Исследование уровней оператора Шредингера на границе непрерывного спектра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Н. И. Плетникова

nat _ [email protected]

ИССЛЕДОВАНИЕ УРОВНЕЙ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ГРАНИЦЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, собственное значение, резонанс.

Abstract. We consider the one-dimensional Schrodinger operator Hn with the non-local perturbed step potential. We prove that there exists the unique level (i.e. eigenvalue or resonance of the operator Hn ) in the neighborhood of the boundary of the essential spectrum of the operator Hn .

Введение

Рассмотрим уравнение Шредингера

Ипф = Еф, (0.1)

d2 п где Нп = ~~^2 + VoO(x) + '^2 ^Рз)^Рз > а Е е С . Здесь V0 =

j=1

const < 0 (случай V0 > 0 аналогичен), 9(x) функция Хевисайда,

Xj € R (j = 1,... ,п) , (ф, <pj) = ф-Щdx . Функции ipj : R —>■ С

J R

(j = 1,... ,n) линейно независимы и удовлетворяют для любого j неравенству вида \ipj(x)\ ^ Cje~a^x\ , где (Xj > 2л/|Ро| •

п

С физической точки зрения V = VqQ(x) + Xj (-,Pj )^j пред-

3=1

ставляет собой потенциал, отвечающий поверхности; здесь Xj(-,<Pj)^j — это (нелокальные) сепарабельные потенциалы.

§ 1. Основные результаты

Уравнение (0.1) рассматриваем в классе функций ф таких,

что

ф ■ фу Є ^(Б,), І = !,...,п. (1.1)

й2

Положим Н = + Уов(х) , тогда

П

(Н - Е)ф = -^ Ху (ф,фу )фу. (1.2)

3 = 1

Вид функции Грина С(х,у,Е,Уо) оператора Н (ядро резольвенты) приведен в работе [1].

Спектр о(Н) оператора Н совпадает с существенным спектром (Нп) оператора Нп и равен \Уо, +то).

Пусть Е Є V, +го) . В этом случае уравнение (1.2) можно привести к интегральному виду

п „

ф = -^2 Х3(ф, Фз)] G(x, y, E, у0)Ф3(у) йу. (1.3)

3 = 1

и.

Под резонансом оператора Нп будем понимать такое Е Є С с 1т у/Е — Уо < 0, для которого существует решение уравнения (1.3), удовлетворяющее условию (1.1).

Уровнем Е оператора Нп будем называть собственное значение или резонанс оператора (а также соответствующее Е число к = л/Е — У0).

Обозначим к = \[Ё, тогда к = \/к2 + У$ . Вместо С(х, у, Е, У$) будем писать С(х, у, к) . Определим функцию

^(х, к) = кС(х, у, к)фз(у) йу.

/и

Лемма 1.1. Функции

Еі(х, к),Е2(х, к),..., Еп (х, к) линейно независимы.

Лемма 1.2. Для любых j,l = 1,... ,п функция

ря(х) = ^^(х, у, я)щ(у)<р1(х) с1ус1х я2

является аналитической функцией в некоторой достаточно малой окрестности точки к = 0, причем Fjl(0) = 0 .

Запишем уравнение (1.3) в виде

1 "

ф =—^2 <р№(х, к),

к *■—4

j=l

Отсюда

гр =----'^2 XjCjFj(x, я), Cj = сопэ!.

j=l

Следовательно,

^2 Хз°зРз(х' ^ = ~~^2Т1 Х1Х1С1РЛХ)РАХ, к). j=l 1=1 j=l

Вследствие леммы 1.1 получаем систему линейных уравнений

( кС\ = ЕП=1 ^ Ч Ъ^к),

-кС 2 = £П=1 Xj С Fj2(к),

{ —кСп = ТТ3=1 ^ С3 щп(к)

относительно С1, С2, ■ ■ ■, Сп . Определитель этой системы имеет вид

Д(А, к) =

к + А^ц(к) А2F2l(к)

АlFl2 (к) к + А2F22 (к)

АlFln(к) А2F2n(к)

Ап^1(к)

АnFn2(к')

к + АпЕпп(к)

где А = (А1, А2,..., Ап).

Положим (к) = -^¿(0) + 2^(0)х + °(х) • Раскладывая

функцию Fjl(к) в ряд Тейлора (учитываем, что Fjl(0) = 0), получим

Д(А, к) = кпДо(А, к) =

я

1 + \іУіі(ж) Л2 V2i(k)

ЛіУІ2(к) 1 + Л2 V22 (к)

Лп 'Vn1(к) Лп Vп2(к)

Л1^1п(к) Л2 V2n(K) • • • 1 + ЛпУпп(к)

Заметим, что существование уровня оператора Нп эквивалентно выполнению равенства До(Л, к) = 0 (к = 0) .

Теорема 1.1. Пусть вектор Л удовлетворяет условиям

~ д л

До(А, 0) = 0 и —— До(Л, 0) ^ 0. Тогда для всех А из малой

дк_

окрестности точки Л Є Rn существует единственный уровень к = к(Л) оператора Нп, аналитически зависящий от Л и такой, что lim к(Л) = 0 . л^л

Список литературы

1. Чубурин Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмушенной ступеньки // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 277-290.