CC BY
23
УДК 517.9
Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОДЕ
Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Представлены численные результаты расчетов.
Ключевые слова: нелинейная среда, распространение электромагнитных волн в волноводе, задача на собственные значения, интегральные уравнения, численный метод.
Abstract. Problem of propagation of TM-polarized electromagnetic waves in nonlinear dielectric waveguide with circular cross-section is considered. Waveguide filled nonlinear media with Kerr law. The problem is reduced to the nonlinear eigenvalue problem for integral operator-function. Contraction type principle is used for solving the problem. Numerical results are presented.
Keywords: nonlinear media, propagation of electromagnetic waves in waveguides, eigenvalue problems, integral equations, numerical methods.
Введение
Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур [1-4].
Постановка задачи
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью е = e0£i = const, где £q > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, а £l > 1 - относительная диэлектрическая проницаемость среды. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод W = {(X, y, z):
2 2 2
x + y < R } радиуса R однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным круговым сечением.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде [1].
Пусть диэлектрическая проницаемость е внутри волновода определяется по закону Керра:
£ = (£2 +а |Е| 2)£0,
где а и £2 - вещественные положительные константы. Здесь £2 - постоянная составляющая проницаемости е ; а - коэффициент нелинейности. Среда предполагается изотропной и немагнитной, ц = ^о , где ^о > 0 - магнитная проницаемость вакуума.
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле собственной волны Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла [1]:
rot H = -юеЕ,
(1)
rot Е = /юцН,
условиям непрерывности касательных составляющих поля Нт и Ет при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания поля на бесконечности.
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн с зависимостью exp(iyz) от продольной координаты, где у - вещественная постоянная распространения волны.
Предполагаем, что внутри и вне волновода ц = ^0 , £ = ££0 , где £ >1 -
относительная диэлектрическая проницаемость. Обозначим также 2 2
¿0 = ю £#0, где ^0 > 0 - волновое число вакуума.
В цилиндрической системе координат (р, ф, z) с учетом ТМ-поляриза-ции уравнения Максвелла можно привести к системе из двух уравнений:
2 ■ дв. 2~ у вр+/у’эр=k0 £вр,
1 д / х 1 д ( дв.) ,2_ (2)
!^р эрЫ-
Р-
= к0 є ez.
рТр ^ ; рЭр^ Эр
При этом hp выражается через функции Єр и ez по формуле
Y 1 Tez
н — —1— е-----------— .
ф юц0 Р Эр
Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы дифференциальных уравнений
Обозначим ер (р; Y) — ^(р; Y), іе— (р; Y) — м2(р; Y).
Будем предполагать, что Иі(р; Y), и2(р; Y) - вещественные функции. Зависимость от Y и (или) р будем опускать там, где это не приводит к неясности.
Обозначая — ко2£2 _ Y2, получим систему дифференциальных
уравнений внутри волновода:
2
-k2 u1 +Yu2 = fh _Y'_(ри1) (ри2 ) -k0e2u2 = f2,
. р р
(3)
где производная означает дифференцирование по р,
fl = k^a|u| ui, f2 = k0ja|u| u2 ,
I |2 2 2 T
u = ui ^ u2 , u = (ui, u2 ) .
(4)
Вне волновода £ = £¡£9. Тогда система дифференциальных уравнений вне волновода преобразуется к виду
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача Р). Требуется отыскать не равные одновременно тождественно нулю на полубесконечном интервале р> 0 функции щ (р), н2 (р) класса
и соответствующие собственные значения у такие, что ^(р), м2(р) удовлетворяют системе уравнений (3) на интервале (0, Я), уравнениям (6) на интервале (Я, +го), условиям сопряжения (7) и условиям экспоненциального убывания функций п\ (р), н2 (р) на бесконечности при р^^ . Спектральным параметром задачи является вещественное число у .
Функция Грина
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (3). Из первого уравнения системы выражаем функцию щ
(5)
С учетом условий на бесконечности получим решение системы (5):
u2 = Ez = Ско(Ьр) , ui = Ер = CK0(кір),
k
(6)
где C = const - произвольная постоянная; K0 (z) = (iz) - функция
Макдональда [5].
Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид
[u2] = 0, [eui ] = 0 .
(7)
u1, u2 є C2(0, R) n C2 (R, +«,) n C[0, R] n C[R, +«,)
(8)
и подставляем ее во второе уравнение, которое и будем решать:
1
-у-
р
(
1
V
1
р^(щ2 - /1)-(рщ2 ) - "о £2щ2 = /2.
р
(9)
\ 2 ;
Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка
2 ( \
Ьщ2 =(рщ2 ) + к22рщ2 = 7"2
к0 £2
-г(р/1)'-р/2
(10)
2
с линейной частью Ьы2 = (рм2) + "2 рм2 .
Уравнение (10) может быть переписано в виде
2
(рщ2) +"2 р“2 = Р,0<р<Я.
где
"02£2
Лт(р/1),-р/2
(11)
(12)
Построим функцию Грина для краевой задачи:
\ЬО = -§(р - г),
[О| р=0 - ограничена, Ор=Я = 0,
где дифференциальный оператор определяется формулой
й2 й 2
^ = р—2 + з~+ "2 р. й р й р
(13)
(14)
Используя метод построения функции Грина, описанный в [6], получим п
О (г, р) = <
2 Jo(k2 Я)
п
2 Jo(k2 Я)
((0(к2р)(0(к2г)^0(к2Я) -^0(к2р)^0(к2г)(0(к2Я)),
р<г <Я,
((к2р)(0(к2г)^0(к2Я) -^0(к2р)^0(к2г)(0(к2Я)),
г <р<Я.
(15)
Здесь ^0(р) - функция Бесселя нулевого порядка, ()(р) - функция Неймана нулевого порядка. Функция Грина существует при таких значениях параметров, что Jo("2Я) ^ 0 .
Сведение краевой задачи к системе нелинейных интегральных уравнений
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (3). Используя вторую формулу Грина, получаем представление решения внутри волновода при г е (0, Я):
2
"
2
Я
0
«2 (г) — | Г(г, р)Р(р)йр + Яи2 (Я - 0) Эр-(г, Я);
(16)
Y Э Я /1(г) YЯ Э20
«1 (г) —~Ч Т [ С(г, р) Р (р)^ р -+ «2 (Я - 0) —- (г, Я). (17)
к 2 Э^ к22 к22 ЭрЭг
0
Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид
|2
[и2] — 0 , е2 и1 \г—Я-0 - е1 и1 \г—Я+0 + °«1 |и|'
— 0.
г—Я-0
Выберем условие нормировки в виде С = 1, тогда
«2(Я - 0) = КАЯ), и получаем дисперсионное соотношение:
(18)
(19)
Д(у) = £2щ (Я - 0) + аи1 (Я - 0)|и(Я - 0)|2 + £1 К0'("1Я) = 0 (20)
"1
при условии, что функции Щ1, Щ2 являются решением системы уравнений
Я -л2/
«1(г)—
Y Э к22 Эг
| а (г, р)Р(р)йр - ^ + ^2 К (к1Я) (г, Я),
0
ЭГ
ЭрЭг^
Я
(21)
«2 (г) — | а (г, р)Р (р)й р + ЯКАЯ Эа (г, Я).
0
Эр
Преобразуем систему (21) к более удобному виду, не содержащему производных под интегралом от неизвестных функций. После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:
Я
у Я р—2—Ї ~г р/2йр—г/1(г)+н1(г), ЭгЭр к02£2 0 Эг к22
ЯЭГ к 2 Я
«2 (г) —----2^ [ ^-рУ1^р-------2^ [ Гр/2йр + *2 (г),
к()е2 0 Эр № 0
(22)
где
*1(г) — -LКАЯ), *2(г) — КАЯ).
к2 ^0(к2Я)
Я)
(23)
Для представления системы (22) в виде матричного оператора введем матрицу ядер:
К(г,р) — {Кпт (г ,р)У
п,т—1
—-р
^11Грг ^12Гг
Ч21Гр Ч22Г
(24)
где индексы у функции О обозначают частные производные, и матрицу коэффициентов:
Я =
411 412 = 1 "(У / к2)2 У
_<?21 422 _ є2 _ У 1 22 к
(25)
а также матричный линейный интегральный оператор К = {Кпт} пт= с операторами Кпт , связанный с системой (22):
я
Кі = | К (г, рЖрМр, (26)
0
Т
где ё = (&Ъ §2) •
Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде:
|2 ч т/| |2
и = аК(|и| и) - а 1(|и| и) + Ь ,
т
где Ь = (/?!, ^2) , а оператор I определяется формулой
1=^к к2
1 0 0 0
(27)
(28)
Отметим, что операторы К, I являются линейными.
Введем также линейные операторы №= а(К - I) и N9:= К - I.
Будем рассматривать уравнение (27) в пространстве непрерывных
функций С[0, Я] = С[0, Я] X С[0, Я] с нормой ||и||С = ЩЦС + \и2^с
\\с
где
\и\г = тах и(х).
с хе[0,Я]
Исследование ядер интегральных операторов
Для изучения интегрального оператора (26) рассмотрим свойства ядер соответствующих интегральных операторов. Пусть П = (0,Я)х(0,Я). Используя свойства функций Бесселя и Неймана, а также вычисляя пределы функции Грина и ее производных при г ^ 0, р ^ 0 , получим справедливость следующего утверждения.
Утверждение 1. Функции кц(г, р) и ^22(г, р) непрерывны в квадрате
П = [0, Я] х[0, Я]. Функция ^12(г, р) ограничена в и непрерывна в Т и в Т \{0}, функция к2\(г,р) ограничена в П и непрерывна в Т+ и в Т , где
Т + ={(г, р) еП, р> г},Т - ={(г, р) еП, р< г}.
Под непрерывностью функции /(г, р) в Т + (в Т ) понимается, что для любой точки (г0, рд) е Т + ((г0, рд) е Т )
lim f (r, р) = f (r0, Po) ( lim f (r, p) = f (r0, Po)).
r ^ro,p-^Po _ r ^ro,p^Po _
(r,p)eT+ ,(ro,Po)eT+ (r,p)eF ,(ro,Po)eT
Под непрерывностью функции f (r, p) в T \{o} понимается, что
функция непрерывна во всех точках T (в вышеуказанном смысле), за исключением точки r = o, P = o .
Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать ограниченность оператора K: C[o, Я] ^ C[o, Я]. Очевидно, что оператор J: C[o, Я] ^ C[o, Я] также ограничен. Соответствующее утверждение с оценками норм операторов будет дано далее.
Оценки норм интегральных операторов
Оценим нормы интегральных операторов в C[o,Я] = C[o,Я] X C[o, Я], которые потребуются в дальнейшем. Пусть матричный линейный интеграль-
2
ный оператор К = {Knm } = задан формулой
Я
Кф = J К( х, у)ф( у) dy (29)
o
с ограниченными ядрами Knm (х, у), обладающими свойствами, сформулированными в утверждении 1.
Тогда верно
Утверждение 2. Пусть интегральный оператор К:C[o,Я] ^C[o,Я] задан формулой (29) с ограниченными в квадрате [o, Я] X [o, Я] ядрами Knm (х, у), заданными формулами (24) и (25). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы
" ” < M,
где M2 = 2
C^C
( ., ,.2 .,2 Л
max IК ,11 + max I|К2 ,■ ||
j=ull Щс^с j=UH 2П\с^с
Итерационный метод решения системы интегральных уравнений
Приближенные решения иИ (г) = (и!И (г), и2 (г ))Т, г е [0, Я], системы интегральных уравнений (22) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений
uП+1 = аК (
П
u
2 uП) - а J(
П
u
2 uП) + h . (30)
Докажем, что последовательность и™(г),и^ (г) равномерно сходится к решению системы уравнений (22) вследствие того, что правая часть системы уравнений (22) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно о каком -векторном или скалярном - пространстве идет речь.
Теорема 1. Пусть Br = ju : ||ii|| < r } - шар радиуса r0 с центром в нуле
и выполнены два условия:
q := 3ar01ІК - J|| < 1
(31)
аг0 ||K-J|| + ||h|| <ro- (32)
Тогда существует и единственно решение u е Bro уравнения (27), и последовательность приближенных решений un е Bro уравнения (27), определяемых посредством итерационного алгоритма (30), сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u е Bro уравнения
(27) при любом начальном приближении u0 е Bro со скоростью геометрической прогрессии с показателем q.
Доказательство. Рассмотрим операторное уравнение u = A(u) с нелинейным оператором
|2 ч т/| |2
A(u) = aK(|u| u) - a J(|u| u) + h в пространстве C[0, Я]. Пусть u, v є Brg ; |u| < r0,||v|| < r0, тогда ||A(u) - A(v)|| = а К(|u|2 u - |v|2 v) - J(|u|2 u - |v|2 v) < 3a ||К - J|| r( ||u - v|.
(33)
(34)
Так как
||A(u)|| = aK(|u|2 u) - a J(|u|2 u) + h
К - J + h
то при выполнении условия (32) оператор А отображает шар Вгв себя. Из
оценок (31) и (36) следует, что оператор А является сжимающим в шаре Вг .
Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [7]. Теорема доказана.
Разберем условие (32) более подробно. Рассмотрим уравнение
где норма оператора При условии
r0 -lNI r03 =1И i=ai к-j > 0.
0 < И <-
3
уравнение (35) имеет два неотрицательных корня: г* и r , r* < r , 62
и
= -2
cos
( ( arccos
________V
л
* 2 1 Г =-2 1—;,—гг COS
V
( ( arccos
V
INI
Зл/З
2л
З
2л
її и * 1
Если h = 0, то г* = 0 и г =
Ж
и и 2 1 * 1
При h =----, имеем r* = r = ,
л/зм
Лемма 1. Если выполняется неравенство
2 1
0 < h <
ЗЗ
(36)
(37)
(38)
то уравнение (35) имеет два неотрицательных решения: г* и г , г* < г .
Теперь докажем, что если выполняется условие (38), то уравнение (27) имеет единственное решение в шаре Вг* = {и : ||и| < г* } .
Теорема 2. Если a < A , где
A = -
(39)
||No||:=||K- J||(> 0),
то уравнение (27) имеет единственное решение в шаре Br* ={u : ||ii|| < r* J , являющееся непрерывной функцией:
uе C[0, R], |U|<r*.
Доказательство. Если u е Br* , то
||A(u)|| = aK(|u|2 u) - a J(|u|2 u) + h Если u, v є Br*, то
< ar* K - J + h = r* .
||A(u) - A(v)|| = a K(|u|2 u - |v|2 v) - J(|u|2 u - |v|2 v) < 3a||K - J||r*2 ||u - v\\.
3
и
2
Так как a < A , то h удовлетворяет условию (38). Поэтому q = 3ar*2 ||к- j=31 «||Л2 < 1. Следовательно, выполняются оба неравенства (31) и (32).
Таким образом, A отображает Br* в себя и является сжимающим оператором на B* . Поэтому уравнение (27) имеет единственное решение в B* .
Теорема доказана.
Отметим, что A > 0 и не зависит от a .
Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра
В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (27) от параметра. Перепишем уравнение (27) в форме
u = N(|u12 u) + h , (40)
где оператор
N := a(K - J) (41)
с матричными ядрами
N(r ,p):= a(K (r ,p) - J(r ,p)) (42)
определен формулами (22)-(28).
Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N = a(K - J) и правая
часть h уравнения (27) непрерывно зависят от параметра у єГо, N(y) с С(Го), h(y) с С(Го) на некотором отрезке Го вещественной числовой оси. Пусть также
||h(y)|| < 3 ■ ,,1 ,, . (43)
3Р\ И(У)||
Тогда решения u(y) уравнения (27) при уєГо существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра у, u(у) с С(Го).
Доказательство. Рассмотрим уравнение (27). Существование и единственность решений u(y) при условиях теоремы следует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра у .
Нетрудно видеть из формулы (36), что r*( у) непрерывно зависит от у на отрезке Го . Пусть r** = maxуЄГ0 r*(у) и максимум достигается в точке у* , r* (у*) = r** . Выберем у + Ду є Го . Тогда r* (у) < r** и г*(у + Ду) < r** .
Далее, пусть Qo = таХуєГ0 (3г*2(у)|^(у)||) и максимум достигается
л 2 л л в точке у ЄГ0 , Q0 = 3r* (у) Nfy) . Тогда Q0 < 1 в силу условия (43) теоремы.
Предположим сначала, что
Иу)! - ^(у + Ду )|. (44)
Тогда имеют место следующие оценки:
Я
|и(г, у + Ду) -и (г, у)| =
| К(у + Ду, г, р) |и(р, у + Ду)|2 и(р, у + Ду)<^ р -
0
я
|К(у,г,р)|и(р,у)|2 и(р,у)ар + Ь(г,у + Ду) -Ь(г,у)|:
я
| (К(у + Ду, г, р) - N у, г, р)) |и(р, у + Ду)|2 и(р, у + Ду^ р -
я
+1 К(у, г, р)(| и(р, у + Ду )|2 и(р, у + Ду) - |и(р, у )|2 и(р, у ))Л р
+ |Ь(г, у + Ду) -Ь(г, у)|,
поэтому (см. доказательство теоремы 2)
||и( У + Ду) -и(у)|| < г*3( у)||М( у + Ду) - N у)|| +
+1 |и ( у + Ду) - и(у )|| 3г*2 (у )|М(у )|| +1 |Ь(у + Ду) - Ь(у )||.
Здесь было использовано условие (44).
Отсюда получаем, что
||и (у + Ду) - и( у)|| <
1
1 - 3г*2( у)||К( у)||
(г*3(у)|Иу + Ду) - Nу)|| +|Ь(у + Ду) -Ь(у)||)
||и(у + Ду) - и(у)|| < —^-(г*3* |^(у + Ду) - Nу)|| + ||Ь(у + Ду) - Ь(у)||), (45)
1 - 4.0
где Qo и г** не зависят от у.
Пусть теперь ||и(у)|| < ||и(у + Ду)||. Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы у на у + Ду, а у + Ду на у . Таким образом, оценка (45) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теоремы о существовании и единственности решений дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения
В этом параграфе будет доказано существование решений дисперсионного уравнения (20). Соберем все слагаемые в (20), не содержащие параметр нелинейности а, в левой части уравнения, а остальные слагаемые -в правой части, получим
е2 ТЖК0 (кіЯ) - £1 ТКо' (кіЯ) = аР(у): к2 '10(к2Я) к1
(46)
и
где
R i 1 л
F(y) = -Y2 - J! Ji(k2P)Щ(к2R) - Ji(k2p)Jj(k2R)No(k2R) p|u|2 Vp-
2 0 V J0 (к2R) у
_R A 1 л 2
-Yk2 - J Jo(k2p) r n m Ji(k2 R) No(k2 R) - Nik R) P |u| «2^ p-
20 V J0(k2R) у
--^ k(2 |u( R - 0)|2 Mi (R - 0) + |u( R - 0)|2 «i (R - 0). (47)
k2
Умножим на J0 (k2 R)kk / Y левую и правую части уравнения, получим ^ Ji (kiR) Г0 (kiR) + ek J0 (k2 R) K (kiR) = aF ( y) , (48)
где
F(y) = J0(k2R)kik2F(Y) . (49)
Y
Отметим, что функция (49) неявно зависит от параметра нелинейности a . Однако эту функцию можно будет оценить константой (в некотором шаре), не зависящей от a, что позволит сделать правую часть (48) достаточно малой, выбрав достаточно малое a .
Рассмотрим левую часть уравнения (48). Она соответствует дисперсионному уравнению для линейной среды внутри волновода, т.е. при a = 0 [3, 4]:
g(y) - £2ki Ji (kiR)K0 (kiR) + ek J0 (k2R)Ki (kiR) = 0. (50)
j2 j2
Обозначим him := k(3 e2 --1m-, h2m := k0e2 --°m , где j0m - т-й поло-
R2 R2
жительный корень уравнения J0 (x) = 0, а j\m - m-й положительный корень уравнения Ji(x) = 0; m = i,2,... Тогда
signg(ф^) = (-i)m , signg(Jhm) = (-i)m+i. (5i)
Таким образом, на интервале Ц/hU,у]h2i) есть по крайней мере один корень Y0i уравнения g(y) = 0, если k^ <Яц,h21 < koe2, т е. g(Y0i) = 0 при
Y0i e (''fhii ,\Jh2i ) .
Точки ^21 являются полюсами функции Грина (i5). Поэтому выберем такие (достаточно малые) числа Ъг- > 0, чтобы выполнялись условия:
sign g -Si) = (-i)i+i, -Vh27-s,- >Y0i. (52)
Образуем отрезки Гу := [ук^- ,д/к2у -8г- ]. При условиях (52) функция g (у) имеет разные знаки на разных концах Гу и обращается в ноль в точке
Уог е (д/Лц ,д/ А2/ - 8/ )• Пусть А1т > для некоторого га > 1. Обозначим
т
Г := ^ Г/ • Тогда верна
/=1
Теорема 4. Пусть числа £1, £ц, а удовлетворяют условиям £ц > £1 > 0 и 0 < а < а0, где
= min
Л
min lg (Л¡ХЦ )|
.2/ \ 1</<2,1<г<ш' '
min A (у),—
уєГ
(
0,3R2
Л
3
max r* (у)
уєГ
1
А(у) = -— ---------
3 ||h(y^3|No(y)||
, (53)
/ J
и выполняется условие
Xlm > k0el (54)
для определенного m > l. Тогда существует по крайней мере m значений
Y¿, i = l,m, д/Х1~ <Y¿ < ^/л2¿ -8¿ таких, что задача P имеет ненулевое решение.
Доказательство. В силу выбора чисел 8i > 0 (i > l) (см. условия (52)), функция Грина существует для всех YeT . Из ядер и правых частей матричного интегрального оператора следует, что A = A(y ) - непрерывная функция
2
на отрезке Г. Пусть Al = min A(y) и выберем a < Al . В соответствии с тео-
Yer
ремой 2 существует единственное решение u = u (y ) системы уравнений (22) для каждого Y еГ. Это решение является непрерывной функцией, причем
u < r* = r*(Y). Положим Г(0 = max r*( y). Оценивая функцию (49), получаем
Ye Г
\f (y , R; u)| < Croo3.
Функция g (y) непрерывна, и уравнение g (y) = 0 имеет корень Yoi внутри отрезка Гг-, JXn <Yо/ <J^2i _8¿. Обозначим Ml = min | g(J^j)|,
l<i<m
M2 = min | g (JA, 2/ -8/ )|. Тогда число M = min{Ml, M2} положительно
l<i<m
(M > 0) и не зависит от параметра a .
Е < M
Если a < ——, то
Cr0
00
^(Л)-а¥^7^17))-8/)-а¥(^/АЦТ-8/))< 0.
Так как g(у) - а¥(у, R;и) также непрерывная функция, то уравнение g (у) - а¥(у, R; и) = 0 имеет корень у/ внутри Г/, <у7- < ^/ац/ -87. Мы
можем выбрать
• I ,2 ММ I
а0 = тш ^ 4 ,—3- V.
I Сг00 \
Теорема доказана.
Из теоремы 4 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТМ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.
Итерационный метод решения системы интегральных уравнений и оценка скорости сходимости
Известна оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (30) [7]. В частности, если выбрать в качестве начального приближения
0 Т
и (г) = (0,0) , то получаем следующую оценку скорости сходимости итерационного процесса.
0Т
Утверждение 3. Пусть и = (0,0) . Последовательность приближен-
^ п / И Н\Т ^ /ллх
ных решений и = (и1 ,иц ) системы уравнений (22), определяемых посредством итерационного алгоритма (30), существует и сходится в норме пространства С[0, R] к (единственному) точному решению и системы уравнений (22) и верна оценка скорости сходимости:
п
и - и
-------------||ь||,п , (55)
1- д
где д := Заг*2 ||К - .Г|| < 1 - коэффициент сжатия отображения.
Теорема о сходимости итерационного метода
Теперь сформулируем итерационный метод нахождения приближенных собственных значений краевой задачи Р и докажем теоремы о существовании и сходимости приближенных собственных значений к точным.
Теорема 5. Пусть существуют Єї, £2, а, удовлетворяющие условиям £2 > Єї > 0,0 < а - а0 , где а0 определяется соотношением (53), и выполняется условие (54) для определенного т > 1. Тогда для каждого п > 0 существует по крайней мере т значений у(п), і = 1,...,т , удовлетворяющих неравенствам < у(п) < 2і - и являющихся корнями уравнения
к{п) є2 К1 (к{п) К) J0 (к^ К) + ^2п) £1К0 (к^ К) (к2п) Я) = а¥ (у(п)), (56)
где к|п) = ^(у(п))2 - к)£1, к2п) = кд £2 - (у(п))2 , а ип определяется соотношением (30).
Доказательство. Для каждого п > 0 функции ип непрерывны согласно соотношению (30). Таким образом, для доказательства достаточно повторить
П
доказательство теоремы 4, если заменить u на п1 и проверить условия
< г* = г* (у) . Это неравенство выполняется, потому что все итерации ^
П
u
лежат внутри шара Вг* [6], если начальное приближение лежит в шаре Вг*
(что имеет место).
Следующая теорема утверждает сходимость приближенных собственных значений к точным.
Теорема 6. Пусть существуют £1, £2, а, удовлетворяющие условиям £2 > £1 > 0,0 < а - а0 , где а0 определяется соотношением (53), и выполняет-
(п)
ся условие (54) для определенного т > 1. Пусть у і и уі ’ - соответственно точное и приближенное собственные значения проблемы Р на отрезке Гг-
(у і и у(п) - корни точного и приближенного дисперсионных уравнений соот-
ветственно i < m, m > 1). Тогда
ї!П) -Yi
^ 0 при п .
Доказательство. Рассмотрим функции
Ф(У) = £ (У) - аЕ (у; u), Ф п (У) = £ (У) - аЕ (у; ^). (57)
Тогда, используя формулы (47)-(49), находим, что
|ф(у) -ф П ( Y)| = <
F (y; u) - F (y; u П)
< aC
u - u
П
П
< aCh
1 - q
где константа С не зависит от п, а все другие величины определены выше. Имеем
Qn
max |ф(у) -Фп (у)| < а-——С*, (58)
уеГ 1 - Q
где С* = max{|h(y)| С (у)}, Q = max(3r*2(y^|N(y)|) и Q < 1.
уеГ уеГ
При выполнении условий теорем 4 и 5 существуют решения уг- и уг-(п) точного и приближенного дисперсионного уравнений Ф(у) = 0 и Фп (у) = 0 (п > 0). Также при доказательстве теорем 4 и 5 было установлено, что непрерывные функции Ф(у),Фп (у) меняют свой знак на концах отрезка Гг-. Тогда доказательство теоремы следует из оценки (58).
Список литературы
1. Eleonskii, V. M. Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35. - № 1. - P 44-47.
2. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.
3. Snyder, A. Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love // Chapman and Hall. -London, 1983.
4. Левин, Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач / Л. Левин. -М. : Радио и связь, 1981.
5. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - 4-е изд. - М. : Физматгиз, 1963.
6. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1981.
Хорошева Эльвира Александровна ассистент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Chorosheva Elvira Alexandrovna Assistant, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University
УДК 517.9 Смирнов, Ю. Г.
О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе / Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). -С. 55-70.
