Исследование вклада эффектов высших порядков в процесс (е, 2е) на атоме водорода Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

ИССЛЕДОВАНИЕ ВКЛАДА ЭФФЕКТОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В ПРОЦЕСС (е, 2е) НА АТОМЕ ВОДОРОДА

П. С. Виницкий, К. А. Кузаков, Ю. В. Попов, К. Даль Каппелло

(.кафедра физики атомного ядра и квантовой теории столкновений; НИИЯФ)

E-mail: [email protected]

Дано определение физического ряда теории возмущений в случае многочастичного жулоновсжого рассеяния и представлены результаты численных расчетов вжлада высших борновсжих членов в амплитуду реакции жвазиупругого выбивания элежтрона элежтроном из атома водорода с целью определения границ применимости базовой теории тажих реажций.

Впервые процесс квазиупругого выбивания электрона быстрым электроном из квантовой мишени (так называемый процесс (е, 2е) при большой передаче импульса) в качестве метода изучения одно-частичной волновой функции электрона в среднем поле атома был предложен в работе [1] по аналогии с реакциями (р, 2р) в ядерной физике. В дальнейшем предложенный (е, 2е) метод интенсивно развивался теоретически и экспериментально (теоретические подходы, модели и экспериментальные реализации можно найти в обзоре [2]).

Традиционная теория рассматриваемого метода прямого зондирования атомных мишеней базируется на доминировании в (е, 2е)-амплитуде механизмов низшего порядка, а именно плосковолнового импульсного приближения (plane wave impulse approximation — PWIA), являющегося первым членом ряда Борна-Фаддеева и учитывающего искаженную волну лишь в ее-канале. Однако реальный вклад высших членов до сих пор серьезно не изучен. Для оценки применимости приближения первого порядка необходимо провести расчет по крайней мере членов второго порядка. Они, однако, описываются расходящимися интегралами. Процедура перенормировки таких интегралов, т. е. определенного выделения и отбрасывания расходящихся выражений, была предложена в работе [3]. Там же фактически было показано, что, вопреки широко распространенному мнению, PWIA не является адекватным приближением для описания квазиупругих атомных процессов, и лучше работать в рамках традиционных борновских приближений, где в качестве малых параметров выступают кулоновские числа каналов рассеяния. Близкие результаты были получены также Зорбасом [4].

Целью настоящей работы является проведение численных расчетов и оценка вклада второго борцовского приближения (SBA, second Born approximation) в амплитуду для простейшей трехчастичной реакции Н(е,2е)Н+, так как в этом случае можно проверить полученные результаты на ряде анали-

тических тестов. В работе используются атомные единицы (а. е.) |е| = h = те = 1.

Обозначим энергии и импульсы падающего и двух быстрых вылетающих электронов как (Eq,Pq), (Es,ps) и (Ее,ре) соответственно. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид Й = h0l+h02+W = Й0 + W, где W = vlN+v2N+vl2 -полный потенциал системы, Vîm и v\2 — потенциалы взаимодействия электронов с неподвижным ядром (протоном) и друг с другом. Дифференциальное сечение процесса (е, 2е) (TDCS) записывается как

d3(J = PsPe

dEs dfls dfle (2ж)5ро

x ^i|rlir + rxch|2 + ||rlir-rexch|2^ . (1)

Выразим прямую амплитуду реакции Tdir через трехчастичную функцию Грина G+(E) = = (Е — H + Ю)^1, где Е — полная энергия в виде

(2)

В формуле (2) конечная ¡/у (ps. гi : р,. г2) и начальная ф^{ро,г\\Г2) волновые функции удовлетворяют уравнениям Шрёдингера

(f + f -Ho-V^j \фр = 0,

^o + f-ffo-V^j ф=0.

Поскольку амплитуда Texch может быть получена из Tdir перестановкой импульсов ps, ре, то далее для удобства будем рассматривать только амплитуду Tdir, опуская верхний индекс. Используя базис плоских волн, запишем борновский ряд для

с»

амплитуды рассеяния в виде суммы Т = ^ Т{п), где

п=о

член п = 0 соответствует первому борновскому при-

ближению (FBA, first Born approximation), п= 1 — SBA и так далее. Напоминаем, что все члены, кроме Г®, описываются расходящимися интегралами при использовании базиса плоских волн, что обусловлено дальнодействующим характером кулоновских сил. По сути это означает, что плоские волны не являются физическими асимптотическими состояниями раеееяных частиц, хотя и крайне удобны для проведения численных расчетов.

Было установлено [3], что при определенных условиях расходящиеся части можно некоторым образом вычесть из интегралов и просуммировать. При этом амплитуда рассеяния представляется произведением двух сомножителей, один из которых сходится при переходе на энергетическую поверхность, когда Е —> (Es + Ее), а другой расходится. Введем величину А = Е — Es — Ее > 0 и запишем борновский ряд при Д —> +0, выделяя из каждого его члена расходящуюся часть согласно процедуре, предложенной в работе [3]:

С» 00

TÍA) = J2 ТМ(А) = TFBA + J2 ТМ(А) =

п=о

= ЩА)

Т

FBA

(п)

тг

(3)

Все слагаемые в квадратных скобках в (3) остаются конечными, если Д—>-+0, а все расходимости собраны в сомножителе И.

Физическая амплитуда определяется как [5]

g—rfx/2+iA

т = тТЛ—^Т lim Г(1 — щ) А—»-0

-irj In А

ПА)

т

FBA

(.п)

тг

(4)

где величина г) = rqs + 'Пе + Vse — полный ку-лоновский параметр (rjs = —р^1, rqe = и rjse = |ps — ре]"1 — кулоновские параметры каналов), А = 7js ln(2pg) + 7je ln(2pg) + rjse In |ps — pe\2 — фаза Долларда [6].

Перейдем к рассмотрению (е, 2е) реакции на атоме водорода в рамках приведенного общего подхода. Положим в (2) Vf = Vi = V2N • Раскладывая функцию Грина в ряд по собственным функциям гамильтониана Я, получим

T = (ps,cp^(pe)\viN + vl2\po,m} +

(Ps, (p~(pe)\v\N + У1|2|Ф~}{Ф~ |t>iiv + О12|р0, tpo)

-Е

Е-Еа + Ю

(5)

Здесь |Фд) — симметризованная трехчастичная волновая функция задачи (с признаками сходящейся сферической волны в случае, если хотя бы один электрон находится в непрерывном спектре).

В случае квазиупругих реакций при большой начальной энергии налетающей частицы импульсы

Ро> Ps, Ре, так же как и переданный импульс Q = ро — ps, достаточно велики. Благодаря этому мы можем сделать ряд допущений и упрощений. Во-первых, будем пренебрегать слагаемыми, в которых координаты, соответствующие быстрым частицам, входят в связанные промежуточные состояния, поскольку вероятность для быстрой частицы оказаться в связанном состоянии на некоторое время достаточно мала. Во-вторых, мы оставляем только те элементарные процессы второго порядка, которые убывают с ростом энергии не быстрее, чем Q^2pfl, где индекс i пробегает значения 0,s,е.

Обратимся теперь к первому слагаемому в выражении (5). Из-за ортогональности собственных функций атома водорода {<^(ре)|ош|<^о) = 0. принадлежащих разным частям спектра, можно опустить член, соответствующий взаимодействию v\m ■ Используем разложение кулоновской функции непрерывной части спектра {<р~(ре) | по потенциалу v2м в первом порядке:

(у (ре

1 + v2NGÍ

E~í

(6)

Gt{E) = E-

•Ä9

- -'^О 1" ¿0) ,

и подставим (6) в первое слагаемое в (5), которое теперь выглядит как сумма ЕВА + Т51:

32'7Гу/7Г

FBA = (ps,pe|üi2|po, <Ро) =

<72)2

(p0-ps)2(l (q = ps+pe-po). Аббревиатурой TS1 (two-step 1) мы обозначаем один из механизмов второго порядка. Он описывает процесс, когда электрон 2 (его индекс е) после столкновения с налетающим электроном 1 (0, s) вторично взаимодействует с ионом и соответствует искажению волны атомного электрона ядром до второго порядка включительно:

TS1 = {ps,pe

4-7Г

щ ыЩ йъх

21 2

Щ2

(Ро Ps)2

<Ро(Ч

Ро,<Ро

-X)

(2тг)3 Е

р!

ю

4-7Г

4- (7)

Этот интеграл расходится на энергетической поверхности в области х~0. Если же Д>0, то интеграл сходится.

Второе слагаемое в (5) называется TS2 механизмом (two-step 2) и описывает два последовательных взаимодействия налетающего электрона 1 с системой. Специфика квазиупругих реакций позволяет сразу исключить из рассмотрения связанные промежуточные состояния иона Н-, поскольку такие матричные элементы будут пренебрежимо малы в случае быстрых процессов (е, 2е). Выделим в сумме группу функций |Ф~) = |p,ipg), g -л (n,l,m) с асимптотикой, соответствующей одному свободному электрону в континууме и одному связанному.

Так как рассматриваемое слагаемое уже включает два последовательных взаимодействия (необходимый критерий БВА), то можно полагать любой свободный электрон плоской волной. Определим механизм Т52]:

с13х 4п

х

Т52,=£

(2тг)3 (р0-р5 + *)2 [Ре(х)-8п \]<ре(д-

х

(Ро+Х)-

ю

х) 4тг 2 '

Ре(х) =

(2тг)3

Му)р*ЛУ-х).

Как легко убедиться, этот интеграл не является расходящимся на энергетической поверхности.

Теперь во втором слагаемом в (5) выделим в сумме промежуточные состояния с двумя асимптотическими свободными электронами. Сначала положим |Ф"> = |р,<р~(р')), а затем в конце вычислений заменим кулоновскую волну плоской (это позволяет избавиться от некоторых нефизических эффектов, возникающих лишь из-за используемых приближений). В результате определяются еще два механизма:

с13х 4п

Т5221 =

(2тг)3 (ро-рз ■

Ыя-

X

Н х)2

X)

ТБ222 = <ро(д)

п 2 ' йъх

2

4п

Ю

47Г Т2'

(8)

(2тг)3 (р0-р8+х)2

X

(р>—_ (р,-+х)'2 ^ х:

4-7Г

(9)

Эти интегралы являются расходящимися на энергетической поверхности при лс~0.

ТБСв, а.е.

Чтобы получить физическую амплитуду, необходимо правильно произвести перенормировку интегралов (7), (8) и (9), т.е. определенным образом вычесть расходящиеся части, чтобы остаток соответствовал физической амплитуде рассеяния до второго порядка включительно. Формула (4) позволяет это сделать в полной мере, учитывая, что канальные кулоновские числа как раз и являются малыми параметрами разложения в борновские ряды. В целях экономии места мы опускаем детали этой процедуры. Упомянем лишь, что в выражениях (7), (8) и (9) одновременно добавляется и вычитается соответствующее слагаемое, которое аналитически вычисляется при Д>0 и одновременно компенсирует расходимость в интеграле при переходе на энергетическую поверхность. Полученные таким образом выражения сравниваются с эталонной амплитудой (4), разложенной в борновский ряд до второго порядка по кулоновским параметрам.

Для проведения расчетов выбрана геометрия экспериментов (е,2е) на гелиевой мишени, проведенных группой Такахаши [7], где энергия вылетающих электронов была равна Е8 = Ее= 1 КеУ и полярные углы вв = ве = 45° фиксировались относительно направления импульса налетающего электрона. Менялся лишь азимутальный угол одного из вылетевших электронов (импульс ре выходил из плоскости импульсов ро и рх), что при большой начальной энергии приводило к изменению импульса ц в широком диапазоне. В рассматриваемых экспериментах измерялось дифференциальное сечение (ТЭСБ) как функция ц.

На рис. 1, а представлены результаты расчетов дифференциального сечения (1) как в приближении РВА, так и с учетом вкладов некоторых механизмов второго порядка — ТБ1 (7), ТБ221 (8) и ТБ222 (9) (их сумма обозначена как 5ВАЫП1р|е). Они достаточ-

ТОСв, а.е.

2.5 3.0 3.5 Импульс д, а.е.

2.5 3.0 3.5 Импульс д, а.е.

Рис. 1. Трехкратное дифференциальное сечение реакции Н(е,2е)Н + в приближениях: а — РВА (штриховая линия) и БВА15"111-'1'-- (сплошная); б — РВА (сплошная линия) и с учетом вкладов различных механизмов БВА15"111-'1'-- (штриховая линия — ТБ1, штрихпунктирная — ТБ221, пунктирная — ТБ222)

TDCS, а.е. TDCS, а.е.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.5 3.0 3.5

Импульс д, а.е. Импульс а.е.

Рис. 2. Трехкратное дифференциальное сечение реакции Н(е,2е)Н+ в приближениях РВА (штрих-пунктирная линия) и С"\¥ВА (сплошная линия — точный расчет; штриховая линия — приближенно вплоть до второго порядка; пунктирная линия — приближенно вплоть до третьего порядка)

в линейной (а) и логарифмической (б) шкалах

но заметно завышают FBA как при малых, так и при больших q. Напомним, что эти механизмы приводят к искажению плоских волн быстрых электронов в конечном состоянии. Механизмы TS221 и TS1 отвечают за искажение плоской волны одного из конечных электронов полем ядра, что существенно завышает сечение, тогда как TS222 отвечает за искажение волн за счет их кулоновского отталкивания и уменьшает сечение, как показано на рис. 1,6.

В случае атома водорода имеется ряд аналитических тестов, позволяющих не только проверить качество численных расчетов, но и сделать определенные выводы о качестве второго борновского приближения. Первое слагаемое в (5), которое мы обозначим как CWBA (Coulomb wave Born approximation), может быть вычислено аналитически (см., напр., [8]). Плосковолновые приближения второго и третьего порядков для CWBA получаются соответствующими разложениями в ряд Тэйлора по кулоновскому параметру г/е. Абсолютно такие же результаты получаются в случае применения процедуры перенормировки (4). При этом заметим, что интеграл TS1 относится к так называемым интегралам типа Льюиса [9] и вычисляется аналитически. Результаты описанного теста представлены на рис. 2 (а — в линейной шкале, б — в логарифмической). Кривые сечения с учетом FBA и CWBA практически совпадают в диапазоне небольших импульсов отдачи q, a (FBA+TS1) расположено почти на 20% выше CWBA при qm¡n. Из этого следует парадоксальный вывод, что учет механизмов искажения волн в рамках SBA не улучшает, а ухудшает результаты. Более того, если посмотреть на рис. 1, где представлены вклады отдельных механизмов и их сумма, то ввиду интерференции их совместное действие еще дальше отдаляет SBA от FBA. Этот негативный эффект всецело следует отнести к качеству прибли-

жения кулоновской функции непрерывного спектра плоской волной: для этого требуется больше членов ряда Тейлора, чем два.

Учет вкладов промежуточных возбуждений п= 1,2 представлен на рис. 3 (кривая БВАех1). Как можно видеть, их учет практически не меняет сечение при небольших q. Вклад ^-перехода, отвечающего за искажение в начальном состоянии (упругое перерассеяние), проявляет себя уже начиная с q = 2 и становится заметен на фоне существенного убывания самого сечения, рассчитанного в РВА. Учет переходов в 2« и 2р практически не дает вклада.

В заключение можно сформулировать ряд выводов. Во-первых, непосредственный учет промежуточного континуума в расчетах процессов второго порядка при рассматриваемых энергиях ухудшает качество приближения в случае процессов квазиупругого выбивания. Во-вторых, проведенный учет

Рис. 3. Трехкратное дифференциальное сечение реакции Н(е,2е)Н+ в приближениях БВА15"111-'11" (сплошная линия) и 5ВАех' (штрихпунктирная)

промежуточных возбуждений показал, что вклад ^-состояния, отвечающего за искажение в начальном состоянии, заметен начиная с д = 2, а вклад и 2р -возбуждений практически равен нулю. Эффект «задирания хвоста» импульсного распределения при больших д в расчетах Р\¥ВА хорошо известен [7], однако чисто численные схемы никогда не давали возможность связать его именно с упругим промежуточным перерассеянием. В-третьих, проведенные тесты на основе разложения в ряд Тейлора по куло-новским параметрам точных матричных элементов показывают их полное совпадение с результатами теории перенормировок. Оценка третьего порядка разложения в ряд Тейлора говорит о недостаточности учета членов даже второго порядка при рассматриваемой энергии 1 КэВ на улетающий электрон. Для подавляющего доминирования первого борцовского приближения ЕВА, которое несет основную информацию о волновой функции мишени, необходимо увеличить энергию по крайней мере раза

в три, что приведет к существенному уменьшению сечения и, следовательно, к трудностям экспериментального характера.

Литература

1. Смирнов Ю.Ф., Неудачин В.Г. // Письма в ЖЭТФ. 1966. 3. Р. 298.

2. Неудачин В.Г., Попов Ю.В., Смирнов Ю.Ф. // УФН. 1999. 169. Р. 1111.

3. Popov Yu. И J. Phys. В. 1981. 14. P. 2449.

4. Zorbasl. 11 Int. J. Theor. Phys. 1981. 20. P. 921.

5. Shablov V.L., Bilyk V.A., Popov Yu.V. 11 Phys. Rev. A. 2002. 65. P. 042719.

6. Dollar d i.D. 11 J. Math. Phys. 1964. 5. P. 729.

7. Watanabe N. et al. 11 Phys. Rev. 2005. A72. P. 032705.

8. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука," 1974.

9. Lewis R.R. // Phys. Rev. 1956. 102. P. 537.

Поступила в редакцию 05.02.07