У правление хаотическими колебаниями гибких замкнутых цилиндрических оболочек при поперечном локальном и продольном знакопеременном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

дополнительного условия относительно перемещений для узла D системы 1 при нелинейном контрольном расчете. Практически это нарушение незначительно. Однако различие может иметь большое влияние, если оптимизируемая система была бы жесткой, так как оптимум задач оптимизации конструкций часто лежит на границе допускаемой области и зависит от ее локализации при расчете по методу конечных элементов.

Выводы

Блок-схема итеративного оптимизационного расчета имеет приемлемое согласование с многочленной эволюционной стратегией оптимизации.

На примере проектирования стержневой конструкции произведено сопоставление результатов линейной и нелинейной постановок задач. Незначительное расхождение соответствующих величин объемов позволяет рекомендовать линейный расчет.

Литература

1. Fretcher R. A rapidly convergent descent method for minimization / R. Fretcher, M.J.D. Powell // Comp. J. - 1963. -V. 6. -№2 - P. 163 - 168.

THE OPTIMAL DESIGN OF A STEEL SPATIAL TOWER

S.V. Klyuyev, A.V. Klyuyev

The optimal designing technique based on evolution strategies has been suggested. The designing of a steel spatial tower is considered here as an example. The best variant corresponding to the minimum of volume of tower material was revealed.

-о- нь чь

УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ГИБКИХ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ЛОКАЛЬНОМ И ПРОДОЛЬНОМ ЗНАКОПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ*

В.А. КРЫСЬКО, д-р техн. наук, профессор Н.Е. САВЕЛЬЕВА, канд. физ.-мат. наук К.Ф. ШАГИВАЛЕЕВ, канд. техн. наук, доцент Саратовский государственный технический университет

Под процессом управления хаосом понимаем преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами.

Управлению хаосом распределенных механических систем в известной нам литературе посвящено ограниченное количество исследований. В основном эти исследования касаются простых моделей распределенных систем. Исследованию хаотических колебаний гибких оболочек в последнее время уделяется большое внимание [1-6]. Настоящая работа ставит своей целью продолжить начатые исследования [Î-7] и распространить их на решение задач управления хаотическими колебаниями гибких цилиндрических оболочек.

Исследуем колебания цилиндрической оболочки при совместном действии поперечного внешнего давления и продольной нагрузки (рис.1).

Исходными являются уравнения теории пологих оболочек [8], которые с использованием известных безразмерных параметров приведены к безразмерному виду:

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 08-604-01-434-08-606 и грант СГТУ 1.3.08.2008).

Рис.1

1 Э2и> Э2 (•) Э2>У Э2(0

Я2 Эх2 Эх"

+ л-

Эу2 Эу

Эх2 Эу2 Э/ Эх2 ,

■ + 2(1-//)

ЭУ Э2(-)

дхду дхду

+

(1)

'Э2

И' Эн'

+ £

Эг

ч

3 9 Э2^

л~ -Г—--//

+2(1 + //)

Э/ ,

Эх2

= 0 ; Э2()

¿У'

+

Э2Г Э2(-)

дхду дхду

Л2 Эх"

1

— ц

дгР

ду2

\

э2()

дх1

+

+ У км? + —L(w, м>) = О .

Система (1) приведена к безразмерному виду с использованием известных безразмерных параметров:

и' = !гп>, Г = Е/г'Р, £ — £ IТ, X = Ьх , у = Ку ,

, г Л ,, м - ьк Гр а 1

к=к~.г =0), а = а——, 7 = —, Л = —,

- - я2 ' ¿2/?2 л /г

где Е - модуль упругости; // - коэффициент Пуассона; Ь\\ К - Яу- длина и радиус оболочки. Здесь / - время, е - коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки, « = 0,3; #(х, у ,?) — поперечная нагрузка, Ци>, - известный нелинейный оператор. В уравнении (1) и ниже черта над безразмерными величинами для простоты опущена.

Примем следующие краевые и начальные условия: краевые условия [9]:

эу

дх

следуя [9], перепишем условие (2) в виде

и уу

ы = = Ых = 0; £у=0 при х = 0;1,

(2)

д2ум л Э2^ д2Г л

и> = —-у = 0; при х = 0;1,

Эх

Эх2 Э/

начальные условия: |(=0= 0, >у|(=0=0. (4)

Для решения уравнений (1) при принятых краевых (3) и начальных условиях (4) функции и' и /- представляются в виде произведения функций, зависящих

от времени и от кооплинат:

'V, /V,

\ V •< „:„/.•_ .. \ ~ ~ ~ / .-..л

/=1 у = 0

'V, N2

Г

гс\

Я (0 тех) соБЦу)

/=1 ./=0

С помощью метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях в форме В.З.Власова уравнения в частных производных (1) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени (задача Коши) [10]:

I 11 I + ПшК + ^9(0 + ААЛ*/,, +

/л [ С/ к1

+

V

сИ1

+ £

А

\

У

= 0;

(6)

«

1

В у + IАВ + ^ АуАк11ук!г5

= 0.

II

, у И

Интегралы процедуры Бубнова - Галеркина .7,'^ ,/"5 и т. д. но области

£2 = {х,у | (х,у)е [0;/]х[0;2л-]} в силу их громоздкости не приводятся. После применения процедуры Бубнова - Галеркина в форме В.З. Власова получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений и систему алгебраических уравнений относительно функций Лг/ (/) и В у (/), записанные в матричной

форме: а а + еА) + на + с,в + о, ав = <&(/),

(7)

с2а + рв + в2аа = 0?

где н =

н

1/Г5

а

г/ге

г

I у га

С2

д

\ijktrs

.В,

ук1г*

р = - квадратные матрицы размерностью 2 - Л', ■ М2х2- Л', ■ , а = В = Ця^.Ц, = ||£,|| - матрицы размерностью 2 ■ • Ы2 х 1.

Далее второе уравнение системы (7) разрешается относительно в и решается методом обратной матрицы на каждом шаге по времени :

В

-ро2а-рс2

(8)

Умножая на С 1 первое уравнение системы (7) и обозначая А = придем к задаче Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка: а = 11,

к = -ж - [сг'с, +с_10,а] в - в на + с^дсо.

Проведенное преобразование возможно, т.к. обратные матрицы G ' и Р~'

существуют, если координатные функции линейно независимы.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (7) решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Для исследования поведения оболочек под действием рассматриваемой нагрузки был разработан пакет программ, позволяющий строить карты. Для построения таких карт на область пространства {¿/0, (Ор } была наложена сетка, в

узлах которой производилась идентификация характера колебаний: анализировались: сигнал w(f); фазовый портрет vv(vv); сечение Пуанкаре wt(wt+T); спек-

тор мощности S{w); знак Ляпуновских показателей.

Предварительно исследовалась сходимость решения при увеличении количества разбиений (jVxN=100xl00; NxN-200x200; NxN=350x350;

NxN-500x500) области {qü,(Op\. Расчеты показали, что NxN>350x350 является оптимальным в гармонических и хаотических областях карт динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {q0,ú)p\.

Проведено исследование сходимости метода Бубнова Галеркина для разного числа разложения в (5) N = 9 +14 . Результаты исследования показали, что при N= 13 и N= 14 результаты очень близки. Дальнейшее увеличение числа членов ряда в аппроксимации решения (5) не приводит к серьезным изменениям результатов. Поэтому здесь и далее все результаты получены для N2= 13.

Исследуем колебания цилиндрической оболочки при совместном действии поперечного внешнего г армонического давления q(t) - q0 sin(ú)pt) и продольной нагрузки, изменяющейся по синусоидальному закону

Ру(0 = Ро siпОу);

при совместном действии поперечного внешнего гармонического давления q(t) = q0 sm(ú)pí) и постоянной во времени продольной нагрузки pv(t) = р0. Примем безразмерную частоту внешних воздействий тр = 26.176 •

На рис. 2 показаны зависимости wmx(q0) при фиксированных значениях

Pq. Анализ шкал динамических режимов показывает, что приложение дополнительной знакопеременной продольной нагрузки приводит к смене типа колебаний механической системы, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим, так и наоборот, т.е. от гармонических колебаний к хаосу (рис. 2, а). Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других значениях нагрузки. При < 1.0 удалось существенно снизить площадь областей хаотических колебаний. В случае действия дополнительной постоянной во времени продольной нагрузки наблюдаем увеличение критической нагрузки, но также увеличение закритического значения прогибов и увеличение областей хаоса при больших значениях амплитуды внешнего поперечного давления q0. Но удалось переместить первое появление хаотических колебаний на большие значения амплитуды внешнего поперечного давления qQ (рис. 2, б).

Отметим, что увеличение амплитуды продольной знакопеременной нагрузки приводит к уменьшению критической нагрузки, а увеличение амплитуды статической продольной нагрузки приводит к увеличению критической нагрузки.

№ г у у\

В

—I-т——

п да*1 «г

_с_^0 = 1.0 ! 5| О » V, - 1 п п ■ I

---* и ---- . и

I 8

/ -1

а) Ру(!) = Л>5т(лу) Гармонические колебания

на частоте <У„

Гармонические колебания на частоте /2 Гармонические колебания на частоте 0)р /3

0.4 0.5 0,6 0.7 0.8

б) РуЩ = Ро Области бифуркаций Хонфа

Области двухчастотных колебаний

Области хаотических колебаний

Рис. 2. Зависимости и-'^ (д0 ) и шкалы динамических режимов

0.7

0.65

Об

0.55

0.5

№

!

т-1-г

Г-Л

\

"1-'—Г

Г\

I \

= Ра 26 176-О ?(*) = 0.6 аа( 26.176 £)

■ШД

Ро

0.0 0 1 0.2 0 3 0.4 0.5 Об 0.7 0.8 0 9 1.0 Рис. 3. Зависимость И'гаах (/?0) и шкала динамических режимов

Зафиксируем амплитуду поперечной нагрузки с/0 = 0,6 (рис. 2, а). При таком значении д() при отсутствии продольных колебаний механическая система находится при частоте возбуждения сор = 26,176 в состоянии хаоса. Затем приложим к цилиндрической оболочке дополнительное продольное воздействие р}, (х) = р08т(26,176/). На рис. 3 представлена зависимость и'тах(ро)-

Анализ зависимости ^тах(/?0) совместно со шкалой динамических режимов приводит к выводу о том, что таким образом система в данной точке

(<7о, сор) = (0,6; 26,176)

выходит из состояния хаоса и переходит при различных значениях амплитуды продольной нагрузки р0 в состояние гармонических колебаний на частоте сор, либо в состояние гармонических колебаний на частоте сор/2, либо в точку бифуркаций. Важно отметить, что приложение дополнительного продольного воздействия не приводит к увеличению прогибов.

Исследуем влияние действия продольной знакопеременной нагрузки на

Л „ Г<У0 3<у01 „ „ множестве частот колебании < —,—- \. На рис. 4. построены карты динамиче-

[2 2 ]

ских режимов для множества управляющих параметров {д0, СО }, где частота

0)п

(О.

.1.

Характеп колебаний в зависимо-

сти от цвета приведен на рис. 2.

Яо

' \ " J

13 19.5 26 32 5

а) действие поперечной нагрузки </(0 = <?0 sin(¿y/)

б) совместное действие поперечной нагрузки q(t) = qQ sin(й) t) и продольной нагрузки р = 20sin(úy)

Рис. 4. Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров , й)р} для цилиндрической оболочки с Л = 2 при (р0 = 180° .

Можно отметить, что общая картина при совместном действии поперечной и продольной нагрузок сохраняется, т.е. наблюдаем большую область гармонических колебаний на всех частотах (д0 < 0,47 при действии только поперечной нагрузки и < 0,52 при совместном действии поперечной и продольной нагрузок), затем появляются лепестки, состоящие из зон бифуркаций Хопфа, зон двухчастотных колебаний и областей хаоса.

Однако следует заметить, что возникновение таких лепестков при действии продольной нагрузки происходит при большей амплитуде внешней нагрузки. Также существенно сократились зоны хаотических колебаний. Осталась лишь область хаоса на низких частотах и на частоте, близкой к частоте собственных колебаний (й)р ~ со0 = 26,176).

Амплитуда поперечной нагрузки, при которой возникают хаотические колебания, увеличилась с да = 0,47 до д0 = 0,57. На высоких частотах также удалось добиться гармонических колебаний на частоте ау'2.

На карте динамических режимов существуют небольшие области, которые до приложения дополнительной продольной нагрузки находились в зоне гармонических колебаний на частоте а)р/2, а после управления перешли в область хаотических колебаний после приложения продольного давления. Следовательно, приходим к выводу о том, что приложение продольной нагрузки совместно с поперечным внешним давлением приводит к смене типа колебаний

механической системы на всех изученных частотах, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим, так и наоборот, т е, от гармонических колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других.

Таблица 1

го проследим, какое влияние оказывает приложение дополнительной продольной нагрузки на различных уровнях нагружения на пространственные колебания цилиндрической оболочки. В табл.1 представлены формы волнообразования и соответствующие им поперечные сечения цилиндрической оболочки при

х = 0,5; 0<у <2л.

Получаем, что при движении по амплитуде продольного нагружения р0 (при увеличении р0) число полуволн по окружной координате остается неизменным и равно 7 (р0 <5,0), но происходит распределение максимальных прогибов. Так, при малых значениях (р0 = 0,05) максимальные прогибы сосредоточены внутри зоны приложения поперечного внешнего давления, затем, по мере плавного роста амплитуды продольной нагрузки р0 максимумы распространяются и на зоны, свободные от поперечного нагружения. Затем, при некотором

13 19.5 26 32.5 36

q(t) = q0 8Ш(<Э /)

О] совместное неис гкие помеоечнии нш Оузки / ' • 1 1 ■

С/а) = £/0 8Ш(<»р/) и продольной нагрузки ру{1) = Шт(0)р()

Рис. 5. Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {д0,а>р} для цилиндрической оболочки с Л ~ 2 при <р0 = 343° .

-1

I

"120 122 124

0 -

-5

0 12.5 25

-1 1 3

а) н<0.5;0.0;0

б) п>(н>)

в) 8(а)

д) ¡ = 1

е) I =2

ж) ? = 3

з)1= 4

и) 1 = 5

Рис. 6. Пространственно-временные характеристики системы при действии поперечной нагрузки q{t) = д0ят(о)рГ) контрольном значении р0 = 7,0 число полуволн по окружной координате сокращается до 5, при этом существенные изменения касаются только зоны, свободной от поперечного нагружения, внутри же нагруженной области число полуволн и характер прогибов не меняются. Такая картина в пространственном

поведении цилиндрической оболочки остается до р0 = 50. При этом критическом продольном нагружении число полуволн резко увеличивается до 12 и расположение полуволн становится симметричным относительно линии приложения поперечного давления.

Рассмотрим сложные колебания замкнутой цилиндрической оболочки IЯ = 2,ку- 112,5, находящейся под действие локальной знакопеременной внешней нагрузки д{1) = дфШа)рг), приложенной по полосе (р0 «* 343°.

На рис. 5 представлены карты динамических режимов, полученные при •грйг.твии топцко попепечной нагтлзки и(() = ДпйтСОпЛ Гпис. 5. а) и пои одновое-

'' ----------- ------г 1 IV/ Л " V ' Ч ' ' 1 ж

менном действии локальной поперечной ¿/(0 и продольной ру{() = 10 8!о(<ау) нагрузок (рис. 5, б). Очевидно, что дополнительное параметрическое воздействие приводит к существенным изменениям в общей картине колебаний Тяк; удалось существенно уменьшить области хаотических колебаний на низких частотах , а также на высоких частотах. Возросли зоны гармонических колебаний, особенно на высоких частотах. При этом увеличилась амплитуда поперечной нагрузки д0, при которой возникает первое появление хаотических колебаний с ^о= 0,18 до <70 = 0,3.

Исследуем изменение пространственно-временных характеристик при изменении типа нагружения. Зафиксируем точку А (рис. 5). В этой точке = 0,25; сор = 19,5 и рассмотрим изменение основных характеристик, таких как сигнал и(0,5; 0,0; фазовый портрет и>( й1), спектр мощности Б (со) и сечение Пуанка-ре ууДи'г+г), а также форм волнообразования после приложения дополнительной

120 120.5 121

а) н>(0.5;0.0;()

б)

в) 5(ю)

д) I- 1

е) I =2

ж) г-ъ

3)1 =4

и); = 5

Рис. 7. Пространственно-временные характеристики системы при действии локальной поперечной д(() = дфЩсо,^) и продольной/?,,(/) = 10 $т(<ур0 нагрузок

продольной нагрузки. На рис. 6 и 7 представлены указанные характеристики. Каждая из форм волнообразования зафиксирована в моменты времени t, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4, 5, на сигнале.

При действии только поперечной наг рузки q(t) = qosm(a>pt) точка А находится в состоянии хаоса (рис. 5, а). Это подтверждают спектр мощности и сечение Пуанкаре (рис. 6, в, г). В формах волнообразования цилиндрической оболочки в различные моменты времени в состоянии хаоса наблюдаются резкие перепады между прогибами наружу и прогибами к центру кривизны оболочки. Также наблюдаем изменение числа полуволн со временем.

При совместном действии локальной поперечной q(t) = <70sin(fty) и продольной py(t) = 10 sin(fty) нагрузок точка А переходит в состояние гармонических колебаний (рис, и). Это отражается и на формах волнообразования оболочки. Так, число полуволн по окружной координате сохраняется постоянным, максимальные прогибы сосредоточены на границе приложения локальной нагрузки. Таким образом, вынужденная синхронизация внешних воздействий приводит к существенным изменениям не только во временных характеристиках системы, но и в пространственных. Следовательно, одним из способов управления пространственно - временным хаосом в механических системах в виде замкнутых цилиндрических оболочек под действием поперечного периодического давления является воздействие на систему малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий.

Литература

/. Awrejcewicz J. Nonclassical thermoelastic problems in nonlinear dynamics of shell / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, Springer. Berlin, Tokyo, London, 2003.- 427 p.

2. Awrejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awrejcewicz, V.A.Krysko, A.F. Vakakis.- Springer. Berlin, Tokyo, London, 2004. 341 p.

3. Awrejcewicz J. Thermo- Dynamics of Plates and Shells / J.Awrejcewicz, V.A.Krysko, A.V. Krysko. Springer. Berlin, Tokyo, London, 2007. 777 p.

4. Awrejcewicz/Chaos in Structural Mechanics/ J.Awrejcewicz, V.A.Krysko. Springer. Berlin, Tokyo, London, 2008.- 434 p.

5. Крысъко В.A. Управление хаотическими колебаниями гибких сферических оболочек/В.А. Крысько, И.В. Кравцова//Известия АН МТТ- 2005,-№ 1-С.10-20.

6. Десятова А.С. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Вернул л и Эйлера / А.С. Десятова, М.В. Жигалов, В.А. Крысько, О.А. Салтыкова // Известия АН МТТ. 2008.-№ в.- С. 128-136.

7.Крысько В.А. О жесткой потери устойчивости гибких замкнутых цилиндрических оболочек при локальном знакопеременном нагружении / В.А. Крысько, Н.Е. Савельева, К.Ф.Шагивалеев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений.-2008,- № 4,- С.33-37.

8. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин иоболочек. - М.: Наука, 1972. 342 с.

9. Корниити М.С. Гибкие пластины и панели / М.С.Корнишин. Ф.С. Исанбаева. -М.: Наука, 1968- 260 с.

10. Крысько В.А. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неравномерном поперечном нагружении/ В.А. Крысько, Н.Е. Савельева, К.Ф. Шагива-леев // Известия вузов. Машиностроение,- 2005.- № 1.- С.3-14.

CONTROL OF FLEXIBLE CLOSED СYLINDRICAL SHELLS VIBRATIONS UNDER LOCAL TRANSVERSAL AND SIGN-CHANGING LONGITUDINAL LOAD

Krysko V.A., Savel'eva N.E., Shagivaleev K.F.

Methods of control for vibrations of cylindrical shells subjected to local transversal load by means of small longitudinal sign-changing forcing are presented.