Исследование плазмон-фононных коллективных возбуждений в рамках диэлектрического формализма Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 83-87.

УДК 539.612

М.В. Мамонова, Д.И. Яковлев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМОН-ФОНОННЫХ КОЛЛЕКТИВНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В РАМКАХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА

Получено дисперсионное уравнение для поверхностных волн системы из двух по-лубесконечных плоских тел с учетом влияния плазмон-фононных коллективных

возбуждений, возникающих в полярных полупроводниках. Проведен расчет по-

^ '-'А IIIГ) V

верхностной энергии полупроводниковых соединений типа А В , в зависимости от

концентрации носителей заряда и их эффективной массы.

Ключевые слова: полупроводники, поверхностные плазмон-фононные возбуждения.

Изучение и применение свойств поверхностных плазмон-фононов является одной из интересных задач современной физики поверхности. Поверхностные свойства полупроводников обусловлены поведением носителей заряда вблизи границы раздела двух сред. За счет мощных кулоновских сил возбуждаются высокоэнергетические продольные плазменные колебания, обусловленные валентными электронами атомов материала.

Для описания поверхностных свойств полупроводников использовался метод диэлектрического формализма, основанный на описании среды некоторой модельной диэлектрической функцией, определяющей закон дисперсии коллективных возбуждений в системе. Он хорошо зарекомендовал себя в расчетах поверхностных свойств ряда металлов и полупроводников [1]. Однако ранее проводился учет только высокочастотных плазменных колебаний, поскольку они по энергии сильно отличаются от оптических продольных фононов и не взаимодействуют с ними.

В данной работе исследовались полупроводниковые соединения типа АШВУ. Такие соединения обладают набором уникальных свойств, по которым они идеально подходят для многих оптоэлектронных и электронных приборов. По причине своей полярной природы они сложнее, чем элементарные полупроводники. Кроме высокочастотной моды плазменных колебаний, в них возможны и низкочастотные моды плазменных колебаний, индуцируемые поперечным электромагнитным полем, в которых участвуют электроны проводимости. И если на валентные электроны, участвующие в высокочастотных плазменных колебаниях, кристаллическое поле материала влияет минимальным образом и электроны характеризуются своими «голыми» массами, то свободные носители заряда, участвующие в низкочастотных плазменных колебаниях, оказываются под сильным воздействием кристаллического поля, их массы переопределяются и в длинноволновом приближении характеризуются эффективными значениями. Такие плазменные колебания могут активно взаимодействовать с продольными оптическими (ЬО) фононами полярного полупроводника, создавая смешанные плазмон-фононные возбуждения.

© М.В. Мамонова, Д.И. Яковлев, 2011

Рассмотрим случай контакта двух полупроводников, разделенных вакуумным промежутком величины Ь. Используя уравнения Максвелла без учета эффектов запаздывания, можно записать потенци-

ал электростатического поля системы в виде

ф = ф( г)е(]

и получить д ф( г)

ф

данной

■- кф( г) = 0, к = кх

Л2-

(1)

(2)

Нас интересуют решения, имеющие характер коллективных колебаний, локализованных у поверхности. В результате имеем

ф( г) = Аекг, ф( г) = Векг + ф( г) = Бе-кг,

Се

кг

г < 0 0 < г < Ь г > Ь

(3)

Сшивая решения на границе раздела из условий непрерывности тангенциальной составляющей напряженности электрического поля и нормальной составляющей электрической индукции, получаем как условие существования нетривиального решения следующее дисперсионное уравнение для поверхностных волн в системе

£ (к, со) -1) £2 (к, со) -1)

,-2 кО

= 1.

(4)

(е1 (к, со) +1) £2 (к, со) +1)

Энергия взаимодействия, связанная с наличием поверхностей раздела двух по-лубесконечных тел, находящихся на расстоянии Ь (в расчете на единицу площади), равна

Е(Ь) = йХ [ [о (к, да) - о (к, Ь)] ^, (5)

1,2

2п

где о (к, Ь) и соо (к, да) - корни и полюса дисперсионного уравнения (4). Для их нахождения необходимо задать явный вид функций диэлектрической проницаемости £ (о, к) для обоих материалов в рамках той или иной принимаемой модели взаимодействия этих сред.

В зависимости от природы взаимодействующих материалов (металлы, полупроводники, диэлектрики), диэлектрические проницаемости материалов £(о, к) имеют различные выражения [1], тем самым определяя из решения дисперсионного уравнения различные законы дисперсии связанных поверхностных колебаний.

Однако при расчетах следует учитывать, что поверхностные плазмоны Но

при некотором критическом значении волнового вектора кс, определяемом ус-

ловием

о(кс) = кУг +

Пк[

2т

(6)

распадаются, передавая свою энергию и импульс одиночным фермиевским электронам [2]. Это означает, что при к > кс плазмон не может существовать как когерентное движение всех электронов, и нужно проводить интегрирование по волновым векторам к < кс.

Таким образом, поверхностная энергия выражается следующим соотношением:

кс

= ЙХ[[о(к,да) -о(к,0)]

1,2 0

кдк

4п

(7)

В длинноволновом приближении энергия взаимодействия контактирующих конденсированных сред будет определяться прежде всего энергией плазменных колебаний, возбуждаемых в поверхностных слоях.

Запишем в приближении хаотических фаз выражение для диэлектрической проницаемости £(о, к) с учетом ширины

запрещенной зоны Е5 полупроводника.

£(о, к) = 1 +

2 2 о -о

о/ + со "2 - О)2

к 5

о = Е5 ' %,

2 4пе N 2 ....2 1,2

°Р =-

т

(8)

/ \ 7 19 , . ,2

= 18 + 90(о/оР} .

Здесь ор - плазменная частота, V ( - фер-

миевская скорость и N - концентрация валентных электронов, ц(о) - корректирующий множитель, численные коэффициенты в котором обеспечивают стандартную дисперсию объемной плазменной частоты [3]. Используя последовательные приближения, выражение для корректирующего множителя можно записать в виде

7 19 1

ц =----\--------, (9)

18 90 1 + £да

где £да - высокочастотная диэлектрическая постоянная.

Решение дисперсионного уравнения приводит к следующему выражению закона дисперсии собственных плазменных колебаний на поверхности полупроводника:

1

ю* (к, да) =^К2 +®/ + ^А2]1/2. (10)

Использование приведенных соотношений позволило рассчитать значения поверхностной энергии для полупроводников, используя только один эмпирический параметр N - концентрацию валентных электронов.

В табл. 1 приведены значения поверхностной энергии для ряда полупроводниковых соединений, которые находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Для всего ряда рассмотренных полупроводников превышение рассчитанных значений поверхностной энергии над экспериментальными не более 10 %

Таблица 1 Значения рассчитанных и экспериментальных значений поверхностной энергии для ряда полупроводниковых соединений

Соединение СТ(расч.) ,МДж/М ст(ехР) І4)- мДж/“2

іпБЬ 893 1003

ваЛБ 1176 1129

7пБ 1222 1230

В приведенных расчетах учитывались только высокочастотные плазменные колебания, обусловленные валентными

электронами (их концентрация порядка 1024 ). Как видно из табл. 2, их энергии НХ0Р много больше энергии оптических

продольных фононов Йо10 и не взаимодействуют с ними.

Таблица 2 Значения исходных параметров, используемые для расчетов

Содинение эВ N , ехр ’ см-3 т*/т ЙЮр, эВ эВ

ваЛБ 14,7 4,7 • 1017 0,07 0,093 0,036

іпБЬ 12,0 3,7 • 1016 0,03 0,034 0,030

Но в полупроводниках могут возбуждаться низкочастотные плазменные колебания, обусловленные коллективным движением электронов проводимости. Эти продольные плазменные колебания могут активно взаимодействовать с продольными оптическими фононами полярного кристалла, создавая смешанные плазмон-фононные возбуждения.

Следует также учесть, что на валентные электроны, участвующие в высокочастотных плазменных колебаниях, кристаллическое поле материала влияет минимальным образом, и электроны харак-

теризуются своими «голыми» массами. Свободные носители заряда, участвующие в низкочастотных плазменных колебаниях, оказываются под сильным воздействием кристаллического поля, их массы переопределяются и в длинноволновом приближении характеризуются эффективными значениями т [5] (табл. 2), так как в возбуждении низкочастотных мод плазменных колебаний, индуцируемых поперечным электромагнитным полем, участвуют электроны проводимости. В табл. 2 приведены значения концентраций свободных носителей заряда, соответствующих зоне проводимости [6], и соответствующие им энергии плазменных колеба-2 4^е2 N

Видно, что они оказы-

нии ю„ =■

т

ваются сравнимы с энергией фононов. Следовательно, при расчете поверхностной энергии с учетом смешанных колебаний нужно использовать концентрацию электронов проводимости.

Для фононов в случае полярного кристалла, имеющего оптически активную поперечную колебательную моду частотой 0)Т и соответствующую продольную моду со1, диэлектрическую функцию можно задать в виде [7]

£(о) = £

V / СС

2 2 юь — ют

(11)

Для учета взаимодействия плазмонов с ЬО фононами необходимо составить сумму плазмонной (8) и фононной (11) частот диэлектрической проницаемости

є(ю, к) = 1 +

+ є

2 2 Юг — ют

2 2 ют — ю

(12)

I 1.и ^ ьи ьи т

Частоты фононных колебаний представили в квадратичной зависимости от волнового вектора к, разложив их по этому же параметру:

соЦк) = о2ш (1 - 2 Ь(ка)2)

2

со2т(к) = о2Т0 (1 - 2 Ь(ка)2), где а - постоянная решетки, Ь =

(13)

1 т1т2

2 т + т,

- приведенная масса, так как мы рассматриваем двухатомное соединение.

Закон дисперсии собственных смешанных поверхностных плазмон-фонон-ных колебаний полубесконечного изотропного полярного полупроводника

О (к>да) =^7тК2 +02 + 2° + £О>\ -£со°2]1/2-

Преимущественный характер взаимодействия от плазменного к фононному и наоборот зависит от значений плазменной частоты. Путем приравнивания к нулю диэлектрической функции можно найти закон дисперсии смешанных объемных плазмон-фононных колебаний:

(к) = [°/ + 2° +£х®1 -£а°2т]112. (14)

На основе данных соотношений были сделаны численные расчеты поверхностной энергии для пары полупроводниковых соединений.

В табл. 3 приведены полученные результаты расчета поверхностной энергии. Результаты показывают, что учет концентрации только электронов проводимости вносит небольшой вклад в значение поверхностной энергии, что может быть обусловлено малыми значениями критического волнового вектора кс.

Воспользуемся комбинированным подходом, который основан на диэлектрическом формализме при описании оптических фононов и гидродинамическом приближении для плазменных колебаний.

Таблица 3 Результаты расчета поверхностной энергии с учетом фононной части

Соединение о Нар, эВ а, мДж/м2

1016 0,013 0,8250

ваЛБ 1017 0,043 1,4814

1018 0,136 2,5911

1017 0,066 0,0001

ІПоО 1018 0,209 0,0519

В рамках этого подхода к системе уравнений Блоха для потенциала гидродинамической скорости свободных носителей заряда у (V = -Vу), плотности носителей N и самосогласованного электрического потенциала ф добавляется уравнение движения для колебательных амплитуд и, соответствующих оптическим фононам без учета пространственной дисперсии. Связь между фононной и плазмонной подсистемой обусловлена тем, что самосогласованный потенциал определяется как флуктуациями плотности заряда свободных носителей, так и дипольной фононной поляризацией. В результате получается система связанных нелинейных уравнений, которая может быть существенно упрощена с помощью стандартного метода линеаризации. Предполагая, что временная эволюция переменных определяется

экспоненциальной функцией ехр(-.0), а также используя трансляционную симметрию задачи в плоскости ху, получим следующую систему уравнений:

й 2л( 2)

2

( Н2 ^

( ь2 2

- - у п(2) = 0

ф( 2) = 4пп( 2).

(15)

Решение будем искать в виде

к - 4пе

ф(2) = Ае2 + Сх у" - к

ф( 2) = Век2 + Се-к2,

к2 - 4пе

^, 2<0

ф( 2) = Ве

С

(16)

г2 - к2

К условиям непрерывности, используемым при решении системы (3), добавляется условие равенства нулю на границе нормальной компоненты гидродинамической скорости, что приводит к требованию

дф/ дг = (ш^2 / ел0) (дл/ 32),

(17)

где рг =

5

Получаем следующее дисперсионное уравнение для поверхностных волн в системе:

(е (к, со) -1 - Г (Г -1)) (ег {к, о) -1 + Х (г -1))

______________Г______________________Г______е-2 к° = 1

(е (к, о) +1 + X (Г - 1))(е2 (к, о) +1 - X (Г -1))

а

2 2 ар -а

Т = У-

(18)

Выражение для у зависит от вида функции диэлектрической проницаемости. Выражение

^о2р + в к2 - о2

у = .

в

(19)

соответствует виду диэлектрическои проницаемости Є = 1 - / со2 и может быть

выражено через объемную плазменную частоту в виде

в2(г2 - к2) =о2-о2. (20)

Так, подставив аг из (17), получим

2 °р-

у =-Е-

-в2 к2

в2

. (21)

Проведенные численные расчеты поверхностной энергии (табл. 4) показывают, что концентрация свободных носителей, обеспечивающая согласие с эксперимен-

том, «1021, что может позволить оценить степень легированности полупроводника.

Таблица 4 Результаты расчета поверхностной энергии в смешанном подходе

Соединение N0, см-3 а, мДж/м2

1020 215,68

GaAs 1021 666,37

1022 4631,76

1020 153,50

InSD 1021 1046,25

1022 7126,97

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мамонова М. В., Прудников В. В., Прудникова И. А. Теоретические и экспериментальные

методы в физике поверхности. Омск : Ом. гос. ун-т, 2009. 554 с.

[2] Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. М. : Мир, 1975. 449 с.

[3] Марч Н., Паринелло М. Коллективные эффекты в твердых телах и жидкостях. М. : Мир, 1986. 320 с.

[4] Сергеева Л. А. Кристаллография. 1982. Т. 27. № 6.

[5] Физические величины : справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мелихова. М. : Энерго-атомиздат, 1991.

[6] Гуртов В. А. Твердотельная электроника. Петрозаводск, 2005.

[7] Genzel L., Martin T. P. Infrared absorption by surface phonons and surface plasmons in small crystals // Surface Sci. 1973. 34. № 1. P. 33-49.