Исследование классификации многоповодковых механизмов параллельной кинематики Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01:062-182:531.1 Д Х ШАМУТДИНОВ

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ МНОГОПОВОДКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКИ

Составлена новая классификация много - и, в частности, шестиповодковых механизмов параллельной структуры стержневого типа. Найдены закономерности расположения многоповодковых механизмов параллельной структуры в классификационной таблице. Предложены параметры для оценки жёсткостных характеристик данных механизмов. Для дальнейшего исследования выбран новый вариант платформы Стюарта. Ключевые слова: многоповодковый механизм, элементарная структура, механизм параллельной структуры, коэффициент симметричности, платформа Стюарта, жёсткость механизма.

1. Классификационная таблица многоповодковых механизмов

Многоповодковые механизмы стержневого типа, в частности механизмы на базе платформы Стюарта [1], успешно применяются в технологических машинах, в частности в металлорежущих станках и робототехнике. Теоретических рекомендаций по созданию данных механизмов в технической литературе пока ещё недостаточно. Один из вопросов, требующих дальнейшей проработки, является анализ данных механизмов и их классификация. В работах [1 —4] были рассмотрены многоповодковые механизмы, у которых поводки располагались симметрично в пространстве. А именно, предполагалось, что у симметричных, относительно вертикальной плоскости (оси) структур, длины поводков имеют одинаковую длину. Кроме того, в плоскости симметрии должны располагаться не более двух поводков (не более четырёх кинематических пар). Такие структуры представлены в табл. 1.

Здесь: С — структура механизма, т.е. совокупность элементов и характер соединения поводков с телом и базой, е| — элементарная структура механизма, Уп (. — количество вариантов механизмов ¡-ой группы, в зависимости от числа приводов т и числа поводков п, Кп 1 — общее количество вариантов механизмов, составленных из ¡-ой структуры, имеющей п-поводков.

Если рассматривать структуры в общем виде, т.е. у которых поводки будут иметь разную длину, то табл. 1 преобразуется в табл. 2.

Другими словами, количество структур в табл. 1 представляют собой частный случай количества структур, представленных в табл. 2.

Из табл. 2 видно, что общее количество механизмов, которые можно «синтезировать» из элементарных структур, можно представить формулами:

*(е,)=£сГ = 2'

т=0

) = £ С2" = 22, К(е,) = К(е<) = £ С3" = 2\

т=0 т=0

К(е5)=К(е6)=К(е1)=£с:=2\

т=О

*(«.) = *(«») = К(е, 0)=К(еи)= К(еп)= £с5" = 25, (1) К(еи)=К(е1А)=К(е„)=К(е] 6) = = К(е„)= К{еп)= К(е„)= К(е20)= £сб" = 26,

т=О

Ст

— это число т-сочетании из п элементов.

■ • п

Таким образом, можно записать: К,) = 2\ К2. = 22, К3= 23, К4. = 24, К51 = 25, К6, = 26.

Рис. 1. Варианты механизмов группы е5

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (100) 2011

Таблица 1

С I А А N м Ж ia Ж М Ж Ш м ДО Ж ш № Ж А Ж

Ут\ П, I \ ет е2 е3 е4 е5 ев е? е8 е9 ею еп е]2 еп е14 в16 еп е18 в]? его

V0 п, I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

V1 1 1 1 3 1 2 3 3 3 3 5 5 1 2 3 6 6 6 6 6

V2 п, I 1 1 3 3 4 4 6 6 6 10 10 4 4 9 15 15 15 15 15

к3 1 1 1 2 3 6 6 6 10 10 4 6 10 20 20 20 20 20

г4. Л ,г 1 1 1 3 3 3 5 5 4 4 9 15 15 15 15 15

К5. 1 1 1 1 1 1 2 3 6 6 6 6 6

к6 1 1 1 1 1 1 1 1

к, 2 3 4 8 7 10 12 20 20 20 32 32 16 20 36 64 64 64 64 64

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (100) 2011

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

00

Р9 Р9 Р9 Р9 Р9 Р9 Р9 3£ гч 3£ 3£ 3£ 91 91 91 8 8 р 3 "я

1 1 1 1 1 1 1 1 г* и 9Л

9 9 9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 ¡л

51 51 51 51 51 51 51 5 5 5 5 5 I 1 1 Ги л „л

03 оз оз 03 оз 03 03 03 01 01 01 01 01 Р Р Р 1 1 сЛ

51 51 51 51 51 51 51 01 01 01 01 01 9 9 9 £ £ I гЛ

9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 5 5 5 Р Р Р £ £ 3 I -'"л \Л

I I I I I I I I 1 I I I I 1 1 1 I I I I 1'и оЛ

огэ «[а 81Э "э 910 510 "0 г1Э "0 010 «0 80 ¿0 »0 =0 £0 г© \ ¡'и \шЛ

Ж Ж Ж М га Ш ш ДО № в ¥ и! ш ш И N т V I О

Iейиудвх

В общем виде это можно представить формулой:

К„.,=±с:= 2", (2)

т=0

где Кп^ — количество механизмов, получаемых из ой элементарной группы, имеющей п поводков: п = = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Если учитывать, что структура с т = 0 — это всё-таки не механизм, а ферма, то формула (2) преобразуется:

кп.,=1£с: = 2" -1.

т= 1

Для табл. 2 также можно записать:

К =с,°, у,], =с; К=с°. К = с2 • К = сг2

К = с° - К = сз. К = сз. ^ = с] и т.д.

В общем виде можно записать: V"} = С" (3)

Например, для группы е5: К°5 = С4° = = 1, ^=^= — = 4, У4\ = С42 = — = 6, гД=С43= —= 4,

4.5 4 , 4.5 4 , 4,5 4 ^

= ^ = = 1, что соответствует действительности (рис. 1).

Таким образом, для любой структуры многоповодкового механизма можно подсчитать количество вариантов механизмов ьой группы, в зависимости от числа приводов т и числа поводков п и общее количество вариантов механизмов, составленных из ьой структуры, имеющей п-поводков.

2. Степень совершенства многоповодковых структур

Известно, что динамические свойства механизма помимо внешнего силового воздействия и инерционных характеристик определяются, в том числе, его кинематическими параметрами. Анализируя данные табл. 2 (число структур в элементарной группе, количество механизмов элементарной группы, количество поводков и приводов и др.) можно сделать вывод, что кинематика и динамика механизма параллельной структуры в основном определяется геометрией самой структуры, т.е. числом, линейными размерами и взаимным расположением, друг относительно друга, звеньев данной структуры (расположение кинематических пар).

Степень совершенства данных структур будем оценивать параметром который условно назовём коэффициентом симметричности I-ой группы:

(к.Х

111

где (Кп ¡), и (Кп ,)2 — это количество структур механизмов ¡-ой группы, соответственно в табл. 1 и табл. 2. Для наглядности выпишем значения Б, в табл. 3.

По возрастанию коэффициента симметричности табл. 3 перепишем в табл. 4.

Из табл. 4 видно, что 5П1|П = Б, = Б4 = Б,, = Б12 = 516 = = ^17= ^18= ^19= 520 = 1 и 5тах = 513 = 4, т.е. в общем случае параметр находится в пределах: 1 < < 4.

Анализируя данные табл. 1 и табл. 2, можно увидеть, что элементарные группы: е]Р е4, еп, е12, е]6, е]7, е]8, е19 и е20 по своему строению (расположению поводков) — ассиметричны (относительно

6 5

-4 3

■ ■ ■

Рис. 3. Кинематическая схема структуры е'14 (п=6, ш=6)

вертикальной плоскости), т.е. структуры их групп представлены в общем (произвольном) виде. Симметричность структуры группы, а следовательно, и механизма в целом является важной предпосылкой жёсткости конструкции механизма, а именно использование механизмов с данными структурами на практике, в общем, с точки зрения жёсткости конструкции, будет не целесообразным. Наоборот, использование группы е13, известной (при ш = 6) как платформа Стюарта, будет рациональным.

Анализируя данные табл. 4, видно, что большие коэффициенты симметричности имеют группы: е15 (3,5=1,78), е3 (Б3 = 2), е5 (Б5 = 2), е5 (35 = 2,29), е14 {Б|4 = 3,2), е13 (513 = 4). Если из этих групп выделить структуры по возрастанию коэффициента симметричности, то запишем цепь:

1) е,5->е3->е5->еи->е,3. (5)

Выделяя из цепи (5) только шестиповодковые механизмы, можно обнаружить ещё одну цепь:

2) е,5->е,4—>е)3 или Б,5( 1,78)—>514(3,2)—> 5,3(4). (6)

Анализируя цепь (6) нетрудно заметить, что наиболее симметричной является группа е14, которая по

симметричности (Б,,, = 3,2) не уступает группе е,3 (платформе Стюарта, 5,3 = 4). Следующими будут группы е5 и е3, которые представляют собой «модули» для сборки шестиповодковых механизмов. Как отдельные механизмы они нашли широкое применении в робототехнике, в виде: трех - и четырёхкоор-динатных манипуляторов. Структуры: е13(платформа Стюарта), е5 и е3 по своим кинематическим и динамическим свойствам описана уже довольно подробно во многих источниках литературы. Поэтому большой интерес представляет собой исследование малоизученной группы е,4.

3. Анализ структуры группы е14

Коэффициент симметричности для группы можно отождествить с жёсткостью механизма, причем жёсткость механизма — прямо пропорциональна коэффициенту симметричности. Чем выше коэффициент симметричности структуры группы, тем выше и жёсткость механизма. Примером этого является наиболее известная группа е13, известная как механизм или платформа Стюарта.

Симметричность и жёсткость группы е, 4, как и платформы Стюарта, объясняется геометрией расположения поводков структуры (рис. 2).

Во-первых, имеются три л (или V) -образных звена, которые одной ветвью «сходятся» в одной точке (на самом деле — это условно, т.к. каждый поводок имеет свою кинематическую пару), что повышает устойчивость конструкции;

Во-вторых, разнесённые между собой через угол в 120° они, сточки зрения устойчивости, представляют собой жёсткую конструкцию.

В-третьих, при статическом и динамическом расчётах, достаточно провести исследование только одной л (или V) -образной ветви, что значительно упростит расчёты.

Под поводком понимается звено, соединяющее подвижное тело (платформу) и неподвижное основание посредством кинематических пар. Поводок, который может изменять свою длину является приводом. В конструктивном исполнении привод может представлять собой, например, гидро-, пневмоци-линдр; поступательная, шарико-винтовая пара и т.д.

Представленная на рис. 2 структура является разновидностью платформы Стюарта, однако она обладает своими особыми кинематическими и динамическими свойствами, что позволяет говорить о самостоятельной структуре механизма, отличной от механизма Стюарта.

Рис. 4. Кинематическая схема структуры е"и (п=6, ш=4)

Другим вариантом структуры е]4 будет структура еу14, представленная на рис. 3. Как видно из рис. 3, отличие этой структуры от структуры е14 состоит в её геометрии: кинематические пары 1 -2,3-4 и 5-6 располагаются не по радиусу, а по окружности неподвижной платформы. При этом угол расположения кинематических пар 1 -2, 3-4 и 5-6 обозначен как а. Значение этого угла определяется размерами самих кинематических пар (шарнир Гука, сферическая пара) и размером (радиусом Я) подвижной платформы.

Как видно из табл. 2 количество вариантов механизмов, которые можно «синтезировать» из структуры е|4 в общем виде равно К6|4 = 64. Так как структура, представленная на рис. 2, является симметричной, то, по табл. 1, количество вариантов будет К614 = 20. Один из вариантов механизма, представлен на рис. 4 (структура е"14).

Выводы:

1) составлена общая классификационная таблица многоповодковых механизмов (табл. 2);

2) найдены математические зависимости для определения общего числа вариантов многоповодковых механизмов, в зависимости от числа приводов и общего числа поводков (формулы (2) — (3));

3) на основе таблицы коэффициентов симметричности (табл. 4) предложены цепи (5) — (6) для анализа механизмов данных структур;

4) для дальнейшего исследования предложена структура (е14) шестиповодкового механизма близкая, по кинематическим, динамическим и жёсткост-ным свойствам, платформе Стюарта.

Библиографический список

1. Манипуляционные системы роботов / А. И. Корендясев [и др.]; под общ. ред. А. И. Корендясева. — М.: Машиностроение, 1989. - С. 472. - ISBN 5-217-00461-4.

2. Гаврилов, В. А. Классификация механизмов для технологических машин с параллельной кинематикой / В. А. Гаврилов, А.Г.Кольцов,А.X.Шамутдинов//СТИН. - 2005. - №9. - С.28-31.

3. Шамутдинов, А. X. Анализ и определение общего числа элементарных структур многоповодковых механизмов для технологических машин с параллельной кинематикой / А. X. Шамутдинов // Актуальные проблемы развития техники и экономики в условиях Крайнего Севера: сб. науч. трудов. — Омск: Издательство ОмГТУ, 2007. - С.66-74. - КВЫ5-8149-0512-3.

4. Шамутдинов, А. X. Определение количества вариантов многоповодковых механизмов параллельной структуры методом комбинаторики / А. X. Шамутдинов // Актуальные проблемы в науке и технике: сб. тр. Пятой Всерос. зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 17 — 20 февраля 2010 г. В 2 т. Т. 2. Химия, новые материалы, химические технологии, машиностроение, электроника, приборостроение, теоретические и практические проблемы экономического развития, естественные наук. - Уфа : Изд-во «УГАТУ», 2010. - С. 423 - 427.

ШАМУТДИНОВ Айдар Харисович, старший преподаватель кафедры «Гидромеханика и транспортные машины».

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 11.03.2011 г. © А. X. Шамутдинов

Книжная полка

УДК 621 /МЗЗ

Маталин, А. А. Технология машиностроения: учеб. для вузов по специальности 151001 направления подгот. «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»/ А. А. Маталин. — 3-е изд., стер. -СПб. [и др.]: Лань, 2010. - 511 с. - ISBN 978-5-8114-0771 -2.

В учебнике важнейшие вопросы технологии излагаются в связи с соответствующими разделами общенаучных дисциплин. Большое внимание уделяется теоретическим основам машиностроения. Подробно рассматриваются теоретическое обоснование и методики проектирования технологических процессов механической обработки и сборки в условиях единичного, серийного и массового типа производств. Представлены методика и особенности проектирования единичных, типовых и групповых технологических процессов, процессов обработки на автоматических линиях и на станках с числовым программным управлением. Особое внимание уделяется вопросам влияния типа и серийности производства на структуру технологических операций, характер технологической оснастки и содержание технологических процессов.