Исследование анизотропии углового распределения в четырехмерной ланжевеновской динамике Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 51-56.

УДК 533

А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

ИССЛЕДОВАНИЕ АНИЗОТРОПИИ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ЛАНЖЕВЕНОВСКОЙ ДИНАМИКЕ*

Исследуется анизотропия углового распределения осколков деления в четырехмерной динамической модели деления высоковозбужденных ядер. Данная модель получена добавлением к трехмерной ланжевеновской модели ориентационной степени свободы ядра (K-координаты), эволюция которой описывается уравнением Ланже-вена в режиме сверхзатухания с использованием фрикционного параметра К-координаты уь Было произведено исследование зависимости параметра ут от расстояния между центрами масс нарождающихся осколков деления и найдена аналитическая аппроксимация данной зависимости. Проведено вычисление анизотропии при ук, зависящей от деформации ядра, и сравнение с экспериментальными данными. Расчёт анизотропии углового распределения осколков деления проводился с использованием деформационной зависимости ук.

Ключевые слова: многомерные ланжевеновские модели, размерность модели, процессы слияния-деления, ориентационная степень свободы, вязкость по координатам формы, фрикционный параметр, энергия возбуждения, анизотропия углового распределения.

Введение

Анализ экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления традиционно проводится в рамках модели переходного состояния [1; 2]. Эта модель основана на предположении о существовании некоторой выделенной (переходной) конфигурации делящейся системы, определяющей угловое распределение осколков деления.

Обычно в качестве такой конфигурации выбирается седловая точка барьера деления. Предполагается, что осколки деления испускаются в направлении оси симметрии ядра в седловой точке. Ориентация оси симметрии выражается в терминах проекции K вектора полного момента I на ось деления. При этом предполагается, что силы Кориолиса, действующие на систему при спуске с седла к точке разрыва, недостаточно велики, чтобы значительно изменить K, выбранное системой при прохождении седловой точки.

На ранних этапах изучения угловых распределений осколков деления рассматривались реакции с такими налетающими частицами, как

нейтроны, ионы ъИв и а-частицы [1]. Составные ядра, образующиеся в таких реакциях, имеют температуру порядка 1 МэВ и невысокие значения углового момента. Для этих реакций высота барьера деления много больше температуры ядра, и стандартная модель переходного состояния в седловой точке (ПССТ) достаточно точно воспроизводит экспериментальные данные по анизотропии углового распределения осколков.

Дальнейшее изучение углового распределения осколков деления проводилось с более массивными налетающими частицами - ионами углерода, кислорода и более тяжелыми. Стало возможным изучение углового распределения осколков при делении тяжелых ядер с гораздо большими температурами и угловыми моментами. Для таких систем стандартная модель ПССТ предсказывала систематически низкие значения анизотропии углового распределения по сравнению с экспериментальными данными [3].

* Работа была выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 13-02-00168).

© А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев, 2014

52

А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

Для преодоления возникших затруднений была предложена модель переходного состояния в точке разрыва (ПСТР) [4-8], в которой за эффективное переходное состояние принималась не седловая, а более деформированная точка разрыва. В более корректной, по сравнению с первыми вариантами, модели ПСТР [8] удалось добиться больших успехов в описании угловых распределений в реакциях с тяжелыми ионами.

В то же время в работе [9] было показано, что наблюдаемые в эксперименте значения анизотропии углового распределения не могут быть описаны ни моделью ПССТ, ни моделью ПСТР. Поэтому в общем случае было высказано предположение, что эффективное переходное состояние, определяющее угловое распределение осколков деления, находится где-то между седловой точкой и точкой разрыва.

В работах [10; 11] Д.О. Еременко с соавторами предложили принципиально новый динамический подход к расчету углового распределения, не использующий понятие переходного состояния. В этой модели предлагается рассматривать термодинамические флуктуации степени свободы K в процессе эволюции делящегося ядра от основного состояния до точки разрыва. Процесс деления в таком подходе моделировался на основе одномерной ланжевеновской динамики, где в качестве коллективной координаты использовалось расстояние между центрами масс формирующихся осколков. В рамках этого подхода удалось хорошо описать экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений и средней множественности предразрывных нейтронов для ряда реакций слияния-деления тяжелых ионов.

Одномерная ланжевеновская модель является лишь первым приближением для описания сложного многомерного процесса, каким является деление ядра. Поэтому в работах [12; 13] данный подход был обобщен на случай трехмерной ланжевеновской динамики, где в качестве коллективных координат использовалась {c, h, а}-параметризация.

Альтернативное динамическое рассмотрение эволюции координаты K с использованием уравнения Ланжевена было предложено Лестоуном [14; 15]. Уравнение Ланже-вена, записанное в режиме сверхзатухания, использовалось для оценки влияния координаты K на среднее время деления возбужденных компаунд-ядер. В этих работах расчеты также выполнены в одномерной модели, но угловое распределение осколков в реакциях слияния-деления не рассматривалось.

Следуя предложениям Лестоуна [15], мы провели модификацию трехмерной ланже-веновской модели. Наряду с тремя коллективными координатами, описывающими форму ядра, была включена для динамического моделирования K-координата (ориен-

тационная степень свободы ядра). Результаты расчетов, проведенных в рамках получившейся четырехмерной динамической модели, были представлены в [16]. Они показали, что в рамках четырехмерной динамической модели возможно описать наблюдаемые на эксперименте значения анизотропии углового распределения, а также множественности предразрывных частиц и дисперсии массовых распределений в области тяжелых ядер [16].

В работе [17] из анализа угловых распределений осколков в реакциях слияния-деления с актинидными мишенями при подбарьерных и околобарьерных энергиях налетающих тяжелых ионов была получена эффективная не зависящая от деформации

оценка величины ук ~ 0,077 (МэВ-1021 с)1/2, где Yk - параметр, характеризующий взаимодействие ориентационной степени свободы ядра с термостатом. Эта оценка была дана исходя из достаточно простой модели деления и может отличаться от истинного значения в 2 и более раз [15].

С 2010 г. наша группа занималась исследованием четырехмерной ланжевенов-ской модели при постоянной ук =

= 0,077 (МэВ - зс)1/2 [16]. Предложенная Ле-

стоуном оценка yk хорошо подошла для

описания углового распределения некоторых реакций. Однако в предыдущих исследованиях не ставилась задача как можно более точно описать имеющиеся экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений, а проверялась принципиальная применимость ланжевеновской

динамики к описанию эволюции yk .

В данной статье будут рассмотрены координатные зависимости yk, а также про-

ведено сравнение теоретически полученных значений анизотропии углового распределения при yk Ф const с экспериментальными данными [18]. Целью настоящей работы является исследование влияния yk Ф const на анизотропию углового распределения.

Модель

Эволюция ориентационной степени свободы описывается уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания. В конечно-разностной форме это уравнение имеет вид [15]:

К(п+1) = K(n) -YjJ_Гт+укЫтЕ,{п), (1)

где § - нормально распределенное случайное

число с единичной дисперсией, yk - пара-

метр, характеризующий взаимодействие ориентационной степени свободы ядра с термостатом. Верхний индекс в уравнении (1) означает, что соответствующая величина

Исследование анизотропии углового распределения...

53

вычисляется в момент времени tn = пт, где Т - шаг интегрирования уравнений Лан-жевена по времени.

В стохастическом подходе [19] эволюция коллективных степеней свободы делящегося ядра описывается по аналогии с движением броуновской частицы, помещенной в термостат, образованный всеми остальными степенями свободы ядра. В качестве коллективных координат (степеней свободы) используются параметры хорошо известной {c,h,^-параметризации [20], которая описывает возможные формы ядра в делении. Параметр с описывает удлинение ядра (длина ядра в единицах радиуса R0 начальной сферы равна 2c). Параметр h определяет изменения толщины шейки при заданном удлинении, координата а задает отношение масс будущих осколков. В данном исследовании из соображений удобства использовались коллективные координаты (q1, q2, q3), связанные с параметрами формы {c,h,a}

следующими выражениями: ql = c, q2 =

= (h + 3 / 2) / (hsc + 3/2), q3 = a / (As +в(В)Б).

Здесь 9(B) - функция Хевисайда, hsc - значение параметра h , при котором толщина шейки равна нулю при условии, что

a = 0 : h = —+ (1 - c) / 4 . Такой выбор ко-

sc 2c3

ординат полностью решает проблему запрещенных форм и делает сетку коллективных координат прямоугольной [21].

В расчетах использовалась система стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена. При этом применялась интерпретация Ито [22]. В разностной форме система уравнений Ланжевена имеет вид:

1) = pП -т

-Q(n) (q) - j (q)РП ] + 9<П^п)4Т, (2а)

( dtijk (q)Y

to 1 -- £ l ^ J

,(п + 1) _ (п)

+ 2 < (q)(РП - Pj

(п + 1)

)Т, (2б)

где qt - набор коллективных координат;

pt - сопряженные им импульсы;

ту (II Pij II = II my II"1) - инерционный тензор; ylj - фрикционный тензор; Q - консервативная сила; 9jj^j - случайная сила; 0^ - амплитуда

случайной силы [dik9kj = Tyik ) ; ) - гауссова случайная величина со следующими статистическими свойствами: Ю=0,

(0£j (t2^ = 28,j8(t2 - t1) , T - шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени.

Энергия внутренних степеней свободы ядра находится из закона сохранения энергии:

£mt = E* - EcoU (q, p) - V(q, I, K) - Eemp (t), (3) где E* - полная энергия возбуждения составного ядра; EcoU = -2-ц.. (q)p,pj - кинетическая энергия коллективного движения ядра; Eevap (t) - энергия возбуждения ядра,

унесенная испарившимися частицами к моменту времени t .

Энергия вращения ядра определяется выражением

Erot (q, I, K)

= h2 K2 = 2 JII (q) й21 (I +1) 2 J k (q)

+

+

й 2 [i (I +1) - к2 ] 2 J± (q)

Й2 K2

2 Jeff (q)

(4)

Функционалы J| и JL представляют собой твердотельные моменты инерции ядра относительно оси симметрии ядра и оси перпендикулярно ей соответственно. Эффективный момент инерции дается выражением Je1 = J|1 - Jk .

Начальные значения коллективных координат q0 импульсов p0 полного момента I

составного ядра и его проекции на ось симметрии ядра К разыгрываются методом Неймана с образующей функцией [21]:

P(qо,pо,I,k,t = 0) ~

~ exp

V (q0,1,K) + Ecoll(q0, p0) T

x

x^(q0 -qgS(I,K))a(I)P0(K), (5)

где q gs (I, K) - координаты основного состояния ядра (ql = 1, q2 = 0.375, q3 = 0) . Функция a(I) описывает начальное распределение

составных ядер по моментам и рассчитывается в модели [23].

В рамках модели ферми-газа плотность уровней ядра с энергией возбуждения Eint , спином I и его проекцией на ось симметрии K имеет вид:

Psph (Eint ’1,K, q) =

Va(q)

12

2 J

exp

[2V a (q)Ein

(6)

1 J

Система уравнений (1) и (2) интегрировалась совместно до выполнения одного из условий: разделения ядра на осколки или образования остатка испарения. Таким образом, состоянием, определяющим угловое распределение в данной модели, считается разрывная конфигурация данного ядра.

int

54

А. В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

Координатные зависимости у k

В ходе выполнения исследования были

изучены зависимости ук от различных ве-

личин.

Из работ [24; 25] можно получить выражение для Yk :

1 J|| Jeff Jr

^DtJ2л3щ \ J1

(7)

где

1 ,

JR = 4 M 0 D2

(для системы без массовой

асимметрии);D - расстояние между центрами масс нарождающихся осколков;

n0 = 0,0263-10 22 c • фм-1 - объемный поток в модели стандартной ядерной материи [25]; rN - радиус шейки. Стоит отметить, что выражение (7) было получено для двойной ядерной системы и, следовательно, справедливо только для систем со сформировавшейся шейкой. Экстраполяция на более компактные конфигурации является предметом отдельного исследования и дана лишь для качественной оценки возможной природы взаимодействия ориентационной степени свободы с термостатом.

В работе [24] дана следующая оценка уk :

Yk

0,02 (МэВ •10'21с)'1/2

jJjeff|5/8(q/R0)2

V J±

. (8)

На рис. 1 представлена координатная зависимость фрикционного параметра ори-

ентационной степени свободы ук от D -

расстояния между центрами масс нарождающихся осколков (при значениях

D > 0,75), полученная по формуле (7), а также аппроксимация данной кривой зависимостью у = 0,00226 • x /(-0,75802 + x).

Рис. 1. Зависимость фрикционного параметра ук

от расстояния между центрами масс нарождающихся осколков в одномерном случае (h = a = 0). Расстояние D приведено в единицах радиуса начального сферического ядра R0. Пунктиром показана аппроксимация кривой уk(D) зависимостью у = 0,00226 • X / (-0,75802 + x), точками - прямая уk = 0,077 (МэВ • зс)-1/2

Рис. 2. демонстрирует зависимости ук в

2 Jeff (I (I +1) - K2)

соответствии с формулой

Yk=i cj i2 ’

полученной из соотношения [16]:

2 J

eff

и оценки [26]:

у k212 h2

C J

CkJl -h\

I (I + 1) - K2

Tk =

(9)

(10)

(11)

где Ck - коэффициент пропорциональности, величина которого варьируется для наилучшего описания экспериментальных данных.

Рис. 2. Зависимость фрикционного параметра yk от расстояния между центрами масс нарождающихся осколков в одномерном случае (h = a = 0) (точками показана прямая ук = 0,077МэВ • зс~'п) (а);

зависимость фрикционного параметра yk от полного спина I (б)

Сравнивая результаты, полученные из формул (7) и (9), стоит отметить, что результаты не находятся в полном согласии. Это ожидаемо, так как параметр Ck имеет оценочный характер и может варьироваться. В данных расчетах Ск брался равным 0,3 c 1.

Исследование анизотропии углового распределения...

55

В работе [27] для данного значения Ck были найдены зависимости тк, вполне согласующиеся с результатами анализа экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления для реакций полного слияния [11; 26].

Анизотропия углового распределения

Как упоминалось выше, целью данного исследования является изучение влияния Yk Ф const на анизотропию углового распределения. Анизотропия была выбрана в качестве исследуемой характеристики, поскольку имеет наиболее выраженную зависимость от уk и редко исследуется в теоретических работах.

Угловое распределение осколков деления рассчитывалось с помощью выражения

W(*)= 7^X Nf VJ + 1/2) \doK И2

N f J=1

(12)

N

где I1 , K1 - значения полного момента и его проекции в момент разрыва ядра для j-й

траектории деления; Nf - число событий

деления; d0K (И) - функция вращения

Вигнера; И - угол между направлением вылета осколков деления и осью пучка налетающих ионов.

Анизотропия углового распределения определяется как

A =-W0°L (13)

W(90°)

Для расчета анизотропии была выбрана реакция Ne + in ^ Fm c энергиями Elab=125,6МэВ и Elab = 142,5МэВ , так как по данной реакции имеются детальные экспериментальные данные о зависимости анизотропии от массы осколков [18]. Также ранее нами уже была исследована зависимость анизотропии от массы осколков для Yk = const [16], и поэтому важно проверить, как будет себя вести зависимость анизотропии от массы для Yk , зависящей от деформации.

На рис. 3 представлены теоретические расчеты, а также экспериментальные данные анизотропии [18] для Elab = 125,6 МэВ и Elab = 142,5 МэВ. Как и в эксперименте, в наших расчетах мы получили слабую зависимость анизотропии углового распределения от массы. Стоит отметить, что целью данной работы не являлось количественное воспроизведение значений анизотропии, поэтому рассчитанные значения в среднем на 30 % меньше, чем экспериментальные данные. Экспериментальную величину анизотропии можно воспроизвести в теоретических расчетах, варьируя такие параметры модели, как вязкость по координатам фор-

мы Yjk и/или величину Yk, но в данной статье зависимость исследовалась только качественно. Изменение энергии возбуждения Elab не повлияло на разницу между рассчитанной в четырехмерной модели величиной анизотропии и экспериментальными данными. Рис. 3 демонстрирует результаты для одного вида зависимости yk от деформации D. В будущем планируется осуществить проверку остальных видов зависимостей Yk .

б

Рис. 3. Анизотропия углового распределения различных продуктов деления, формируемых в реакции

20Ne + 232Th ^ 252Fm :

для Elab =125,6 МэВ (a), для Elab=142,5 МэВ (б),

□ - экспериментальные данные работы [21],

■ - теоретические значения, полученные по формуле (13)

Выводы

Расчет углового распределения осколков деления и анизотропии углового распределения для двух реакций слияния-деления при различных значениях энергии налетающего иона проведен в рамках четырехмерной ланжевеновской динамики. Эволюция ориентационной степени свободы K-координаты рассмотрена на основе уравнения Ланжевена (1), предложенного в [15]. Испа-

56

А.В. Чередов, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

рение частиц учитывалось на протяжении всего процесса деления.

Качественно мы воспроизвели зависимость анизотропии от массы осколков при Yk, зависимой от деформации. Для количественного согласия необходимы дальнейшие расчеты с варьированием yk . Как и в эксперименте, мы получили слабую зависимость анизотропии от массы осколков деления. Сравнивая расчеты анизотропии с Yk = const [16] с зависящим от деформации Yk, можно сделать вывод о том, что качественно зависимость анизотропии от массы осколков не меняется, что подтверждает применимость расчетов с Yk = const для моделирования процессов слияния-деления в стохастическом подходе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vandenbosch R., Huizenga J. R. Nuclear Fission // Academic Press. 1973. P. 424.

[2] Halpern I., Strutinsky V. M. Angular distributions in particle-induced fission at medium energies // Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy. 1958. Vol. 15. Р. 408-418.

[3] Vaz L. C, Alexander J. M. Reassessment of fission fragment angular distributions from continuum states in the context of transition-state theory // Phys. Rept. 1983. Vol. 97. P. 1-30.

[4] Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: formalism // Phys. Rev. 1985. Vol. 32. P. 471-482.

[5] Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: analysis of data // Phys. Rev. 1985. Vol. 32.

P. 483-487.

[6] Rossner H. H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Statistical scission model of fission-fragment angular distributions // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 38-41.

[7] Rossner H. H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. P. 560-575.

[8] John B., Kataria S. K. Fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. P. 1337-1348.

[9] Freifelder R., Prakash M., Alexander J. M. Interplay between theory and experiment for fission-fragment angular distributions from nuclei near the limits of stability // Phys. Rep. 1986. Vol. 133. P. 315-335.

[10] Drozdov V. A., Eremenko D. O., Fotina O. V. et al. Stochastic Model of the Tilting Mode in Nuclear Fission // AIP Conf. Proc. 2004. Vol. 704. P. 130138.

[11] Eremenko D. O., Drozdov V. A., Eslamizadex M. H., et al. Stochastic model of tilting mode in nuclear fission // Phys. Atom. Nucl. 2006. Vol. 69. P. 1423-1427.

[12] Karpov A. V., Hiryanov R. M., Sagdeev A. V., Adeev G. D. Dynamical treatment of fission fragment angular distribution // J. Phys. G. 2007. Vol. 34. P. 255-269.

[13] Хирьянов Р. М., Карпов А. В., Адеев Г. Д. Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 13891400.

[14] Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. P. 1540-1544.

[15] Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044611.

[16] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Gegechkori A. E., Anischenko Yu. A., Adeev G. D. Four-dimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. 2012. Vol. 85. P. 064619.

[17] Lestone J. P., Sonzogni A. A., Kelly M. P., Vandenbosch R. Near- and sub-barrier fission fragment anisotropies and the failure of the statistical theory of fission decay rates // Nucl. Part. Phys. 1997. Vol. 23. P. 1349-1357.

[18] Tripathi R., Sodaye S., Sudarshan K., Guin R. Mass-resolved angular distribution of fission products in the 20Ne + 232Th reaction // Phys. Rev. 2013. Vol. 88. P. 024603.

[19] Abe Y. et. al. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep. 1996. Vol. 275. P. 49196.

[20] Brack M., Damgaard J., Jensen A. S. et al. The shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. P. 320-405.

[21] Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.

[22] Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М. : Мир, 1986.

[23] Flobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion induced fission // Phys. Rept. 1998. Vol. 292. P. 131-237.

[24] Dossing T., Randrup J. Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions:

1. Accumulation of angular momentum by nucleon transfer // Nucl. Phys. 1985. Vol. 433. P. 215-279.

[25] Randrup J. Transport of angular momentum in damped nuclear reactions // Nucl. Phys. 1982. Vol. 383. P. 468-508.

[26] Еременко Д. О., Дроздов В. А., Дерменев А. В. и др. Угловые распределения осколков деления в реакциях полного слияния деформированных ядер // Изв. РАН. 2007. Т. 71. С. 408-415.

[27] Еременко Д. О. и др. Динамический подход к анализу угловых распределений осколков деления и квазиделения // Известия РАН. 2009. Т. 73. С. 191-195.