CC BY
24
УДК 658.52.0112:338.26
Д. М. Комаров, М. П. Комаров Астраханский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРИ МОДИФИКАЦИИ АССОРТИМЕНТА ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Введение
Как известно, практически у каждого товара существует максимальный потенциально возможный объем продаж, определяемый площадью под кривой его жизненного цикла. Но у каждого товара вследствие действия различных рыночных факторов своя зависимость объема сбыта от времени. Это выражается в различной продолжительности характерных стадий его жизненного цикла (выход на рынок, ускоренный рост, замедление роста, зрелость и спад продаж), а также в величине и темпе сбыта на этих стадиях. Все это влияет на момент достижения порогов безубыточности и рентабельности каждого товара в отдельности. Поэтому в условиях острой конкуренции, при необходимости учета потребностей рынка, в особенности для многономенклатурного производства, невозможно оптимальное планирование достижения окупаемости и обновления продукции без знания о четкой зависимости объема сбыта от времени. Это знание позволит избежать прямых финансовых потерь от слишком поспешных или запоздалых решений.
Постановка задачи
Зависимость объема сбыта изделия, выпускаемого предприятием, является изначально таблично заданной. Для получения практических выводов обычно ограничиваются использованием линейной аппроксимации этой функции, оказывающейся в большинстве случаев нелинейной. Для уточнения расчетов по прогнозированию объема сбыта модифицированного изделия, т. е. не являющегося принципиально новым, требуется более точная нелинейная аппроксимация. В связи с этим возникает необходимость в разработке применительно к основным типам кривых жизненного цикла соответствующей методики и программы для ЭВМ, эффективной в производственных условиях.
Решение задачи
Исходя из функции сбыта
N = / (0, (1)
выражающей зависимость объема продаж N данного изделия от текущего момента времени ^ (рис. 1), для промышленного предприятия можно выделить следующие основные типы кривых жизненного цикла.
О а т г
Рис. 1. Виды кривых жизненного цикла
Кривая 3 характеризует усредненное постоянство объема продаж, например, хлебобулочных изделий.
Кривая 4 указывает на увеличение объема продаж. Это характерно, например, для рынка датчиков тепла и воды при расширенном строительстве, при производстве потребительского товара по радикально новой технологии.
Кривые 1, 2 имеют три основные стадии: рост, относительное постоянство и спад объема продаж и характеризуют стадии жизненного цикла большинства основных промышленных товаров, например бытовой техники, одежды.
Функцию (1) будем рассматривать как таблично заданную:
ветствует некоторой части или всей кривой жизненного цикла; можно принять Т1 = 0.
С целью получения достоверных результатов следует при необходимости этот массив данных подвергнуть предварительной статистической обработке [1]. Сглаженную таким образом функцию (2) можно аппроксимировать некоторой функцией Е(г):
Для кривой 3 экспериментальные значения , при г > а мало отличающиеся друг от друга, усредняем:
Функцию / (ґ) можно аппроксимировать алгебраическим или тригонометрическим многочленом к-го порядка:
Для модифицированного изделия функцию сбыта можно представить, согласно [2], в виде
где ф(0) = 1, /(0) = 0; /(ґ) - функция (1) сбыта изделия, подлежащего модификации; т - момент введения в продажу модификации.
В условиях насыщенности рынка подобными товарами функция ф(т) в формуле (5) должна иметь вид
где а е (0;1) - временной коэффициент эластичности; он, как и функция /(г1), заранее неизвестен. Оба они определяются на основе статистики сбыта до модификации и маркетинга последней. Отметим, что в принципе функция (6) может быть и нелинейной, например квадратичной:
/ = /& ),
(2)
где / > 0, (і = 1, п), ґ1 = Т1, ґп = Т2; промежуток (плановый период) ґ є[7], Т2 ], (Т2 < Т), соот-
^(0 » /(І), или ^ ) » /і , ( І = 1, П ).
(3)
І=1
к
где XаТ = /п или
І=1
к
(4)
і=1
где а. =
Т
/ * (Ґ, т) »ф(т) / (о,
(5)
ф(т) = 1 + а • т,
(6)
ф(т) = 1 + ах2.
Неизвестные коэффициенты в формуле (3) можно найти методом наименьших квадратов [3] из условия минимума целевой функции Ф нескольких переменных - этих коэффициентов, которую целесообразно, для улучшения численной устойчивости, привести к безразмерному виду у . Имеем
п к
где у = X(I Ат2Т - в)2
ф = N2 • у,
(7)
И0 = тах{/1, f2,..., /п },
в = ■/и,
г N
г, = Т, г,- є [0,1],
г^т к-1
(8)
А = Вп
■I Ат .
т=1
Функция (7) является унимодальной, выпуклой и квадратичной, поэтому для ее минимизации целесообразно воспользоваться методом покоординатного спуска [3] с квадратичной интерполяцией.
Он состоит в поочередном поиске минимума сначала по координате Л1, затем по координате Л2 и т. д. (первый этап). Затем снова идем по тому же пути (второй этап) и т. д. до получения требуемой точности е для искомых коэффициентов. При этом всякий раз точка экстремума параболы у т (Лт) находится по формуле
л = 0,5[(2Ьт + Ь) • у т0 + 4ЬтУ т1 + (2Ьт - Ь)У т2 ]
т тт ^ , ’
У т0 — 2у т1 +У т2
Где У т0 =У т (Ьт - У т1 = У т (Ьт X У т2 = У т2(Ьт + Ь - ШаГ интерполяции; Ьт - приближение для оптимального значения Лт, полученное на предыдущем этапе. Определив оптимальные значения Лт, по формуле (8) находим искомые коэффициенты ат .
Для ортогонального многочлена (4) коэффициенты находятся по формуле [3]:
а = Iэт(а)/. /1зіп2(агґ; X
і=і / і=і
где і = 1, к .
Описанная методика реализована в виде программы для ЭВМ на языке БЕЙСИК.
Пример. Сглаженные статистические данные по сбыту одного типа стирального порошка за плановый период в месяцах [0; 14] характеризуются следующим образом (табл.):
Распределение объема продаж во времени
Время, г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Объем продаж N т 0 6 14 22 35 46 55 62 68 66 64 54 41 23 0
,=1 т=1
а
т
На рис. 2 кривые Е(V) для алгебраического и Е* (V) - для тригонометрического многочленов аппроксимируют кривую сбыта N (V) с помощью указанной выше программы для ЭВМ.
N
Рис. 2. Аппроксимация кривой сбыта
Удовлетворительная точность аппроксимации табличной функции достигается уже при к = 3. При этом при к = 0,1, е = 0,001 для (3) и (4) имеем соответственно:
а1 = 5,844, а2 = 1,219, а3 =-0,117, Ф = 46,16. а1 = 62,561, а2 =-15,605, а3 = 6,292-10-3, Ф = 26,18.
При к = 6:
а1 = 4,514, а2 = 1,425, а3 =-7,242-10-2, а4 =-6,987-10-3, а5 = 5,738• 10-5,
а6 = 1,245 10-5, Ф = 9,41.
а1 = 62,561, а2 =-15,605, а3 = 6,292-10-3, а4 =-1,608, а5 = 0,177, а6 =-0,278, Ф = 7,33. При к = 8:
а1 = 4,552, а2 = 1,352, а3 =-5,523-10-2, а4 =-6,046-10-3, а5 =-2,959-10-4, а6 = 2,263 -10-6, а7 = 4,275 -10-6, а8 =-1,717 -10-7,
Ф = 8,01.
а1 = 62,561, а2 =-15,605, а3 = 6,292-10-3, а4 =-1,608, а5 = 0,177, а6 =-0,278,
а7 = 0,429, а8 = 0,212, Ф = 5,73.
Заключение
Численные эксперименты показали, что минимизация целевой функции по методу покоординатного спуска с квадратичной интерполяцией и переход к безразмерным величинам существенно расширяют возможности практического использования алгебраического многочлена вопреки мнению, что его степень реально не выше пятой [4]. Применение тригонометрического
многочлена Фурье позволяет практически с любой заданной точностью находить решение рассмотренной задачи по готовым формулам. В то же время первый многочлен в некоторых случаях предпочтительнее второго, в частности при экстраполяции прогноза продаж.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.
2. Белоусов В. Л., Шакиртханов Б. Р. Модификация ассортимента машиностроительного предприятия. Автоматизация и современные технологии. - 2002. - № 4. - С. 24-26.
3. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. - М.: Мир, 1982. - 238 с.
4. Плис А. И., Сливина Н. А. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 1983. - 208 с.
Получено 1.10.2006
MODELING OF LIFE CYCLE CURVES AT ASSORTMENT MODIFICATION OF AN INDUSTRIAL ENTERPRISE
D. M. Komarov, M. P. Komarov
Mathematical methods to optimize curves of different kind while their drawing are offered in the paper. The approximation of curves is realized in algebraic and trigonometric kind. The described strategy is shown in the manner of a computer program.
