Приближение кривых ломаными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2

ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ ЛОМАНЫМИ

М. Ш. Шабозов1, А. А. Шабозова2

1. Институт математики АН Республики Таджикистан, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. Таджикский национальный университет, аспирант, [email protected]

1. В работе рассматривается вопрос о точной оценке погрешности приближения гладких кривых Г, заданных параметрическими уравнениями

Х1 = ¥>1 (t), Х2 = (t),..., xm = y>m(t), 0 < t < L, (1)

в пространстве Rm вписанными в них ломаными, в случаях, когда функции ^¿(t), i = 1,m, являются непрерывными и дифференцируемыми на отрезке [0, L]. Для параметрически заданных кривых экстремальные задачи аппроксимационного характера исследованы значительно меньше, чем для явно задаваемых функций. Некоторые вопросы, связанные с приближением параметрически заданных кривых вписанными в них ломаными и сплайн-кривыми, рассматривались в работах [1-9] и монографиях [10], [11].

Обозначим через Н- [0, L] множество функций f (t) £ C[0, L] для любых двух точек t',t'' £ [0, L], удовлетворяющих условию

|f (t') - f (t'')| < w(|t' - t"|),

где w(t) — заданный на отрезке [0, L] модуль непрерывности, т. е. непрерывная, неубывающая и полуаддитивная на [0, L] функция, в нуле равная нулю. Аналогичным образом через W(1)Н- [0, L] обозначим класс функций f (t) £ C(1)[0, L], у которых f'(t) £ Н- [0, L].

Известно [12, с. 276-279], что интерполяционные ломаные в ряде случаев представляют собой наилучший аппарат приближения. Точные оценки приближения функций f £ Н- [а, b] и f £ W(1)Н- [а, b] интерполяционными ломаными были найдены еще в 1966 г. В. Н. Малоземовым [13]. Для классов функций двух переменных, задаваемых модулями непрерывности в прямоугольных областях, точные оценки погрешности одновременного приближения функций и их частных производных билинейными сплайнами и их соответствующими производными найдены в работах [1417]. Отметим также работу [18], где решена более общая задача отыскания верхних граней наилучших приближений классов Н- [а, b] и W(1)Н- [а, b] интерполяционными ломаными.

2. Всюду далее через Н"-1'"' '-m = Н-1' ''-m [0, L] обозначим класс кривых Г, определенных параметрическими уравнениями (1), и таких, у которых ^¿(t) £ Н-i [0, L], а через W(1) Н-1'-"'-т := W(1) Н-1'-"'-т[0, L] —класс гладких параметрически заданных кривых (1), у которых (fi(t) £ W^HUi[0, L], В случае LVi(t) = uj{t),i = 1, то, соответствующие классы функций обозначим через Н^ и W(1) Н^.

© М. Ш. Шабозов, А. А. Шабозова, 2013

Рассмотрим вопрос о точной оценке величины погрешности, возникающей при приближении кривых, принадлежащих классу ИШ1'"', вписанными в них ломанными. Если р(Р, Q) —некоторое расстояние между точками Р, Q £Кт, то расстояние между кривыми

Г : Xi = i = 1, то, и G : г/i = ipi(t), i = 1, то, 0 ^ t ^ L, (2)

определим следующим образом:

р(Г, G) = sup {p (P(t), Q(t)) : P(t) G Г, Q(t) G G} , (3)

где P (t) := P (^i(t), ••• ,^m(t)), Q(t) := Q(^i(t), ••• , ^m(t)) соответствуют одному и тому же значению параметра t (0 ^ t ^ L). С геометрической точки зрения расстояние (3) не всегда точно характеризует внутреннюю структуру кривых, поскольку оно в общем зависит от способа параметризации и не всегда полностью отражает степень геометрической близости кривых. Поэтому вводят в рассмотрение хаусдорфово расстояние [10], которое свободно от этого недостатка. Если

Г m 1 V2

pi(P(t),Q(t)) = |]T |^(t) - ф^)|2| (4)

— евклидово расстояние между точками P, Q G Rm, то под хаусдорфовым расстоянием между двумя замкнутыми множествами A cRm и B cRm понимают величину (см., напр. [10, с. 20-21])

pH1(A, B) =ma^ sup inf p1(P, Q), sup inf p1(P, Q) > . (5)

[p eAQ^B P eBQ^a J

Из определений (4) и (5) следует, что для кривых Г и G, определенных равенствами (2), при любом способе параметризации выполняется неравенство

pH,i(r,G) < pi (Г, G).

В некоторых вопросах приближения кривых, наряду с евклидовым и хаусдорфовым расстоянием, рассматривают также расстояние Минковского, определяемое для кривых Г, G GRm равенством

p2(r,G)= max sup (t) - ^(t)| : ^ G Г, фг G G} , (6)

и хеммингово расстояние

pa(r,G)= sup JV (t) - (t)|, <pi G Г, фг G g\. (7)

li=1 )

Для введенных расстояний (6) и (7), аналогично (5), вводим следующие расстояния Хаусдорфа:

ph,2(a,b) =ma^ sup inf p2(P, Q), sup inf p2(P, Q) > , (8)

[P EAQ£B P EBQ^A J

ря,з(Л B) =ma^ sup inf рз(Р, Q), sup inf рз(Р, QU . (9)

ip £AQeB p j

Пусть Д^ : 0 ^ ti < ¿2 < • • • < ¿n ^ L — произвольные разбиения [0, L], и для координатных функций кривых Г, G £ H''' выполнены равенства

= Фг^к), г = 1,т, к= 1, N. (10)

Если Р(¿) = Р(у>1 (¿), • • • £ Г, = (¿), • • • £ с — точки, опреде-

ляемые одними и теми же значениями параметра то точки

P(tfc) = Р (^i(tfc), • • • , ¥>m(tfc)), Q(ifc) = Q (V>i(ifc), • • • , V-m(ifc)), k=l,N,

совпадают. Очевидно, что в этом случае любое из перечисленных выше расстояний между кривыми зависит от разбиения Д^. Если р(Г, G; Д^) —какое-нибудь расстояние между заданными кривыми Г, G £ HШ1'''' , для которых выполняются равенства (10), то требуется найти величину

inf р (ЯШ1' • • • ; Д№) = inf sup {р(Г, G; Д№) : Г, G £ ЯШ1' ''' } .

Полагаем также Д^ : гк := Ц = (2к - 1)Ь/{2К), к = 1, N. Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Каковы бы ни были модули непрерывности (г = 1,т, 0 ^ Ь ^

Ь), справедливы равенства

inf pi (ЯШ1' • • • ; Д„) = pi (ЯШ1' • • • ; Д№) An

i=1

( rrwi .••• .Wm . л А

N)

inf Р2 (ЯШ1> • • = Р2 (ЯШ1

An

Г» / TTU1-I . Л

IN

2рн,1 (ЯШ1- • • • ; Д

р2 (ЯШ1' • • ^N )

2рн,2 (HW1, • • • ; Д

р3 (ЯШ1' • • ^N )

2рн,з (ЯШ1- • • • ; Д

ч 1/2

2

inf рз (Я• •

An

Доказательство. Не умаляя общности, докажем, например, первое равенство теоремы. В самом деле, если для координатных функций кривых Г, О £ ЯШ1' ''' выполняются равенства (10), то, пользуясь совпадением точек и <5(4/г = 1, Ж,

для любых двух точек Р (¿) £ Г и £ О запишем

Р1 (Р(¿), ) < Р1 (Р(¿), ); д^) + Р1 №(*), ); ДдО =

{т

ч 1/2

т

1/2

т

1/2

]Т Ы*) - ^)]П +1 ]Т №(*) - ^)]П < 21 ]Т - ¿к |) I .

-1 .-1 .-1 (11)

Оценка (11) точна для кривых Го, Со € Я-1'''''-т, координатные функции которых определяются равенствами

== \t-tkl), г = 1 ,то, 0 < t < Ь, (12)

а потому из (11) следует, что

1п1 р1 (Я-1'• • •'-т;Д*) = 1п1 р1(Го,Со; Д*) = А« Д«

1/2

= 21111 Бир ^ ]ТЧ2(|* - ¿к. (13)

В работе [7] доказано, что стоящая в правой части (13) величина имеет минимальное значение при узлах Ьь := ¿к = (2к — 1)Ь/(2М), к = 1, М, равное

Г т } 1/2

Д1 Р! (Я-1' • • '"т = Р! (Я-1' • • ;Д ^ = 2^ У Ш?(Ь/(2^)) !

Дп1 Р1 (Я-1-• • ;Д*) = Р1 (Я-1' • • ;Д*) = 2| <=1 Ч2(Ь/(2Ж))| . (14)

В случае хаусдорфового расстояния оценка (14) вдвое меньше. Действительно, если для кривых Г и С из Н-1'• • • '-т соотношения (10) выполняются при ¿к = ¿к, то для любой точки Р(¿к) := Р (^(¿к), • • • , Ут(¿к)) будем иметь — ¿к| ^ Ь/(2Ж), а так как Р (¿к) принадлежит также кривой С С Я-1' • • • '-т, мы имеем

1п1 {р1 (Р(¿), Q(í); Д*) : Q(t) € С} < р1 (Р(¿), Р(¿к); Д*) <

{т 1/2 Г т 1/2

£ — ^к)]Н Ч2(Ь/(2Ж))1 . (15)

Аналогичным образом получим

1п1 {р1 (Р(¿), Q(t); Д*) : Р(¿) € Г} < р1 Q(ífc); Д*) <

{т 1/2 Г т 1/2

— фг(¿к)]Ч , (15')

причем знак равенства в неравенствах (15) и (15') будет иметь место для тех же

,ет,

1/2

кривых Го, Со € И-1'• • • '-т с координатными функциями (12), а это означает, что

Дп1 рн'1 {Й-1' • • '-т; Д*) = рН'1 {Й-1' • • '-т ;Д*) = ^.2(Ь/(2^))

и=1 )

Этим же методом доказываются два других равенства в утверждении теоремы 1.1, чем и завершаем доказательство.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства

т1Р1 (Я£;Длг) =/>1 (Я^; Ддг) = 2р#д (Д^; Ддг) = 2^/ти; (Ь/(2М)),

А«

1п1 р2 (Ят; Д*) = р2 (ят; ДN) = 2рН'2 (ят; ДN) = 2^ (Ь/(2Ж)),

А«

М Р3 (Я" ;Д*) = Р3 (Я" ;Д= 2№,з (Я" ;Д= 2тош (Ь/(2Ж)).

Теорема 2. Пусть Г^ _ вписанная в кривой Г ломаная с вершинами в точках Р£ := Р ((р1 (кк), ■ ■ ■ ,1рт{кЪ,)), к = О, Ж, к = Ь/Ы. В предположении, что (г = 1, то; 0 ^ Ь ^ Ь) — выпуклые модули непрерывности, справедливы равенства

( т Л 1/2

впр{ Р1(Г, ):Г е Я"1- • • '"-} = | ш? (Ь/(2Ж ))1 , (16)

вир {р2(Г, Г^):Г е Я"1^ • } = тах ш, (Ь/(2Ж)), (17)

т

впр{ рз(Г, Г№) :Г е Я"1- • • '"т} = ^ ш, (Ь/(2Ж)). (18)

¿=1

Доказательство. Заметим, что в случае приближения ломаными оценку погрешности можно локализовать на частичном промежутке разбиения, что позволяет точно оценить ее для всех вышеназванных расстояний. Не умаляя общности, докажем соотношение (18) для хеммингова расстояния рз(Г, Г^), поскольку доказательства равенств (16) и (17) основаны на практически аналогичных соображениях. С этой целью зафиксируем разбиение отрезка [0, кк, к = О, Ж, к = Ь/Ы. Пусть

Гдг — ломанная с вершинами в точках Р£ = Р (с,р\{кк), • • • , срт(кк)), к = О, N. Параметрические уравнения звена ломаной Г^, стягивающей дугу Рй+1, имеют вид

= ^Рг{Ьк) + - 1к)Ы2 ■ [<£>(^+1) - ¡Р^к)] , г = 1, то, (19)

где ^ ^ ^ ^й+ъ к = О, N — 1. Используя равенство (19), запишем

^¿(¿) - ^¿(¿) = (¿й+1 - • [^¿(¿) - )] + (г - • (¿) - «(¿й+1)] ,

откуда, оценивая по абсолютной величине полученное равенство, находим

- С*)| < (¿й+1 - ¿^Ш,^ - ^) + ^ - ^^Ш,^ - ¿). (20)

Полагая £ = + т/1, 0 ^ г ^ 1, и учитывая выпуклость = 1,то), из (20)

получаем

(¿й+1 - - ¿й) + - • Ш, (¿й+1 - ¿) =

= (1 - т)ш,(т^) + тШ,((1 - т)Ь) <

< ш,[2т(1 - т)й] < ш,(й/2) = ш (Ь/(2Ж)). (21)

Из неравенств (20) и (21) сразу следует, что

т т

рз(Г,Г№)=£ - «Ус[с,ь] ^ш, (Ь/(2Ж)). (22)

,=1 ,= 1

Построим теперь экстремальную кривую Г0 е Я"1' • • • , для которой неравенство (22) обращается в равенство. Для Ь (Е 1] (А; = 0, Ж — 1) и г = 1, то параметриче-

ские уравнения кривой Г0 определим равенствами

Гш,(* - ¿й), ¿й < * < ¿й + Ь/(2Ж) «0(*) = {

- ¿), ¿й + Ь/(2Ж) < * < ¿й+1.

Очевидно, что € а значит Г° € НШ1'"' 'Шт. Далее, так как = 0, к = О, N,

из (19) следует, что с0 (¿) = 0, а потому мы имеем

рз(Г0, rN) = Е Н^0 - [0.L] = £ = (23)

i=1 i=1

i=1 V 2 / i=1 Таким образом, в соответствии с равенством (23) запишем

m

sup {рз(Г, rN) : Г £ ЯШ1' • • • } = рз(Г°, rN) = £ (L/(2N)),

i=i

откуда и следует равенство (18). Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 вытекает Следствие 2. Справедливы равенства

SUP {pi(r, Гдг) : Г (Е = \fmu! (L/(2N)),

sup {р2(Г, ГN) : Г £ Ят} = ш (L/(2N)), sup {р1(Г, ГN) :Г £ Ят} = тш (L/(2N)).

3. В этом пункте докажем одно утверждение об аппроксимации кривых Г £

вписанными в них ломаными. Теорема 3. Пусть LUi(t)(i = 1, то) — выпуклые модули непрерывности на отрезке [0, L]. Тогда для любого натурального N ^ 2 справедливы равенства

2 ^ 1/2

supipur, Глг):Г = 1 , (24)

sup |/Э2(Г,Гдг) : Г £ = — ^max / cji(t)dt, (25)

. 1 m г- L/N

8ир|рз1Г,ГлГ):Ге^ЯШ1--.^|= ]Г / Wi(t)dt, (26)

i=i

где Tn _ ломаная, вписанная в кривой Г £ W(1)ЯШ1' • • • , с вершинами в точках = Р (ipi{kh), • • • , ipm{kh)), k = 0, N, h = L/N. Если же u)i(t), г = 1, то — произвольные модули непрерывности, то

{2Ч 1/2

p^l^^m^j \ , (27)

с 4 Д /* L/N

sup i p2(r, Гдг) : Г £ W^H"1'-= max / U}i{t)dt, (28)

I J 4 1<i<m 1°

л о т с

8иР |/эз(Г, Гдг) : Г (Е " 'Шт | = У0 (29)

где 2/3 < О" < 1.

Доказательство. Пользуясь равенством (19), легко доказать, что для произвольной кривой координатные функции которой «(¿) е И^(^Я1*^ (г = 1,ш), выполняется неравенство (см. [13, 12], с. 234)

к

2

\¥>г(1) - фг(£)\ ~ ^(Ь - Ьк)Н 2 / «(т)йт, г = 1, ш,

0

где = к!г, к = О, Ж, к = Ь/М. Учитывая, что для £ е [¿й, ],

получим:

1 г ь/^

11« - Фг\\с[0,Ь] ^ 4 у ^(т)с1т.

Из последнего неравенства для расстояния р (Г, Г^) (.?' = 1, 2, 3) сразу получаем неулучшаемые для класса Ш(1)Я"1- • • • при выпуклых модулях непрерывности ш,(¿) оценки

1/2 Г 2 ^ 1/2

1

Р2(Г,Гдг) = тах 11« - фг\\с\о,ь] < 7 шах / «(т)йт, (31)

4 ^о

т 1 т

/9з(Г,Гдг) = -«||С[0,Ь] < Т^З / ^(т)(1т. (32)

0

Пользуясь неравенствами (30)-(32), легко доказать равенства (24)-(26). Не умаляя общности, докажем, например, равенство (24). В самом деле, из (30) для произвольной кривой Г е Ш(^Я"1' • • '"т получаем

(2Л 1/2

Следуя работе [13], зададим на отрезке [0, Ь/Ж] функции

ЛИ =

0 < t < ¿/(2ЛГ),

1 Л ь

(33)

^ -2Ш< ( 24 - лг ' ' Ь/(2ДГ) ^ * ^ * = !> т>

для £ е [Ь/Ж, 2Ь/2Ж] положим У, (^) = /, (2/Ж - ¿) и распространим функции /, (¿) периодически с периодом 2/Ж на всю ось. Введем теперь экстремальную кривую Г* со следующими параметрическими уравнениями:

Г* : «*(£) = [ Мт)с1т, г = Т~т, 0 < t < Ь.

0

Нетрудно проверить, что г = 1,т, а это означает, что Г* (Е

"' •Шт. Кроме того, учитывая, что (р*(кН) =0, к = 0, Ж, Н = Ь/Ы, имеем

Р1(Г*,Г^) = |£ - [0,Ь]

Г т 1 V2

гЬ/(2№)

Е

/¿(т М

1/2

Е

1/2

г* 2

/¿(т )йг

Е

с[0,Ь] J рЬ/Ы

0

1/2

¿(т к

1/2

откуда и следует точность неравенства (30) и, тем самым, доказано соотношение (24). Равенства (25) и (26) доказываются по аналогичной схеме.

Приступая к доказательству второй части теоремы 3, без умаления общности, докажем, например, равенство (27) для евклидова расстояния. Оценка сверху для величины Р1(Г, Г^) следует из неравенства (30). Для получения оценки снизу указанного

2 _

расстояния полагаем = —/¿(£), г = 1, то, где /¿(¿) определены равенствами (33),

и распространим /¿(¿) периодически с периодом 2/Ж на всю ось. Легко проверить, что кривая Г**, параметрические уравнения которой определены равенствами

¥>,**(*) = / /Л*, * = 1,™, 0 < * < Ь,

0

принадлежит классу ш (1)я• • . Непосредственное вычисление приводит к следующему неравенству:

( т ^ 1/2

вир •

{р1 (Г,Г№): Г е ш(1)яШ1' • • • > Р1(Г*, Г№) = Ы

11с [0,Ь]

2 1 3 ' 4

Е

1

1/2

(34)

0

Требуемое равенство (27) вытекает из сопоставления неравенств (30) и (34). Аналогичным образом доказываются два других равенства в соотношениях (28) и (29). Теорема 3 полностью доказана.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда, если ш(£) — произвольный модуль непрерывности, то

а г

8Ир{р1(Г, Г дг) : Г € Я^} — /

4 ,]0

а г ь/^ вир {Р2(Г,Г„) : Г € Н»} = ^ Уо

а г ь/^ 8ир{р3(Г,Глг) :ГеЯ:} = ут /

4 .)0

(35)

(36)

(37) 75

0

0

где (2/3) ^ О" ^ 1. Если же ш(£) —выпуклый модуль непрерывности, то в соотношениях (35)-(37) О" = 1.

Авторы благодарят рецензента за ценные замечания.

Литература

1. Мартынюк В. Т. О приближении ломаными кривых, заданных параметрическими уравнениями // Укр. матем. журнал, 1976. Т. 28, №1. С. 87-92.

2. Мартынюк В. Т. Некоторые вопросы приближения линий и поверхностей // Теория приближения функций. М.: Наука, 1987. С. 282-287.

3. Назаренко Н. А. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами // Геометрическая теория функций и топология. Киев: ИМ АН УССР, 1981. С. 55-62.

4. Вакарчук С. Б. О приближении гладких кривых ломаными // Геометрическая теория функций и топология. Киев: ИМ АН УССР, 1981. С. 15-19.

5. Вакарчук С. Б. О приближении плоских параметрических заданных кривых ломаными // Моногенные функции и отображения. Киев: ИМ АН УССР, 1982. С. 107-113.

6. Вакарчук С. Б. О приближении кривых, заданных в параметрическим виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. матем. журнал, 1983. Т. 35, №3. С. 352-355.

7. Вакарчук С. Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Известия ВУЗов, Математика, 1988. №2. С. 14-19.

8. Корнейчук Н. П. Об оптимальном кодировании вектор-функций // Укр. матем. журнал, 1988. Т. 40, №6. С. 737-743.

9. Корнейчук Н. П. Приближение и оптимальное кодирование гладких плоских кривых // Укр. матем. журнал, 1989. Т. 41, №4. С. 492-499.

10. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН, 1979. 372 с.

11. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

12. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984, 320 с.

13. Малоземов В.Н. Об отклонении ломаных // Вестн. ЛГУ. Серия матем. и мех., 1966. №7. Вып. 2. С. 150-153.

14. Шабозов М. Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами // Укр. матем. журнал, 1994. Т. 46, №11. С. 1554-1560.

15. Шабозов М. Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1996. 59, №1. С. 142-152.

16. Вакарчук С. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990. Т. 47, №5. С. 26-30.

17. Вакарчук С. Б., Мыскин К. Ю. Некоторые вопросы одновременной аппроксимации функций двух переменных и их производных интерполяционными билинейными сплайнами // Укр. матем. журнал, 2005. Т. 57, №2. С. 147-157.

18. Вершик А. М., Малоземов В. Н., Певный А. Б. Наилучшая кусочно-полиномиальная аппроксимация // Сиб. матем. журнал, 1975. Т. XVI, №5. С. 925-938.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.