравченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). -С.25-43.