Исследование краевых задач для одной $b$-эллиптической системы уравнений методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 31-41

= Математика

УДК 517.946

Исследование краевых задач для одной

~Ж~> _ и и

В-эллиптической системы уравнений методом потенциалов

Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов

Аннотация. В работе рассматриваются основные краевые задачи для одной многомерной В-эллиптической системы уравнений.

На основе представления решения в виде потенциала краевые задачи сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказывается существование и единственность решения.

Ключевые слова: В-эллиптическоя система уравнений,

фундаментальная матрица решений, метод потенциалов.

Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя

д2 к д

дх2 хдх’

и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А. Киприяновым в [1] были названы В-эллиптическими.

Пусть Е+р — полупространство хр > 0 р — мерного евклидова пространства точек х — (х',хр), X — (х1,х2,... ,хр-1), Б — конечная область в Е+р, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр — 0 и гиперповерхностью Г.

В работе исследованы внутренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана для В-эллиптической системы уравнений вида

[и] — Ав и + Аи — 0, (1)

. р—1 д2 д2 к д

где Ав — Ах' + ВХр, Ах/ — ^ — лапласиан, Вхр — +

дх2 ^ Хр дх2 х дх

1 = 1 дх^ дхр хр дхр

оператор Бесселя, к > 0, А — (а^) — симметрическая матрица порядка т,

(и1 \

и2

и — . (иТ — (и1 и2 ... ит)) — неизвестная вектор-функция.

\ит/

Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач как для эллиптических уравнений, так и для эллиптических систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [2,3], хорошо известны.

Что касается В-эллиптических систем уравнений, впервые удалось применить метод потенциалов к решению такой системы первому автору этой статьи. В докторской диссертации Ф.Г. Мухлисова [4] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих задачу Дирихле к регулярной системе интегральных уравнений.

Целью данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ф.Г. Мухлисова на другие системы Л-эллиптических уравнений.

1. Формулы Грина

Обозначим через С\ (Б) множество вектор-функций, дважды непрерывно дифференцируемых в Б и четных по хр (т.е. удовлетворяющих

условию

дчу (х', 0) дхр

= 0, і = 1,т), а через С0,в(Е+р) множество четных

по хр, бесконечно непрерывно дифференцируемых и финитных в Е+р вектор-функций.

Пусть и,ут є С 1(Б) П СВ (Б). Через Б (и) обозначим оператор Ьв [и], к

умноженный на х£

Р-1 д 2и д2и ,,и

Б (и) = хк Ьв[и] = хкру^ дХ2 + 4 дх2. + к4-1 дххр + хРАи-

ди

“р дхі 1=1 1

р дх 2р

Рассмотрим сопряженный оператор к оператору Б (и)

Б >т ) = Е

р 1 д2(хрьт) д2(хрьт) д(кхк 1ьт)

1=1

дх‘2

+

дхр

дхр

+ хкьт А.

Нетрудно доказать, что р-1

Б(и) = £ £ Ц) + дх- (хкщ) + хр Аи,

р-1

Б *(ут ) = Е

д (хк + А (хк

дхі Гр дхі) дхр гр дх.

+ хрут А.

і=1 р р

Учитывая (2), с помощью формулы Остроградского, получаем

/ утЬв[и]х£ йх = — х:

./д

у1 дут ди дут ди

дх1 дх1 дхр дхр

і=1

йх+

(2)

(3)

+ I ут^хкйГ + І утЛихкйх, Iг дп Р .]в Р

р

(4)

где п -внешняя нормаль к границе Г.

Формула (4) называется первой формулой Грина для оператора Ьв. Рассмотрим разность

^5(и) - *>т)и = ут £ А (хк * ) + утА (х*Ц) -

/ Р— 1

£

и=1

і=і

,0ут

д _ дх1 I'Хр дх1

д

и . дхр [хр дхр

,ду

т

и.

Интегрируя (6) и применяя формулу Остроградского, получаем

/ \утЬв[и] — Ьв[ут]и] хкйх =

Зо з г

т

ди ду

т

дп дп

и

хр йГ.

Формула (7) называется второй формулой Грина для оператора Ьв.

(5)

(6)

(7)

2. Фундаментальная матрица решений с особенностью в

произвольной точке

Фундаментальная матрица решений системы (1) с особенностью в начале координат найдена в [5] и имеет вид

Ф(т) =

/фч(т) 0 0 ... 0 \

0 ф2(т) 0 ... 0

0

00

где фз(т) = азт у^^\/А7т), т = |х|, аз =

фт(т

VV/2

(т)

І2и+1П Р23 Г (

І = 1, т.

Применим к Ф(г) оператор обобщенного сдвига Т£° и обозначим полученную матрицу через Ф(х,х0)

^ф1(х,х0) 0 0 ... 0 \

0 ф2 (х,х0) 0 ... 0

V 0 0 0 ... фт(х,хо)/

Диагональные элементы матрицы (8) имеют вид

ГП

фз(х, хо) = ТхФз(т) = Сказ р—н(1}^УЛз р^ 8тк—1 ф ^

о

з

т(—'

~ \2/ л / /¡о 2 о ^ ч 1/2 P + к — 2

где Ск = —-—jkу, Р^ = (|х' — хог+хр+х^—2хрхр0 cos ^ ' , v =-2

] = 1, т.

Определение 1. Матрица Ф (х,хо) называется фундаментальной матрицей решений системы (1) с особенностью в точке хо £ Е+, если она удовлетворяет условиям

/ /1(ж)\

1) для любой вектор-функции / (х) = ^2(х)

f (х) £ Cq° (E+) такой,

\/ш (х)/

что хо £ Supp f (х) имеет место равенство

/ Ф(х, хо)Lb [f (х)}х'к йх = f (хо)

JE+

2) Ф(х, хо) является решением системы (1) во всех точках E+, за исключением точки хо £ E+.

Лемма 1. В окрестности точки х = хо нормальная производная фундаментальной матрицы решений (8) может быть представлена в виде

9Ф(д)^С°) = Ф(х, хо) + Ф*(х,хо), (9)

где Ф(х,хо), Ф*(х,хо) — диагональные матрицы порядка т, диагональные элементы которых имеют вид

ф. (х хо) = 2"СЧVX-V/2 B j k P У x

Ф.(х,хо) г(1 — v)sin vn B \ 2 , 2/ X

x (хр, хРо) k/2p1xxp ^2 cos^i, pxxo) cos^i, n), l=1

p

ф*(х,хо) = 0(pxipx2)), j = ^ pXxo =^2(х1 — х1о)2-

0)

l=1

Лемма доказывается по схеме, предложенной в [6].

С помощью этой леммы легко можно доказать, что Ф(х,хо) является фундаментальной матрицей решений системы (1) с осбенностью в точке х0.

Нетрудно проверить, что при фиксированном хо и г = |х| —^ элементы фундаментальной матрицы решений (8) удовлетворяют следующим условиям

Фз(х, хо) = О ^г-(1-1)/2^ , фз (х,хо) = о ^г-(1+1)/2^ , (10)

где 7 = р + к, ] = 1, т. Они называются условиями излучения.

Используя представление функции Ханкеля через ряды, по схеме предложенной в [6] легко доказать, что Ф(х, хо) допускает при х — хо оценку

Ф(х, хо) = О (1х - хо12-р) . (11)

3. Интегральное представление и свойства решений

системы (1)

Для всякого вектор-столбца и(х) £ С 1(Б) П С2В(Б) решения системы (1) и для любой точки хо £ Б в [7] получено следующее интегральное представление

) ди(х) дФ(х, хо) ( )

Ф (х,хо)^п-----------аТ“ и(х)

хк йГ. (12)

С помощью интегрального представления (12) и свойства (10) фундаментальной матрицы решений доказывается следующее свойство решений системы (1)

• существуют решения и(х) системы (1) в области Бе = Е+р \ Б удовлетворяющие при г — ж условиям

и(х) = О (т-(р+к-1)/2) , и(х) = О (т-(р+к+1)/2) .

4. Постановка краевых задач и теоремы единственности

Внутренняя краевая задача Дирихле (Задача Бі). Требуется найти вектор-функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) £ С2в (Б) П С (Б), (13)

Ьв [и(х)] =0, х £ Б, (14)

иіг = І (О, І (О £ Св (Г). (15)

Теорема 1. Внутренняя краевая задача Дирихле (13)-(15) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача Дирихле (Задача Бе). Требуется найти вектор-функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) £ С2в (Бе) П С (Бе),

Ьв[и(х)] =0, х £ Бе, иіг = І (О, І (О £ Св (Г),

(16)

(17)

(18)

при К —— ж условиям излучения [ и|2 хк йБп = 0(1), /

^ Я+я ^ Я+я

ди3 ■ гт~

— Ч Лз из

хр йБп = о(1), І = 1, т.

(19)

Теорема 2. Внешняя краевая задача Дирихле (16)-(19) не может иметь более одного решения.

Внутренняя краевая задача Неймана (Задача N1). Требуется найти вектор-функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) £ С2в(Б) П С 1(Б), (20)

Ьв [и(х)] =0, х £ Б, (21)

ди(0

дп

= 9(0, 9(0 £ Св(Г).

(22)

г

Теорема 3. Внутренняя краевая задача Неймана (20)-(22) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача Неймана (Задача ^). Требуется найти вектор-функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) £ С2в (Бе) П С 1(Бе), (23)

Ьв[и(х)] =0, х £ Бе, (24)

ди(0

дп

при К — ж условиям излучения и|2 хк йБп = 0(1)

= 9(0, 9(0 £ Св (Г),

(25)

диз . пт~

— ЧЛз из

хр йБп = о(1), І = 1, т.

(26)

Теорема 4. Внешняя краевая задача Неймана (23)-(26) не может иметь более одного решения.

5. Потенциалы простого и двойного слоев, аналог интеграла

Гаусса

ди(х)

В интегральном представлениии (12) заменяя вектор-функции

дп

и(х) соответственно произвольными вектор-функциями точек контура 1^(0, и(О £ Св(Г), введем в рассмотрение следующие интегралы

V(х) = Г Ф(£,х) ц(0$ йГ,

(27)

2

2

Ш (*) = Г ГЛГ’

которые соответственно назовем потенциалами простого и двойного слоя для системы (1).

Очевидно, что потенциалы V (х) и Ш (х) являются регулярными решениями системы (1) в любой области, лежащей в полупространстве Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью

хР = 0.

Введем в рассмотрение аналог интеграла Гаусса

Wo(x) =

к'х) ЄР аг.

,;г дп

Лемма 2. Если Г — поверхность Ляпунова гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

[ дФ(£,х)

и образует с

/г

дп

где С — постоянная.

Лемма 3. Если гиперплоскостью х =

Г — поверхность

0 прямой угол, то

Ляпунова и образует с

Wo(x) =

г

д&(С,х) рк г

дп ^

Е, если х є Б,

2е, 2 ’ если х Є Г,

0, если х Є Бе

где Е — единичная, 0 — нулевая матрицы.

Теорема 5. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при V € С в (Г) имеют место следующие предельные соотношения

1

1

Шг(хо) = 2 V0 + Ш(хо), Ше(хо) = -^ vо + Ш(хо),

где Шг(хо) и Ше(х0) означают предельные значения потенциала двойного слоя Ш(х) в точке хо € Г при х ^ хо соответственно изнутри и извне границы Г, а Ш(хо) — прямое значение потенциала двойного слоя Ш(х) в точке хо € Г. Здесь точка хо € Г — фиксированная точка границы Г, v0 = V (хо) — вектор-столбец.

Доказательство теоремы 5 следует из лемм 2 и 3.

Рассмотрим теперь потенциал простого слоя (27). Из оценки (11) следует, что фундаментальная матрица решений системы (1) с особенностью в точке хо имеет такую же особенность вида р2-р, что и фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (27) на границе Г ведет

V

себя подобно гармоническому потенциалу простого слоя [8], т.е имеют место следующие теоремы, в которых Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Теорема 6. Если плотность ц Е Св (Г), то потенциал простого слоя V(х) непрерывен в Е+.

Теорема 7. При ц Е Св (Г) имеют место предельные соотношения " дV (хо)'

дп

хо

дУ (хо)

дп

хо

1 , дУ (хо)

2+ ~дПТ

х0

где

дУ(хо)

дп

х0

дУ(хо)

дп

х0

— предельные значения нормальной производной

потенциала простого слоя в точке х0 Є Г соответственно изнутри и

извне границы Г, ц0 = ц(х0), а

дУ (хо)

дп

прямое значение нормальной

х0

производной потенциала простого слоя. Индекс у нормали означает что она проведена в точке х0.

6. Системы интегральных уравнений задач Дирихле

и Неймана

Решение задачи ^ ищем в виде потенциала двойного слоя

дФ(0х) г,(Ґ)Ґк йГ —д— * т,,<іг-

(28)

Легко видеть, что вектор-функция и(х) удовлетворяет условиям (13), (14) внутренней задачи Дирихле. Пока неопределенную плотность V(£) найдем из требования, чтобы (28) удовлетворяла граничному условию (15) задачи ^. Подставив ее в это граничное условие и учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя (теорема 5), получаем

V (х)+2 Г *Пх' —

v(£)££ йГ = 2/ (х).

(29)

Система интегральных уравнений (29) соответствует внутренней задаче Дирихле.

Таким же образом задачи Д=, N и Не сводятся, соответственно, к следующим системам

V(х) - 2 Г ЩдПх Vткр йГ = -2/(х),

Мх) - 2 Г дФ(п х) ^^кйГ = -29(x),

Мх) + 2 Г дФдП х) ^^кйГ = 29(х)-

(30)

(31)

(32)

е

и

Системы (29)-(32) имеют следующие свойства:

1) Из формул (9), (11) следует, что эти системы являются системами интегральных уравнений со слабой особенностью.

, дФ а,х) дФ а,х)

2) Ядра-матрицы —---------- и —-------- получаются одно из другого

дп дпх

перестановкой точек х и £. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что системы (29) и (32), (30) и (31) — попарно сопряженные системы интегральных уравнений. Следовательно, для них справедливы все теоремы Фредгольма.

Докажем, что системы (29) и (32), соответствующие задачам Д^ и Ые, разрешимы, и притом единственным образом, при любых вектор-функциях f (х),д(х) Е Св(Г). С этой целью рассмотрим систему однородных интегральных уравнений внешней задачи Неймана

Мх) + 2 Г дфпХх ^^ = 0- (33)

Пусть ^(х) ненулевое решение (33). Тогда вектор-функция

и1(х) = Г Ф(^,х) "1(^кйГ

удовлетворяет условиям (23), (24), (26) внешней задачи Неймана и

ди1(х)

граничному условию

дп,

ди1(х) дпх

= 0, т.е.

г

= 2и(х) + X "1 Ю(кйГ 3 0. (34)

По теореме 4 о единственности внешней задачи N щ(х) = 0, х Е Де. Но потенциал простого слоя — вектор-функция, непрерывная во всем полупространстве (теорема 6), поэтому

и1(х) = 0, х Е Г. (35)

Рассмотрим теперь потенциал щ(х) в области Д. В этой области вектор-функция и1(х) удовлетворяет условиям (13), (14) задачи Д^ ив силу (35) обращается в нуль на границе Г. По теореме 1 о единственности задачи Д^

и1(х) = 0, х Е Д.

Но тогда в Д

ди1(х)

дпх

= -1 "1(х) + Г Щпх "Шк> йГ 3 0. (36

Вычитая из равенства (36) равенство (34) получаем ^1(х) = 0, х Е Д. Итак, система однородных интегральных уравнений (33) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, система

интегральных уравнений (32) задачи Ne однозначно разрешима для любой функции g(x) Є Cb (Г).

Таким образом, значение параметра Л = 2 — правильное для ядра дФ (í,x)

—-------, по известной теореме Фредгольма, является правильным и для

дпх

дФ (£, х)

сопряженного ядра —--------.

дп

Отсюда следует, что система интегральных уравнений (29) задачи Di однозначно разрешимо для любой вектор-функции f (х) Є Cb (Г).

Из разрешимости систем интегральных уравнений задач Di и Ne следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим утверждениям, в которых Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Теорема 8. Задача Di разрешима при любых граничных данных из Cb (Г) и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 9. Задача Ne разрешима при любых граничных данных из Cb (Г) и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Аналогичным образом доказывается, что системы интегральных уравнений (30) и (31), соответствующие задачам De и Ni, разрешимы единственным образом при любых вектор-функциях f (x),g(x) Є Cb (Г). Из разрешимости интегральных систем задач De и Ni следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 10. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача Ni для этой поверхности разрешима при любых граничных данных из Cb (Г) и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Теорема 11. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью x = 0 прямой угол, то задача De однозначно разрешима при любых граничных данных из Cb (Г).

Список литературы

1. Киприяпов И.А., Копопепко В.И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.3, №1. С.114-129.

2. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерных вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов: дисс. ... канд. физ.-матем. наук. Казань, 2010. 133 с.

3. Lanzara Flavia. On BVPS for strongly elliptic systems with higher order boundary conditions // Georg. Math. Journal. 2007. V.14, №1. P.145-167.

4. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: дисс. ... докт. физ.-матем. наук. Казань, 1993. 260 с.

5. Ибрагимова Н.А. О фундаментальной матрице решений одной В-эллиптической системы уравнений // Интегративный характер современного математического образования: матер. Второй всеросс. научно-практической конф., посвящ. памяти докт. физ.-матем. наук В.Ф. Волкодавова/ Поволжеск. гос. социалн.-гуманитарн. академия. Самара, 2009. С.21-26.

6. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Of the Amer. Math. Soc. 1948. V.63, №2. P.342-354.

7. Ибрагимова Н.А. Об интегральном представлении решения В-эллиптической системы уравнений // Математика. Экономика. Образование: труды XVIII Межд. конф./ ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2011. С.13-17.

8. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977. 432 с.

Ибрагимова Наиля Анасовна ([email protected]), ассистент, кафедра высшей математики, Казанский государственный энергетический университет.

Мухлисов Фоат Габдуллович, д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Investigation by the method of potentials of boundary value problems for one B-elliptic system of the equations

N.A. Ibragimova, F. G. Mukhlisov

Abstract. In this paper we study basic boundary value problems for one multidimensional В-elliptic system of the equations. Using the method of potentials we reduce the boundary value problems to the systems of the integral Fredholm equations of the second kind and prove the unique solvability of the mentioned problems.

Keywords: В-elliptic system of the equations, fundamental matrix of solutions, method of potentials.

Ibragimova Nailya ([email protected]), assistant, department of higher mathematics, Kazan State Energy University.

Mukhlisov Foat, doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of higher mathematics and mathematical design, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 09.08.2011