Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

л

J

№ 1

2006

539.3; 534.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИНОК ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ

ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Д-р техн. наук, проф. В.А. КРЫСЬКО, осп. Э.С. КУЗНЕЦОВА, осп. Н.Е. САВЕЛЬЕВА

Исследовались хаотические колебания гибкой пластины, находящейся в температурном паче, при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Рассмотрен сценарий перехода колебаний поверхности пластины в состояние хаоса на основе качественной теории дифференциальных уравнений и теории нелинейной динамики.

In work chaotic vibrations of the flexible plate which are taking place in a temperature field are investigated, at action of cross sign-variable loading. The transition scenario a plate vibrations in a condition of chaos is investigated on the basis of the qualitative theory of the differential equations and the theory of nonlinear dynamics.

С проблемой, связанной с нелинейными колебаниями оболочечных структур, сталкиваются во многих отраслях современной промышленности. Это, прежде всего, изучение мирового океана, авиакосмическая отрасль и гражданское строительство [1—4].

Было показано, что во многих случаях линейный анализ недостаточен для изучения колебаний сложных систем ввиду высоких акустических нагрузок и серьезных перегревов оболочечных систем, и усложнения расчетных схем: например, панели самолета при движении их в сверхзвуковых потоках испытывают на себе серьезные динамические воздействия, а также тепловые нагрузки [5, 6],

Изучению хаотических колебаний гибких оболочек посвящены работы [7—10]. Исследований хаотических колебаний пластин в температурном поле в известной нам литературе не имеется, данная работа ставит своей задачей восполнить указанный пробел.

Постановка задачи. Рассмотрим гибкую оболочку, которая представляет собой замкнутую трехмерную область пространства Я3 в системе координат, определяется как трехмерная область О = {х,у,г | О, у) £ [0;а]х[0;/;],-/г < г < ¡А , Оболочка находится в температурном поле, на ее поверхность действует постоянная знакопеременная нагрузка. Температурное поле Т задается по следующему закону: Т(х, у) = Абш^д^н^-лт). Систему уравнений динамики оболочки запишем в безразмерном виде [11]

1

12(1 —у2)

ч ^ dA\v х , <94н

X "—+2-;-7+Х*"-

дхА дх2д\- dvA

L(w,F)-V~F

d"w dw 1 /ч ,6>-M,

q-—r-e----— (X -^ + X-

dr dt 12(1-y2) Ox2 dv~

X T + 2——-T + X"—— -—L(\\\\v) — V~kw~ X —f-x

âr4 дх'ду- с) y 2 K Ox- i)\

№1

2006

Здесь введены безразмерные величины: = 21т, Т7 = Е(2/2)3 Т7 , г = , X - а/Ь ;

/- / 7 2кк Е(2/г)4 -

х — ах, у~Ьу\ кх ~ —, а: = —, с\ — —т-т~с1 > гае а, о — размеры оболочки по л*

£>" а"

и у соответственно, г — время, е — коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки, ¥ — функция усилий, и> — функция прогиба, И — толщина оболочки, V — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости,

д2 д2

—-т + к —т, к ьк •—кривизны оболочки по хи у (к =к =0 в случае плас-

' ах" ' ду~ 1 -

х г/ гп , д2ыд2Р п д2\у д2Р

тины), —— , Ци;,и0 = 2

ох а у оу ох дхоу дхду

д2м Э2и;

Эх2 ду2

/ V

сги>

ЭхЭу

ч ■ )

^ ™^ £>¿1 — температурное усилие, О&г — температурный момент,

(2 = Т-Т0 — приращение температуры, Т0 — начальная температура. Поперечное внешнее давление, приложенное к оболочке, будем задавать в виде q{x, у,1) — С}0 , где и ир — амплитуда и частота гармонического возбуждения. Для краткости черточка над безразмерными величинами в (1) опущена.

Рассмотрим пластину со следующим закреплением: шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер, поэтому присоединим граничные условия

д2\у д2Р

и> = 0; —т = 0; 7^ = 0; — = 0 при * = 0;1, (2)

ОХ' ОХ"

д2м> д2Р

и; = 0; —т = 0; Р = 0; —^- = 0 при у = 0;1. (3)

оу" оу

И начальные условия у) | 0= 0, -— = 0 . (4)

дг

Метод исследования — метод Бубнова—Галеркина

Краевая задача по пространственным координатам решается методом Бубнова-Га-леркина в высших приближениях. Функции м> и Р, являющиеся решениями (1), приближенно аппроксимируем аналитическим выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, тогда их можно представить в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат

Мл М у Мх М у

п=ЕЕу\ ^=ЕЕв.т,^, у). (5)

;=1 у=о /-1 ./-о

Координатные системы выберем так, чтобы функции были для

любых /, / линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производны-

№ I

2006

ми до четвертого порядка включительно в области ¿1 и чтобы у),'ф,,(л\у) удовлет-воряли краевым условиям (2), (3). Кроме того, требуется, чтобы ч>Лх,у),'\\>и(х,у) обла-

о

дали свойством полноты.

Рассмотрим шарнирно опертую по криволинейному кругу замкнутую пластину с однородными граничными условиями (2), (3) и нулевыми начальными условиями (4).

Для удобства обозначим левые части уравнений системы (1) через и Ф0 соответственно

. , _ д2ы З2/7 д2М( д2М,л

ох" ах" ох" ду"

р ЁУ. . Д/ ^Кл -

о V п л ч » »11• к /V,» - . _ ) и,

7 7 о 2 о ~ / 7 о 7 ~ '

ОХ ОХ СГХ О" V

Применяя процедуру Бубнова—Галеркина к (8) получим:

О,

(б)

1 1

I 1

и (X V)с1хс1у — О,

0 о

1 1

о о

//ф2%(х>у№ау = °> * = 0,и,*; / = 0,1,..Ж

о о

С учетом (7) уравнения (6) запишутся так:

(7)

ЕЕЛА^./ +нш -Е АгЕад.(м/

А/ '7

У

У

¿Л

¿/г

¿А

+ £

у

Ж

°Цк1

0,

ЕС-- Е-А/Е-А»0***»

+ Н1к1] = 0.

кI у

гл

(8)

Здесь знак Е[*] перед каждым уравнением системы (8) указывает, что под данным

и

уравнением понимается система к! такого вида уравнений, а интегралы процедуры Бубнова—Галеркина имеют вид

5.,

1 I

я

о о

1 р 1 д2%д2^ГК

12(1 —р.2) \2 дх дхг »

, д2у>п ¿)2ф

ду2 ду2

д2% с

дхду с дхдх

^р и с1хс1у,

1 I

1 1

А Jjr.sU

1

о о

о о

р

1 1 я

о о

1 аЧ | : 21'; »4.

X2 Ох2 дх'

ду' ду

'{\)ис1хс1у,

1 I

ст

/ / Ф/Д/^У,^,

1 1

У,

о о

о о

№ 1

2006

Н

ш

1 1 II

о о

1

12(1-у2)

ч д2М, ч д2м

X 1—

/

Эх2

ду2

гы

] 1 я

о о

X

£Ъг

<9;у

Интегралы (9), за исключением, быть может, <2*/, если поперечная нагрузка приложена не ко всей поверхности оболочки, вычисляются по всей срединной поверхности оболочки. В результате применения процедуры Бубнова—Галеркина получены следующее нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по времени относительно коэффициентов А в матричной форме (10) и линейное алгебраическое уравнение относительно коэффициентов В} записанное в матричной форме(П),

4 ш

й(А + еА) + БА + В, АВ = ($д(г) + Н. ,

(Ю)

Р£ + Т)0АА = Н

(11)

Далее сводим ОДУ 2-го порядка по времени к системе двух ОДУ 1-го порядка по времени относительно неизвестных коэффициентов А (10). Полученную задачу Коши будем решать методом Рунге—Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается из условия устойчивости решения (Дг = 1.953125 • 1(Г3). ЛАУ разрешаем относительно неизвестного коэффициента В (11) и решаем методом обратной матрицы на каждом шаге по времени.

г

к =

А = К

Ш + СБ. А • В - СвА + дО^О. + С ~Н

1

(12)

В = Р

-1

Р,АА + Н

О

(13)

Пластина при действии поперечной знакопеременной нагрузки

в температурном поле

Для исследования поведения пластины при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле были использованы следующие характеристики: графики зависимости и>тах (#0): сигнал >у(г); фазовый портрет ; спектр мощности 5(и ); отображение Пуанкаре . Данные характеристики достаточно полно описывают

поведение системы.

Для некоторых значений температуры характеристики приведены в табл. 1. Графики были построены для пластины, колеблющейся на собственной частоте и)0 = 5,9, нагрузка изменяется по следующему закону д = з1п(ю/; г), ы^ — частота вынуждающей силы, д0 =60 — амплитуда вынуждающей силы. При данном значении амплитуды нагрузки, без действия темперазурного поля, колебания носят гармонический характер.

Первая и вторая строки таблицы характеризуют гармонические колебания, ()(Т)

изменяется от 0 до 0,06.

При увеличении значения температуры, £>(Т) = 0,062, появляется первая независимая частота ю1 = 0,83, она приводит к образованию в отображении Пуанкаре одной отдельно

№ 1

2006

Таблица 1

Q(T)

W

(О

н'( W)

w, (vi; т 7-)

5 (со,,)

О

Л w.

9 !

1\ А Л А

1 1 /J 1

I i

' f \ I I 1

I 1 /

1 I 1

i !■' 1 Ц V Ч

1 7«

ü -

№

W4

-1859

1,0

1 7W -

Н>*

-30 МО О Ю 30

I '9.

- О

-i

- 7 005 -

1 79

l S

W

1 ......

l * i 1 \ 4 4

' 4,

..., i 1

0,06

im

I 804

-j

i 8

i ^ -

i Iii

■Gill

2 -

7 «4

0,062

.1

Г 11

n

Г7

L 1 i

i\

\ ! \ i \

i i i

•>- ] l

\ )

i (

I \

l 1

l

-18И

Г к

l 804

0 -

№ Ш

m

90*

Ii

1 IS -

-0 5*4.

и

-8

1 18

- lu

-P" r-

- f r у i V ■

• _ «<4>*

1 1

0,075

-18* -

-186 , j

1 V

'-» MO 0 10 iO

-H 613 :2

1 1« ~

LI*, j

■y 11

-s

7 471.

lij

i : < i r

rv i -

ф i f ^ V w 1

J 10

0,08

.uu

uu

MS

1 J

J ¡8

4 7

-f— ■ Ф 1 ■

l i 4 * » •

p •fe -

1

1 »

-Ü Я*

* J -

- 7 «tt -

¿7

l U 1 Iv

u

0,085

.1 bU.

m

1 У17

0 '

- 1 WT

L JU'j

1 JJ

1 J

1 II

-id о io го UOtb И Hl.

1 W7i

4

—1-r 1

' -Л -

\ 4 ■

« ! « 9

9 Ш

1 ' 1

П* L 2• и 111

U llfi

-i

-ЯП..

ld

r . 1 r

I f • 1

/ \ S N

Л ■ - * * V

..... 1 , 1

10

0,098

1 1Ш

- I 87 .

Uli.

I -

-0 5W.

I i«j I

\ 114 i ie u i jj l li4 1 j^i

9 Wf, ^ l

! -

UM i > 1 i • \ —

4 , >

1

10

0,15

.1

1 NO.

- I 844 -

1 Ш.

-ü iW

■ i

0 121..

19 1 62 1 14 l 8*

W

10

0,2

1

Л 86.

-1 m -

/IWi.'j

1 №.

1 *

.1 »4 }

\

/г -S« .

« *

I • 4

1 «

-ü U'i

•i

' 10

71

i «

l ö'

... т ..... •4 ь -

У'"' S •1

1 _L

1 л

i üU

.-1 OU.M

i С Vi

l ß

1 4

J 2П

v • \

• '/*

<

' . il

•lV7

: ' . • I

-и И/

* LU -

Iii /Л ^

i 4

1 6

' И

№1

2006

отстоящей точки и группы точек. Дальнейшее увеличение температуры (2СП = 0,075 приводит к появлению второй частоты ю2 = 5,07, которая является линейной комбинацией

собственной частоты колебаний и первой независимой частоты ю2 = ио

о

и)

5,9 - 0,83 =

= 5,07. При 2СП ~ 0.08, помимо уже существующих частот ш0,ы,,ы2, присутствует еще одна частота = 2ы, = 1,66, в сечении Пуанкаре образуется странный аттрактор. Появляющиеся частоты при <2СП =0,085, <2(Т) = 0,098 являются линейными комбинациями уже существующих частот. При <2СП =0,15 сечение Пуанкаре начинает изменять свою форму, появляется большое количество частот и при б СП = 0,2 странный аттрактор разрушается, а при (2(7) = 1 и при больших значениях остается множество точек — хаос.

На рис. 1 показана шкала характера колебаний, построенная на основе спектра мощности. Данная шкала представляет собой фрагмент карты управляющих параметров, узкую полоску, вырезанную на частоте собственных линейных колебаний и увеличенную для большей наглядности в зависимости от ¡2СП •

1*0)

1.995

1.9?

* ч X"' у

у ь у" т * и У ч ь"

ь г у л*'" ь / у V

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.13 д(Т)

Гармонические колебания Независимые частоты

> ■ -У

Ш

Бифуркации

□ Хаос

Линейная комбинация независимых частот

Рис. 1

*<0

5.6

5.4

5.2

О

0.02

0.04

0.06

а /vv V ЧаА л а. дАл/^ \

V' V1 —т*

0,0$

0.1 осо

Рис. 2

Щ ' ¡» 4 f I

М1 2006

При выборе амплитуды нагрузки из зоны хаоса, например гу0 = 1060, влияние температурного поля не отражается на колебательных движениях, они остаются хаотическими (рис. 2),

Согласно приведенным выше условным обозначениям шкала белого цвета на рис. 2 означает хаотические колебания, что подтверждается графиком.

Изучение динамики гибких пластин в температурном поле показало, что система может переходить из гармонических колебаний в хаотические.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основы строительной механики ракет / Л.И. Балабух, К.С. Колесников, B.C. Зарубин B.C. и др. — М.: Высшая школа, 1969. — 494 с.

2. Конструкция и отработка РДТТ / A.M. Винницкий, В,Г. Волков, И.Г. Волковицкий и др. — М.: Машиностроение, 1980. — 384 с.

3. Инженерный справочник по космической технике / Под ред. А.В. Солодова. — М.: Воениздат, 1977. — 696 с.

4. Коротеев А. С., Миронов В. М., С в и р ч у к Ю. С. Плазматроны. Конструкция, характеристики и расчет. — М.: Машиностроение, 1991. — 293 с.

5. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / B.C. Авдуевский, Б.М. Гали-цейский, Г.А. Глебов и др. Под общ. ред. B.C. Авдуевского, В,К. Кошкина. — М.: Машиностроение, 1992. — 528 с.

6. Б а к у л и н В. Н„ О б р а з ц о в И. Ф., П о т о п а х и н В. А, Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек: Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. — М.: Наука. Физматлит, 1998. — 464 с.

7. A w г е j с е w i с г J., К г у s к о V. A. Nonclussical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of shells. Application of the Bubnov—Galerkin and Finite Difference Numerical Methods. «Springer-Verlag», Berlin, New-York, London, Paris, Tokio, 2003. —430 p.

8. Awrejcewicz J.,Krysko V. A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics //Nonlinear Dynamics 24. —2001.— P. 373—398.

9. A w r ej с e w i с z J., К г у s к о A. V. Analisis of complex parametric vibrations of plates and Shells using Bubnov-Galerkin approach//Archive of Applied Mechanics 73. — 2003. — P. 495—503.

10. A wrej с e w i с z J., К ry s ко V. А., К ry s к о A. V. Complex Parametric Vibration of Flexile Rectangular Plates // Mecanica 39. — 2004. — P. 221—224.

Н.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.; Н1аука, 1978. — 419 с.