Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1:539.4:624.07

DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-56-72

ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕОРИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В.И. Горбачев [email protected]

МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Для построения инженерной теории сопротивления неоднородных стержней использована интегральная формула, по которой перемещения точек тела в исходной задаче теории упругости неоднородного тела представляют через перемещения точек в такой же задаче, только для однородного упругого тела (сопутствующая задача). Из интегральной формулы вытекает эквивалентное представление перемещений в неоднородном стержне в виде рядов по производным перемещений в сопутствующем однородном стержне. Перемещения точек сопутствующего стержня определены приближенно методами классического сопротивления материалов через три компоненты вектора перемещений точек его оси. В результате компоненты вектора перемещений любой точки неоднородного стержня представлены в виде рядов по производным перемещений продольной оси однородного стержня. По перемещениям найдены ряды для напряжений в неоднородном стержне. Далее по продольному напряжению вычислены внутренние силовые факторы в сечении неоднородного стержня — продольная сила и два изгибающих момента, представленные рядами по производным трех компонент вектора перемещений оси стержня. Затем из уравнений Журавско-го следует система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка относительно трех компонент вектора перемещений продольной оси. Рассмотрена так называемая теория нулевого приближения, в которой в выражениях для внутренних силовых факторов учитывают только продольную деформацию и кривизну оси стержня (кинематические факторы). Коэффициентами при кинематических факторах являются эффективные жесткости стержня — продольная жесткость, четыре из-гибных жесткости и четыре жесткости взаимного влияния, которые вычисляют после решения вспомогательных плоских и антиплоских задач в поперечном сечении неоднородного стержня

Ключевые слова

Неоднородный стержень, задача теории упругости неоднородного тела, теория нулевого приближения, эффективная жесткость

Поступила в редакцию 27.06.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 14.577.21.0207, уникальный идентификатор проекта RFMEFI57715X0207)

Интегральная формула в трехмерной задаче теории упругости неоднородного тела. Пусть неоднородное упругое тело находится в равновесии под действием внешних сил и перемещений. Введем декартову систему координат 0х1х2 х3, ojj — напряжения, sjj — деформации, u; — перемещения, Сщ (хь х2, х3) — компоненты тензора модулей упругости, интегрируемые функции координат. В настоящей работе приняты индексные обозначения компонент векторов и тензоров: индексы, набранные прописными латинскими буквами, принимают значения 1 и 2, а строчными — значения 1, 2, 3. По повторяющимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах. Индекс после запятой обозначает производную по соответствующей координате.

Постановка исходной и сопутствующей трехмерной задачи неоднородной упругости. Задача статической теории упругости заключается в нахождении величин о y ,sjj, uj, удовлетворяющих в области V, занятой телом, уравнениям

оjj,j + Xj = 0; о jj = Cjjkl skl; skl = Aklmn um,n , (1)

а на границе 2 = 2p + 2u — условиям

jj lip=pi(y); u lzu = h(y); yeS. (2)

Здесь A klmn — компоненты единичного тензора четвертого ранга [1], представляемые через символы Кронекера Ak¡mn = (Skm8ln +Skn8¡m) / 2. Задачу (1), (2) для неоднородного тела будем называть исходной задачей, а точно такую же задачу для однородного тела с постоянными модулями упругости С^ = const — сопутствующей задачей. Пусть v¡ (х), ejj (х), xjj (х) — перемещения, деформации и напряжения в сопутствующей краевой задаче.

Интегральная формула. Решение линейной задачи для уравнения с переменными коэффициентами связано с решением уравнения с постоянными коэффициентами интегральной формулой (см. работы [2-4]). В случае статической задачи теории упругости эта формула имеет вид [2]

u (х) = vt (х) + j smn (S,х)[ C0mnk¡ - Cmnki (S)] ekl (S) dVi, (3)

V

где s^n (х,^) — тензор деформаций Грина исходной задачи теории упругости для неоднородного тела (обозначения заимствованы у В. Новацкого [5]).

Представление решения исходной задачи в виде рядов по производным решения сопутствующей задачи. Предположим, что деформации в сопутствующей задаче являются гладкими функциями координат х;. Тогда в окрестности любой точки х с V их можно разложить в ряды Тейлора так, что в любой точке SeV справедливо следующее представление:

да 1

ejj (i) = Е (i, , ^jq(х); n;b.,q(i,х) = - х1 )...( - х ). (4)

q=0 q-

Подставляя (4) в (3), получаем разложение решения исходной задачи в ряд по производным деформаций в сопутствующей задаче:

да

щ(х) = Уг(х) + Х ^¡кц..^(х)екц1..лС1 (х). (5)

q=0

Функции N¡№1...^ (х) представляют собой взвешенные моменты тензора деформаций Грина Nikti1...iq (х) = | &тпх)СтШ Стпк1 (^^П^.^ х

V

Структурные функции. ^Функции непрерывны по координатам и определяются только формой области и функциональной зависимостью коэффициентов упругости от координат. В случае однородного тела (т. е. при СуЫ (х) = С?ы) все ^функции тождественно равны нулю, поэтому ^функции называют структурными функциями. Координаты входят в функции упругих модулей в безразмерном виде. Пусть I — характерный размер неоднородности в поперечном сечении, например, характерный размер области изменения свойств в поперечном сечении. В случае стержня из волокнистого композита это может быть среднее расстояние между волокнами или размер ячейки периодичности при периодическом расположении волокон. Можно полагать, что модули упругости Суш = Сум(0,Сз), где ^ = хг /1. Таким образом, N функции так же, как и модули упругости являются функциями переменных С,г, и, как следует из формулы (5), размерность структурных функций представляет собой возрастающую степень размерности длины, т. е. N¿^1...^ = tq+1Niщ...iq. Чертой обозначена безразмерная ^функция.

Ряды для деформаций и напряжений. Из формул Коши и закона Гука следуют ряды для деформаций и напряжений в неоднородном теле

да да

8у(х) = X Щшь..гч(х)еш,¿1 ...iq(х); (х) = X Сгиш^Л^ц,,(х(6)

q=0 q=0

где

Bijkl(x) — ^ijkl ^ ^ijmn Nmkl,n(x);

Bijkli\...iq (x) _ ^ijmn Nmklii...iq,n(x) ^ ^ijmiq Nmklii...iq-i (x);

Cijkl(X) — Cijkl + Cijmn Nmkl,n;

Cijklii.iq — Cijmn Nmklii.iq,n + Cijmiq Nmkli\...iq-\.

(7)

(8)

Рекуррентные уравнения для структурных функций. Подставим напряжения (6) в уравнения (1), (2) и учтем, что Уг (х) является решением сопутствующей краевой задачи. В результате получим систему вспомогательных рекуррентных уравнений для ^функций

(10)

(9)

Граничные условия для Л-функций легко следуют из граничных условий исходной задачи и представлений (5), (6) для перемещений и напряжений. Например, в случае, когда исходная задача является первой краевой задачей, тогда и сопутствующая задача также представляет собой первую краевую задачу. Следовательно, в представлении (5) для перемещений все Л-функции должны обращаться в нуль на границе неоднородного тела:

В случае периодически неоднородного тела уравнения (9), (10) решают в ячейке периодичности. Отыскивают непрерывные периодические решения. Такие решения определены с точностью до постоянных величин [6], которые находят из условия обращения в нуль средних значений Л-функций в ячейке периодичности.

Элементы классического сопротивления материалов. Рассмотрим стержень длиной Ь, находящийся в равновесии под действием внешних поверхностных и объемных распределенных нагрузок. Стержень предполагается прямолинейным. Поперечное сечение может быть переменным по длине, но так, чтобы центры тяжести всех сечений располагались на прямой оси стержня. В классической теории стержня Бернулли — Эйлера материал предполагают однородным и изотропным. Предположим, что материал стержня неоднородный и анизотропный. Несмотря на это, используем гипотезы классической теории. Результат будем называть простейшей теорией неоднородного анизотропного стержня. Уравнения классической теории следуют из простейшей теории, если отказаться от предположения об анизотропии и неоднородности материала.

Выберем начало правой декартовой системы координат в плоскости крайнего (левого) торца стержня. Ось х3 направим параллельно геометрической оси стержня, а оси х1, х2 расположим в плоскости его торцевого поперечного сечения.

Поверхностные и объемные силы приведем к статически эквивалентной системе нагрузок, состоящей из векторов силы д (х3) и момента ш(х3), распределенных вдоль оси х3. Предположим, что крутящий момент отсутствует: т3 = 0. К внешним силам относятся также и реакции опор, которые представляют собой сосредоточенные силы и моменты. В статически определимых задачах реакции опор известны и, следовательно, векторы д и т вполне определены. В статически неопределимом случае в выражения для эквивалентных нагрузок будут входить неизвестные сосредоточенные величины, которые необходимо

Nmijh...iq (y) = 0, y eS.

(11)

искать из граничных условий и общего решения уравнения изогнутой оси стержня.

Внутренние силовые факторы. В произвольной точке 0 < хз < Ь стержня мысленно проведем поперечное сечение. Рассмотрим равновесие правой части стержня. Заменим действие отброшенной левой части результирующими векторами силы 0(хз) и момента М (хз), приложенными в центре правого сечения, при этом

_ Ь ^ Ь Ь

0(хз) = | с(у)йу; М(хз) = | т(у)йу- | (хз -у)ез хд(у)йу. (12)

хз хз хз

Здесь е1, е2, ез — векторы ортонормированного базиса декартовой системы координат. Векторы 0(хз) и М(хз) называют внутренними силовыми факторами. Согласно (12), вектор = положителен, если он направлен в положительном направлении оси х;, а вектор М, = М^е^ > 0, если он вращает сечение вокруг оси х; против часовой стрелки при взгляде с положительного направления оси х;. На левой стороне сечения положительные внутренние силовые факторы имеют обратные направления по сравнению с правой стороной. Составляя уравнения равновесия левой части стержня, получаем другое выражение для внутренних силовых факторов

хз хз хз

0 = -| С(у^у, М = -| т(у)йу +| (хз-у)ез хс(у)йу. (1з)

0 0 0

Вычитая из формул (12) соответствующие формулы (1з), определяем условия на внешние силы и моменты, при выполнении которых весь стержень находится в равновесии:

Ь Ь Ь

| с(у)йу = 0; |т(у)йу +1 уез х с(у)йу = 0.

0 0 0

Связь внутренних силовых факторов с напряжениями в поперечном сечении. Рассмотрим левую часть стержня. Действие отброшенной правой части заменяем распределенным по сечению вектором напряжения 5з = тз (х1, х2, хз)е. Векторы 0 (хз) и М(хз) есть результат приведения к центру сечения вектора напряжения 5з = т зе:

0 = = I= ¡т^¥ е ^ 0 (хз) = |Тз;(хх,х2,хз)й¥; (14)

¥ ¥ ¥

М = Ме =| г х = | хе х Тз&й¥ ^ М; (хз ) = 6ук I х]Тзк (х1, х2, хз )й¥, (15)

¥ ¥ ¥

где — символы Леви-Чивиты [1]. Последнюю из формул (15) для моментов расписывают следующим образом:

М1(хз) = |х2ТззйР; М2(хз) = -{х2ТззйР; Мз(хз) = {(х^з2 -х2Тз1)йР. (16)

¥ ¥ ¥

Крутящий момент Мз(хз) равен нулю в том случае, когда касательные напряжения в каждом поперечном сечении стержня подчиняются следующему условию:

| (х1Сз2 - х2Тз!)йР = 0.

¥

Именно внутренние силовые факторы являются основными искомыми величинами в сопротивлении материалов и в строительной механике стержневых конструкций. Отметим, что по известным напряжениям однозначно находят все внутренние силовые факторы. Однако обратная задача восстановления напряжений в поперечном сечении стержня по внутренним силовым факторам, в общем случае, не имеет однозначного решения. Для однозначного решения этой задачи необходимо использовать гипотезы о распределении напряжений по сечению. Указанные гипотезы должны содержать достаточное число неизвестных функций координаты хз , которые можно было бы однозначно выразить через внутренние силовые факторы.

Уравнения Журавского. Дифференцируя по хз уравнения (1з), получаем уравнения Журавского [7], которые являются уравнениями равновесия элемента йхз оси стержня, нагруженного внутренними силами и распределенными вдоль оси внешними силами [8]

О" = -ф М' = -т-ез хО^ М" = -т" + ез хд.

Запишем эти уравнения покомпонентно, введя другое (более привычное) обозначение для продольной силы Т (х з) = Оз( х з):

Т = -з; = -ф; О2 = -2; М1 = -гщМ2 =-т (17)

или

Т' = -з; М1 = -т1 + q2; М2 = -т2 -1. (18)

Отметим, что уравнения Журавского не зависят от статической определенности или неопределенности стержня, а также от материала, из которого он изготовлен, т. е. фактически они не зависят от типа определяющих соотношений, связывающих внутренние силовые факторы с деформацией и кривизнами оси стержня.

Кинематическая гипотеза Бернулли — Эйлера. Перемещения при изгибе и продольном растяжении (сжатии) однородного изотропного стержня определяют в соответствии с гипотезой плоских сечений [9] по формулам

Уг = (хз)-5г3х^к ,з(хз). (19)

Здесь wi (хз) — поперечные перемещения точек оси стержня (прогибы); ^з(хз) — продольное перемещение. Далее для краткости верхний индекс

в круглых скобках будет обозначать производную q-го порядка w(q) = d w.

dXq

а производные по х3 , где это приемлемо, также будем обозначать штрихами.

В соответствии с формулами Коши е, = (у,, , + у,,, )/2 единственной ненулевой компонентой тензора деформаций является продольная компонента

е33 = У3,3 = ^3,3 - хм,33 = у(х3) + Х1К2 (Х3) + Х2К1(х3), (20)

где у(х3) — продольная деформация оси х3; к1(х3), к2(х3) — кривизны проекций изогнутой оси х3 на координатные плоскости х2, х3 и х1, х3;

у = м3, к1 = -м , к2 = -М. (21)

Предположим, что прогибы м (х3) оси в каждой точке малы по сравнению с характерным размером поперечного сечения, малы и углы поворота поперечного сечения: ,3 ^ 1.

Статическая гипотеза. Эта гипотеза утверждает, что продольные «волокна» стержня (под волокном в рассматриваемом случае понимается материальная линия, параллельная оси стержня) деформируются независимо друг от друга. Иными словами, на волокно не оказывается поперечных воздействий, препятствующих его свободной продольной деформации. В соответствии со статической гипотезой продольное напряжение в волокне определяют из одномерного закона Гука

Т33 = Б3в33 = Е3 [у(х3) + х1К2(х3) + х2К1(х3)], (22)

где Е3 — продольный модуль Юнга. В изотропном случае соотношение (22) можно

Ev я Е л

"Oy + "-Aj33

e33, если

получить из обобщенного закона Гука х,3 = . .

У У 3 _(1 + у)(1 -2V) 3 1 + у

коэффициент Пуассона V принять равным нулю. Тогда х, = ЕДу33е33, т. е. из всех компонент тензора напряжений отлично от нуля только продольное напряжение х33 = Ее33. Таким образом, статическая гипотеза в классическом сопротивлении материалов эквивалентна предположению о нулевом коэффициенте Пуассона.

Определяющие соотношения теории стержня Бернулли — Эйлера. Эти соотношения связывают внутренние силовые факторы Т, М1, М2 с кинематическими характеристиками у, к1, к2 оси стержня. Для того чтобы их получить подставим напряжение х33 (22) в интегралы (14), (16) и найдем

Т = А у + Б1к1; М1 = В1У + Д/К/; М2 = -Б2у-Б2 ;к /, (23)

где А — продольная жесткость; Б1 — жесткости взаимного влияния; Б/ — компоненты тензора изгибной жесткости;

Л = | £з(хьх2,хз)й¥; В1 = | х2Ез(хьх2,хз)й¥; В2 = | хЕз(хьх2,хз)й¥;

¥(хз) ¥(хз) ¥( хз)

Би = | Бз(хих2,хз)й¥; Б22 = | х2Ез(хьх2,хз№ (24)

¥(хз) ¥(хз)

Б12 = Б21 = | х1х2 Бз(хи х2, хзМ¥.

¥( хз)

В простейшей теории всего шесть независимых жесткостей. Определяющие соотношения (2з) легко обратить у = аТ -ЬМ;; к = -Ь1Т + ёцМ*;, где М = М1, М*; = -М2;

а = , п ^ 1 п ; ЬI = аВкВк} = аБ-кВк; йц = Б- + ^.

Л - ВкБКВ ' а

Здесь Б-1 — коэффициенты матрицы, обратной к симметричной матрице Бц.

Дифференциальные уравнения простейшей теории неоднородного стержня. Подставим формулы (2з) в уравнения Журавского (18), учтем кинематические соотношения (21) и получим связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещений оси сопутствующего стержня

(Лм'з- Blw'"- ВМ )' = -qз; (В^'ъ-БпМ'"-Б1 М" )" = -р1, (25)

где р1 = +т1 - q;; р2 = -т2 - q1. Система уравнений (25) записана для общего случая стержня с переменными по сечению и по длине продольным модулем Юнга и переменной по длине площадью поперечного сечения. Она представляет собой связанную систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В случае главных центральных осей и постоянного по сечению модуля Юнга система (25) расщепляется на три независимых уравнения

(ЕзГмз) ' = -з; ШиМ')" = р1; (Ез ЬМ)" = р2. (26)

По сути, изложенная выше теория является простейшей теорией неоднородного стержня, основанной на классической гипотезе плоских сечений и на гипотезе о независимости деформирования продольных «волокон» стержня.

Инженерная теория изгиба неоднородного стержня. Пусть перемещения в однородном сопутствующем стержне определяют по приближенной формуле (19).

Ряды для перемещений и напряжений в инженерной теории неоднородного стержня. После подстановки выражения (19) в формулы (5) и (6) получим приближенные формулы для перемещений и напряжений в неоднородном стержне

да

иг = У, + £{{) з%) + №, ззк (q) (27)

q=0

а3 = Е{у33(д)м3д+1) -_хКС,33(д) +(д + 1)с333К(д)]Мкд+2)}, (28)

д=0

где

С ,333(0) = С,тпЛт33(0),п + Ср3 ; С г,33(д) = Сг)'тпЛт33(д),п + Сг3т3Лт33(д-1);

(29)

С ¡333К(д) = С,тпЛт33К(д),п + С,тКЛт33(д).

Нижний индекс (д) в выражениях ЛШ(д)> N Шк(д), (С ,333(9), (С у33К(д) обозначает число троек в последовательности индексов, т. е. Л^д = ЛВ33...3,

д

Л¡33К(д) = Лтк^3.

д

Далее из общей формулы (28) выделим продольное напряжение в поперечном сечении

^33 =

= Е^ 3333(д) У(д) + [х1С 3333(д) +(д + 1)С 33331(д)

+ [х2С 3333(д) +(д + 1)(С 33332(д) ]к(1д) }

д=0

(30)

Эффективные жесткости неоднородного стержня. По продольным напряжениям с33, представленных рядом (30), находим внутренние силовые факторы — продольную силу Т (х3) и изгибающие моменты М1 (х3) в поперечных сечениях неоднородного стержня:

Т = Е{А(д)У(д) + БвдК«д)}; м; = £{ваду(д) + Ад/, (31)

д=0 д=0

где

А(д) = ^^^ 3333(д))— ; Б1(д) = — (х2С 3333(д))— ; Б2(д) = — (х1С 3333(д))— Б1(д) = — (х2С 3333(д) +(д + 1)С 33332(д))— ; Б2(д) = — (х1С 3333(д) +(д + 1)С

А1(д) = ^х2 _х2(С 3333(д) +(д + 1)С 33332(д) ])— ; (32)

Б22(д) = — (х1 [х1С 3333(д)

+(д + 1)С 33331(д) ]> —; Б12(д) = ^х2 _ х( 3333(д) +(д + 1)С 33331(д) ]) —;

А1(д) = — (х1 [ х2С 3333(д) +(д +1)С

33332(д) ]>- •

В (32) угловыми скобками с нижним индексом — обозначено среднее значение функции в поперечном сечении в точке х3:

(/)р = | /(хх,х2>хъУхф*.

Ряды (з1) становятся конечными суммами в том случае, когда продольная деформация у(хз) оси и ее кривизны к1 (хз) являются полиномами конечной

степени от координаты хз. Коэффициенты Л^), В1 (я), В1 , Бц представляют собой коэффициенты жесткости q-го порядка, для каждого значения q всего девять коэффициентов жесткости:

1) продольная жесткость q-го порядка Л^), учитывающая степень зависимости продольной силы Т от продольной деформации ^ = 0) и от ее производных ^ > 0);

2) жесткости В/ влияния кривизн и их градиентов на продольную силу;

3) жесткости В1 влияния продольной деформации и ее производных на изгибающие моменты;

4) компоненты тензора изгибной жесткости Бцкоторые определяют зависимость изгибающих моментов М1 от самих кривизн при q = 0 и от их производных при q > 0.

Коэффициенты жесткости нулевого порядка будем называть эффективными жесткостями неоднородного в поперечном сечении стержня. В обозначениях эффективных жесткостей опустим индекс ноль в круглых скобках, т. е. Л(0) = Л,

В/(0) = ВI, В/(0) = ВI, Бц (о) = Бц. Эффективные жесткости могут быть функциями продольной координаты. Отметим, что в общем случае жесткости взаимного влияния не совпадают: В1 Ф В1, а изгибные жесткости несимметричны: Б12 Ф Б21. Аналогичными свойствами обладают жесткости высших порядков.

Уравнения для перемещений продольной линии. Далее из уравнений Жу-равского (18), после подстановки в них выражений (з1), получим три обыкновенных дифференциальных уравнения в общем случае бесконечного порядка относительно перемещений оси стержня

да ( » / да ( /

+ Вд^} =-ф; Х{В{' + БткЦ =-рI. (зз)

q=0 q=0

Рассмотрим случай, когда в каждом ряде удерживаются только первые члены, соответствующие q = 0. Такая теория в механике композитов, по предложению Б.Е. Победри, называется теорией нулевого приближения [10]. Теория нулевого приближения предполагает, что в определяющих соотношениях (з1) основной вклад дают только деформации и кривизны, а влияние градиентов этих величин незначительно.

Теория нулевого приближения. Продольное напряжение сзз и определяющие соотношения теории неоднородной балки в нулевом приближении следуют из формул (з0), (з2) и при q = 0 имеют вид (нули в индексах опущены):

СТзз = С зззз У + (х2<5 зззз + С зззз2 )к1 + (х1С зззз +С зззз1 )к2 =

= С зззз Мз -( хкС зззз+С ззззк ) Мк; (з4)

Т = Лу + Б/ к; М = В7+Дпк. (35)

Несложно получить обратные соотношения к (35), выражающие продольную деформацию и кривизны осевой линии через внутренние силовые факторы. Такие соотношения удобны в статически определенных задачах

7 = аТ - ЬМ; к I = -Ь/Т + йцМ), (36)

или

7 = М = аТ - Ь1м*1; к = -М =-Ь{Т + йцМ}; к2 = -М = -Ь2Т + ¿2/М*, (37)

где

--!Г-Ц—; k = aßD; b = aD-KBk; d/ = D/ + ^.

А - bdibl а

Коэффициенты а, Ь1, Ь1, представляют собой податливости неоднородного стержня. Подстановка соотношений (35) в уравнения Журавского дает систему уравнений изгиба неоднородной балки

(3 - Бм - У = -дэ(хэ); (39)

(Б/М - АМ - А2 МУ = -р1 = -«I + ^¡кЧк.

Граничные условия. Для выделения единственного решения системы используют точно такие же граничные условия, как и в классическом случае. Всего 10 условий: пять на одном конце и пять на другом.

Изгиб неоднородной консоли силами и моментами. Пусть, например, консольный стержень, закреплен на конце х3 = 0 и нагружен на конце х3 = £ продольной силой Т0 и поперечными силами а также двумя изгибающими моментами М°, М°. Полный комплект граничных условий будет следующим:

М(0) = 0; М(0) = 0; (Лм3 - -Бм") =£ = Т (Вм3 - Дм? - А2<У3=£ = М"0; ((3 - АМ - ДаМ) = -М20; (40) (3 - Дпм2' - ДмХ)'хъ=£ = О"0; ((3 - АМ - ДяМ)) = -(.

В рассматриваемом примере не понадобятся статические граничные условия, поскольку задача является статически определенной и внутренние силовые факторы находятся без решения уравнений (39):

Т = Т0; О/ = (¡¡; М/ = М? +ев00(£-Х3). (41)

Из (41) и (37) получаем уравнения для перемещений оси стержня, которые легко интегрируются и дают следующие выражения для перемещений оси неоднородного стержня:

з д

W3 = J [aT0 - biMKy)]dy;

о

Х3 Х3

wi = J (Х3 -y)[b2T0 -d27M;(y)]dy, W2 = J (Х3 -y)[biT0-d\jM](y)]dy.

(42)

Коэффициенты податливости в выражениях (42) могут быть функциями продольной координаты вследствие переменных по длине сечений и модулей упругости материала стержня. Далее по формулам (27) и (28) при q = 0 находят перемещения и напряжения в неоднородном стержне в нулевом приближении

Ui = Wi -bi3XK-w'K + Nш(х)w3 -[xkN¡зз(х) + Nгззк(x)]w'K;

азз = Cзззз (aT0 -biMi*) + (X2C3333 +C33332)(-biT0+ duMj) + + ( XiCC зззз +C 33331 )(-b2T0 + d2 jMj*).

(43)

(44)

Для получения конкретных числовых результатов в нулевом приближении необходимо найти структурные функции N¡33 и Nj33к. Соответствующие уравнения для них следуют из (9)

\_Cfjmn Nт33,п + Су33] , — 0; \_Cfjmn Nm33K,п + СутК Nm33 j — СК33 — ^Сктп Nm33,n + С1К33 ] ,

(45)

где

СК33 — {^гКшп Nm33,n + СгК33 )р ■ (46)

Уравнения (45) зависят от функциональной зависимости модулей упругости и от координат. В частности, в случае неоднородного в поперечном сечении стержня модули упругости зависят от координат Х\, х2 точки в сечении. От этих координат также будут зависеть ^функции и уравнения (4) становятся уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами в области поперечного сечения.

Вычисление структурных функций неоднородной по толщине балки. Пусть неоднородная по толщине балка имеет сечение в виде прямоугольника /г, х /г2 по осям, причем /г2 <с /г,. Например, она состоит из двух слоев различных материалов, склеенных по контактной поверхности (рисунок). Модули упругости зависят только от координаты по толщине, т. е. Сщ — Сщ (х2). В рассматриваемом случае (при ширине балки много большей ее толщины) ЛГ-функции также можно полагать х3

фунщиями координаты х2. При этом уравнения Неоднородная по толщине (45) становятся обыкновенными дифференциаль- балка

ными уравнениями, которые легко интегрируются в общем виде. Первое из уравнений (45) имеет вид [С,2т2 Ыт33>2 + С,233 ]2 = 0. Откуда и из условия периодичности и условия нормировки Ыт33 (-Н2 /2) = Ыт33 (Н2 /2), (Ыт33) = 0 получаем

Х2

^33( Х2 ) = | Ст2п2 (У ) [(С-2^2 )-1 (С*2г 2С1233 )-Сп233( уУ\ ¿У -

\-к2/2

где С-12п2 — элемент матрицы, обратной к матрице (Ст2п2),

- J С-12„2(г)[<С-2,2)-1 <^2^233>-C„233(z)]dz] ), (47)

■^т2n2 >

1 h2/2 i <ф(Х2 )) = — J 9(X2)dX2 X2)dxidx2 = <ф(Х2)>7.

С1212 С1222 С1232 ^ -1

)= С2212 С2222 С2232

v С3212 С3222 С3232 )

h2 -h2/2 FF

По формулам (29) и (46) находим коэффициенты Сузз и Сг°зз :

ij33 = Cj33 + Cijm2Cnrn2n2^\ Cn2^2 ) {C-2q2Cq233 ) - Cijm2Cm2n2Cn233 ; C°33 = {Cij33) + {Cijm2Cm\n^{Cp2q2Cq233) - (Cijm2Cm\n2Cn23^.

(48)

Из формул (48) следует, что Сг233 есть постоянные величины С,233 = = (С-2р2 )-1 (Ср1^233) = Сг°233. В ортотропном материале отлична от нуля только одна структурная функция с тремя индексами, т. е. Л133 = Ы333 = 0, а

N233( Х2) =

Х2

= I С;-222 (У)С233 - С2233(у)\ ¿у -( | С2222 ())[С20233 - С2233())\ ¿X V (49) -Н2/2 \-к2/2 /

Далее из уравнений (45) и условий, аналогичных условиям для функций Ыт33, определим функции Ыт33К. После первого интегрирования имеем

Nт33K ,2 (Х2) =

= Ст2п2(х2)\ Х (СПк 33 - ССпК33(У))^У - (Сп2р2 )-1(Ср^2 | (С0к33 " С?К33(х)))[-

1-^2/2 \ -^/2 I)

- С-2п2 (х2 )[Сп2гК (х2 Жг33 (х2 ) - (Сп2р2 ) 1 (Cp^q2Cq2rKNr33 )\.

Из этой формулы, в частности, получим Лт332,2 = -5т2 Л233 . В ортотропном случае из функций Лт331,2 отлична от нуля только одна функция:

г

N 1331,2 =

= 02121 | (0-133 -СШз(у))«у-(СГ211^"7СГ2112 | (з -С11зз(г))йг\\-М2зз. 1-^2/2 \ -¡2/2 I)

(50)

По формуле (29) при q = 0 можно найти коэффициенты Су33к, необходимые при вычислении эффективных жесткостей. Согласно (29), для неоднородной по толщине балки Су332 = 0, а коэффициенты Су331 (х2) вычисляют по формулам Су331 = Сi^■ш2Nш33l)2 + CгjШlNш33. В ортотропном случае фактически остается только одна функция С12331 =СС21зз1:

С12331(х2) = Сijш2N ш331,2 + Суш^ш33 = Су12 ^331,2 + Су2^233 = Су12((1331,2 + N233 ) =

= С-2112(Х2)| | (С-133 - СС1133(у))) -(С-2^)"7 С-^ | (33 - СПзз(г)) [.

1-^2/2 \ -/¡2/2 /)

(51)

Эффективные жесткости и податливости неоднородной по толщине балки. После определения структурных функций по формулам (32), (48) и (51) можно найти эффективные жесткости

а = ¡л (С 3333), = ¡1/2 (с3333) + (С 2222 ^ (С2222С223з) (С2222С223з) i = ^^^^^^^^^^ а = = ¡1^2 (Х2С3333)Р = ¡1 ¡2 ^Х2 (С3333 + С2222С2233 (С2222 ) (С2222С2233 )- С2222С2233)) Д11 = ¡1^2 (Х2С3333)Р = ¡1 ¡2 ^х2 (С3333 + С22^2С223^С2222) (С22^2С223^ - С2222С2233)) ;

й22 = х12сс зззз), = ¡¡ч С3333} = с33333; $2 = $2 = ¡цх1сс3333^ = 0, д2 = й21 = ¡1^2^ХХСзззз)р = 0.

(52)

Эффективные коэффициенты податливости неоднородной по толщине балки определяют из общих формул (38)

Р11 £ , $1 , 1 Л , $2

я =-т; Ь = »1 = --7; «11 =—11

АБп - $12' АД11 - $2' А1 ^ АД11 - $12у (53)

«22 = -—; »2 = »2 = 0; «12 = «21 = 0.

22 Д22 2 2 12 21

Формулы (52) и (53) получены для балки с постоянным по длине прямоугольным поперечным сечением из ортотропного материала, у которого компоненты тензора модулей упругости Сум (х2) — произвольные интегрируемые функции координаты Х2.

Случай двухслойной балки. В частном случае двухслойной балки (см. рисунок), когда каждый слой представляет собой изотропный материал, компоненты тензора модулей упругости определяют по формулам

Cjkife) = + 2ц1 Aijki +0(x2 -xj)[ - A,i)5y5H + 2(ц2 -цОАук/];

x = E! vI ; = Ei (54)

1 = (1+ V! )(1 -2 Vi ); ^ = 2(1 + V!). Здесь A,1, E1, v1 — параметры Ламе, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала первого слоя, для которого - h2 /2 < x2 < x2 < h2 /2; A,2, Ца, E2, v2 — соответствующие величины второго слоя, для которого —h2 /2 < x2 < x2 < h2 /2; 0(x2 - x2) — функция Хевисайда [11].

Отметим еще одну особенность предлагаемой теории: в однородном случае все Л-функции обращаются в нуль и перемещения определяют по формуле (19) в соответствии с гипотезой плоских сечений. Для того чтобы и напряжения в однородном случае соответствовали теории балки Бернулли — Эйлера, необходимо в уравнениях (45) под матрицей модулей упругости понимать модифицированную матрицу, в которой коэффициент C3333 = E3, где E3 — модуль Юнга в направлении оси стержня.

ЛИТЕРАТУРА

1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1979. 223 с.

2. Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. № 2. С. 61-76.

3. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Известия РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 31-37.

4. Горбачев В.И. Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости. Применение в механике композитов // ПММ. 2014. T. 78. Вып. 2. С. 277-299.

5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

6. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

7. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 372 с.

8. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 560 с.

9. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1962. 456 с.

10. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

11. Кеч В., Теодореску П.В. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

Горбачев Владимир Иванович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры механики композитов Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1), профессор-консультант ООО «ФИДИС».

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Горбачев В.И. Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6. C. 56-72. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-56-72

ENGINEERING RESISTANCE THEORY OF HETEROGENEOUS RODS MADE OF COMPOSITE MATERIALS

V.I. Gorbachev [email protected]

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation

Abstract

To construct the engineering resistance theory of heterogeneous rods, we used an integral formula which presents the displacement of the body points in the initial problem of the heterogeneous body elasticity theory by means of the points displacement in a similar problem, but for a homogeneous elastic body (an accompanying task). The integral formula implies an equivalent notion of displacements series in a heterogeneous rod. The displacements are compared to the derivatives in the accompanying homogeneous rod. We approximately defined the points displacement of the accompanying rod by classical strength of materials methods through the three components of the points displacement vector relative to its axis. As a result, we presented the displacement vector components of any point of the heterogeneous rod in the form of series of derivatives displacement of the longitudinal axis of a homogeneous rod. According to the displacement, we found the series for stresses in the heterogeneous rod. Furthermore, by longitudinal stress we determined the internal force factors in the heterogeneous rod cross section — longitudinal force and two bending moments, presented in series of derivatives of the three components of the rod axis displacement vector. Then, from Zhuravsky equations we derived a system of three ordinary differential equations of infinite order with respect to the three components of the longitudinal axis displacement vector. This paper studies the so-called theory of zero-order approximation, which takes into account only the rod axis longitudinal deformation and curvature (kinematic factors) to express internal force factors. The coefficients within the kinematic factors are the effective rigidity of the rod — longitudinal rigidity, four bending rigidities and four rigidities of mutual influence, which are calculated after solving the supporting planar and antiplanar problems in cross-section of the heterogeneous rod

Keywords

Heterogeneous rod, problem of the heterogeneous body elasticity theory, theory of zero-order approximation, effective rigidity

REFERENCES

[1] Pobedrya B.E. Lektsii po tenzornomu analizu [Lectures on tensor analysis]. Moscow, MGU Publ., 1979. 223 p.

[2] Gorbachev V.I. Green tensor method for solving boundary value problems of the theory of elasticity for inhomogeneous media. Vych. Mekh. Sploshn. Sred, 1991, no. 2, pp. 61-76 (in Russ.).

[3] Gorbachev V.I. Averaging of linear problems in the mechanics of composites with nonpe-riodic inhomogeneities. Mech. Solids, 2001, vol. 36, no. 1, pp. 24-29.

[4] Gorbachev V.I. Integral formula in the coupled problem of the thermoelasticity of an in-homogeneous body. Application in the mechanics of composite materials. J. Appl. Math. Mech., 2014, vol. 78, iss. 2, pp. 192-208.

[5] Nowacki W. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975. 872 p.

[6] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov v periodicheskikh sredakh [Averaging processes in periodic media]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 352 p.

[7] Il'yushin A.A., Lenskiy V.S. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 372 p.

[8] Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 1999. 560 p.

[9] Rabotnov Yu.N. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. 456 p.

[10] Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, MGU Publ., 1984. 336 p.

[11] Kecs W., Teodorescu P. Introduction to the theory of generalized functions with applications to engineering. Bucuresti, Editura Tehnica, 1975 (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1978. 518 p.).

Gorbachev V.I. — Dr. Sci., Professor of Mechanics of Composites Department, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (Leninskie Gory 1, Moscow, 119991 Russian Federation), Professor-Consultant of Fidis.

Please cite this article in English as:

Gorbachev V.I. Engineering Resistance Theory of Heterogeneous Rods made of Composite Materials. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2016, no. 6, pp. 56-72. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-56-72