CC BY
148
УДК 378.016:51
Волкова Татьяна Сергеевна
Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, г. Санкт-Петербург
tanya-volko va@mail. ш
ИССЛЕДОВАНИЕ УМЕНИЙ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В статье обосновывается, в том числе и на основе анализа результатов локального экспериментального исследования, необходимость включения методов решения задач по элементарной теории чисел в содержание предметной подготовки современного учителя математики. Готовность решать такие задачи является неотъемлемой частью профессиональной компетентности учителя математики сегодня.
Ключевые слова: компетентностный подход, предметная компетентность, элементарная теория чисел; методы решения задач.
Сегодня предъявляются все возрастающие требования к подготовке учителя математики. Эти требования представлены в виде совокупности компетенций, прежде всего, профессиональных [9].
Под профессиональной компетенцией понимают систему требований к осуществлению профессиональной деятельности выпускником вуза или действующим специалистом на основе сформированной системы знаний, представлений и умений. Современный специалист должен в своей профессиональной деятельности активно использовать не только сугубо профессиональные знания, умения и личный опыт, но и качества личности, обеспечивающие человеку успешность в трудовой деятельности, такие, как способность (умение) решать различные профессиональные задачи в постоянно меняющихся условиях, инициатива, способность работать в группе, коммуникативные способности [7]. При этом при оценке результатов профессиональной деятельности учителя используется, кроме выше приведенного понятия «компетенция», понятие «профессиональная компетентность учителя».
Мы разделяем точку зрения коллектива авторов РГПУ им. А.И. Герцена, согласно которой содержание этих понятий различается. Так, профессиональная компетентность учителя - это «интегральная характеристика, определяющая способность специалиста решать профессиональные проблемы и типичные профессиональные задачи, возникающие в реальных ситуациях профессиональной деятельности, с использованием знаний, профессионального и жизненного опыта, ценностей и наклонностей [5, с. 8]». А компетенция - это требование (норма) к подготовке выпускника педагогического вуза, зафиксированная в Федеральном образовательном стандарте высшего образования и основной образовательной программе.
Профессиональная компетентность учителя предметника (в нашем случаи учителя математики) - многокомпонентное понятие. Авторы статьи «К постановке проблемы формирования предметной компетентности современного учителя математики» выделяют три составляющие профессиональной компетентности учителя математики: общую
психолого-педагогическую, методическую и предметную компетентности [8]. Психолого-педагогическая компетентность, по их мнению, обеспечивает эффективность решения проблем общения учителя с учащимися, родителями, коллегами, воспитания и общего интеллектуального развития учащихся. Методическая компетентность отвечает за эффективное решение задач реализации процесса обучения математике. Предметная компетентность обеспечивает эффективное осуществление предметной (математической) деятельности, которая является содержательной основой профессиональной деятельности учителя математики как учителя-предметника [8].
Под предметной компетентностью учителя математики как составляющей профессиональной его компетентности, мы понимаем интегральную характеристику, определяющую способность специалиста решать предметные задачи, используя знания классических разделов математики и опыт математической деятельности.
Требования к современному учителю математики состоят в том, что он должен осуществлять обучение школьников, как на базовом, так и на углубленном уровне. В последнем случае учитель математики должен показать готовность решать задачи повышенного уровня сложности, например, задачи раздела «С» Единого Государственного экзамена (ЕГЭ), а также олимпиадные задачи. Это, в свою очередь, требует от учителя не просто умения решить задачу одним способом, но и уметь применять различные приемы, способы и методы ее решения.
Изменения, происходящие в системе общего среднего математического образования, в частности, связанные с его содержанием, не могут не отразиться на требованиях к предметной подготовке учителя математики. Так, в соответствии с примерной программой основного общего образования по математике учащиеся должны знать основные понятия и уметь решать задачи элементарной теории чисел [6]. Под элементарной теорией чисел обычно рассматривается «...раздел теории чисел, изучающий свойства целых чисел элементарными методами» [1, с. 996].
118
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ 2014, Том 20
© Волкова Т.С., 2014
Исследование умений будущих учителей математики решать задачи по элементарной теории чисел
Причем, если раньше делимость чисел в общеобразовательной школе изучалась только в курсе «Математика» в 5-6 классах, то сегодня в курсы «Алгебра» основной и «Алгебра и начала анализа» старшей школы включены более сложные вопросы элементарной теории чисел.
Для того чтобы учитель математики мог организовать работу по изучению элементов элементарной теории чисел в курсе математики средней школы, а также более сложных вопросов элементарной теории чисел для учащихся интересующихся математикой, он должен быть готов решать соответствующие предметные задачи, в том числе повышенного уровня сложности.
При подготовке в педагогическом вузе будущих учителей математики соответствующее содержание изучается в курсе «Теория чисел», а также в курсах «Элементарная математика» и практикумах по решению математических задач. Из этого следует, что определенными умениями по решению соответствующих задач они должны обладать. Возникает вопрос, соответствуют ли эти умения современным требованиям к учителю математики?
Для того чтобы определить уровень готовности будущих учителей математики решать задачи по элементарной теории чисел мы провели эксперимент.
Эксперимент проводился в 2011-2012 учебном году на базе Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена и Псковского государственного педагогического университета им. С.М. Кирова.
Цель эксперимента состояла в определении уровня овладения студентами умением решать задачи элементарной теории чисел. Для этого были выбраны студенты 1 курса магистратуры (выпускники бакалавриата) по направлению «050100 -Педагогическое образование» по программе «Математическое образование в системе профильного обучения» (в СПб), студенты 2 курса магистратуры по направлению «050200 - Физико-математическое образование» (в СПб), и 5 курса специали-тета по специальности «050201 - Математика» (в Пскове).
Студентам было предложено 7 задач по элементарной теории чисел. Набор задач содержал задачи на: решение Диофантовых уравнений, делимость, деление с остатком. При этом набор был составлен так, что студенты должны были показать владение различными приемами и методами решения таких задач: методом сравнения по модулю; разложения на множители; делимости правой и левой частей равенства, в частности, четности левой и правой части равенства; методом математической индукции; приемами перебора остатков при делении на данное число, определение последней цифры, позиционной записи числа и др. Особое требование состояло в том, что при решении пер-
вой задачи студенты должны предложить 3 различных способа ее решения.
Следует обратить внимание на то, что первые четыре из предложенных задач являются типовыми и соответствуют задачам, представленным в учебниках для основной и старшей школы (для классов с повышенным уровнем математической подготовки и профильных классов, соответственно).
Приведем текст этих задач.
(1) Найдите остаток от деления на 5 числа 19475-3. Предложите три способа решения.
(2) Найдите все натуральные числа п такие, что число п3+5п делится на 6.
(3) Решите в натуральных числах уравнение
1 +1 -_1_
а Ь 25 '
(4) У натурального числа п ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найдите п.
(5) Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки [2, с. 36].
(6) Найдите все пары пятизначных чисел (х, у) таких, что число ху, полученное приписыванием десятичной записи числа у после десятичной записи числа х, делится на х • у [2, с. 48].
(7) Решите в целых числах уравнение
от4 -2п2 - 1 [2, с. 60].
Решение первых четырех задач требует знания основных теоретических сведений элементарной теории чисел, методов их решения. Например, при решении задачи (1) студенты могли предложить следующие способы ее решения: решение задачи с помощью сравнения по модулю, определения последней цифры, использования бинома Ньютона, выделение слагаемого заведомо делящегося на данное число. Для решения задачи (2) студент должен знать и уметь применять следующие методы и приемы: метод математической индукции по остаткам при делении на данное число, перебор остатков при делении на данное число, выделение слагаемого заведомо делящегося на данное число.
Задачи 5-7 являются задачами повышенного уровня сложности. Они были предложены в демонстрационных материалах ЕГЭ в 2010-2012 годах. При их решении студент должен был продемонстрировать умения применять комплекс теоретических знаний по элементарной теории чисел и совокупность математических приемов и методов [2; 3; 4].
В эксперименте участвовало 46 студентов. Проверка работ показала, что умение решать задачи элементарной теории чисел у студентов сформировано недостаточно. Об этом свидетельствует тот факт, что 54% студентов не решили ни одной задачи.
Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика ♦ .№ 3
119
30.00%
5 20.00%
г
с
о =
О £ £
А
3
15,00%
10.00%
0,00%
1 способ 2способа 3 способа 1
Ни
I
Номер задания Рис. 1.
Наибольшее число из оставшихся студентов решили одну задачу. Они составили 26% всех опрошенных студентов. При этом наибольшее количество решенных задач оказалось, равным (3 из 7 возможных). Три задачи решили только 3 студента (6% всех опрошенных). Нужно заметить, что ни один из них не решил ни одной задачи повышенного уровня сложности, которые встречаются в ЕГЭ.
На диаграмме (рис. 1) представлено процентное отношение студентов, решивших каждую из предложенных задач, к общему числу опрошенных.
При решении первой задачи большинство студентов предложили только один способ решения (преимущественно был использован метод сравнения по модулю, который изучается в вузовских курсах «Алгебра» и «Теория чисел»). Только восемь студентов (17%) продемонстрировали знание приема определения последней цифры, который часто применяется при решении таких задач в школе. Ни один студент не решил эту задачу способом разложения на множители, используя формулы сокращенного умножения. Это показывает, что задачи такого типа знакомы студентам, но они не владеют набором разнообразных способов их решения.
При решении задач прием разложения на множители применили треть студентов, но не во всех задачам, где его можно было применить. Менее 20% студентов продемонстрировали знание и умение применять такие методы как выражение одной переменной через другую, делимости правой и левой части равенства, четности, позиционной записи. Менее 10% студентов продемонстрировали знание и умение применять такие методы и приемы как метод математической индукции, перебор остатков при делении на данное число, замена переменной.
Что касается решения более сложных задач (57), то следует констатировать, что только 5 студентов (10%) решили одну (задачу под номером 7).
Таким образом, проведенный эксперимент показал, что уровень владения студентами - будущими учителями математики умением решать задачи элементарной теории чисел не соответствует современным требованиям. Такое положение дел не может обеспечить успешность деятельности выпускника вуза по обучению школьников решению таких задач. Как следствие этого, мы пришли к выводу о необходимости разработки методики обучения студентов решению задач элементарной теории чисел, в которой использовался бы более широкий спектр таких задач и разнообразные методы и приемы их решения. Реализацию этой методики целесообразно было бы осуществить в курсах «элементарная математика», «практикум решения задач по элементарной математике» (в бакалавриате) и в курсе «практикум по решению математических задач повышенной сложности» магистратуры.
Библиографический список
1. Виноградов И.М. Элементарная теория чисел // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1985. - Т. 5. - С. 996.
2. ЕГЭ 2010. Математика. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий / Э.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров. - М.: АСТ «Аст-рель», 2010. - 88 с.
3. ЕГЭ 2011. Математика. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий. / Э.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров. - М.: АСТ «Астрель», 2010. - 88 с.
4. ЕГЭ 2012. Математика. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий / Э.Р. Вы-
120
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ 2014, Том 20
Дидактические условия тьюторского сопровождения дистанционного повышения квалификации педагогов
соцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров. - М.: АСТ «Аст-рель», 2012. - 88 с.
5. Компетентностный подход в педагогическом образовании / под ред. В.А. Козырева, Н.Ф. Радионовой, А.П. Тряпицыной. - 3-е изд., исправленное. - СПб: РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. - 391 с.
6. Примерная программа основного общего образования по математике [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://standart.edu.ru/ catalog.aspx?CatalogId=2629 (дата обращения: 26.01.2013).
7. Стефанова Н.Л. Компетентность современного учителя математики и пути ее формирования в процессе методической подготовки в вузе // Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. работ, представленных на Междунар. науч.
конф. «56-е Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003. - С. 14-18.
8. Стефанова Н.Л., Пономарчук О.С. К постановке проблемы формирования предметной компетентности современного учителя математики // Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. работ, представленных на Междунар. науч. конф. «58-е Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - С. 35-38.
9. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» (квалификация (степень) «бакалавр / магистр») [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.fgosvpo.ru. (дата обращения: 10.08.2012).
УДК 37.4.7
Городецкая Наталья Ивановна
кандидат педагогических наук Нижегородский институт развития образования
nigorod@gmail. com
ДИДАКТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ТЬЮТОРСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ДИСТАНЦИОННОГО ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ ПЕДАГОГОВ
Выявлены дидактические условия тьюторского сопровождения дистанционного повышения квалификации педагогов, ориентированного на профессиональное развитие педагога. Представлена модель тьюторского сопровождения, основанная на построении индивидуального образовательного маршрута профессионального развития педагога.
Ключевые слова: дидактические условия, повышение квалификации педагогов, тьторское сопровождение, индивидуальный образовательный маршрут, дистанционные образовательные технологии.
Возрастающая популярность дистанционного формата обучения у потребителей образовательных услуг, а также принятие Федерального закона от 29.12.2012 № 273-Ф3 (ред. от 05.05.2014) «Об образовании в Российской Федерации» (статья 16) и издание Приказа Ми-нобрнауки России от 09.01.2014 № 2 «Об утверждении Порядка применения организациями, осуществляющими образовательную деятельность, электронного обучения, дистанционных образовательных технологий при реализации образовательных программ» создают предпосылки для активного использования дистанционных образовательных технологий при реализации образовательных программ, что позволяет образовательным организациям интенсивно расширять и обогащать спектр своих образовательных предложений. Разработка новых модульных образовательных программ дистанционного обучения в свою очередь актуализирует необходимость внедрения инновационных образовательных технологий, направленных на подержание вариативности и индивидуализации обучения, что само по себе обуславливает процессы внедрения технологий сопровождения в образовании.
Применительно к системе дистанционного повышения квалификации педагогов инновационный комплекс дидактических условий (совокупность ресурсных и процессуальных компонентов образовательного процесса), обеспечивающий переход к вариативности, индивидуализации и открытости образовательного процесса индуцируется посредством проектирования, разработки и реализации модульных образовательных программ с учетом принципа открытости к внешним запросам педагогической общественности. Выстраивание индивидуальных учебных планов (маршрутов) дистанционного повышения квалификации и их реализация на основе функционирования модели тьюторс-кого сопровождения, целевым ориентиром которой является профессиональное развитие педагогов, позволяет максимально приблизить предоставляемые образовательные услуги индивидуальным профессиональным запросам специалистов системы образования. Основываясь на концептуальной идее дистанционного обучения: предоставление качественных образовательных услуг по месту жительства обучаемых в соответствии с их образовательными потребностями, а также на имеющемся опыте педагогических практик тьюторского сопровож-
© Городецкая Н.И., 2014
Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика ♦ .№ 3
121
