Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 40-49

= Математика :

УДК 517.956

Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом

потенциалов

А. М. Нигмедзянова

Аннотация. Доказывается существование и единственность решения основных краевых задач для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом потенциалов.

Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода с отрицательным параметром, фундаментальное решение, основные краевые задачи, потенциалы первого и второго рода, метод потенциалов.

Введение

Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х',хр),х' = (х1, Х2,хр-1), О — конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г.

Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение с отрицательным параметром вида:

Р-1 г)2тт я2тт

т(и) = хт £ ^ ^ - А'Ч-и = 0, (1)

.7 = 1 3 Р

где т> 0, р ^ 3, Л € М.

Фундаментальные решения, интегральные представления, а также решения основных краевых задач (внутренняя и внешняя задачи Дирихле,

Неймана и N для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений

были рассмотрены автором ранее [1]—[5].

Фундаментальное решение и интегральное представление решения исследуемого уравнения (1) были рассмотрены автором в работе [6]. Данная статья посвящена исследованию основных краевых задач (задач Дирихле и Неймана (внутренних и внешних)) для уравнения (1), то есть является продолжением исследований, начатых в работе [6].

Вопрос о решении основных краевых задач многомерных эллиптических уравнений с отрицательным параметром до последнего времени оставался открытым.

1. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы

единственности

Внутренняя задача Дирихле (Задача ^). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

Теорема 1. Внутренняя краевая задача Дирихле (2) — (5) не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из теоремы о принципе максимума, приведенной в статье [6].

Внешняя задача Дирихле (Задача Бе). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

и (ж) Є С 2(Б) П С (Б), Т[и(ж)] =0, ж Є Б,

(2)

(3)

(4)

и

г

f (ж), f (ж) Є С (Г).

(5)

и (ж) Є С 2(Бе) П С (Бе), Т[и(ж)] =0, ж Є Бе,

(6)

при Хр ^ 0,

при Г

Ф

Х2 + ... + Хр ^ го,

(9)

и

г

/ (х), / (х) Є С (Г).

(10)

Теорема 2. Внешняя краевая задача Дирихле (6) — (10) не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из теоремы о принципе максимума, приведенной в [6].

Внутренняя задача Неймана (Задача Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

Теорема 3. Внутренняя краевая задача Неймана (11) — (14) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть иі(х) и и2(х) - два предполагаемых решения внутренней задачи Неймана. Тогда их разность ш(х) = и2(х) — и1(х) будет удовлетворять условиям (11) — (13) и граничному условию

Полагая в первой формуле Грина из [6], и = и и V = и, с учетом условий (11)-(13) и (14о), получаем:

Отсюда следует, что и = 0, или и = и2 .

Внешняя задача Неймана (Задача N). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) Є С2р) п сО(б),

Т[и(х)] = 0, х Є Б,

и(х) = О (х-т“(р_2)^) при хр ^ 0, А[и(х)] г = /(х) є Co1(Г),

(11)

(12)

(13)

(14)

конормальная производная.

А[ш] = 0.

г

(14о)

х>2^х = 0.

и(х) Є с2(Бє) п сКдо, Т[и(х)] =0, х Є Бе,

(15)

(16)

и(х) = О(жр ™ (р 2)при Хр ^ 0, (17)

и = О (р-(р-2)) при г = у/х, + ... + хр ^ го, (18)

А[и(х)] г = ^(х), ^(х) € С01(г). (19)

Теорема 4. Внешняя краевая задача Неймана (15) — (19) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть и1(х) и и2(х) — два предполагаемых решения внешней задачи Неймана. Тогда их разность и(х) = и2(х) — и1(х) удовлетворяет условиям (15) — (18) и граничному условию

А[и (х)]|г = 0. (190)

Область Д — ограниченная, поэтому существует Я такой, что Д С —

полушар радиуса Я. Обозначим верхнюю границу полушара через 5+ и

Дея = ^+\Д.

Применяя к функциям и = и и V = и первую формулу Грина [6] в

области Дед и учитывая условия (15)—(17) и (19о), получаем

/ (< Т, щ- щ- + Iй; |р) *+/ иА[и]л«г+л2 /

А* 4 -=1 ' 5+ АеД

(20)

Переходя в формуле (20) к пределу при Я ^ го с учетом условия (18), получаем

( ( трг^ ди 9^ г

*•£ + ЛМ x>2dx = 0,

j \ p r-f dxj dx W J p

D£r j= ' DeR

откуда

dw n • 1— +

—— =0, i = 1,p и, следовательно, w = const = c.

dxi

Учитывая, что непрерывная функция w на бесконечности стремится к нулю, получаем, что с = 0 и U = 0 в De, а значит, Ui = U2.

2. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства

С помощью фундаментального решения E(£, х) уравнения (1), найденного в работе [6],

Г(р-24 г(р4 m

E(х,хо) = 7—2 р /р-1 ч (хРхРо)-m pX-p + E*(х;xo), (21)

(р - 2) 2п2 Г(р^)

где Е*(ж,Жо) - регулярная функция в Е+, образуем поверхностные потенциалы простого и двойного слоя:

V(ж) = / ^(Є)Е(£,ж) -Г, (22)

г

Ж(х)= / V(Є)А[Е(£,ж)] -Г,

Р— 1

где А[и ] = х^ Е 0О8(п,ж-) +ео8(п,Жр) дХ-, а ^({), V (£) € С (Г).

-=1 -

Очевидно, что потенциалы V(ж) и Ш(ж) есть регулярные решения уравнения (1) в любой области, лежащей в полупространстве Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью хр = 0, причем

/ — т — (Р—2) т+2 \

V(х) = О \ Хр 4 2 ) при хр ^ 0,

V(х) = О (р—0(р—2)) при г = у/ж2 + ... + ж2 ^ го,

/ — т —1—(Р—2) т+2 \

Ш(ж) = О (хр 4 № ; 2 ) при хр ^ 0.

Лемма 1. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то

I |А [Е(£, ж)] | ^Г < В, г

где В — постоянная.

Лемма 2 (Геллерстедт). Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то

/( I(ж) — 1, если ж € Д;

А [Е(£, ж)] ^Г = < I(ж) — 2, если ж € Г;

г [ I(ж), если ж € Е+\Д = Де,

где " дЕ(£',х)

I (х) = -/ ^*

г0

Теорема 5. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда при V € С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:

Шг(хо) = — у + Ш(хо),

Же(жо) = V0 + И^(жо),

где Шг(х0) и Ше(х0) означают предельные значения потенциала двойного слоя Ш(ж) в точке ж0 € Г при ж ^ ж0 соответственно изнутри и извне

границы Г, а Ш(х0) — прямое значение потенциала двойного слоя Ш(ж) в точке ж0 € Г.

Здесь ж0 € Г — фиксированная точка границы Г, ^ = V(ж0).

Доказательство теоремы 5 следует из лемм 1 и 2.

Из представления (21) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке ж0 имеет степенную особенность вида р2—р, т.е. такую же особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (22) на границе Г ведет себя также, как и гармонический потенциал простого слоя ([7],с.262), т.е. имеют место следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда, если плотность ц € С (Г), то потенциал простого слоя V (ж) непрерывен в Е+.

Теорема 7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда при ц € С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:

где Ахо [V (ж0)]г и Ахо [V (ж0)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке ж0 Є Г соответственно

изнутри и извне границы Г, ^0 = т(ж0), а Ахо[°(ж0)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

3. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Решение задачи Д будем искать в виде потенциала двойного слоя

Очевидно, что функция и (ж) удовлетворяет условиям (2) - (4) внутренней задачи Дирихле. Плотность V(£) - пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (23) удовлетворяла граничному условию (5) задачи Д.

ІІШ Ахо [V(ж)] = Ахо [V(ж0)]і = — + Ах°(ж0)],

х——хо 2

ііш Ахо [V(ж)] = Ахо [V(ж0)]е = - тт + Ах0 [V(ж0)],

х—хо 2

(23)

г

С этой целью подставим и (ж) в граничное условие (5) и, учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя (теорема 5), получим

- ^ + / У(С)А [Е(С,ж)] ЙГ = /(ж)‘ г

Таким образом, задача Д свелась к следующему интегральному уравнению:

V(ж) - 2 У V(С)А [Е(С, ж)] ^Г = -2 /(ж). (24)

г

Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам Д=, N и Же. Они имеют вид

V (ж)+2 У V (С )А [Е (С, ж)] ^Г = 2 / (ж), (25)

г

Мж) + 2 I МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = 2 <р(ж), (26)

г

^(ж) - 2 J МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = -2 <р(ж). (27)

г

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (24), (25), (26) и (27):

1) Из формулы (21) следует, что эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.

2) Ядра А [Е(С, ж)] и -Ах [Е(С, ж)] получаются друг из друга перестановкой точек С и ж. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что уравнения (24) и (27), (25) и (26) — попарно сопряженные интегральные уравнения.

Исследование двух попарно сопряженных интегральных уравнений.

Докажем, что интегральные уравнения (24) и (27), соответствующие задачам Д и Же, разрешимы единственным образом при любых непрерывных на Г функциях <^(ж),/(ж). С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение задачи N

^(ж) - 2 у МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = 0. (28)

г

Пусть ^(С) - ненулевое решение этого уравнения. Тогда функция

щж) = У мё)Е (С,ж)Ск ^Г

г

удовлетворяет условиям (15) - (18) внешней задачи Неймана и граничному

условию _____

ди (ж)

0,

т.е.

ди (ж)е _ Мж)+| ш ^ = 0. (29)

дпх 2 ] дпх

г

По теореме 4 о единственности для внешней задачи N

и (ж) = 0, ж € Де.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полупространстве (теорема 6), то

и (ж) = 0, ж Є Г. (30)

Рассмотрим теперь потенциал и (ж) в области Д. В этой области функция

и (ж) удовлетворяет уравнению (1) и в силу (30) обращается в нуль на границе Г. По теореме 1 о единственности задачи Д^

и (ж) = 0, ж Є Д.

Тогда _____

А*[йМЬ _ ^ + /ЖМ* [Е(£, ж)] ^Г = 0. (31)

г

Вычитая из равенства (31) равенство (29), получаем

^(С) = 0, ж € Д.

Таким образом, однородное интегральное уравнение (28) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (27) задачи N однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции <^(ж).

Таким образом, значение параметра Л = 2 — правильное для ядра Ах [Е(С, ж)], по известной теореме Фредгольма оно является правильным и для сопряженного ядра А [Е(С, ж)].

Отсюда следует, что интегральное уравнение (24) задачи Д^ однозначно разрешимо для любой непрерывной функции / (ж) € С (Г).

Из разрешимости интегральных уравнений задач Д^ и N следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 8. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то задача Д^ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

г

Теорема 9. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача Ne для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

В силу рассуждений, аналогичных рассуждениям в исследовании первой пары сопряженных уравнений (24) и (27), для второй пары сопряженных уравнений (25) и (26) имеют место следующие теоремы:

Теорема 10. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача De для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 11. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача N для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Список литературы

1. Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 2007.

2. Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Второй Всерос. науч. конф., СамГТУ. Самара: СамГТУ, 2005. Ч.3. С. 180-182.

3. Нигмедзянова А.М. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2007. № 1 (536). С. 34-44.

4. Нигмедзянова А.М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С. 72-82.

5. Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач N для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом интегральных уравнений // Изв. Смоленского государственного университета. 2012. Вып. 4. С. 363-374.

6. Нигмедзянова А.М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 28-42.

7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

Нигмедзянова Айгуль Махмутовна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования,

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Solution of basic boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with a negative parameter by the potential method

A. M. Nigmedzianova

Abstract. The existence and uniqueness of a solution of basic boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with a negative parameter is proved by the potential method.

Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with negative parameter, fundamental solution, basic boundary value problems, potentials of the first and second kind, the method of potentials.

Nigmedzianova Aigul ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics and mathematical design, Lobachevsky Institute of mathematic and mechanic, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 17.05.2013