Сравнительный анализ хроматизма дифракционных и рефракционных линз Текст научной статьи по специальности «Физика»

сравнительный анализ хроматизма дифракционных и рефракционных линз

Г.И. Грейсух, Е.Г. Ежов*, С.А. Степанов

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства *Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Приведены результаты сравнительного анализа хроматизма дифракционных и однородных рефракционных линз. Обсуждены возможности коррекции сферохроматизма третьего и пятого порядков таких линз. Даны рекомендации по эффективному использованию линз различного типа в гибридных рефракционно-дифракционных оптических системах.

Введение

Дифракционные линзы (ДЛ) по сравнению со своими рефракционными аналогами обладают рядом особенностей и, в частности, в области диспергирующих свойств. При этом в геометрооптическом приближении под дисперсией света на дифракционном оптическом элементе (ДОЭ) понимается зависимость угла дифракции на микроструктуре элемента от длины волны. Особенности диспергирующих свойств ДЛ приводят к тому, что хроматические аберрации как первого, так и более высоких порядков таких линз существенно отличаются как по величине, так и по своему качеству от соответствующих аберраций рефракционных линз (РЛ). Необычные диспергирующие свойства ДЛ нашли, в частности, применение при построении объективов-апохроматов [1-4], систем, предназначенных для чтения и записи цифровых лазерных дисков различных форматов [5], сверхтонких жестких эндоскопов [6] и т.д.

Несмотря на то, что специфика диспергирующих свойств ДОЭ обсуждается специалистами давно, до настоящего времени в доступных авторам литературных источниках отсутствуют работы, посвященные сколько-нибудь полному сравнительному анализу их хроматизма с хроматизмом РЛ. Настоящая статья направлена на восполнение этого пробела.

Форма представления структуры ДЛ

При расчете оптических систем с ДЛ используют несколько вариантов их описания. Те из них, которые основываются на понятии эйконала записи ДЛ, позволяют легко получать аберрационные коэффициенты системы в аналитическом виде, формировать системы компенсационных уравнений и, решая их, устранять аберрации.

Понятие эйконала записи было введено авторами работы [7] в результате обобщения подхода, применяемого при описании голографических оптических элементов или просто голограмм - частного случая ДОЭ. Действительно, при голографической записи элемента регистрируется картина интерференции двух монохроматических волн. При этом коэффициент пропускания голограммы t пропорционален интенсивности в данной точке интерференционной картины [8]:

і ~ I =

ехр

= 2 +

ехру2п(02 -01) /X*^ + ехру 2п(01 -02) /X*^.

(1)

Здесь 2пОг / X - фаза волны в плоскости регистрации, Ог - оптический путь между I -ым источником волны и выделенной точкой плоскости регист-

. л *

рации, т.е. эйконал г -ой волны, а X - длина интерферирующих волн, или длина волны записи.

Из выражения (1) видно, что амплитудный коэффициент пропускания голографически записанного элемента можно представить как функцию эйконала, равного разности эйконалов интерферирующих при записи волн

О0 = О1 - О2 . (2)

При освещении элемента монохроматической волной с амплитудой ехр(]2пО / X) непосредственно за элементом эйконал волнового поля, формируемого в т -ом порядке дифракции, находится как

от=о+тх о0.

х

(3)

Подставляя выражение (2) в (3), легко видеть, что если фронт освещающей волны является точной копией фронта первой волны записи (О = О1), то при выполнении условия тХ / X* = -1 фронт волны, формируемой в т - ом порядке дифракции, будет точной копией фронта второй волны записи ( От = О2 ).

Фронты записи структуры ДЛ, в принципе, могут быть как сферическими, так и асферическими, но описать наличие сферической аберрации проще, считая интерферирующие фронты сферическими и вводя в эйконал записи асферические добавки с коэффициентами Ь3, Ь5, Ь7 и т.д.:

О0 (Р) = 01врЬ (Р) - 0І8рЬ (Р) -

1 » 4 1 ^ 6 5 I. 8

—Ь3р-----------Ь5р-----------Ь7р -...

8 16 128

(4)

В уравнении (4) все слагаемые являются функциями расстояния р от оси, соединяющей центры кривизны фронтов интерферирующих волн. Плоскость регистрации интерференционной картины перпендикулярна этой оси, в результате чего картина вращательно симметрична, а сама ось оказывается оптической осью ДЛ. В результате выражение для эйконала записи ДЛ приобретает вид:

00 = 21\А + (р/21)1 - 21 - 21\А + (р/2\)2 +

1 1 и 4 1 ^ 6 5 » 8 11 , 10

+— Ь3р------------Ь5р---------Ь7р------Ь9р -...

1 8 3 16 5 128 7 768 9

(5)

где 2г, 22 - расстояния от плоскости регистрации до соответствующих источников волн, т.е. отрезки записи ДЛ.

При выводе формулы (5) принималось, что эйконал расходящейся волны - положительный, а сходящейся - отрицательный. Знаки же отрезков записи выбраны в соответствии с принятым в оптике правилом знаков. Наличие квадратных корней в выражении для эйконала записи обусловило использование числовых коэффициентов при Ь2к+1 (к = 1, 2,....), равных коэффициентам в разложении квадратного корня в степенной ряд.

Закон изменения пространственной частоты микроструктуры ДЛ связан с эйконалом записи соотношением:

(б)

При расчете хода лучей через плоскую ДЛ направляющие косинусы дифрагированного в т -ый порядок луча получают дифференцированием эйконала записи по соответствующей координате:

(m) m

ах = аx +

К д Go

К* д x а« = а у + m Кд Go

К' д у

t(m) = +. 1 -

ф-[а(”) ] 1 -[аУ”) ]:

(7)

где аx и ау - направляющие косинусы падающего луча.

В ряде программных продуктов (см., например, «ZEMAX» Optical design program [9]), осуществляющих расчет хода лучей через оптические системы, включающие ДЛ, их рассматривают как бесконечно тонкие поверхности, вносящие в луч, падающий на поверхность в точку, отстоящую от оси на расстоянии p , и дифрагирующий в первый порядок, фазовую добавку:

(В)

Величиной равной фазовой добавке ф , как следует из понятия эйконала и формулы (3), является величина 2пО0 / X*. Приравнивая их, находим

Оо =X ф /2п (9)

Отсюда, в соответствии с формулами (6) и (7) для пространственной частоты и направляющих косинусов, получаем:

"(p) =

аУ^ = а у +

1 dф

1п dp ’

ml дф 1п д x mk дф 1п д у

(1o)

(11)

Хроматизм первого порядка При описании структуры ДЛ через эйконал записи ее фокусное расстояние на произвольной длине волны X в т -ом порядке дифракции определяется выражением [7]:

, = К z1 z1

m’k z1 - z1

mk

f

(11)

где / - фокусное расстояние ДЛ в минус первом

порядке на длине волны записи.

При описание структуры ДЛ через фазовую добавку (8) ее фокусное расстояние определяется коэффициентом А1:

f ' = -

А1К m

(1З)

а коэффициенты Аі при і = 2, 3,... являются коэффициентами асферических добавок. Особо отметим, что в случае равенства этих коэффициентов нулю сферическая аберрация в формируемом волновом фронте не отсутствует [как при Ь1к+1 =0 в эйконале записи (5)], а оказывается равной, при прочих равных условиях, сферической аберрации зонной пластинки Френеля, чьи радиусы кольцевых зон пропорциональны квадратным корням из целых чисел.

Хроматизм ДЛ также, как и дисперсию стекла, характеризуют коэффициентом дисперсии. Этот коэффициент получим, воспользовавшись известным приемом теории хроматизма первого порядка. Оптическая сила тонкой РЛ

ФК = (п - 1)(с, - Сі), (14)

где п - показатель преломления стекла, а с1 и с2 -кривизны поверхностей.

Дифференцируя Фя по X, для приращения оптической силы, получим:

ёФя = (с1 -с2)ёп . (15)

Далее, заменив в коэффициенте дисперсии стекла

у(Я° = К - !) /(п^ - ) (16)

конечное приращение показателя преломления пх - пх , вычисленное в спектральном интервале

с центральной длиной волны X, на бесконечно малое приращение ёп, запишем коэффициент дисперсии в виде:

И (п^-1)/ёп . (17)

Наконец, комбинируя формулы (14), (15) и (17), приращение оптической силы выразим через коэффициент дисперсии стекла

ёФК «Ф^/у(^). (18)

Приращение оптической силы ДЛ, обусловленное изменением длины волны, можно записать в аналогичном виде

ёфв «ф_0/. (19)

i =1

Но с другой стороны в -1-ом рабочем порядке, как следует из (11),

_К

К*

т.е.

d!

К*

d Ф D = 7Т ФD .

(1o)

(11)

Учитывая совпадение правых частей выражений (19) и (11), получим:

* К *

d К

(11)

Переходя в формуле (11) к конечному спектральному интервалу, коэффициент дисперсии ДЛ запишем в окончательном виде:

vD =К*/( -Кmax ). (1З)

В выбранном для анализа в настоящей статье весьма широком спектральном диапазоне 0,4 мкм <К< 0,В

мкм при условии, что К* = 0,5 (К^ + Кmax), коэффициент дисперсии ДЛ vD = -1,5 . Обратившись к формулам (1В) и (19) и учитывая, что коэффициент дис-

(К)

персии оптического стекла v ; положителен и не

опускается в этом диапазоне ниже 5,5 ... б, видим, что хроматизм ДЛ значительно больше и к тому же имеет противоположный знак.

Сферохроматизм

Наряду с изменением оптической силы при отличии длины волны падающего излучения К от длины

волны записи К* существенно изменяется и сферическая аберрация ДЛ. Рассмотрим это явление, известное в оптике как сферохроматизм, используем полученное в работе [7] общее выражение для волновой аберрации ДЛ. Напомним, что в цитируемой работе волновая аберрация рассматривается как разность эйконалов волны, дифрагировавшей на структуре ДЛ, и идеальной сферической волны с центром в точке параксиального изображения. Полагая, что эта точка лежит на оптической оси, для волновой аберрации запишем:

Ga (p) = s'ф + (p / s' )1 - s' - Syj 1 + (p / s)1 + s +

+ц(-z^l + (p / zl)1 + zi + z^l + (p / z1)1 - z1 - (14)

-1 bsp4 - — b5p6 --^b7pS -...) ,

В 1б 11В

где s и s - передний и задний отрезки ДЛ; z1 и

z1 - отрезки записи, ц = mk / К*.

Положив z1 =х, выразим сферическую аберрацию через фокусное расстояние ДЛ в -1-ом порядке

*

на длине волны записи f = z1 :

Ga(p) = s'^1 + (p/s') - s ' - s^ 1 + (p/s ) + s +

+ЦІ f

- f -

(15)

-1 ^p4 —— 65p6 —— b7pS -. В 1б 11В

Разлагая в формуле (15) радикалы в ряд, получим: Ga(p) = 1 Rp1 + 1 S® p4 +

1

1б

+“ S(5) p6 + ш S(h) p‘ +...,

где

R = 1/s' -1/s + ц / f '*,

=-(1/s 'З -1/s3) -ц(1/f'*З +b3), Sc(h} = (1/s '5 -1/s5) + ц(1/f *5 - 65), Sc(h7) =-(1/s '7 -1/s7) -ц(1/f'*7 + Й7).

(1б)

(17)

(1В)

Здесь Я - коэффициент расфокусировки, а 5'с(^)

- коэффициенты сферической аберрации, зависящие от длины волны, т. е. коэффициенты сферохрома-тизма.

В плоскости изображения, где расфокусировка на выбранной длине волны отсутствует, Я = 0 и, следовательно,

1/У = 1/5-ц //'*. (29)

Подставляя выражение (29) в формулы (28) для коэффициентов сферохроматизма различных порядков, можно получить обобщенное выражение ' (/'* -ц) г+цуг -/'*

= (-l)k

(sf )-

-цЬ-.

(З0)

где г = 2к +1, к = 1, 2, 3,...

Связав передний отрезок с фокусным расстоянием ДЛ в -1-ом порядке дифракции на длине волны записи 5 = х /'*, приведем выражение (30) к более удобному для анализа виду

= (-1)k

(l -цх;>1+цх- -l

Xі

1

f*T -ц bi .

(З1)

При бесконечно удаленном предмете (т.е. при X =гс и нулевом увеличении р = (1 - цх)-1), зависимость сферической аберрации от длины волны наиболее наглядна:

=ц[(-1); (1 -Ц-1)//'*г - Ь ] (32)

и при ц = -1 коэффициент сферической аберрации в любом порядке ^Сь1 = Ьг .

Как видно из выражений для £С0 , на одной длине

волны независимо от увеличения, с которым ДЛ формирует изображение, сферическая аберрация любого порядка малости может быть легко устранена подбором коэффициента асферической деформации Ьг . Оценивать влияние сферохроматизма на качество изображения, формируемого ДЛ на любой из длин волн, наиболее удобно по волновой аберрации, исчисляемой в долях соответствующей длины волны:

Ga (ц, и') = -* цК

i(SC3^./■' *З) f' *tg4u

T^f' *5) f' *tgбu

(Si7)f' *7) f' *tgSu ' +.

(ЗЗ)

где tgи' = р//' * - тангенс выходного апертурного угла в минус первом порядке дифракции на длине волны записи. При заданных и неизменных границах спектрального диапазона Xmln и Xmax выбор

Л *

конкретной длины волны записи X определяет диапазон изменения ц. Так, в частности, если т = -1, то:

-X / X ■ < ц < -1 при X* = X ■ ■

тах ' тт _ А /итт >

■<ц< —

при К = 0,5(Кmin +Кmax);

-1 ^ ^ -Xmin / Xmax ПРИ X* = Xmax •

Кривая GA(|a, u') при изменении длины волны записи трансформируется, но ее размах, т.е. размах сферохроматической аберрации

AGA = GA (Xmax , U') - GA (Xmin , U')

от выбора длины волны записи не зависит.

Рис. 1. Зависимости нормированных аберрационных коэффициентов /' 3 (1), £С5)/' 5 (2),

и волновой аберрации ОА (3) от ц: а) при х =а, Р = 0 ; б) при х = -2, Р = -1

На рис. 1а, б представлены графики зависимости от ц нормированных коэффициентов сферической

аберрации третьего (З^ /'*3) и пятого (^СР/'*5)

порядков при X* = 0,5^ тах + X т1П) =0,6 мкм для двух

крайних случаев, когда предмет находится в бесконечности (x =гс, р = 0) и когда ДЛ на длине волны записи работает с увеличением Р = -1 (х = -1). Чтобы продемонстрировать влияние линейной составляющей коэффициентов сферической аберрации третьего и пятого порядков, графики получены при значениях bi, обеспечивающих одновременное обнуление этих коэффициентов на краю спектрального диапазона К = Кіпіп =0,4 мкм. На этих же рисунках приведенні графики волновой аберрации, исчисляемой в долях соответствующей длины волны, постро-*

енные при f = 100 мм и tgu = 0,115.

Если приращения оптических сил ДЛ и РЛ в результате изменения длины световой волны легко сопоставить, зная лишь коэффициенты дисперсии, то в области сферохроматизма картина не столь наглядна.

Общие выражения для коэффициентов волновой сферической аберрации третьего, пятого и седьмого порядков асферической преломляющей поверхности приведены в работе [10]. Используя их, нетрудно получить соответствующие коэффициенты толстой РЛ. Однако ввиду резко возрастающей с ростом номера аберрационного порядка громоздкости формул ниже приведем выражение только для коэффициента сферической аберрации третьего порядка, причем, как и при анализе первичного хроматизма, ограничимся приближением тонкой РЛ.

г(1-1)11

sCh)=-

1 - nsl\+(п-l)c1

з_0).

1 (

1 -^1

ns

cfof

1 У

(З4)

ст3) - кривизна, сопряженные от-

Здесь сг, 5г ,

резки и коэффициент асферической деформации третьего порядка передней (г = 1) и задней (г = 2) преломляющих поверхностей; п - показатель преломления материала линзы. Предполагается, что входной зрачок совмещен с самой линзой.

Чтобы оптическая сила РЛ при изменении соотношения между кривизнами ее поверхностей оставалась постоянной, воспользуемся параметром у , называемым прогибом линзы и связанным с кривизнами поверхностей РЛ соотношениями:

с1 = (у +1)/ а; с2 = (у -1) /а , (35)

где

a = 1(пк- 1) Я.

Индекс при показателе преломления и фокусном расстоянии РЛ показывает, что эти величины вычисляются на центральной длине волны заданного спектрального диапазона X.

Связав, подобно тому, как это сделано для ДЛ, передний отрезок с фокусным расстоянием РЛ на центральной длине волны заданного спектрального

бЗ

диапазона 51 = х /X и используя параксиальные выражения для сопряженных отрезков

= тг/ (1 + с151 (п -1))

52 = У [ , (36)

52 = 5\/'/(51 + /' )

где

/' = 1/(п - 1)(С1 - с2), (37)

можно исследовать зависимость величины коэффициента ^СЬ) от цк =X/X при различных прогибах линзы у и для ряда значений увеличения, задаваемого параметром х . Эти исследования выполнялись для стекол различных марок, от легких кронов до тяжелых флинтов, и в том же спектральном диапазоне, что и исследования для ДЛ, т.е. в диапазоне

0,4 мкм <X< 0,8 мкм. В качестве центральной длины волны принималась X = 0,6 мкм.

Исследования показали, что в отличие от ДЛ, сферохроматизм третьего порядка РЛ легко управляем. Действительно, независимо от марки стекла и увеличения, при котором работает линза, выбором прогиба и коэффициента асферической деформации одной из поверхностей можно изменять ход аберрационной кривой в зависимости от длины волны или даже устранить сферическую аберрацию на двух любых выбранных длинах волн.

^3)Я3

Рис. 2. Зависимость коэффициента сферической аберрации третьего порядка /X от

для трех значений прогибов РЛ: у = -1 (1); у = 1,3635 (2); у = 3 (3)

На рис. 2 представлены кривые зависимости нормированного коэффициента сферической аберрации третьего порядка (^С3/3) от , полученные при различных прогибах РЛ, выполненной из флинта (п^ =1,66915; =18,6) и работающей при

бесконечно удаленном предмете (р = 0, % =х). Обнуление коэффициента сферической аберрации на минимальной длине волны спектрального диапазона при = 0,67 обеспечивалось выбором коэффициента асферической деформации одной из поверхностей РЛ. Характер кривых принципиально не изменяется при смене марки стекла и увеличения.

На рис. 3 представлены кривые зависимости от увеличения, при котором работает линза, ее прогиба у, обеспечивающего совместно с коэффициентом асферической деформации одной из поверхностей устранение сферической аберрации третьего порядка на двух крайних длинах волн вышеуказанного диапазона. Кривые получены для двух марок стекла: сверхтяжелого флинта (п^ =2,27031; Vx =5,92) и

сверхлегкого крона (=1,48620; vx =34,0).

Рис. 3. Зависимость требуемого прогиба у от увеличения р для двух марок стекла: сверхтяжелого флинта (1) и сверхлегкого крона (2) Как видно из рис. 3 устранение сферической аберрации третьего порядка на двух длинах волн у РЛ, выполненной из крона, достигается при существенно меньших кривизнах поверхностей, чем у линзы, выполненной из флинта. Более того, у РЛ, выполненной из крона, устранение сферической аберрации на двух длинах волн обеспечивает практически полное устранение этой аберрации во всем выбранном спектральном диапазоне. В общем же случае, если сферическая аберрация РЛ устраняется на двух

длинах волн, то у кривой зависимости (ц) внутри

спектрального диапазона имеется максимум (рис. 2), величина которого растет с уменьшением коэффициента дисперсии стекла, т.е. с переходом от кронов к флинтам. Что касается сферической аберрации РЛ пятого порядка, то ее, если прогиб линзы уже задействован для управления сферической аберрацией третьего порядка, можно устранить, как и в случае ДЛ, только на одной длине волны.

Заключение

Обобщая результаты проведенного анализа можно сделать следующие основные выводы. ДЛ является сильным диспергирующим элементом, чей первичный хроматизм существенно превышает хроматизм РЛ, выполненной из любого существующего оптического материала и, более того, имеет противоположный знак. Это позволяет существенно расширить возможности ахроматической и даже апохрома-тической коррекции оптических систем благодаря использованию гибридных компонентов, включающих дифракционные и рефракционные линзы. Однако устранение первичного хроматизма еще не гарантирует высокое качество полихроматического изображения, если не приняты меры для минимизации

сферохроматизма. Эта задача также успешно может решаться в гибридных системах за счет достаточно широких коррекционных возможностей РЛ.

Благодарность

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, правительства Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) грант № Y1-P-14-03 в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE).

Литература

1. Gan M.A. Optical systems with holographic and kinoform elements // Proc. SPIE, 1989. Vol. 1136. P. 150.

2. Gan M.A. Kinoforms long focal objectives for astronomy // Adaptive optics and optical structures / Proc. of the Meeting, European Congress on Optics, 1990. P. 330-338.

3. Gan M., Potyemin I., Perveev A. High-speed apo-lens with kinoform element // Proc. SPIE, 1991. Vol. 1574. P. 243-249.

4. Http://www.canon.com/do-info.

5. Ежов Е.Г., Грейсух Г.И., Степанов С.А. Расчет комбинированных оптических головок для чтения и записи цифровых дисков нескольких форматов // Компьютерная оптика, 2005. В. 27. С. 29-31.

6. Грейсух Г.И., Степанов С.А., Ежов Е.Г. Дифракционные и однородно-линзовые компенсаторы для коррекции аберраций градиентного эндоскопа // Компьютерная оптика, 2003. В. 25. С. 54-58.

7. Бобров С.Т., Грейсух Г.И., Туркевич Ю.Г. Оптика дифракционных элементов и систем // Л.: Машиностроение, 1986.

8. Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая голография // М.: Мир, 1973.

9. Http://www.focus-software.com.

10. Greisukh G.I., Bobrov S.T., Stepanov S.A. Optics of diffractive and gradient-index elements and systems // Bellingham: SPIE Press, 1997.