Интегрирование уравнения типа периодической цепочки Тоды Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 17-24.

УДК 517.957

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДЫ

Б.А. БАБАЖАНОВ, A.B. ХАСАНОВ

Аннотация. В этой работе метод обратной спектральной задачи применяется к интегрированию уравнения типа периодической цепочки Тоды. Для однозонного случая выписаны явные формулы для решения аналога системы уравнений Дубровина, и тем самым, для рассматриваемой нами задачи. Эти решения выражаются в терминах эллиптических функций Якоби.

Ключевые слова: Цепочка Тоды, дискретный оператор Хилла, обратная спектральная задача, формулы следов.

Mathematics Subject Classification: 34К29, 37К15, 39А10

1. Введение

Цепочка Тоды [1]

д 2и

= exp(un-i - ип) - exp(un - un+i), n G Z,

описывающая динамику частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием в переменных Флашке [2], имеет вид

à n &n(pn bn+1)

bn = 2(a2n-i - an), n G Z.

В работах [2]-[4] показана интегрируемость цепочки Тоды методом обратной задачи рассеяния в быстроубывающем случае. Периодическая цепочка Тоды рассматривалась в работах [5]—[13].

В данной работе рассматривается ^-периодическое уравнение типа цепочки Тоды

¿in a,n(an+i o>n-1) + a,n(bn+i bn)

bn = 2a2n{bn+i + bn) - 2a2n-iibn + bn-i) (1)

ttn+N = Un, bn+N = bn, ün > 0, П g Z, при начальных условиях

«n(0) = al bn(0) = hi n G Z, (2)

с заданными ^-периодическими последовательностями an, bn, n G Z. В системе (1) {an(i)}^°c», {bn(t)}"" - неизвестные функции.

Непосредственным вычислением можно проверить, что система уравнений (1) эквивалентна следующему операторному уравнению

^ = BL - LB, dt

где

(L(t)y)n

= On-iVn-i + bnVn + ^nУп+I ,

{

В.A. Babajanov, A.B. Khasanov, Integration of equation of Toda's periodic chain kind. © Бабажанов Б.A., Xacahob A.B. 2017. Поступила 12 мая 2016 г.

(В(£)у)п = ап^п+1Уп+2 + ап(Ьп + Ьп+1)уп+1 — ап-1(Ьп + Ьп-\)уп-\ — ап—1ап—2уп—2, т.е. Ь и В являются парами Лакеа для системы (1), Следовательно, система уравнений (1) является интегрируемой, и следовательно, имеет бесконечное число симметрий [14], [15], Например, цепочка Тоды является симметрией системы (1):

= о>п{Ьп — Ьп+1),

где ап = ап(Ь, т),Ьп = Ьп(Ь, т).

Отметим, что рассматриваемая система (1), подобно [16], [17], может быть использована в некоторых моделях специальных типов линий электропередач,

В этой работе получено представление для решений задачи (1)-(2), в рамках обратной спектральной задачи для дискретного уравнения Хилла

= 1 Уп— 1 + Ьпуп + апуп+1

= Ауп, (3)

а именно, найден аналог системы уравнений Дубровина для спектральных параметров дискретного оператора ¿(¿).

Хорошо известно, что разрешимость системы уравнений Дубровина в терминах тета-функций в случае периодической цепочки Тоды изучена в работах [6], [7], Основная часть этих работ заключается в том, что решение обратной задачи по спектральным данным уравнения (3) было сведено к проблеме обращения Якоби абелевых интегралов и выведены явные формулы в терминах тета-функций для коэффициентов дискретного оператора Ь(Ь) и, тем самым, найдено решение цепочки Тоды, Аналогичные результаты имеют место и для рассматриваемой в данной работе задаче. Это видно из примера применения основной теоремы представляемой работы, в частном, однозонном случае, который приведен в конце статьи. Для однозонного случая выписаны явные формулы для решения аналога системы уравнений Дубровина, и тем самым задачи (1)-(2), которые выражаются в терминах эллиптических функций Якоби,

2. Необходимые сведения о прямой и обратной спектральной задаче

для дискретного уравнения хилла

В данном параграфе будут приведены необходимые для дальнейшего сведения о прямой и обратной спектральной задаче для уравнения Хилла [2, 9], Рассмотрим уравнение Хилла

(Ьу)п = ап—1уп—1 + Ъпуп + апуп+1 = Ауп, (4)

0"П+М = о,п, Ъп+н = Ьп, п е %, со спектральным параметром А и периодом N > 0, Обозначим через 0п(\), п Е ^ и рп(\), п Е Z решения уравнения (4) при начальных условиях

0о(А) = 1, 01(А) = О, ЫА) = 0, ^1(Х) = 1.

Обозначим

через А1, А2, ..., А2N корни уравнения

А2(А) — 4 = 0, а через , ^, ..., —1 корни уравнения

дм+1(А) = 0,

где А(А) = (А) + Как известно (см, [2]), все Хг, г = 1, 2, ..., 2И и

, ] = 1, 2, ..., N — 1 являются действительным и, корни простые, а среди корней \г могут встречаться двухкратные. Нетрудно видеть, что

Д2( Л) - 4

(М \—22М

1Ь п

3 = 1 / 3 = 1

( Л -Л,),

(5)

+1( Л) = - ао

(М \-1 N-1

1Ъ П

3=1 / 3=1

( Л ).

(6)

Введем обозначение

а^ = 5ъдп[вм(ц^) - )], 3 = 1, 2, ..., N - 1.

Определение 1, Набор чисел з = 1, 2, ..., N - 1 и последовательности знаков а^, ,7 = 1, 2, ..., N - 1 называются спектральными параметрами уравнения Хилла (4),

Определение 2. Набор, состоящий из спектральных параметров ,а^и чисел Лг, г=1, 2, ..., 2N, называется спектральными данными уравнения Хилла (4),

Нахождение спектральных данных и изучение их свойств называется прямой спектральной задачей для дискретного уравнения Хилла, Восстановление коэффициентов ат Ьп уравнения Хилла по его спектральным данным называется обратной спектральной задачей для уравнения (4),

Справедлива следующая лемма Лемма. Имеют место равенства:

м-1

Ьк+1 = 1 о 2М (Л2з + Л2з+1 - 2^3,к),

2

2

3=1

Л2 + Л2 1 М-1 ак = 1 8 2И + + Л^+1 - -3=1

(7)

1 2 2М + 2 ^ (Л2j + Л2з+1 - 2^3,к) 3=1

2М

1 аз,к\1 П (^3,к - Лг)

г=1

1

N-1

3=1 П (^3,к - Vг,к)

г = 1

(8)

=

где Vj,k, 3 = 1, 2, ..., N - 1 корни уравнения (Л) = 0, Здееь (Л) п € Z решение

уравнения

^п+к—1Уп— 1 + Ьп+кУп + ^п+кУп+1 = ЛУn, п € Z,

удовлетворяющее начальным условиям ( Л) = 1, ( Л) = 0, Доказательство равенств (7) и (8) имеется в работе [11],

2

3. Эволюция спектральных параметров

В этой части статьи будет доказан основной результат данной работы.

Теорема. Если функции ап(1), Ьп(1), п € Z, являются решением

(¿); 3 = 1, 2, ..., N - 1 удовлетворяют следующей системе уравнений

12 N

ъ (*) П (^ ^) - Лк)

V к=1

^ з = --^ (1) + ЬШ

I! (^ (^ т

к = 1

=

где

л + Л ^N-1 Ьг(1) = —^ + зЕ (Х2к + Л2к+1 - 2^кШ

к=1

Доказательство. Обозначим через уз(Ь) = (у0(Ь), у31 (1), ..., у^(Ь))т^ = 1, 2, ..., N — 1, нормированные собственные вектор-функции, соответствующие собственным значениям Л = (Ь), ] = 1, 2, ..., N — 1, следующей граничной задачи

!

(L(t)y),n = an-iУп—1 + bnyn + anyn+i = \уп, 1 <п < N У1 = 0, yN+i = 0. В работе [11] было показано, что

N

/(t) = J2 (2an(t)уПУ1+1 + bn(t)(у3п)2). (9)

п=1

На основании (1), равенство (9) можно переписать в виде

N

//3(t) = 2[an(ct>n+i — an-i) + an(bn+i — ^n)]уПуП+1 +

n=l N

+E [2a2n(bn+i + bn) - 2a2n-l(bn + bn-i)](y3n)2. (10)

n=l

В равенстве (10) введем следующее обозначение

Fn = 2[an(a2n+i — a2n-i) + an(b2n+i — b2n)}уПу3п+1 +

+ [2a2n(bn+i + bn) - 2o2-i(bn + bn-i)](y3n)2. (11)

Найдем последователность un, такое, что un+l — un = Fn. Ищем un в виде

Un = An(y3n )2 + 2Bny3ny3n+i + Cn(yL+i)2, (12)

где An = An(t, /j), Bn = Bn(t, /j) и Cn = Cn(t, /3) пока неизвестные коэффициенты. Учитывая равенсво

1

У3п+2 = [(/j — bn+1) У3п+1 — Onlfn ], Q>n+i

имеем

(An+i — Cn)(y3n+i)2 — An(y2n )2 — 2B,ny3ny3n+i+

+ ~Bn±1 У2г+1[(/3 — bn+1) у2п+1 — a,ny3n] + Ct1 (/3 — bn+1)2(y2n+i)2 — Cln+1 Q>n+l

Щ^а^/ — bn+1) y3ny3n+i + C2rla2n( y3n ? = Fn. (13)

an+1 an+1

Из (13) получим

-Вп--Вп+1--(^2-Сп+1 = ап(а^+1 — а2п—1) + ап(Ь^+1 - Ъ2¡l), (14)

0"п+1 О,п+1

2 ,, ^ 1 , , а.

и,2

-Сп—1 + (/ — Ьп)Вп + ^(/з - Ъп) Сп + 2^-Сп+1 = о,п ап У'п+1

= 2а2п(Ьп+1 + Ьп) - 2а2—1(Ьп + Ъп—1). (15)

Нетрудно видеть, что

Сп = 2а2(/ + М,

Вп = ап(а2п—1 - а2п + Ъ2п - /2), являются решениями системы (14) и (15), В силу (12) имеем

N

М СО = X] [2Ма™+1 - ап—1) + а™(Ьп+1 - ОУ]пУ3п+1} +

п=1

N

+£ [[2а2п(Ьп+1 + Ьп) - 2а2п—1(Ьп + Ъ—Жу>п)2} =

N

'Мп(Ьп+1 + Ьп) - 2а2п—1(ип + ип—1)](уга)

га=1

= См+1 (уЪ+2)2 - СМ)2 = 2а20(/, + Ъ1)[(у>„)2 - Ы)2]. (16)

Учитывая равенства

N

Г'||2 = £ (%)2 = К+1)'\х=н , (<?)' = -Л,

п=1

2 (О 0 )2 (О Ъ )2

(Уо) = гг, (Ы = це.-ц2;

уравнение (16) можно переписать в виде

/(¿) = 2ао( %(/(г), г) - 1 ) ——1\--/(*) + 61]. (17)

V вм(/з (t), V )

—

^(/(«),г)) »+1)'\Д=1Ч„,

Используя равенство

( Л, +1(Л, г) - вм+1(Л, ( Л, г) = 1

имеем

Д2(/(*)) - 4 = [<(/(*), ¿) - ^м+М(*), ¿)]2 + 4<(/(*), ¿)^+1(/(*), ¿) - 4

К(/(*),*) - <+1 (/(*),¿)]2 = ^(/(г),г) -

Отсюда находим

VJN (Hj (t), t) -— 1 Un

где

%(Pj(t), t) - üj . . . . = aj(t)JA2(pj(t)) - 4, (18)

°n (HJ W, t) v

aj(t) = signidÑ(¡ij(t), t) - j 1 ), j = 1, 2, ..., N - 1. V ^n (hj (Ч, t) j

Из разложений (5) и (6) следует, что

Д2(А) - 4= а* \\(А-Хк), (19)

(N \-22N

Ib П

к=1 / к=1

f N \-1 N-1

1Ь П

\j=1 / к=1

Bn+i( А, t) = -а0 а, ( А -Нк(t)). (20)

=1

Дифференцируя разложение (20) по А и полагая А = ^j (t), имеем

-1 1

(N \-1 N-1

ПаИ п

к=1 7 ь. _

(^(г) (г)). (21)

к = 1 к = 3

Подставляя (18), (19) и (21) в (17) и учытивая равенство (7), получим равенство (9),

Теперь покажем, что Лк(¿) не зависит от ¿. Пусть {дп(£)} - нормированная собственная функция оператора ¿(¿), соответствующая собственному значению Лк(I), к = 1, 2, ..., 2N, т.е.

ап-1 дп-1 + Ьпд,п + апдп+1 = лкдп. Дифференцируя это равенство по ¿, умножая на д/п и суммируя по п, получим

-А N

-А- = £ (2an(t)дкпдкп+1 + bn(t) {дкп)2). (22)

п= 1

Используя уравнения (1), равенство (22) можно переписать в виде

N

АкW = Е {2[ап(аП+1 - аП-1) + ап(ЬП+1 - ьп)]дП,дк+1}+

п=1 N

.2/7 , 7 4 о„2 п , 7 м ,к\2л

+Е {[2ап(Ьп+1 + Ьп) - 2а2п-1(Ьп + Ъп-1)](дкп)2}. (23)

п=1

Аналогично (16), из (23)выводим Ак(t) = 0, Таким образом, из равенства (21) и неза-

А к ( )

доказана.

Замечание. Эта теорема дает метод решения задачи (1 )-(•">). Для этого сначала найдем спектральные данные Аг, ^j(0), aj(0) по заданным последовательностям {а^} и {Ь^. Затем, используя приведенный в работе [12] алгоритм решения обратной задачи, определим hj,* (0), gj,* (0) Применяя доказанную теорему, вычислим ^j,* (t), aj,к (t). С учётом независимости от к и t собственных значений Аг,к, используя равенства (7), (8), находим ак(t),

Ьк(t).

N = 2

ноетей {а^} и {Ьп}, то все корни уравнения Д( А) + 2 = 0 являются двухкратными. Так как

функция Ляпунова, соответствующая коэффициентам ап(Ь) и Ьга(¿), совпадает с Д(Л), то

является также периодом для решения ап(£), Ьп (¿) то перемен ной п.

Проиллюстрируем, применение основной теоремы для решения задачи (1)-(2) при начальных условиях

5 3 1

ю2=8 - (-1Г ■ 8, ь°п=2, п €Z.

В этом случае

N = 2, Л1 = -1, Л2 = 0, Лз = 1, Л4 = 2, /(0) = 1, а(0) = 1. Используя вышеприведенное замечание, получим

«2 (*) = 1 (1 + МО - м2(*)) - (-1)"2^м(*)(м(*) - 2)(м2(0 - 1),

1 (-1)га ^(*) = 1 - (-2^(1 - 2/(0), п GZ,

/( )

¿/(Ь) (И

= л//(0(2 -/(¿))(1 -/2(0),

с начальными условиями /(0) =

Решая это уравнение при начальном данном /(0) = 2 (см, [19]), находим, что

/( )

5 п2 (¿- ¿о, 43)

1 + сп2 ^ - и, 4г)

где 5 п ^Ь0, 43) = - Таким образом,

5 1 /1 - 3 сп2 (г- и,43

а'п(1) =8 - 2

1 + сп2 (г- и, 43)

-(-1)

2 8п (* - ¿0, 43) сп (* - ¿0, 43) с1п (* - ¿0, 43)

2

(1 + сп2 (¿- ¿0, 43))

- С " 1-10• ^', , п

22

1 + сп2 (г- ь, 43)

где 5 п, сп и йп суть эллиптические функции Якоби,

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М. Toda Waves in nonlinear lattice. // Suppl., Progress Thoer. Physics, 1970. 45. P. 174-200.

2. H. Flaschka On the Toda lattice. II. // Progress Theor. Physics. 1974. 51. № 3. P. 703-716.

3. M. Toda Theory of Nonlinear Lattices. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1981.

4. Манаков С.В.О полной интегрируемости и cm,охает,изации в дискретных динамических системах // Журн. эксп. и теорет. физики. 1974. 67, № 2. С. 543-555.

5. Дубровин Б. А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук. 1976. 31. № 1. С. 55-136.

6. Date Е., Tanaka S. Analog of inverse scattering theory for discrete Hill's equation and exact solutions for the periodic Toda lattice // Progress Theor. Physics. 1976. 55. № 2. P. 217-222.

7. Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения // Успехи мат. наук, 1978. 33, № 4. С. 215-216.

8. Самойленко В.Г., Прикарпатский А.К. Периодическая задача для, цепочки Тода // Украинский мат. журнал. 1982. Т. 34, № 4. С. 469-475.

9. G. Teschl Jacobi Operators and Completely Integrable Lattices. Mathematical Surveys and Monographs, vol.72, AMS, 2000.

10. P.G. Grinevich, I.A. Taimanov Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2008. V. 224. P. 125-138.

11. B.A. Babajanov, M. Feckan, G.U. Urazbaev On the periodic Toda Lattice with self-consistent source // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. V. 20, Issue 3, 2014.

12. Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б. О периодической цепочке Тоды, с нтеграль-ным источником // ТМФ, 2015. Т. 184, № 2. С. 253-268.

13. Бабажанов Б.А. Об одном, методе интегрирования периодической цепочки Тоды // УзМЖ. 2015. № 2. С. 16-24.

14. Ямилов Р.И. Условия интегрируемости для, аналогов релятивистской цепочки Тоды // Теор. и мат. физ. 151:1. 2007. С. 66-80.

15. R. Yamilov Symmetries as integrability criteria for differential difference equations // J. Phvs. A: Math. Gen. 39 (2006) R541-R623.

16. C. David, G.-J. Niels, A.R. Bishop, A.T. Findikoglu and D. Reago A perturbed Toda lattice model for low loss nonlinear transmission lines // Phvs. D: Nonlinear Phenom. 1998. 123. P.291-300.

17. J. Gamier and F.Kh. Abdullaev Soliton dynamics in a random Toda chain Phvs. 2003. Rev. E 67 026609-1

18. H. Hochstadt On the theory of Hill's matrices and related inverse spectral problems // Linear algebra and its applications. 1975. V. 11. P. 41-52.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.. Физико-математическая литература, 1963.

Базар Атажанович Бабажанов, Ургенчский государственный университет, ул. Хамид Алимджон, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистон E-mail: а. murod@mail. ru

Акназар Бекдурдиевич Хасанов, Ургенчский государственный университет, ул. Хамид Алимджон, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистон E-mail: [email protected]