Испарение, конденсация и гетерогенные химические реакции при малых значениях числа Кнудсена Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

_____ 1974

М 3

УДК 533.6.011.8

ИСПАРЕНИЕ, КОНДЕНСАЦИЯ И ГЕТЕРОГЕННЫЕ ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА КНУДСЕНА

Н. К. Макашев

Проведено исследование граничных условий для уравнений газовой динамики при наличии на поверхностях испарения, конденсации и химических реакций. Полученные с учетом пристеночного слоя Кнудсена граничные условия в общем случае содержат дополнительные члены того же порядка, что и классические [1]. В ряде случаев это приводит к значительным изменениям в решении задач и в получаемых результатах. Приведены соответствующие примеры.

В работах [1, 2] были исследованы следующие режимы протекания процессов испарения и конденсации: произвольно большие расходы вещества для однокомпонентного газа [1], когда нормальная к поверхности составляющая среднемассовой скорости имеет порядок тепловой скорости молекул, и малые расходы, также для однокомпонентного газа, когда эта составляющая имеет порядок величины нормальной составляющей скорости в пограничном слое (если Ие^>1) или основной скорости течения (если Яе~1) [2].

В [1] было показано, что процессы, происходящие в тонком пристеночном слое Кнудсена, могут определяющим образом влиять на течение, если на поверхности происходит испарение или конденсация. Это связано с тем, что из рассмотрения слоя Кнудсена следует значительное отличие выражения для скорости испарения или конденсации от обычно применяемой формулы Герца — Кнудсена [3]. Очевидно, что рассмотренные в [1, 2] режимы протекания процессов испарения или конденсации представляют собой два разных предельных случая. Поэтому представляет определенный интерес проследить, как перестраивается граничное условие для скорости испарения или конденсации (и само течение) при переходе от слабонеравновесного [2] к сильнонеравновесному [1] протеканию этих процессов. Ниже также будут приведены несколько примеров течений, показывающих роль учета слоя Кнудсена при испарении и конденсации на построение решения. Решается также

4—Ученые записки ЦАГИ № 3

49

задача об одновременном испарении сразу дйух компонентов и обсуждается применение полученных ранее результатов [4, 5] к течениям с химическими реакциями на поверхности.

1. Рассмотрим газ над испаряющейся или конденсирующей поверхностью. Пусть нормальная составляющая среднемассовой скорости ип по порядку величины много меньше тепловой скорости

молекуле — , но много больше нормальной составляющей

скорости в пограничном слое (число Рейнольдса будем считать много большим единицы). Если определить порядок и„ следующим образом ип~Ъс, то величина 8 удовлетворяет неравенствам

В пристеночном слое Кнудсена толщиной порядка длины пробега молекул, как известно, уравнения гидродинамики являются непригодными и для описания поведения газа необходимо привлекать уравнение Больцмана для функции распределения/. Если предположить диффузное распределение по скоростям у молекул, покидающих поверхность, то можно показать, что относительная величина изменения функции распределения молекул / поперек слоя Кнудсена имеет в данном случае также порядок 8. Поэтому решение уравнения Больцмана в кнудсеновском слое можно искать в виде

Здесь п0 и Т№ — соответственно скорость молекул, плотность газа у поверхности в гидродинамическом решении (плотность скольжения) и температура поверхности.

На внешней границе слоя решение (1.2) должно сращиваться с решением уравнения Больцмана в гидродинамической области течения. Вид граничного условия для <р зависит от характера внешнего по отношению к слою Кнудсена течения. Этот вопрос можно исследовать, исходя из обычных уравнений гидродинамики, поскольку они являются справедливыми вне кнудсеновского слоя. Исследование обнаруживает определенную несимметрию в граничных условиях по отношению к направлению процесса, которая отсутствует при малых расходах и особенно сильно проявляется при сильных процессах испарения и конденсации [1].

Рассмотрим сначала случай испарения. При испарении течение вне слоя Кнудсена полностью эквивалентно течению при нормальном вдуве газа через поверхность, так как при диффузном распределении по скоростям отраженных и испаренных молекул, которое предполагалось выше, на поверхности тела отсутствует источник тангенциального импульса. Если нормальная составляющая скорости ип по порядку величины меньше или равна нормальной составляющей скорости в пограничном слое, т. е. 8^Ие_1/2, на теле реализуется обычный пограничный слой. В противном случае, т. е. при больших расходах с единицы поверхности, около тела будет располагаться невязкий слой вдуваемого газа [6, 7]. В том случае, если скорость вдува значительно меньше скорости основного потока, толщина слоя вдуваемого газа значительно меньше длины

Ке-1/2<с8<С1, М~1.

(1.1)

(1.2)

тела, но толще обычного пограничного слоя. Далее по направлению от поверхности располагается тонкий вязкий слой смешения. В зависимости от конкретных условий течение в слое вдуваемого {испаряемого) газа будет сжимаемым или несжимаемым.

Для тела произвольной толщины слой вдуваемого газа имеет толщину порядка &/., где Ь — характерный размер тела и течение в нем описывается уравнениями пограничного слоя без вязких членов (ось х направлена по касательной к поверхности, а ось у—по нормали к ней) [6, 7]

д?и д?у_п дх ‘ ду~ ’ ди ди др др „

рИ ~дх + ?г> д^Г Ш * ду~~

„ / дТ , дГХ др

Ыид7+^^)=иШ-

(1.3)

При решении системы (1.3) тангенциальная составляющая скорости и температура газа у поверхности в первом приближении должны приниматься равными соответственно нулю и температуре поверхности, так как скорость скольжения и скачок температуры по порядку величины не должны превосходить 8.

В результате имеем, что

дт_

ду

= 0, р-

у=о дУ

(1-4)

У-о ил

Градиент тангенциальной составляющей скорости по нормали к поверхности хотя и не равен нулю в общем случае, но все же недостаточно велик для того, чтобы соответствующая ему скорость скольжения имела порядок 8и0, где к0 — характерное значение скорости в слое вдуваемого газа, т. е. учитывалась бы при получении второго приближения к решению.

Действительно, так как* ит — /04^-1 , то на основании (1.4)

°У \у=0

получаем

Р8~{§5<СЧ> (1-5)

где 1а—-длина пробега молекул.

Следовательно, с точностью до членов порядка 8 включительно скорость скольжения на испаряющейся поверхности можно считать равной нулю. Таким образом, единственным параметром, определяющим течение газа в кнудсеновском слое, является величина расхода с единицы поверхности, а внешним пределом для решения уравнения Больцмана в слое Кнудсена является максвелловская •функция распределения (ср. [1]).

Решение задачи на основании модельного кинетического уравнения Крука дает следующие результаты **

* Составляющая в иш за счет температурного скольжения (крипа) в данном -случае много меньше учтенной составляющей.

** Решение задачи о слабом испарении, полученное моментным методом в [2] как для уравнения Больцмана, так и для модельного уравнения Крука, дает те же результаты. Имеет место лишь незначительное отличие в численных коэффициентах.

„/7 _______£_____ new no if 2kTw , Гр Tw_________0 44. /1

y_ 1—0,535 a 2 YZ V m ' Tw ~ ’

r m

Здесь new — равновесная плотность пара при температуре Tw, а— коэффициент испарения, Т0 — температура газа у поверхности в гидродинамическом решении.

Заметим, что формула Герца—Кнудсена

nUv = а (new ~-По) V2-^- (1.7)

у 2 у т. т m к т

дает сильно заниженную величину расхода при той же величине разности (new — n0) и не малых а. Формула (1.7) соответствует предположению о том, что функция распределения падающих на поверх/Л

ность молекул является максвелловской = ехр {— ЛдаЕ8}.

Если же в этой функции учесть СДВИГ ПО скоростям на Uу, то в

результате для nUy получается следующая приближенная формула*

„7/ __ а new «о 1 /2kTw ,* 7 V

V 1-0,5а 2 У л У m ’ U-'З)

которая весьма незначительно отличается от точной (1.6). Эта можно объяснить, по-видимому, тем, что внешнее по отношению к слою Кнудсена течение в данном случае является невязким

1,0

0,5

и~1у tщг~То11~иг> яо~^о

''О N

X *1№ 4 \

0,1

0,2

• nv„ m=—*—

Фиг. 1

и поэтому функция распределения падающих молекул слабо~отли-чается от максвелловской. Следует также заметить, что зависимость (1.7а) очень хорошо совпадает с результатами расчета величины п,иу при сильном испарении [1], лишь “незначительно отличаясь от них при предельно больших расходах. Сравнения зависимостей (1.6), (1.7) и (1.7 а) и результатов работы [1] приводится на фиг. 1 для а— 1.

* Для а — 1 этот результат, по-видимому, впервые получен в [8]. Полученные в этой работе выражения для скачков температуры и плотности значительно отличаются от истинных численными коэффициентами.

Если на теле происходит конденсация при тех же предположениях (8<С 1, Ке8*»1), то в этом случае около тела, как известно, образуется вязкий подслой толщиной порядка /0/8~£/Ке8, течение в котором описывается уравнениями:

дм п да д Г да 1 др п

•37-о- = Э7-0’

дТ д , дТ . /ди\2 ( ‘ ’

ду ду ду (ду) '

Из (1.8) видно, что

_1_ дТ Т ду

у=0

Іїе5 I »

1 ди ~7Г 1)у

у=О

1<е о

’~ТГ

(1.9)

Таким образом, для слоя Кнудсена на поверхности с конденсацией и при умеренных расходах в качестве внешнего имеем вязкое течение, так что постановка задачи здесь остается в принципе той же, что и для конденсации с малыми расходами, когда на поверхности имеет место обычный прандтлевский пограничный слой. Единственная разница заключается в порядке величины возмущения функции распределения (порядок возмущения 8;^>1/|/Ке, а не 1/КНе). В результате решения задачи для модельного уравнения Крука было получено, что*

пиу = 1—1/^-0,154 4- д|п^(*’ 0)| ; у 1 — 0,535 а [ 2 У ъ " т к &У .1

Т.-Т., =_ о 44—ЛГЖ- д-Т^ -°>-. (1Л0)

тш * |/2 кТш • Р * 2кт«, ду ’

V т

5 №Т

где Х=-у — коэффициент теплопроводности.

Теперь можно проследить, как меняется характер течения около поверхности при изменении величины расхода испарения или конденсации. _

При испарении, начиная с 8 2£>1/]ЛНе, около тела образуется невязкая область течения, решение задачи о слое Кнудсена становится однопараметрическим—зависит лишь от величины расхода, скорость скольжения равна нулю, а скачок температуры растет с ростом величины нормальной составляющей скорости и становится при больших расходах порядка единицы.

При конденсации с ростом величины расхода вязкий подслой толщиной Ь/Ке 8, в котором гидродинамические величины меняются на свою величину, трансформируется в слой Кнудсена, причем скачок температуры и скорость скольжения для сильной конденсации будут произвольной величины, как это следует из результатов работы [1]. Вне слоя Кнудсена при этом будет находиться невязкая область течения.

Таким образом можно объяснить ту несимметрию течений при сильном испарении и конденсации, которая была отмечена в [1].

* В работе [2] эта задача была решена моментным методом. Необходимо также отметить [9], где получено решение этой задачи для модельного уравнения, найдены микроскопические скачки плотности и температуры на дне слоя Кнудсена.

2. В ряде практических задач возникает ситуация, когда на поверхности происходит испарение (конденсация) сразу нескольких компонентов, а газовая смесь не содержит других компонентов, для которых поверхность является непроницаемой. В данном случае точно так же, как и для случая однокомпонентного газа, величина расхода вещества может быть произвольной, так как процесс диффузии, очевидно, не является процессом, определяющим интенсивность испарения или конденсации.

Гидродинамика внешнего по отношению к слою Кнудсена течения в данном случае полностью совпадает с рассмотренной выше. Остановимся лишь на уравнении диффузии. При умеренно сильном испарении член, соответствующий скорости диффузии в слое испаряемого газа, в Ие82^>1 раз меньше конвективных членов.

В этом случае уравнение диффузии имеет вид

Ри& + Рг'§- = °> ' (2Л>

где яг — концентрация г-го компонента, откуда следует, что при

°57 = 0-

Для умеренно сильной конденсации около поверхности образуется вязкий подслой толщиной порядка Ь/ЯеЬ, в котором уравнение диффузии выглядит следующим образом

<5т~1> (2-1а>

и, следовательно, при конденсации постановка задачи для' слоя Кнудсена точно такая же, что и для малйх расходов. Воспользовавшись модельным кинетическим уравнением Больцмана в форме, предложенной Гамелем [10]* решим сначала задачу для поглощающей поверхности (или, что приводит к тому же результату, для слабого испарения и конденсации). Решение для умеренно сильного испарения можно получить из этого решения, положив в нем рав-

дщ дТ да п

ными нулю градиенты ~ ; ^ при у = 0.

Поскольку решение имеет много общего с тем, что было проведено в [4], остановимся лишь на основных его моментах.

В силу сделанных выше предположений о величине расхода функцию распределения можно представить в виде

Л=/(о[1+(Рг], «Р/ — *, /го = га/0(%)3/2ехр{-/г/а,ф. (2.2)

Это позволяет провести линеаризацию уравнения для /; и получить линейное интегродифференциальное уравнение для (см. [4]). Предполагая, как и выше, максвелловский вид функции распределения молекул, летящих от стенки, для уг будем иметь следующее граничное условие на поверхности

<Р, > 0) = V,, = —- Цр1 2 УТ*)£ и1г (2.3)

Уравнение, которому удовлетворяет ч>1г позволяет представить эту функцию в виде

?1 = ф| + -

тем самым разделяя задачу об определении величины скорости скольжения и задачу об определении скачка температуры и скорости конденсации.

Сделав предположение о равенстве длин пробегов молекул компонентов, которое значительно упрощает решение задачи, оставляя, однако, неизменными основные черты получаемого решения, из уравнения для ф, легко получить систему интегральных уравне-

ҐІ *_____^у1

ний для добавок к плотности 7г = —-— и температуре тг == -Л=—ш

п1 о і їй

компонентов смеси. Эта система в обозначениях работы [4] выглядит следующим образом

V, = і\ V, 4- м; »г - 2 \р, Л Су 0 * - ^ у0 (Уі)*- ш;

•с, = V, + м; [4 Уз Суі) - 4- Л ОМ ] *-1/2 +

■ +

"3“ /г (Уі) з- Л (.Уі)

-1/2

(2.4)

Из сращивания на внешней границе слоя Кнудсена решения уравнения Больцмана с навье-стоксовской функцией распределения получим, что при -+оо

д 1п л;

Ъ-У'-ЦуГ щ «о т

у=0 ’ '1

д ( пі

- ~\-Уі

д\пТ

дух

у=о

У у 2 рАпПікш ду1 V п У|у=о

= СОПв!,

Го

■ I

(2.5)

Решение системы уравнений (2.4) с граничными условиями (2.5) дает в результате выражение для скачка температуры

Го — г„

Гзд __ ^__________________V Р-1 М-а______________дТ р ___________________VИ Н'г__________

а/ Рсцго С| ^/"(*2 Ч- с2 ^ У ш ° сі У № тЬ сі

_1_ 0 44 I) с-1 _____________________________________ято _____________. д°і

+ 0,44 сш о Сі у-+ Са у- р М ду

и скорости конденсации пі иіу — П{ о

Пепі -Пій а-А ^1- + [/=г — Вг О;]

(2.6)

(2.7)

где введены следующие обозначения 5 т, ( пл , пг

А-

т0кТ

Я1 = А„п10 + Аипі0, т0 = т1-{- т2, ,

сх = п,п~1, р = пкТ, о = ]/-

2 ЛГц,

от0

в(=

Л = — 0,544 с-1 ----------------ц ^

С1 У^2 + С2 К !Х1

2 Е. (°°) С/ /и (Км — КРу) + °>82 УЬЧ (Ч

С1 V \х2 + с2 К

Р1 = 2 й12 ^ - сГ1 [з, (оо) У?1 (Сг У^ + с2 У?2) +

Р «I У ^2 + С2 У И

12 '

л2 т.; т

величина е, (сю) определяется из решения системы интегральных уравнений

Здесь

X =*

еу = ^е, + М*г, + йШ;

уте

(1 -|-х)е» = ^2е', + ''^2£а + у^[^"|_^3^^--------| .

2 а (Я( ^«2 4- п3 Ущ )

(2.8)

2 =

1 - 2 2 (л, У т2 + п2 Ут1 ) ’ £>12 т0п(п1Ут1 +п2Ут2 ) ’

*=кТ №+■%-)■ где Эц, X и {1 — соответственно коэффициент диффузии, теплопроводности и вязкости для модели Гамеля.

Система (2.8) решена в [4], где получено, что е»(оо) = 0, а е»(оо) зависит от величины * следующим образом:

е„ (оо) = 0,950 при х = 0,1 е,(оо) = 0,976 при х = 0,5 е„(оо) = 0,978 при * = 2,5 е,(оо) = 0,978 при х=12,5.

п а г

Для умеренно сильного испарения

у=0

дс1

~ду

у=о

этому

То-

ом с-' и,

С1 У № + с2 К (-*-1 1

и

<у

г I Чет Щ 0

иу —

Щ о

= 0 и, по-

(2.6а)

(2.7а)

2 кТ„

Второе из этих выражений накладывает на значения плотностей компонентов у поверхности два условия. Поэтому они не могут быть произвольными при заданной величине иу (и свойствах поверхности) и задача о сильном испарении смеси газов также является однопараметрической, как и в однокомпонентном случае.

3. В качестве примеров, показывающих значение учета слоя Кнудсена при рассмотрении течений с испарением и конденсацией на поверхностях тел, рассмотрим два простых случая.

1. Стационарное испарение капли, в затопленное пространство. Скорость испарения будем считать столь большой, чтобы можно было пренебречь эффектами вязкости во всем поле течения. Уравнения сохранения для невязкого сферически симметричного течения имеют своими интегралами выражения

. и2

4иг2риг = М, ср Т + -±- = /0,

(3.1)

Обозначения в (3.1) обычные, поэтому особо не оговариваются. Граничные условия на поверхности капли имеют вид

Ро'

Ро

Р«хи

1/»(«).

тп ■

м

(3.2)

Здесь рео, — равновесная плотность пара при температуре капли Т9 (эффектами поверхностного натяжения пренебрегаем), р0 и Т0 — плотность и температура пара у поверхности капли радиуса Вид функций Д ч{т) получен в [1] в результате численного решения задачи о слое Кнудсена на сильно испаряющейся поверхности.

т 0,3

Кроме этого, для определения функций Л и /2 в граничных условиях будет использована формула Герца— Кнудсена (1.7) для величины рц, приближенная формула для определения р' по т (1.7а) и условие прилипания для температуры. Коэффициент испарения а будем считать равным единице.

Результаты расчета условий на бесконечности, которые обеспечивали бы заданную величину расхода, с использованием (3.1) и различных граничных условий представлен на фиг. 2. Видно, что обычно применяемая формула Герца — Кнудсена и условие прилипания для температуры приводят к очень большим ошибкам. Исправленная формула (1:7 а) дает гораздо более точные результаты для р^, однако условие прилипания для температуры приводит и в этом случае к значительным и качественным ошибкам в определении

2. Задача об обтекании испаряющейся полу бесконечной пластины под нулевин углом атаки и Ие »1.

Предположим, что давление на бесконечности равно давлению насыщенного пара, соответствующего температуре пластины Тю.

Для этого частного случая обтекания испаряющейся пластины использование при построении решения классических граничных условий, т. е. формулы Герца — Кнудсена и пренебрежение влиянием слоя Кнудсена, дает в первом приближении нулевую величину для скорости испарения на пластине и соответствующую величину трения. Действительно, (1.7) можно переписать следующим образом (учитывая, что Т0 = Тт)

п,и„ = —£=г у 21Л1

(Ре

■Ро) V:

и, так как на пластине р0 = /?оо + 0

пиу= О

тк Т.,

то

(3.3)

(3.4)

Использование же точного граничного условия дает отличную от нуля, в общем случае, величину испарения или конденсации.

Предположим, ЧТО Рг=1 И произведение Р(А не зависит от координаты по нормали. Тогда уравнения пограничного слоя допускают интеграл

(3.5)

и могут быть путем традиционной процедуры сведены к уравнению Блазиуса для функции /

//"+/"=о, Г-%, > .

7*

(3.6)

входящей в определение функции тока ф:

ф = /5Иоо/

Уь

и ■■

дг

Р(Х

' •

(3.7)

(3.8)

Уравнение (3.6) дополняется граничными условиями

/'(оо)=1, /'(0) = 0, /(0)-= Л,

где постоянная & связана с величиной расхода на поверхности (рг>). следующим образом

(ру)я> _ Vй'

Ро1 Н-д»

Выражая градиент температуры на поверхности через градиент тангенциальной составляющей скорости с помощью (3.5), для величины расхода на поверхности получим

(Р®),

1 — 0,535 а

Ре® —Ро 1/'1 кТ™ _ О 1Б4 ^

2 т ’ кТиа„ ду

(3.9)

Используя предположение о величине давления на бесконечности, сделанное выше, легко показать, что

Ро Pew __ Т0 Tw . q f 1 \

Pew Туи \Re)

В результате, подставляя выражение для скачка температуры вместо (ро — Pew)/Pew в (3-9), получим*

, , _ 0,128 a m — lw) v-w ди

I — 0,41 a kTu^ ду ’

. . ^ у=0

и для определения величины k (и трения на пластине) имеем уравнение

/(0) 0,64 а 4о — А» ,о mv

/"(0) 1-0,41 a lw ’

которое показывает, что испарение отсутствует лишь в том случае, если /оо = 4,. Вторая зависимость между /(0) и /"(0) получается из решения уравнения (3.6).

Таким образом, показано, что как при сильном, так и при слабом испарении учет слоя Кнудсена при построении решения принципиально важен. Использование классических граничных условий (формулы Герца — Кнудсена и прилипания для температуры) приводит в решении к ошибкам в основном порядке.

Следует отметить еще один интересный факт. Так как при решении задачи об обтекании испаряющейся пластины учет слоя Кнудсена необходим уже при построении первого члена разложения решения по степеням Яе~112, то при получении следующего члена разложения, в отличие от обтекания тел без испарения, необходимо решить задачу о втором приближении к решению в слое Кнудсена. Это значит, что, используя уравнения Навье— Стокса для получения второго приближения к решению в пограничном слое**, через граничные условия на поверхности необходимо вводить члены, имеющие характер барнеттовских, т. е. зависящие от вторых производных и произведений первых производных от гидродинамических величин.

4. В том случае, если на поверхности происходят обратимые гетерогенные химические реакции типа 11А1^.1УА} или происходит испарение (конденсация) в присутствии над телом газа иного сорта, решение задачи о слое Кнудсена [4, 5] также дает для скорости химической реакции или испарения выражение, которое отличается от классического членами, зависящими от градиентов концентраций и температуры и имеющими, вообще говоря, тот же порядок.

Однако в случае химических реакций на поверхности и испарения в присутствии над телом среды фактором, определяющим

* Интересно отметить, что здесь выражение для скачка температуры необходимо при построении основного решения, а не следующего приближения, как обычно.

** Вклад барнеттовских членов в рх„ и дч в данном случае имеет порядок

Не“3/2.

величину скорости процесса, является не отклонение гидродинамических величин у поверхности от их равновесных значений (как это имеет место при испарении и конденсации в том же газе), а процесс диффузии компонентов емеси к поверхности или от нее. Это приводит к тому, что новые члёды в выражении для скорости процесса в большинстве случаев играют не столь важную роль, как при испарении в тот же газ.

Дело в том, что при наличии на поверхности тела, например, химических реакций всегда существует так называемое стехиометрическое соотношение для парциальных потоков по нормали к поверхности

= ^а'фО, (4Л)

( I

которое позволяет выразить величину среднемассовой скорости газа по нормали к поверхности, а значит, и величину парциальных потоков через градиенты концентраций. Поэтому для реше-

ния задачи обтекания необходимо иметь лишь условия, которые определяли бы с той или иной точностью (в зависимости от получаемого приближения) величину концентраций компонентов у поверхности тела.

Если рассматривать выражение для скорости химической реакции Ис,

Кс, = = кКсЧ (с10, Т„) + к(4.2)

как такое условие, то дополнительный член, пропорциональный градиенту температуры, даст лишь малую поправку к значению с, 0, которую необходимо учитывать лишь во втором приближении. Действительно, из (4.2; следует, что

Ис?(с,.. Г.)_4- N..I£ . (4.3)

Здесь и —коэффициент диффузии и теплопроводности; к определяет порядок констант скоростей химических реакций

*»/ '

V

дТ

Из (4.3) видно, что член Дает к значению с10 поправку

порядка 10/Ье, где Ье — характерный размер внешнего течения, по отношению к значению, даваемому классической формулой

о, Тш). (4.2а)

Так обстоит дело в большинстве практически важных задач. Но в тех случаях, когда по известным гидродинамическим величинам у поверхности необходимо определить скорость реакции при известных свойствах поверхности или определить свойства поверхности, исходя из измеренных значений гидродинамических величин и скорости реакции, дополнительный член в общем случае дает вклад того же порядка, что и классический.

Отметим еще один класс течений, когда учет дополнительного члена, пропорционального градиенту температуры, имеет принципиальный характер. Это течения, в которых концентрации компонентов смеси являются почти однородными в пространстве, а температура меняется на свою величину. Рассмотрим пример такого течения.

Пусть некоторое тело, на поверхности которого происходит обратимая химическая реакция ltA1^l2A2 и которое поддерживается при температуре Tw постоянной по его поверхности, находится в объеме газа, на границе которого Г каким-то образом поддерживаются такие условия, что cJT = cie(lw), где cle(Tw) — равновесные значения концентраций компонентов, соответствующие температуре Tw. Температура же газа на границе Г может на свою величину отличаться от Tw.

В этой постановке для максвелловских молекул (когда коэффициенты термодиффузии DT = 0) решение в первом приближении имеет вид

cf) = c.e(Tw) = const, Uf* = 0,

, (4.4)

р = рФ) = const.

Второе приближение для с(. порядка t~l/L при использовании классического условия (4.2 а) получается равным нулю, т. е.

= cie {Tw) + О (О. ui ~ c!w е3. (4.5)

Если же использовать точные граничные условия, то второе

приближение для ct, как легко показать, отлично от нуля

Ci = cle{Tw) + 0(e), Ui ~ ciw е2. (4.6)

Для одномерного случая, например, оно может быть легко найдено.

Поскольку*

ntUty = Ffi-Щ = const = ku

то

У

bCi — kx J -щ- -f- Ъсь о, ct = cie(Tw)-\-bci.. (4.7)

Постоянные интегрирования 8ci0 и kx определяются из граничных

условий

дЯс°.(Гт, cie) дТ п }

------dF,----8с/о + ^Л-д^=*0, (48>

y — L, 8с iL = 0. J

Таким образом, в действительности скорость протекания реакции имеет порядок е2, а не £3, как это следует из решения с классическим граничным условием на поверхности с реакцией.

В заключение автор выражает благодарность М. Н. Когану за внимание в работе и полезные дискуссии. •

* В данном случае имеет место вклад барнеттовских членов порядка е2 только в тензор напряжений.

1. Коган М. Н., Макашев Н. К. О роли слоя Кнудсена в теории гетерогенных реакций и в течениях с реакциями на поверхности. „Изв. АН СССР, МЖГ-, 1971, № 6.

2. Муратова Т. М., Лабунцов Д. А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации. Теплофизика высоких температур, т. 7, № 5, 1969.

3. Кнаке С., СтранскийИ. Н. Механизм испарения. Усп. физ. наук, 1953, т. 68, вып. 2.

4. Коган М. Н., Макашев Н. К. О граничных условиях для течений с химическими реакциями на поверхности. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 1.

5. Макашев Н. К. Кнудсеновский слой на телах с химическими реакциями на поверхности при наличии компонента газовой •смеси, не участвующего в реакции. .Ученые записки ЦАГИ“ т. Ill, № 6, 1972 г.

6. М а т в е е в а Н. С., Н е й л а н д В. Я. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.

7. Нейланд В. Я. Вдувание газа в гиперзвуковой поток. „Ученые записки ЦАГИ", т. 111, № 6, 1972.

8. Кучеров Р. Я., Рикенглаз Л. Э. О гидродинамических граничных 'условиях при испарении и конденсации. ЖЭТФ, 37, вып. 1 (7), 1959.

9. Young-Ping Pao. Temperature and density jumps in the kinetic <heory of gases and vapors. Phys. Fluids, vol. 14, № 7, 1971.

10. Hamel В. B. Kinetic model for binary gas mixtures, Phys. Fluids, vol. 8, № 3, 1964.

Рукопись поступила 3jVIf 1973