Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза со специальным свободным членом в классе периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 144-150.

УДК 517.946

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА СО СПЕЦИАЛЬНЫМ СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.Б. ЯХШИМУРАТОВ

Аннотация. В этой работе метод обратной спектральной задачи применяется к интегрированию уравнения Кортевега-де Фриза со свободным членом, не зависящим от пространственной переменной в классе периодических функций.

Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная спектральная задача, система уравнений Дубровина-Трубовица, уравнение Кортевега-де Фриза.

1. Введение

В работах [1-8] и др. исследовано уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) в классе периодических функций.

В данной работе изучается уравнение КдФ со свободным членом, не зависящим от пространственной переменной, а именно рассмотрим следующее уравнение

& = дххх - бддх + /^), г> 0, х е К1 (1)

с начальным условием

= Qo{x), (2)

где £(¿) — действительная непрерывная функция. Требуется найти действительную функ-

цию д(х,Ь), которая ^-периодическая по переменной х:

д(х + п^) = д(х,{), 1> 0, х е К1 (3)

и удовлетворяет условиям гладкости:

д(х,{) е > 0) П С.'¡(1 > 0) П С(£ ^ 0). (4)

Отметим, что уравнение КдФ с самосогласованным источником в классе быстроубы-вающих функций было рассмотрено в работах [9-13] и др., а нелинейные уравнения с самосогласованным источником в классе периодических функций в различных постановках изучены в работах [14-16].

Цель данной работы — дать процедуру построения решения д(х,1) задачи (1)-(4) в рамках обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля.

A.B. Yakhshimuratov,Integrating the Korteweg-de Vries equation with a special free term in the class of periodic functions.

© Яхшимурдтов А.Б 2011.

Поступила 10 мая 2011 г.

2. Необходимые сведения

В этом пункте, для полноты изложения, приведем некоторые основные сведения, касающиеся обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом (см. [17-19]).

Рассмотрим следующий оператор Штурма-Лиувилля на всей прямой

Ьу = — у11 + д(х)у = Ху, х Е Я1, (5)

где д(х) — действительная непрерывная ^-периодическая функция.

Обозначим через с(х, Х) и в(х, Х) решения уравнения (5), удовлетворяющие начальным условиям с(0, Х) = 1, с'(0, Х) = 0 и в(0, Х) = 0, 5'(0, Х) = 1. Функция Д(Х) = с(п, Х) + з'(^, Х) называется функцией Ляпунова или дискриминантом Хилла.

Спектр оператора (5) чисто непрерывный и совпадает со следующим множеством

Е = {Х Е Я1 : —2 ^ Д(Х) ^ 2 } = [Хо, Х1] и [Х2, Х3] и ... и [Х2п, Х2п+1] и ....

Интервалы (—то, Х0), (Х2п-1, Х2п), п = 1, 2, ... называются лакунами. Здесь Х0, Х4к-1, Х4к — собственные значения периодической задачи (у(0) = у(п), у'(0) = у1(п)), а Х4к+1, Х4к+2 — собственные значения антипериодической задачи (у(0) = — у(п), у'(0) = — у'(т1)) для уравнения (5).

Пусть £п, п = 1, 2, ... корни уравнения з(^,Х) = 0. Отметим, что £п, п = 1, 2, ... совпадают с собственными значениями задачи Дирихле (у(0) = 0, у(’к) = 0) для уравнения (5), кроме того выполняются следующие включения £п Е [Х2п-1, Х2п], п = 1, 2, ... .

Числа £п, п = 1, 2, ... вместе со знаками ап = в%дп{з/2(,к, £п) — 1}, п = 1, 2, ... называются спектральными параметрами задачи (5). Спектральные параметры £п, ап, п = 1, 2, ... и границы Хп, п = 0, 1, 2, ... спектра называют спектральными данными оператора (5). Восстановление коэффициента д(х) по спектральным данным называется обратной спектральной задачей для оператора (5).

Спектр оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д(х + т) не зависит от действительного параметра т, а спектральные параметры зависят от т: £п(т), ап(т), п = 1, 2, .... Спектральные параметры удовлетворяют следующей системе уравнений Дубровина-Трубовица

—— — 2ап{т) ■ (£п — А2п-1)(А2п — £,п) :

ат

X

\

(С \ (^п - А2к-і)(Сп - А2к) . 1

Кп -Ао)П —йТ-Щ)3—' " ? 1

к=1

к=п

Система уравнений Дубровина-Трубовица и следующая формула следов

<х>

д(Т) = Х0 + (Х2к-1 + Х2к — 2£к(Т))

к=1

дают метод решения обратной задачи.

3. Основная теорема

Основной результат настоящей работы заключается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть д(х, Ь) решение задачи (1)-(4). Тогда границы Хп(1), п ^ 0 спектра следующего оператора

Ь(^у = — у11 + g(х, % = ^, х Е К1 (6)

удовлетворяют уравнениям

Хп(Ь) = !(1), п ^ 0, (7)

а спектральные параметры £п(£), п ^ 1 удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина-Трубовица:

£п(і) — 4(Гп(і)[д(0, і) + 2£п(і)] ■ V(£п(і) - А2»_і(і))(А2»(і) - £п(і)) х

х

\

к„и -мадП- А2кт + ;«), п > і,

( к( ) - п( ))2

к=1

к=п

где знак ап(Ь) меняется на противоположный при каждом столкновении точки £п(£) с границами своей лакуны [Х2п-1(£), Х2п(1)]. Кроме того, выполняются следующие начальные условия:

€пШ= = сп, ^п(^)\1=о = °п, п ^ ^.,

где ^, ^п, п ^ 1 — спектральные параметры оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д0(х).

Доказательство. Обозначим через уп(х, ¿), п = 1, 2, ... ортонормированные собственные функции задачи Дирихле (у(0) = 0, у(п) = 0) для уравнения (6), соответствующие собственным значениям п( ), п = 1, 2, ... . Дифференцируя по тождество ( Ь( ) п, п) = п и используя симметричность оператора Ь( ), имеем

Сп (^(Ь')Уп + ЧгУп-) Уп) + (^/(^)Упі Уп) (Уп) Уп) + (^/(^)Упі Уп) + (Ч$Упі Уп)

к

— £,п((Уп,Уп)) + (ЯіУп,Уп) — ! Я^Х^^п(Х,І)—Х.

о

Здесь (■ , ■) скалярное произведение пространства Ь2(0, к). Используя (1), равенство (9) перепишем в виде

Іп — Яхххуп —х - 6 дхуп(дуп)—х + /(і). (10)

Применяя формулы интегрирования по частям в (10), получим

£п — у уп<кхх - 6у (£пУп + у'пуп)аЯ + ї(і)

оо

к

-У2П ЯххЦ - ] 2УпУ'п—Чх - ЩпУ2п + У'пУп) я\1 + о

к

+6 (2£пУпУ'п + У'ШУп + У'пУ'п)Ч—Х + f (І) —

2УпУп Ях\и + 2 ((Уп) + УпУп )—д+

+6] {2Спу'п ■ (^Уп) + у'п ■ (ЧУп)}—х + у у'пІпд—Х + f (ґ) оо к

— 2((у’п)2 + упу’п) о\1- 2 [{3у’пу’п + упу’п}я—х+

к

к

к

к

к

к

к

+ 12{ІпУпУ'п + у'пУп}—Х + 6У {СпУ^Уп + у'п^Ш}—х + ^ у'пу'пя—Х + І(і)

о о о

у'пТ0-\1 + 4 {£пуп'уп + у’пу’п}—х + 6йу2п 1к + 6Сп(у’п)2\:

2(у'п)2 (я + Чп) \к + Чп Уп—у'п + 2 (у'п)2 \ к + /(І)

ъп)\о 1 ^п Уп

о

к

2(у'п)2 (Я + Чп К + ЧпУп Уп\к0 - У'пУ"паХ + /(І) —

о

— 2(у'п)2 (Я + 3Сп) \ к - 2Сп (у'п)2\0 + / (1).

Таким образом,

— 2[(у'п(п,і))2 - (у'п(0,т ■ [д(0,і) + 2Ш] + ґ(І). (11)

Обозначим через с(х,А,Ї) и з(х,А,і) решения уравнения (6), удовлетворяющие начальным условиям с(0,А,і) — 1, ё(0,А,і) — 0 и в(0,А,і) — 0, ё(0,А,£) — 1. В этом случае, функция Ляпунова определяется равенством А(А, Ь) — с(гк, А, Ь) + з'('її, А, Ї).

Полагая А — £п(і) в тождестве

;>п \ к

2, л .чл // л ^$(К,А,Ї) , л ^д28(К,А,ї)

в (х,Х,t)dх = в (п,Х,£)--------—-------в(п,Х,1)

] оХ иХ и х

0

и пользуясь равенством в^,^^)^) = 0, получим

К сЩ*) = J ^ (х,£п^),г)^ = ё (п,£п^),г) дв(п,^п(1'),1\

0

В частности, отсюда следует, что

д8(п,$п(г),г)

8Х9П' дА Подставляя следующее выражение

| — 8ідп{з' (ж,Іп(і),і)}. (12)

Уп(х,І) — 8(х,£п(ї),І)

Сп(І)

в равенство (11), имеем

. & ('її,^п(І),І) ,/_ * /.) ,\

Ш — 2[Я(0, і) + 2Ш]----------------д8(к,еп(і),і) ,п ’ ' + ї(і). (13)

д\

Подставляя значения х — п и А — £п (ї) в тождество

с(х, А, і)з'(х, А, і) - ё(х, А, і)з(х, А,ї) — 1,

находим

с(п,£п(і),і) — ]( .

С помощью (14) и равенства

[с^, А, і) - ё(к, А, і)]2 — (А2(А, і) - 4) - 4с'(к, А, і)в(к, А, і),

к

к

к

к

к

получим

8'(гк,^п(),^ -( р (,),) = — г (( ~1 (,),), vд(m;w-~4, (15)

« (п, £п(ч, ^) 5 г9п{э'(п, ^п(Ь), ь)}

где ап(1) = вгдп{в (п, ^п^), Ь) — 1}. Используя (12) и (15), выводим

1

81(П , ^ 8'(К,ЦПЦ), I) = (,)

дз(х,(г),г) <*п( )

дХ

Из разложений

\

Д2( íп( I), I) — 4

дзккАвОЛ0х 2

дХ

( \ +\ П ^>к (^) — Х

8(ТГ,Х, 1) п[1 --------------,

к=1

и

Д2(Х, I) — 4 = —4п2(Х — >0(1)) • П (Х — Х'2к-1(1)}Х — Х2к^

К

к=1

следует, что

дз(х,£„(г),г)

^ (п, ^п(£) , ^ „/(К р (+) +) ,-----------------------------------

--------д„х ^„) « = 2тп(Ь) V(Ш — Х2п-1(£))(Х2М — Ш) X

дХ

X

\

(С (+) Х (+)) 1Т (£п(^ — Х2к-1 (£))( Сп(^ — Х2к (^)) ( )

(&(0 "Х°(г))П---------(&( 0 — Ш)2-------------------------------------■ (16)

к=1

к=п

Из (12) и (16) следует (8).

Известно, что границы Хп(1), п = 0, 1, 2, ... спектра оператора (6) совпадают либо с собственными значениями периодической задачи, либо антипериодической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (6). Обозначив через Уп(х, Ь) нормированную собственную функцию, соответствующую собственному значению Хп(Ь), периодической или антипери-одической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (6), действуя вышеприведенным образом, выводим равенства (7). Теорема доказана.

4. Следствия из основной теоремы

Следствие 1. Если мы вместо д(х, Ь) рассмотрим д(х + т, ¿), то собственные значения периодической и антипериодической задачи зависят только от параметра , а собственные значения £п задачи Дирихле и знаки ап зависят от т и ¿: £п = £п(т, ¿), ап = ап(т, Ь) = ±1, п ^ 1. В этом случае, система (8) примет вид

^ ) = 4ап(/T, ¿)[(1(т, 'О + 2Сп] • у/(Сп — Х2п-1)(Х2п — Сп) х

X

\

(С \ (€п — Х2к-1)($п — Х2к) ,

(£п — ---------------------(^ — ^ )2- + f(t), п > 1 (17)

к = 1

к=п

Используя формулу следов

<Х>

Я(т 1 = Х0 + [Х2к-1 + Х2к — 2Ск(Т-, , (18)

к=1

уравнение (17) можно написать в следующем замкнутом виде

^ ) = 4&п(т, Х0 + (Х2к-1 + Х2к — 2Ск) + 2Сп ^ • \/(Сп — Х2п-1)(Х2п — Сп) х

X

\

(Сп — Ао

к=1

к=п

(Сп — А2к-1)( Сп — А2к )

(£к - £п ) 2

+ f(t), П > 1.

Действительно, обозна-спектральные данные

Следствие 2. Эта теорема дает метод решения задачи (1)-(4 чим через Ап(і), п — 0, 1, 2, ... , £п(т, і), гп(т, £), п — 1, 2, . задачи

- у" + я(х + т, Ї)у — Ау, х Є Я1.

Найдём спектральные данные Ап, п — 0 1 2, ... , C(т), ГП(^^), п — ^ >2, уравнения

- У11 + Яо(х + т)у — Ау, х Є Я1.

Решая уравнения (7) с начальными условиями Ап(і)\І=0 — Ап, п — 0, 1, 2,

І

ап + 1'(8)—8, п — 0, 1

для

находим

An(t)

2,

(20)

Далее, решаем задачу Коши

Cп(r,г)\і=о — C(т), Гп(r,г)\і=о — гП(т), п —1, 12, ...

для системы уравнений Дубровина-Трубовица (19). По формуле следов (18) находим решение д(т, Ї) задачи (1)-(4).

Замечание 1. Из равенств (20) видно, что спектр оператора Штурма-Лиувилля (6) двигается на оси, сохраняя начальную структуру, т.е., длины лакун не меняются.

Следствие 3. В работе [18] доказана следующая теорема: для экспоненциального убывания длин лакун оператора Штурма-Лиувилля с ^-периодическим действительным коэффициентом необходима и достаточна аналитичность этого коэффициента. Отсюда выводим, что если начальная функция до(х) является действительной аналитической функцией, то длины А%П - А2П-1 лакун, соответствующие этому коэффициенту, убывает экспоненциально. Так как длины лакун, соответствующие коэффициенту д(х, ¿), не зависят от , значит, ( х, ) является аналитической функцией по х.

Следствие 4. В работе [20] доказано обобщение обратной теоремы Борга: для того чтобы ^-периодический действительный потенциал оператора Штурма-Лиувилля имел период П, необходимо и достаточно исчезновения всех лакун, номера которых не делятся на п. Здесь п ^ 2 натуральное число и лакуна (А2к-1, А2к) имеет номер к. Поэтому, если до(х) имеет период П, то решение задачи (1)-(4) д(х, Ь) является П-периодическим по х.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность проф. А.Б.Хасанову (Ургенчский государственный университет, Узбекистан) за обсуждение работы и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I// Функц. анализ и его прил. 1974. T. 8, № 3. C. 54-66.

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосоли-тонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // ЖЭТФ. 1974. T. 67, № 12. C. 2131-2143.

3. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Матем. Сб. 1974. T. 95, № 3. C. 331-356.

4. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. ан. и его прилож. 1975. T. 9, № 3. C. 41-51.

5. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные

решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ. 1975. T. 23, № 1. C. 51-68.

6. P. Lax Periodic solutions of the KdV equations // Lecture in Appl. Math. AMS. 1974. V. 15.

P. 85-96.

7. P. Lax Periodic Solutions of the KdV equation // Comm. Pure Appl. Math. 1975. V. 28. P. 141-188.

8. H.P. McKean, E. Trubowitz Hill’s operator and Hyperelliptic Function Theory in the Presence of infinitely Many Branch Points // Comm. Pure Appl. Math. 1976. V. 29. P. 143-226.

9. Мельников В.К. Метод интегрирования уравнения Кортевега-де Вриса с самосогласованным источником // Препринт. Дубна. 1988.

10. V.K. Mel’nikov Integration of the nonlinear Schrodinger equation with a source // Inverse Probl. 1992. V. 8. P. 133-147.

11. J. Leon, A. Latifi Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J.Phys. A: Math. Gen. 1990. V. 23. P. 1385-1403.

12. Уразбоев Г.У., Хасанов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега- де Фриза с самосогласованным источником при начальных данных типа “ступеньки” // ТМФ. 2001. T. 129, № 1. C. 38-54.

13. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал. 2003. № 2. C. 53-59.

14. P.G. Grinevich, I.A. Taimanov Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2008. V. 224. P. 125-138.

15. A.Yu. Orlov, E.I. Schulman Additional symmetries for integrable equations and conformal algebra representation // Lett. Math. Phys. 1986. 12, 3. P. 171-179.

16. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций // Теорет. мат.физ. 164:2. 2010. C. 214-221.

17. Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР. 1970. T. 192, № 1. C. 34-37.

18. E. Trubowitz The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure. Appl. Math. 1977. V. 30. P. 321-337.

19. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: “Наука”. 1984. 240 с.

20. H. Hochstadt A Generalization of Borg’s Inverse Theorem for Hill’s Equations // Journal of mathematical analysis and applications, 102. 1984. P. 599-605.

Алишер Бекчанович Яхшимуратов Ургенчский государственный университет, ул. Х.Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]