Об устойчивости стержней с переменной жесткостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

раллелепипеда, вытянутого вдоль оси а, поверхность переключения и траектория задачи. После старта двигатель-маховик раскручивается, достигает верхнего ограничения для величины кинетического момента, вследствие чего управление отключается и система продолжает движение с раскрученным маховиком по границе до достижения фазовой траекторией поверхности переключения. Затем включается управление с противоположным знаком, маховик начинает замедлять вращение, в результате чего система сходит с границы фазового ограничения и продолжает движение до достижения терминального множества в точке D с координатами (0 ; 0 ; 0,4).

Исследование задачи может быть дополнено случаем прихода системы на терминальное множество при движении по границе фазового ограничения, т.е. если |h(T)| = Нм. Отличие данной задачи от рассмотренной выше будет заключаться в расширении области управляемости системы D и видоизменении условия трансверсальности (14) в формулировке необходимого условия оптимальности в задаче с фазовыми ограничениями. В данной статье этот случай не рассматривается.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00182).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР. 1959. 125, № 3. 475-478.

2. Maurer H. On optimal control problems with bounded state variables and control appearing linearly // SIAM J. Control Optim. 1977. 15. 345-362.

3. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2004.

Поступила в редакцию 30.10.2009

УДК 539.3:534.1;539.4:624.07

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ

В. И. Горбачев1, О. Б. Москаленко2

Рассматривается неоднородный по длине стержень с переменным поперечным сечением. Ось стержня, проходящая через центры тяжести всех поперечных сечений, — прямая линия. Стержень сжимается продольной силой, приложенной в центре тяжести крайнего поперечного сечения. В работе рассматривается случай потери устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня, когда наряду с прямолинейной формой возможна искривленная форма. Получены приближенные аналитические выражения для критической сжимающей силы в четырех случаях закрепления концов периодически неоднородного стержня. Для стержня со ступенчато изменяющимся поперечным сечением и состоящего всего лишь из одного периода (предельный случай) проведено сравнение расчетов по найденным формулам с ранее известными точными решениями уравнения устойчивости.

Ключевые слова: упругость, устойчивость, неоднородный стержень, метод осреднения.

A heterogeneous in length bar with a variable cross-section is considered. The axis of a bar, which joins the centers of gravity of all the cross-sections, is a straight line. The bar is compressed by a longitudinal force applied to the center of gravity of the boundary cross-section. The article describes the case of stability loss of the straight-line form of equilibrium of a bar, when both, linear and curved forms are possible. Approximate analytical formulas for critical compressive force in four cases of boundary conditions for periodically heterogeneous bar are obtained. In case of a bar with a stepped variation of its cross-section and which consists of only one period

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Москаленко Ольга Борисовна, — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

(the limiting case) the comparison of results, computed using obtained formulas, with exact solutions of stability equation known before is made.

Key words: elasticity, stability, heterogeneous bar, averaging method.

1. Постановка задачи. В декартовых координатах, выбранных так, как показано на рис. 1, изгиб стержня продольной силой P описывается уравнением четвертого порядка [1]

d_

dz

d_

dz

'вдад §

+P'ii¿ dz

= 0,

(1)

где Е и .] — переменные модуль Юнга и момент инерции стержня при изгибе в плоскости ух. Обозначим через Ш = Е.] изгибную жесткость стержня, а через Я = 1/Ш — податливость. Рассмотрим далее случай периодической зависимости изгибной жесткости от продольной координаты, т.е. Ш(х + к1) = Ш(х), где 1 — длина периода, а к — любое натуральное число. Пусть стержень состоит из целого числа т ^ 1 периодов, т.е. Ь = т1. В каждом из периодов введем локальную переменную 0 ^ С ^ 1 так, чтобы х = 1(г — 1 + С). Здесь 1 ^ г ^ т — номер периода, в который попала точка оси стержня с глобальной координатой х. Переменная Z является локальной координатой этой же точки в г-м периоде. В этом случае жесткость и податливость стержня можно считать 1-периодическими функциями безразмерной локальной переменной Z [2, 3].

В уравнении (1) сделаем замену переменных, положив х = хЬ, где х — безразмерная глобальная координата: 0 ^ х ^ 1. Переменные х и Z связаны следующим образом: х = а (г — 1 + С), где а = 1/Ь ^ 1 — малый геометрический параметр. В силу связи между переменными х и Z дифференцирование /(() по

<//к) 1 йх

Рис. 1. Различные случаи закрепления концов стержня

глобальной переменной осуществляется по правилу J = /' = -р- = —/'. Обозначим через и (х) =

dx

а

у/Ь безразмерный прогиб, Л = РЬ2, тогда уравнение (1) после двукратного интегрирования примет вид

d2u dx2

W(0 ^ + Хи = С3х + С4,

(2)

где Сз, С4 — константы интегрирования.

2. Общее решение уравнения устойчивости стержня с переменными параметрами. Общее решение уравнения (2) представляется в виде суммы общего решения и0(х) однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

u(x) = uo(x) + u* = uo(x) +

C3X + C4 Л

Функцию uo (x) будем искать в виде

uo(x) = Ci [cN(Z) cos Knx + sN(Z) sin xnx] + C2 [cN(Z) sin xnx — sN(Z) cos xnx]

(3)

где С1 и С2 — еще две произвольные константы интегрирования. Неизвестные функции еЫ^) и зЫ^) являются непрерывными периодическими функциями быстрой переменной Z. Вид этих функций определяется функцией жесткости Ш^). При постоянной жесткости еЫ(Z) = 1, зЫ(Z) = 0 и решение (3) переходит в общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Подстановка (3) в однородное уравнение (2) приводит к следующим зависимостям между функциями еЫ и зЫ:

1

2кп

1

2кп

—2 cN'' + Z-— sj\¡\ — К\2) cN = 0, -LsNU-—cN\ + (\R- к\2) sN = 0.

а

а

а2

а

(4)

3. Разложение общего решения уравнения устойчивости в ряд по степеням малого геометрического параметра. Из формул (4) видно, что функции еЫ и зЫ зависят от малого геометрического параметра а, поэтому имеет смысл искать эти функции в виде асимптотических разложений в

ряды по степеням а:

те s

\s.

cN(Z) = 1 + E(-1)s«2S E (Kn)2(s-q)N2(s-q),2q(Z),

s=1 q=0

те s

SN(Z) ^(-1)s«2s-^ Aq(Kn)2(s-q)-1N2(s-q)-1,2q(Z)•

s=1 q=0

(5)

(6)

Здесь — новые неизвестные непрерывные периодические функции быстрой переменной. Для этих функций принимается, что N0,0 = 1, = 0 при р < 0 или д < 0. Подстановка выражений (5), (6) в уравнения (4) дает одну и ту же рекуррентную последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для функций N,2^:

^¿-2д-1,2д = -2N2s-2q-2,2q - N2s-2q-3,2q + RN2s-2q-1,2(q-1), N2s-2q,2q = h2(s-q),2q - 2N2s-2q-1,2q - N2s-2q-2,2q + RN2s-2q,2(q-1),

. h2(s-q),2q = (N2(s-q-1),2q - RN2(s-q),2(q-1) ) , s = 1 2 • • • i Q = 1, 2, • • • , S.

(7)

Угловыми скобками обозначено среднее значение функции на периоде. Единственное решение рекуррентных уравнений выделяется из условий периодичности (Ж)(?) =0 и условий нормировки = 0. Кроме рекуррентных уравнений (7) результатом указанной выше подстановки является уравнение, связывающее величины Л и к:

E(-1)s a2(s-1)

s=1

Е

q=0

Aq (Kn)2(s-q) h2(s-q),2q = 0,

(8)

при этом Л и к будут зависеть от малого параметра а и их также можно разложить в ряд по степеням а:

Л = Л0 + аЛ1 + а2 Л2 + а3 Л3 + 0(а4), к = к0 + ак1 + а2к2 + а3 к3 + 0(а4).

Это позволяет из уравнения (8) найти зависимости между величинами Лп и кп и, таким образом, явно выразить параметр Л через величины кп:

к0п2 2к0к1п2 2 Л = 1 1

R

+ а3

+ а ■

R

+ а2

(к2 + 2К0 К2)п2 K4n4h0,4

R

2п2(к1к2 + к0к3) 4к03к1п4 h0,4

R

R

R

+ O(a4),

+

(9)

где

h0,4 = (R)

,(-1)Л -/д(-1)"2

> 0,

Z

£(-1) = J dn

Итак, общее решение уравнения (2) имеет вид

и{х) = С\ [c./V(C) cos них + sN{Q sin жих\ + C2 [ciV(() sin них — sN(() eos xirx] + _ (ю)

A

Удовлетворяя четырем однородным граничным условиям на концах стержня, приходим к системе из четырех линейных однородных уравнений относительно констант C1, C2, C3, C4. Приравнивая к нулю определитель этой системы, получаем уравнение, из которого с учетом зависимости (9) находятся коэффициенты К0, К1, К2, К3. Далее эти коэффициенты кп подставляются в формулу (9). Среди всех полученных значений A отыскивается минимальное положительное Акр > 0, через которое и определяется критическая сила Ркр = AKp/L2 для стержня с переменной податливостью R(Z).

4. Шарнирно опертый стержень. В этом случае (рис. 1, a) u(0) = u(1) = 0, u''(0) = u''(1) = 0. Из этих условий и уравнения (2) следует C3 = 0 и C4 = 0. В силу условия u(0) =0 и формулы (10) имеем C1 = C2sN(0)/cN(0). Удовлетворяя условию u(1) =0 и учитывая, что cN(1) = cN(0), sN(1) = sN(0),

те

s

3

3

2

получаем C2 [sN2(0) + cN2(0)] sin кп/cN(0) = 0, откуда sin кп = 0, следовательно, к = 0, ±1, ±2,.... Таким образом, в данном примере к не зависит от а и ко = 0, ±1, ±2,.... Все остальные коэффициенты кп = 0 при n ^ 1. Из формулы (9) найдем выражение для параметра Акр > 0, достигаемое при к = 1. Критическая сила для шарнирно опертого стержня определяется по формуле

п

кр

L2 R

22 1 — а2 п2

(R)

+ O(a4).

5. Стержень, у которого один конец защемлен, а другой свободен. В этом случае (рис. 1, Ь) константы Сз и С4 нулевые [1, с. 86]. Два однородных граничных условия и(0) = и(1) = 0 позволяют найти собственные значения параметра Л. В результате получаем

п

кр

4L2( R)

1 — 2а( д

R

12/ 7T_2\Í

+

+ а3

—К д(-1))

3 , <д(-1)> n2ho,,

(11)

+

R

+ 4кз ) } + O(a4).

На рис. 2, с, й для двухступенчатого стержня показаны графики зависимости отношения Ркр/Ркр1 от относительной длины 0 ^ Ь ^ 1 части стержня с жесткостью 7, где Ркр1 = п2Е71/(4Ь2) — критическая сила Эйлера для стержня постоянной жесткости 71. Сплошная кривая соответствует точному решению уравнения устойчивости для ступенчатого стержня, найденному С.П. Тимошенко [4, с. 136]. Цифрами 0, 1, 2 и 3 обозначены кривые, соответствующие нулевому, первому, второму и третьему приближениям по а, построенные по формуле (11). Из рисунков видно, что в том случае, когда нижняя защемленная часть менее жесткая, чем верхняя (рис. 2, Ь), первое, второе и третье приближения практически совпадают с точным решением. Если же нижняя часть более жесткая (рис. 2, а), чем верхняя, то каждое из приближений лежит ниже точного решения, причем кривые с большим номером расположены ближе к нему. Это указывает на то, что приближенное значение критической нагрузки, найденное по формуле (11), дает решение, в сравнении с точным имеющее дополнительный запас по устойчивости. Нулевое приближение (при а = 1 и п «с

параметра а точность нулевого приближения возрастает.

^ 1) лишь качественно оценивает точную кривую устойчивости. С уменьшением

Рис. 2. Стержень с защемленным концом (n = J1/J2)

6. Стержень, у которого один конец защемлен, а другой шарнирно оперт. В этом случае (рис. 1, с)

22

пк

о

— 4< (д(-1) — (д

1 — 2а(д(-1)) + а2 (1 + 4коп2 + к£п2) {д

(-1М(-1) > — к0п2<(д(-1)Л2>

(-1) >2 — }+ 0(а3).

Здесь коп ~ 4,493409458 — минимальный положительный корень уравнения коп = tg коп. Критическая сила в нулевом приближении — это критическая сила Эйлера, при которой теряет устойчивость прямолинейный стержень с постоянным коэффициентом Яо, равным среднему значению функции Я^) на периоде, т.е. при Яо = (Я) = (1/Е7).

2

2

2

4

2

7. Стержень, у которого два конца защемлены. В этом случае (рис. 1, ¿)

4п2

Ркр ~ ЩК)

1 - 4а2п2

^■0,4

(К?

+ О (а3

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00231-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978.

2. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

4. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Ч. 2. М.: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 25.12.2009