К планированию стратегии модификации ассортимента промышленного предприятия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.52.011.2:338.26

Д. М. Комаров, М. П. Комаров Астраханский государственный технический университет

К ПЛАНИРОВАНИЮ СТРАТЕГИИ МОДИФИКАЦИИ АССОРТИМЕНТА ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Введение

В [1] подробно излагается сущность, актуальность и сложность такой проблемы, как модификация ассортимента предприятия, т. е. переход на выпуск обновленной продукции того же поколения, что и подлежащая к снятию с производства, но в виде более современных, улучшенного качества и т. п. моделей. Успех новой модели зависит от многих факторов, в частности от временного момента ее появления в продаже. В упомянутой работе дается экономическое обоснование решения задачи о существовании такого момента, при котором можно рассчитывать на максимум прибыли, и на конкретном примере численно это было подтверждено.

Постановка задачи

Для корректной постановки этой задачи принципиальное значение имеет ее аналитическое исследование. В данной работе ставится задача математического обоснования для широкого ассортимента производимых изделий наличия единственного экстремума - максимума функции прибыли.

Решение задачи

Согласно [1] суммарная дисконтированная прибыль для некоторого производимого изделия и его планируемой модификации за время t е [0, Т*] имеет следующий вид:

Т" х

П(т) = й * |/" (У, х) а(У)йУ + й | /(У) а(0^ - Ст а(У0), (1)

X 0

где й * = р* — с*; й = р — с ; р, с , Т , / - соответственно цена, себестоимость, плановый момент времени, функция (кривая) прогнозирования сбыта модифицируемого изделия; р*, с*, Т*, /* -то же самое для модификации; а(У) = е~гг - дисконтирующий множитель; г - норма дисконта; У0 = т — Ут - момент начала инвестирования средств Ст на проведение модификации; Ут - продолжительность проведения модификации; т - момент появления модификации; /* (х, У) = /(У)ф(х), где ф(х) = 1 + кх .

Для изделий первой необходимости и постоянного спроса (при некоторых условиях их прогнозирования) кривые сбыта можно аппроксимировать, как показано на рис. 1.

Рис. 1

Момент У1 мал по сравнению с моментом Т, и им можно пренебречь, т. е. /(У) = а,

У е [0; Т]. Интегрируя формулу (1), получим функцию прибыли:

П(г) = (е~п - е"гТ') + — (1 - е) - Сте-«0

г г

Точка экстремума функции (2) должна удовлетворять уравнению

П'(т) = 0,

которое в результате преобразований можно записать в форме

Уі = У 2 ,

(2)

(3)

(4)

-гг

где Уі = е , у 2

в

-гТ *

А-г

В = -

11 С гегг‘ А = і -1 + Стге

г к ай к й к

На рис. 2 представлены графики (экспонента и гипербола) функций у1 и у2, из которых следует, что абсцисса точки их пересечения есть единственный корень уравнения (3). Причем она является точкой максимума функции (2), т. к. П' = у1 — у2 < 0 (У < х0) и П' > 0 (У > х0) при условии, накладываемом на исходные данные:

в < 1.

А

Рис. 2

Для машиностроительных изделий кривые прогнозирования их сбыта имеют три основные стадии: рост, относительное постоянство и спад объема продаж, поэтому эти кривые можно аппроксимировать функцией / (У) = аУе (рис. 3).

г

Интегрируя формулу (1), получим функцию прибыли:

П(')

_ афё * _ И

‘Ии+И

- ИТ *

т *+ -

И

+

а ё ~й

- - С-"'( ' + -

И I И

Сте -

(5)

где И _ в + г .

Поступая, как в пункте 1, получаем для функций из уравнения (4)

У1 _-'2 +'(- - - + -£-) + -12, у _ ев' (Еег - ^),

И к ка И

где Е _е~ИТ (Т* + -)-, ^ _ СтГв т .

ИИ акё *

На рис. 4 представлены графики (парабола и разность экспонент) функций у1 и у2. В принципе в зависимости от исходных данных реализуется одна из парабол 1-3 и одна из кривых 4-6. Снова мы по графикам видим, что функция прибыли (5) имеет один экстремум - максимум.

0

к /? / 1 Е-Р} У \у -2Ґ ,5 (С~г\ 6, У/\ \ / і

<\ "А ч \ / ''-У' , /\ \ У X 1 2 ' 3 '

Рис. 4

При этом исходные данные должны удовлетворять условию

-1 > E - F . h2

Заключение

С помощью дифференциального исчисления для двух основных типов кривых сбыта модифицированных изделий установлено, что функция прибыли имеет максимум. При этом найдены ограничения, которым должны отвечать исходные данные для существования и единственности этого экстремума.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Белоусов В. Л., Шакиртханов Б. Р. Модификация ассортимента машиностроительного предприятия // Автоматизация и современные технологии. - 2002. - № 4. - С. 24-26.

Получено 1.10.2006

TO THE PLANNING OF STRATEGY OF ASSORTMENT MODIFICATION OF INDUSTRIAL ENTERPRISE

D. M. Komarov, M. P. Komarov

There is researched the suggestion on existence of single extremum of total profit’s function at assortment modification of industrial enterprise in the article. Correct statement of the problem of assortment modification of enterprise requires its mathematical study. The given work proves by means of differential calculation for the broad assortment of producing products existence of single extremum - a maximum of profit’s function, but under some found restrictions on the raw data. This allows successful using the existing applied method for assortment modernization strategy in practice.