CC BY
44
ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 535.317
А. Л. Сушков
ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ И ХРОМАТИЗМА В СИНГЛЕТЕ И ДУБЛЕТЕ ВВЕДЕНИЕМ ОСЕВОГО ГРАДИЕНТА ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Рассмотрены теоретические модели исправления сферической и сферохрома-тической аберраций в одиночной линзе и дублете при наличии в линзах осевой неоднородности показателя преломления. Показано, что в одиночной линзе хроматизм можно устранить при аномальном ходе дисперсии градиента показателя преломления. В дублете исправление хроматизма возможно как при нормальном, так и аномальном ходе дисперсии градиента.
Ключевые слова: линза, дублет, хроматизм положения, сферохроматизм, неоднородность показателя преломления, дисперсия градиента показателя преломления.
Анализ возможности исправления сферической аберрации третьего порядка и хроматической первого в одиночной линзе (синглете) и блоке из двух склеенных линз (дублете) будем рассматривать при задании распределения показателя преломления (ПП) зависимостью:
п(г) = по (*<) + п01 (Х)2 + п02 (Ъ)2(1) где п0(Х) — показатель преломления в исходной точке; п01(Х), п02(Х) — аберрационные коэффициенты. Оптическая ось совпадает с осью 2 системы координат 0ХУ2, привязанной к входной поверхности линзы.
Сферическая аберрация. Известно [1] выражение для коэффициента сферической аберрации 51:
_ _ 51 = + + 5Ь (2)
где , — однородно-поверхностная и неоднородно-поверхностная составляющие, 51 — вклад переноса.
Составляющие 51н, вычисляются при суммировании по поверхностям, согласно формулам:
2
= 1ИР, Р = М 5(ац) ^ =^5(п01 ^)и4, (3)
где 5а = ак+1 - ак, 5 ц = цк+1 - дк, I — глубина зоны неоднородного ПП, составляющей не менее величины стрелки прогиба поверхности, в область которой вводится градиент ПП; ц=1/п, а — угол с оптической осью первого вспомогательного луча; И, г— высота луча и радиус кривизны оптической поверхности. Условия нормировки осевого луча: а1=0, И1=/', а'р=1.
Для упрощения анализа будем считать распределение показателя преломления линейной функцией от г (п02=0).
Очевидно, чтобы исправить сферическую аберрацию, не принимая во внимание составляющую вклада переноса, должно выполняться условие:
£ ПР = п4.
г
Сферическую аберрацию в одиночной линзе или дублете можно исправить за счет введения неоднородности 1111 в одной или обеих линзах.
При последовательном расположении в блоке однородной и градиентной сред (Н-О), разделенных поверхностью с радиусом кривизны г, имеем:
S1H - 2 п r
откуда
= - г2
П01 = -—1Н 74.
п
При переходе луча из градиентной среды в однородную (Н-О) имеем:
2
о n01 1 4 S1H --0- h и n
— r
01 - sih "Jh
(4)
(5)
Таким образом, по величине коэффициента S1 исходной однородной системы, рассчитанной с помощью программ анализа аберраций третьего порядка, например OPAL-PC, используя формулу (4) или (5), получим исходное значение коэффициента n01 линейного распределения ПП, которое в дальнейшем уточняется путем экстраполяции по результатам расчета через градиентную оптическую систему реальных лучей. Следует обратить внимание на то, что коэффициенты n01 в формулах (4) и (5) определяют необходимую величину показателя преломления n лишь на границе однородной и неоднородной сред. Данный подход исправления сферической аберрации можно распространить и на более сложные конструкции оптических систем.
Хроматизм положения одиночной линзы. Известно [2] выражение для хроматической аберрации положения однородной оптической системы, включающейp поверхностей:
ds'p -
(6)
npa p k-1
где k — текущий номер поверхности. При
Ck -
коэффициент хроматической аберрации положения —1хр обычно записывают как
р _
—1хр = £ ПкСк . к=1
Тогда (6) будет иметь вид:
(7)
(8)
=
1
Г—1
, ,2 1хр ' Пр а р
Для линзы конечной толщины в воздухе можно записать
р =-|г (П1С1 + П2С2 ).
а 3
(9)
(10)
„ _ 1 „ йп 1 - ц
Согласно принятому обозначению ц = —, с учетом известной зависимости — =-
п п уг
'00
будем иметь:
С =
С =
а 2 -а1
V
V ц 2 ц1 У
йП2 йП1
V П2
П
1 У
= -(а 2-а1)
йП1 П1 -1
а2 -а1
VI
'а3-а2 VйП3 йП2 ^
V Ц3 ц2 у
V Пз
П
= -(а3-а 2 )
йП2 _ аз - а2
(11)
'2 У
П2 - 1
V-
где йщ = (п^1 - П^2 )1 — средняя дисперсия на поверхности линзы 1; йП2 =((д - П^2) — средняя дисперсия на поверхности линзы 2, V!, V2— коэффициенты дисперсии на поверхно-
стях линзы.
С учетом известных соотношений П = а1—1 и П2 = П -а2^ = а^ -а2^ получим
^'р = —2 а2
(
п1 02^01 + п2 аз-а2
Л
V1
V 2
1
(
а2з
п
После преобразований будем иметь
Ч = "2 К
а3 I
а2 а1 аз а 2
VI
V^
+ (п-а 2й) V1 V2
й (аз-а 2 ).
Л
Если ввести обозначения
ф =а 2-а1 ф 1пов , 2пов
V
а3 -а2
(12)
(13)
п
то получим
й5'р = 2 а
П1
— ф1пов п1 + ^ — ф2пов
VI
"1 V 2
В случае тонкой линзы й~0 можно считать, что П1=П2, и в окончательном виде хроматическая аберрация положения однородной тонкой линзы будет такова:
- — й ф2повП2
V-
(14)
ds р = —п2
а
2
з
ф1пов + ф 2пов
V1
V 2
(15)
Оптическая сила линзы Ф равна сумме оптических сил поверхностей ф1пов и ф2пов, где
ф1
По -1
ф 2
1 - П
(16)
1пов ' 2пов •
г1 г2
Если ввести понятие „поверхностный коэффициент дисперсии vпOв", то из (15) и (16) получаем условие исправления хроматической аберрации положения в одиночной линзе с осевым градиентом:
' По -1 - П2 -1 " V V1повг1 v2повг2 У
= 0.
(17)
Из (17) получаем соотношение для радиусов кривизны поверхностей, чисел Аббе и показателей преломления в полярных точках поверхностей при исправленном хроматизме положения:
Л = У2пов (п0 -1) (18)
г2 ^пов (nz -1) '
Анализ (18) показывает, что при известных параметрах градиентных сред исправление хроматизма положения возможно в довольно узком диапазоне радиусов кривизны поверхностей одного знака.
Для исправления хроматизма положения при известных параметрах исходной однородной линзы (15) получаем желаемую величину коэффициента дисперсии на поверхности 2 у2пов в полярной точке второй поверхности:
= ^1повФ2пов (10)
У2пов = Ф1 • (10)
1 пов
При линейной зависимости распределения 1111 можно получить выражение для коэффициента У2пов :
^ =(п0-1 + АП)У1У01 (20)
У 2пов = 7-Гч-""7-, (20)
(п0 - 1)У01 + А^1
где Ап — перепад показателя преломления, у01 — коэффициент дисперсии градиентной среды:
п01Х0
V 01 = шли . (21)
nom noix2
Приравняв (19) и (20), с учетом (16) и (21) получим выражение для числа Аббе среды Voi:
Voi =__(1 - nz )p2Anv1_, (22)
01 (no -1) [(no - 1)P1 +(1 - nz )P2 ] + ( - 1)p1An' где p1, p2 — кривизна поверхностей линзы; n0, nz - величины 1111 в полярных точках первой и второй поверхностей.
Расчет по формуле (22) дал значение v01= - 4,17. Полученные формулы являются приближенными, их точность повышается с уменьшением толщины линзы.
Пример. Было выполнено моделирование в среде OPAL положительного мениска для определения возможности исправления сферической аберрации и хроматизма положения при градиенте 1111 в области второй поверхности.
Рассчитанная система имеет параметры: r1= - 355,0; d=8; Ф6; ne=1,607; nF = 1,6154; no =1,599 29; r2 = - 49,998; Dзр =20 мм; Д =6,25 мм; no1e = 0,033мм-1; noF = 0,030 мм-1; no1C=0,035 26 мм-1; щ =1,664 75; hn=0,057 75; v01 = -6,27 ; V1=37,67; Vlпов=37,67; V2пов =96,3.
Здесь hz — смещение плоскости начала неоднородного 1111 от начала предыдущей поверхности. Величина коэффициента n0^ рассчитана по формуле (5).
Зона градиентного показателя преломления в области поверхности 2 начинается на расстоянии hz = 6,25 мм от входной поверхности. Уточнение коэффициента v01, полученного по (22), привело к V01 = - 6,27. Таким образом, получена отрицательная величина коэффициента дисперсии градиентной среды, из чего, согласно (21), следует no^ < Щхк2 .
Анализ показал, что хроматизм положения в положительном мениске может быть исправлен GRIN-средой с отрицательным градиентным числом Аббе. Такой коэффициент получается при аномальном ходе дисперсии градиента 11 .
Результаты моделирования мениска в среде OPAL на исправление хроматизма положения и сферохроматизма приведены на рис. 1: а — ход лучей осевого пучка; б, в — графики продольной и поперечной сферических аберраций при исправленном хроматизме положения
(б, у01= - 6,27) и сферохроматизме (в, у01= -5,50). Видно, что при у01= -6,27 в мениске исправлена хроматическая аберрация положения, при у01= -5,50 исправлена хроматическая разность сферических аберраций на середине входного зрачка.
б)
-. Ьк
к*
0"2Е . сЙо
/
/
ПОПЕРЕЧНЫЕ
( МН>
ЛЛИНН ВОИН
. '54607 . <48000 , 1ЧЭвО
НС.ИООП АТ И Э И
.явооо . бяззо
--2.С00-1 .ООО О
1 .Ьоо
ПРОДОЛЬНЫЕ «НН>
.еМИНЫ ВО/1Н
.54607 .48000
А"1
.-а.ооои ооо
I /
X
у
I
1.Ьоо2. С
в)
ПОПЕРЕЧНИК
.зиины ВОИН
.54607 . 48000' . 6-4380
ЗОПИДНДТИЭМ
(У, >
ДА ИНЫ ЕО,-1Н
0 - • 54607
1 . . 43000 , , 64380
-а, 000-1 . ооо
ПРОДОЛЬНЫЕ
I ПИ 1
¿МНН И вОИН
.54607
.чаооо
.■64380
. Е46 1ЧЭ
Рис. 1
Хроматизм положения дублета. Дублет обычно рассматривают как блок из двух линз, находящихся в соприкосновении [2]. При наличии градиента показателя преломления в первой линзе блока при положении предмета на конечном расстоянии -а1 от передней главной плоскости первой линзы хроматическую аберрацию положения можно записать в виде:
('к = -а2
Ф1пов , Ф 2пов , Ф 2
(23)
^ у1пов у2пов у3 )
где Ф1пов, Ф2пов — оптическая сила первой и второй поверхностей первой линзы, Ф2 — оптическая сила второй линзы.
Для первой линзы имеем:
Ф1пов + Ф2пов = Ф1,
где
Ф
1пов
n0 - 1
Ф
1 - nz
2пов
Подстановка (24) в (23) дает в окончательном виде
(
no -1
1 - nz
dsk = -a2
ЧУ1повг1 v 2повг2
при положении предмета на бесконечности a2 = f ':
Ф 2
v
3
dsk = -f'
f
no -1
nz -1 +Ф2
Л
(24)
(25)
(26)
^1пов1 V2пов>2 V3 У
Из (26) получаем условие исправления хроматизма положения при наличии градиента в первой линзе блока:
(
no -1
nz -1 Ф
Л
= 0. (27)
^1пов1 ^пов>2 V3 )
При наличии градиента показателя преломления во второй линзе блока и нахождении предмета на конечном расстоянии -а1 от передней главной плоскости первой линзы:
dsk = -a2
Ф1 | Ф2пов | Ф 3пов V v1 v2пов v3пов
(28)
Для второй линзы имеем:
Ф
где
Ф
2пов
2пов
no -1
+ Ф 3пов =Ф 2
Ф
1 - n.
3пов
Подстановка (24) в (23) дает в окончательном виде
(
n0 -1 1 - nz
Ф
л
dsk = -a2
V^WI v2повг2 v3 У
При положении предмета на бесконечности имеем a2 = f':
f no - 1 nz -1 , Ф2 ^
dsk = -f '
VV1повr1 v2повг2 v3 У
Из (26) получаем условие исправления хроматизма положения
(
no -1
nz -1 + Ф
Л
= 0.
VV1повr1 *^повг2 v3 У В случае однородных линз получаем известную формулу:
(29)
(3o)
(31)
(32)
(n - О
(
1 1
Л
V '1 2 У
1 Ф2 Л
—+ ^ = 0.
v1 v3
Анализ (27) показывает, что в дублете из однородной и градиентной линз возможность исправления хроматизма существенно выше, чем в одиночной градиентной линзе за счет наличия в каталогах большого разнообразия стекол с различными n и v.
Конструктивные данные исходной однородной системы с f= 98,049 мм, S'f= 94,728 мм, Ар= 35,72 мм, f/2,8 следующие: тх= 100,0, Г2= -100; d1=7, GLA PSK52, nю =1,603101, nu =1,609503, nxi =1,600282, v00 =65,408; Г2= -100,0, r = -128,5849; d2=3, GLA G32SFN, nw = = nix = ni2 =1,766606 [3]. На рис. 2 представлены ход лучей (а) и сферохроматические аберрации (б).
Спектральный диапазон: i0=0,58756, i1=0,48613, i2=0,65627 мкм.
2
2
3
а)
б)
й.
А ч
& ■ ь»
>кй DH ■
ч
"ж, .
-it-тфг
Рис. 2
Расчет величин поверхностных коэффициентов S1 при нормировке h1=f позволил получить результаты: ¿1=98,049 мм; Su=21,689; S1.2= -38,956; S1.3= 245,871; S1=Si.1+S1.2+S1.3 = =228,606.
Сферическая аберрация третьего порядка на краю зрачка имеет значение: As 'край= -3,792 мм.
Реальная продольная сферохроматическая аберрация достигает -5 мм, волновая аберрация W(i) ~ - 50i. Пучок осевых лучей имеет явно выраженную каустику.
Градиент показателя преломления поочередно вводился в области всех поверхностей. Здесь Я=ткр/т — относительная высота луча на входном зрачке.
Вариант 1. Градиент 1111 в регионе 1 поверхности первой линзы.
Параметры градиента ПП: n01i0= - 0,0248 мм-1, n01i1= -0,034 мм-1, n01i2= - 0,020 мм-1, v01 = 1,77.
Исправлен сферохроматизм на высоте
0,75R , f ' =98,053 мм, s^'=94,723 мм. Вариант 2. Градиент в регионе 2 поверхности первой линзы.
Параметры градиента ПП: n01i0= 0,029 мм-1, n01i1= 0,016 мм-1, n01i2= 0,0358 мм-1, v01 =-1,46.
Исправлен сферохроматизм на высоте
0,5R , f ' =93,927
мм, sF-=90,681 мм. Вариант 3. Градиент в регионе первой поверхности второй линзы. Параметры градиента ПП: n01i0= -0,026 мм-1, n01i1= -0,034 мм-1, n01i2= -0,018 мм-1,
v01 = 1,62.
Исправлен сферохроматизм на высоте
0,75R , f '=98,052
мм, sF=94,725 мм. Вариант 4. Градиент в регионе 2 поверхности второй линзы.
Параметры градиента ПП: n01i0= 0,050 мм-1, n01i1= 0,032 мм-1, n01i2= 0,056 мм-1,
v01 =-2,08.
Исправлен сферохроматизм на высоте 0,25R , f -98,053, sF=94,723. Графики аберраций и ход осевого пучка варианта 2 приведены на рис. 3. Видно, что введение в область поверхности 2 первой линзы линейного градиента показателя преломления
позволило исправить сферическую аберрацию на краю и сферохроматизм на середине входного зрачка при относительном отверстии //3. Каустическая поверхность в осевом пучке отсутствует.
Рис. 3
Заключение. Рассмотрены пути повышения качества изображения за счет использования осевого неоднородного ПП в простейших линзовых конструкциях: одиночной линзе и дублете. Показано, что в одиночной линзе возможно исправить сферическую аберрацию и хроматизм при аномальном ходе дисперсии градиента ПП (отрицательной величине градиентного числа Аббе). В схеме дублета исправление сферической аберрации и сферохрома-тизма оказалось возможным за счет введения градиента показателя в регионы первой и второй поверхностей обеих линз. При этом градиентные числа Аббе у01 положительные на первых поверхностях и отрицательные на вторых поверхностях обеих линз блока.
список литературы
1. Сушков А. Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 44 с.
2. Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. М.: Наука, 1971. 392 с.
3. Инструкция по эксплуатации программы "Optics Software for Layout and Optimization (OSLO)". Корпорация Lambda Research Corporation, 2005.
Александр Леонидович Сушков
Сведения об авторе канд. техн. наук, доцент; МГТУ им. Н. Э. Баумана; кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований
Поступила в редакцию 28.10.10 г.
