Решение основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.М.Нигмедзянова

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Строятся потенциалы типа простого и двойного слоев для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка и изучаются их свойства. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма и доказывается их однозначная разрешимость.

Пусть Е+ - полупространство хр > 0 р -мерного евклидова пространства точек х = (х',хр), х' = (х1, х2,..., хр-1), Б -конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Г0 гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г .

В Ер рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение

,ггп М д2и дХ п

Ци] =° при т > 0, т е Ъ и р > 3.

В этой работе строятся решения основных краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения (1) методом потенциалов. В первом разделе даются постановки основных краевых задач для уравнения (1) и доказывается единственность их решения. Во втором разделе строятся потенциалы типа простого и двойного слоев и изучаются их свойства. В третьем разделе основные краевые задачи для уравнения (1) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода и доказывается их однозначная разрешимость.

1. Постановка краевых задач типа Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

Через С1(Г) обозначим множество функций р(^) класса С(Г), удовлетворяющих условию р(^) = 0(%р) при %р ^ 0 .

Внутренняя краевая задача типа Дирихле (Задача В{). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям

и (х) е С 2(В) п С (Б), (2)

Ц[Х( х)] = 0, х е Б, (3)

Х(х) = 0(хр) при хр ^ 0, (4)

и |г = /(х), /(х) е С (Г), (5)

Теорема 1. Внутренняя краевая задача типа Дирихле (2) - (5) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Дирихле (Задача Бе). Требуется найти функцию Х(х), удовлетворяющую следующим условиям

и (х) е С 2(Д ) п С (А ), Бе = Ер \ Б , (6)

Ц[Х(х)] = 0, х е Бе, (7)

Х(х) = 0(хр) при хр ^ 0, (8)

( (р-2 т+ 4 ^ ^

при г = ^х^ + ...хр ^ да , (9)

(10)

и (х) = О

(Ро2)

2 2(т+2)

(11)

(12)

(13)

(14)

конормальная произ-

и 1г = / (х), / (х) є С1 (Г),

Теорема 2. Внешняя краевая задача типа Дирихле (6) - (10) не может иметь более одного решения.

Внутренняя краевая задача типа Немана (Задача Иі). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям и (х) є С 2( Б) п С (Б), ди( х)] = 0, х є Б, и(х) = О(хр) при хр — 0,

А[и(х)] |г = р(х), р(х) є С (Г),

Здесь А[и] = хг" V С08(п, хі)+ С08(п, х )

р 31 3 дх3 р дхр

водная, п - внешняя нормаль к Г .

Теорема 3. Внутренняя краевая задача типа Неймана (11) - (14) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Неймана (Задача Ые). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям и ( х) є С 2( Бе) п С (Бе), ци( х)] = 0, х є Бе, и(х) = О(хр) при хр — 0,

( (р-2+ т+4 ^ ^

при г = ^х12 + ... хр -

(15)

(16) (17)

и (х) = О

(р2)

2 2( т+ 2)

(18)

(19)

А[и(х)] |г = р(х), р(х) є С (Г),

Здесь А - конормаль, направленная во вне области Б .

Теорема 4. Внешняя краевая задача типа Неймана (15) - (19) не может иметь более одного решения.

2. Потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (1) и их свойства

Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид

р-2

E(х,х0) = a(Pl2)-в(p2Г 2 (1 -а)1-2вх р - 2'

Г(2 - 2в)Г

Г(1 -в) г|^-в

(20)

+а

р-2

р-2 Г(2 - 2в)Г| (

2 ----------—Ч F (1 -вв ~вЛ а

р л] ( 2 2

Г(1 -в)Г| 2-2-в

Р2 Р21 рГ( )2

где а^Т2, 2 Г=Х(Ъ - 1

2

Р1 Р1 ] .7=1

(2 + т)

( 2+ т 2+ т^\

х7+х^

в=

т

2(т + 2) ’

а = ■

Г(1 -в) Г|^-в

2 + т

4п2 Г(2 - 2в)

С помощью фундаментального решения Е(х, х0) уравнения (1) образуем поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев:

V (х) = \м{£)Е (£ х)йГ, (21)

Ж (х) = {к(4) А[ Е (4, х)] й Г,

(22)

р-1 дХ дХ

где А[Х] = 4 X С0^П Т) дТ + С0^П,4р ) ТТ .

1^1 7 д4/ р д4р

Предполагается, что плотности /и(4), К4) е С1 (Г) .

Очевидно, что потенциалы V(х) и Ж(х) - регулярные решения уравнения (1) в любой области, лежащей в Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью хр = 0 .

Из [1] следует, что потенциалы V(х) и Ж(х) обладают следующими свойствами:

V(х) = 0(х ), Ж(х) = 0(х ) при х ^ 0,

(

V (х) = 0

(Ро)

о-2 т+4 ]Л

2\ ( 2 2(т+ 2)

(

, Ж (х) = 0

(Р02)

при

г = Л/х,2 +... + хр ^ да .

Из (20) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке х0 имеет степенную особенность вида р2~р, т.е. такую же

особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциалы (21) и (22) на границе Г ведут себя так же, как и гармонические потенциалы [[2], стр. 262], т.е. имеют место следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при V е С1 (Г) имеют место следующие предельные соотношения

Ж (х0) = -2 + Щх0), Же К) =^ + Ж(х0),

где Ж{ (х0) и Же (х0) означают предельные значения потенциала Ж (х) в точке х0 еГ при х ^ х0 соответственно изнутри и извне границы Г, а Ж(х0) -прямое значение потенциала Ж(х) в точке х0 еГ. Здесь точка х0 еГ - фиксированная точка границы Г, v0 = v(х0) .

Теорема 7. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при /и е С1 (Г) потенциал типа простого слоя

V (х) непрерывен в Е+ .

Теорема 8. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при /ие С1 (Г) имеют место следующие предельные соотношения

А V(*0)1 =и + А„ \у(х.)] , А„ V(ха)], =-и + А„ \Т(х0)],

где Ах0 [ (х0) 1 и А-ч [V(х0)] означают предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке х0 е Г соответственно изнутри и извне границы Г, а Ах (х0) ] - прямое значение конормальной

производной типа простого слоя V(х) в точке х0 е Г. Здесь точка х0 еГ -фиксированная точка границы Г, и0 = и(х0) .

3. Сведение задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Задача Б.. Решение задачи Б. будем искать в виде потенциала типа двойного слоя

Х(х) = {К4)А[Е(4,х)]йГ . (23)

Г

Очевидно, что функция Х(х) удовлетворяет условиям (2) - (4) внутренней задачи типа Дирихле. Плотность v(4) - пока неопределенная функ-

ция. Ее найдем из требования, чтобы функция (23) удовлетворяла граничному условию (5) задачи Д .

С этой целью подставим и(х) в граничное условие (5) и, учитывая формулу предельного значения потенциала типа двойного слоя, получим

К х)

-|к(4) А [Е (4, х)] Г = / (х).

Г

Таким образом, задача Д свелась к следующему интегральному уравнению

к(х) - 2|к(4)А[Е(4,х)]Г = -2/(х). (24)

Г

Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам Бе, N, Ые. Они имеют вид

к(х) + 2|к(4)А[Е(4, х)]Г = 2/(х), (25)

Г

ц(х) + 2|ц(4)Ах Е(4, х)]Г = 2р(х), (26)

Г

М(х) - 2|ц(4)Ах [Е(4, х)]Г = 2р(х). (27)

Г

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (24) - (27):

1). Эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.

2). Ядра А[Е(4,х)] и -Ах [Е(4, х)] получаются друг из друга перестановкой точек 4 их. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что интегральные уравнения (24) и (27), (25) и (26) -попарно сопряженные интегральные уравнения. Следовательно, для них справедливы все теоремы Фредгольма.

1. Исследование первой пары сопряженных уравнений

Докажем, что интегральные уравнения (24) и (27), соответствующие задачам Di и Ые, разрешимы единственным образом при любых функциях

/(х), (р(х) е С1 (Г). С этой целью рассмотрим однородное интегральное

уравнение задачи Ые

/и(х) - 2{М4)Ах [Е(4, х)]dГ = 0. (28)

Г

Пусть ^(4) - ненулевое решение этого уравнения. Тогда функция и(х) = |д(4)Е(4, х)dГ . (29)

Г

удовлетворяет условиям (15) - (18) внешней задачи типа Неймана и граничному условию Ах [и (х)]| Г= 0, т.е.

Ах [и(х)]е = -^ +1даАх [Е(4, х)]Г - 0. (30)

2 Г

По теореме единственности внешней задачи Ые и(х) — 0, х е De.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полупространстве, то

и (х) - 0, х еГ. (31)

Рассмотрим теперь потенциал и(х) в области D. В этой области функция и(х) удовлетворяет условиям (2) - (4) задачи Di и в силу (31) обращается в нуль на границе Г. По теореме единственности задачи Di и(х) — 0, х е D . Тогда

Ах [и(х)]. = ^ + |Ж4)Ах [Е(4,х)]Г — 0. (32)

2 Г

Вычитая из равенства (32) равенство (30), получаем — 0, х е D . Таким образом, однородное интегральное уравнение (28) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (27) задачи Ые однозначно разрешимо для любой функции

(р(х) е С1 (Г) . Таким образом, значение параметра Л = 2 - правильное для ядра Ах [Е(4, х) ], по известной теореме Фредгольма, оно является правильным и для сопряженного ядра А[Е(4, х)]. Отсюда следует, что интегральное уравнение (24) задачи Di однозначно разрешимо для функции /(х) е С1 (Г) . Из разрешимости интегральных уравнений задач Di и Ые следует, что

разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 9. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Di для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 10. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Ые для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

2. Исследование второй пары сопряженных уравнений

В силу рассуждений, аналогичных рассуждениям в исследовании первой пары сопряженных уравнений для второй пары сопряженных уравнений имеют место следующие теоремы.

Теорема 11. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача De для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 12. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Ni для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

Литература

[1] Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения. // Труды Второй Всероссийской науч. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч.3. Самара, 2005. С.180-182.

[2] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М. 1977.