CC BY
31
< Nx
— 1
"n3 + 1
nj+1-1 » — — + Ian.+i| + У] \ak - ak+1| < —1 (fin, + Pnj+i) < —
I 3 I I x y 3 xn
(11)
k=n,
Поскольку по лемме 4 ряд ^ 1/п3- сходится, то из (11) следует сходимость ряда (10) при х £ (0,1).
3 = 1
Далее,
Пз il —1
£ akXk(x)
k=n,
dx =
>1/r
Согласно (11) находим, что
n, il —1
£ akXk(x)
k=n,
dx +
1/n3
n, Il —1
£ akXk(x)
k=n,
dx =: Ixj + I2j.
\I2j \ < —2 n- 1 / x 1 dx < —2 ln nj/nj .
h/n,
(12)
С другой стороны, по теореме 2 из ограниченности {квки {аквытекает, что частные суммы акХк (х) равномерно ограничены константой С3, поэтому
\ I1 \ <
1/n,
—з dx < —з n—1.
(13)
Из оценок (12) и (13) следует
, 1 œ
Е
=1
n,+ 1 — 1
Y^ akXk (x)
k=n,
dx < ^^ (I1j + I2j) < —4 ^^(ln nj + 1)/nj < œ. j=1 j=1
Теорема 3 доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).
Библиографический список
1. Голубов Б. И. Ефимов А. В. Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987. 344 с. [Golubov B., Efimov A., Skvortsov V. Walsh series and transforms. Dordrecht; Boston; London : Kluver Academic Publishers, 1991.]
2. Тихонов С. Ю. О равномерной сходимости тригонометрического ряда // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 2. С. 304-310. [Tikhonov S. Yu. On the uniform convergence of trigonometric series // Math. Notes. 2007. Vol. 81, № 2. P. 268-274.]
3. Leindler L. On the uniform convergence and bounded-УДК 517.984
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР С НЕГЛАДКОЙ ИНВОЛЮЦИЕЙ
В. А. Халова, А. П. Хромов
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected], [email protected]
Для интегрального оператора с негладкой инволюцией установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье.
Ключевые слова: интегральный оператор, инволюция, резольвента.
ness of a certain class of sine series // Analysis Math. 2001. Vol. 1, № 4. P. 279-285.
4. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 с. [Agaev G. N, Vilenkin N. Ya., Dzafarli G. M, Rubinstein A. I. Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-Dimensional Groups. Baku : Elm Publisher, 1981. 180 p.]
5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физ-матгиз, 1961. 936 с. [Bari N. K. Trigonometric Series. Moscow : Fizmatgiz, 1961. 936 p.]
Integral Operators with Non-smooth Involution V. A. Khalova, A. P. Khromov
The equiconvergence of expansions in eigen- and associated functions of integral operators with non-smooth involution and trigonometric Fourier series are established.
Keywords: integrals operator, involution, resolvent.
1
1
,
0
0
1
0
œ
со
0
© Халова В. А., Хромов А. П., 2013
Пусть А — оператор вида
1(х)
Af = A(tf(x),t)f(t) dt, (1)
о
где ядро A(x,t) непрерывно по x и t вместе с производными Ax, At, Axt, Ax2t, Axt2
= ds+j lxs tj dxsdtj
(Axstj = dXSdtj A(x,t^ при 0 < t < x и A(x,x) = 1,
$(x) = <
х + 1, х е [0,7], 7 7 < 1/2.
^(х - 1), х е [7,1],
Функция $(х) непрерывна, монотонно убывает, $(0) = 1, $(1) = 0, $2(х) = $($(х)) = х. Таким образом, $(х) — инволюция, производная которой имеет разрыв в точке х = 7.
В статье [1] изучен оператор вида (1) в том случае, когда инволюция $(х) есть произвольная трижды непрерывно дифференцируемая на [0,1] функция и $'(х) < 0. Для этого оператора установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье на отрезке [е, 1 — е] при любом е > 0. В настоящей статье рассмотрен случай, когда $'(х) разрывна при х = 7, что создает дополнительные трудности в получении теоремы равносходимости. Оказывается, в этом случае равносходимость будет иметь место лишь при [е, 7 — е] и [7 + е, 1 — е].
Введем непрерывную, монотонно возрастающую на отрезке [0,1] функцию:
<(т) = (^ Т 2 1/2, (2)
\ 2(1 — 7)т + 27 — 1, т > 1/2.
Отсюда
)=! * .....«е (3)
2(1—тУК + 1 — 27], « е [7,1] Лемма 1. Имеет место формула <-1($(<(т))) = 1 — т Доказательство. В силу (2) имеем:
0(р(т)) = {
ф) + 1, ^(т) е [0,7!,
(р(т) - 1), ^(т) е [7,1!
7_1
2^т + 1, т < 1/2, = (2(7 — 1)т + 1, т < 1/2,
[2(1 — 7)т + 27 — 1 — 1], т > 1/2 (1 — т), т > 1/2
Учитывая (3), получаем:
,-т($(<(т))) = (2^$(<(т)) $(<(т)) е М, =
[$(<(т)) + 1 — 27], $(<(т)) е [7,1]
( 2ту$(<(т)), т > 1/2, = Г 2ту [—27т + 27], т > 1/2, = ^ т
[$(<(т)) + 1 — 27], т < 1/2 \2T-Yy[2(7 — 1)т + 1 + 1 — 27], т < 1/2 Т'
Лемма доказана. □
Положим Т/ = /(<(х)). Тогда Т-1 / = /(<-1 (х)). Лемма 2. Имеет место формула
1-х
А/ = ТАТ-1/ = I А1 (1 — х, *)/(*)
о
где А1 (х, £) = А(<(х), <(£))<'(£).
Доказательство. Имеем
1(х)
АТ / = у А($(х),*)/(<"А(*)) С*.
о
Выполним в интеграле (4) замену переменных т = <-1 (*):
<Р-1($(х))
АТ-1/ =
А($(х), <(т))<'(т)/(т) ¿т.
(4)
Отсюда, учитывая лемму 1, получаем:
(^(х)))
ТАТ-1/ =
А($(<(х)),<(т))<(т)/(т) Ст =
о
11 - х 11 - х
= I А(<(<-1 ($(<(х)))),<(т))<'(т)/(т) Ст = I А1(1 — х,*)/(*) С*.
оо
Лемма доказана.
Лемма 3. £сли у = Л1>л/, где Л1>л = (Е — ЛА1 )-1 А1, то
1
— (Е + N) (у'(1 — х)) — Лу(х) = /(х),
У(1)=0,
□
(5)
(6)
где (Е + N) = (Е + N1)4 N1 / = / ^(х,*)/(*) С* и N1 (х,*) = —— А'1х(х,*).
< (х)
Доказательство. Пусть у = Л1>л/. Тогда
11 - х
11 - х
у(х) — Л / А1(1 — х, *)у(*) С* = А1 (1 — х, *)/(*) С*.
(7)
оо
Отсюда справедливость (6) очевидна. Далее, выполнив в (7) замену х на 1 — х и продифференцировав полученное выражение по х, получим:
—у'(1 — х) — Л
</(х)у(х)+ / А1,х(х,*)у(*)
= <'(х)/(х)+ / А' (х, *)/(*) С*.
(8)
Разделив (8) почленно на <'(х) и применив оператор (Е + N), приходим к утверждению леммы. □ Действуя так же, как и в работе [2], получаем следующую теорему. Теорема 1. Для любой /(х) е £[0,1] имеет место следующее соотношение:
Нш
г^те
[Д1,л — Д2,л /¿Л
|Л|=г
= 0,
1-х
норма в £те[0,1].
где Я2,л = (Е — ЛА2)-1 А2 и А2/ = / (*)/(*) С*, || ■
о
Лемма 4. £сли у = Л2,л/, то--—— у'(1 — х) — Лу(х) = /(х), у(1) = 0.
< (х)
Эта лемма очевидна.
Пусть у = Л2,л/. Положим у1 (х) = у(х), у2(х) = у(1/2 — х), уз(х) = у(1/2 + х), у4(х) = у(1 — х)
при х < 1/2. Так как в силу (2) (х) =
a, х < 1/2
b, х > 1/2 !
где а = 27, Ь = 2(1 — 7), и Ь > а > 0, то вектор
(у1 (х),у2(х),у3(х),у4(х))т (Т — знак транспонирования) удовлетворяет следующей краевой задаче:
у4(х) — Лау1 (х) = а/1 (х), —у1(х) — ЛЬу4(х) = Ь/4(х),
(9)
х
х
х
те
—Уз (ж) - Аау2(х) = а/2(ж) у2 (ж) - А%3 (ж) = ь/3 (ж) Уз(1/2)= У4 (0) = 0,
У1 (1/2) = уз(0), У2 (0)= у4(1/2),
(10) (11) (12)
Условия (12) являются условиями непрерывности у (ж) в точке 1/2
7 0 1/а\ „ I 1
Обозначим В =
Г-1 В Г = Б =
-1/Ь 0 0
Г=
ь*
1
. Матрица Г диаганализирует матрицу В, т. е.
0 —
где ^ = 1/л/аЬ.
Если в системе (9), представленной в виде В(у1 ,у4)т — А(у1 ,у4)т = (/ь/4)т, выполнить замену
(у1?у4)т = Г(г1 , ¿4)т , то получим систему:
или
Б(*1 ,4)т — А(^1 ,¿4)Т = Г-1 (/1 ,/4)т =(Ф1, Ф4)
¿1 + д^ = Ф 1, ¿4 — д^4 = Ф 4,
(13)
(14)
где д = Аг/о>, Ф 1 = —Ф1 Ф4 = Ф4В дальнейшем будем считать, что Ие д > 0.
Аналогично систему (10) можно записать в виде —В(у2, у')т — А(у2,у3)т = (/2,/3)т. Выполнив замену (у2,у3)т = Г(г2, ¿3)т, получим
4 — Д^2 = Ф 2, 4 + Д^3 = Ф 3,
где Ф2 = Ф2Ф3 = — Ф3г/^.
Лемма 5. Общее решение системы (14), (15) можно представить в виде
(15)
¿(ж) = (¿1 ,¿2, ¿3, ¿4 )т = др ф + V (ж, д)с,
(16)
1/2
где дрФ = / д(ж,£,д)Ф(£) д(ж,£,д) = diag(g1 (ж, д), д2(ж, £, д), д3(ж, £, д), д4(ж, д)), о
д1 (ж,^ д) = д3(ж, £, д) = е(ж, ^е-^-^, д2(ж,^ д) = д4(ж,^,д) = — е(£, ж)^^-^, Ф = (Ф1, Ф2, Ф3, Ф4)т, V(ж, д) = diag (е-рх, ерх, е-рх, ерх), с = (с1, с2, с3, с4)т — постоянный вектор. Краевые условия (11), (12) принимают вид
где
Мо =
и (г) = Мо Г ¿(0) + М1Г ¿(1/2) = Мо г (0) + М1*(1/2) = 0,
(
Г =
(17)
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 , М1 = 0 0 0 0
0 0 1 0 —1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 —1
1 0 0
0 1
0 л/ъ * 1
0 0
ь Л
/
Обозначим det Д(д) = и(V(ж, д)). Определитель det Д(д) представляет собой экспоненциальный по д многочлен с постоянными коэффициентами. При этом коэффициенты при экспонентах с максимальными и минимальными вещественными частями показателей отличны от нуля. В этом случае говорят, что краевые условия (17) регулярны по Биркогофу. Поэтому так же, как, например, в [2] получаем
Лемма 8. Если ¿(ж, д) = Л3,рФ является решением системы (14), (15) с краевыми условиями (17) и det Д(д) = 0, то
Я3,р Ф = др Ф — V (ж, д)Д-1 (д)и (д^Ф).
Рассмотрим следующую краевую задачу:
¿1 + д^1 = Ф1, ¿2 — д^2 = Ф 2, ¿3 + д^3 = Ф 3, ¿4 — д^4 = Ф 4,
(18)
то
ВД = ¿(0) — ¿(1/2) =0. (19)
Краевые условия (19) регулярны по Биркогофу. Аналогично лемме 8 имеем:
Лемма 9. Если г(х, д) = Я°Ф есть решение системы (18), с условиями (19) и det А°(д) = 0,
Я°\ Ф = ^Ф — V (х, ^А-^Цо^Ф),
где А°(д) = Ц°(У(х,д)).
Теорема 2. Для любой /(х) е £[0,1] имеет место следующее соотношение:
Нш
г^те
[д^Ф — Д^Ф] Сд
И=г
= 0,
С[е, 2-е]
где || ■ ||с[е>1/2-е] — сумма норм компонент в пространстве С[е, 1/2 — е]. Теорема 3. Для любой /(х) е £[0,1] справедливо соотношение
«V(/,х) =
^г/И (/1,х) + о(1)
х е [е, 1/2 — е],
^г/и(/з,х — 1/2) + о(1), х е [1/2 + е, 1 — е],
где «1>г (/, х) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора А1 для тех Лк, для которых |Лк| < г; аг(/, х) — частичная сумма ряда Фурье функции /(х) е £[0,1/2] по собственным функциям оператора у', у(0) = у(1/2) (т.е. ряда Фурье по тригонометрической системе {е4кп-х}те=-те), рассматриваемые на отрезке [0,1/2] и суммирование распространяется по тем к, для которых |4кп| < г, о(1) ^ 0 равномерно по х на [е, 1/2 — е] и [е + 1/2,1 — е] и 0 < е < 1/2.
Доказательство. По лемме 4
Я2,л / =
у1(х^
х е [0,1/2],
уз(х — 1/2), х е [1/2,1]. Но у1(х) = (Гг(х))ь у3(х — 1/2) = (Гг(х — 1/2))3. Следовательно,
Ьа
у1 (х) = ¿1 (х) + у а ¿^4 (х), у3 (х — 1/2) = л/ ь ¿¿2 (х — 1/2) + ^(х — 1/2).
Пусть г0 = (г°,)т — решение системы (18), (19). Тогда
= Я%Ф 1, = Я^Ф 2, = 3, ¿4 = , где Дл — резольвента оператора у', у(0) = у(1/2). Так как аг(/, х) = — ^П- / Д/СЛ, то имеем
°°
|л|=г
— J Сд = — Стг (Ф^, х), з = 1, 3, И=г
Поэтому по теореме 2 при х е [е, 1/2 — е] получаем
1
2— у Сд = аг(Ф,, х), з =2,4.
И=г
1
Д2,л/СЛ = —
2пг
|л|=г
|л|=г
1Ь
у1(х) СЛ = —-—г [¿1.(х) + \/ — ¿г4(х)] СЛ = 2п .] V а
|л|=г
1 _ [ [г° (х) + у Ьг^4(х)] Сд + о(1) = —
2п у V а
И=г/М
Ь
аг/ы (Ф1, х) + у - ¿ау/ы (Ф4, х)
+ о(1) =
= — ил
Ь1
(Ф1, х) — у--Стг/И (Ф4, х)
а
1 /ъ /
¿аг/м 1 2 Л — \/ " а
Ь1
¿/1 + /4
+ о(1) = —г
,х) + о(1)= Стг/м (/1 ,х) + о(1).
, х —
— а
Аналогично при x е [е + 1/2,1 — е] имеем — ^ / R2,A/dA = ау/|ш|(/3,x — 1/2) + o(1). □
™|A|=r
Так как S1>r(/, x) = — 2П7 / R1)A/dA и RA = T-1 R1>AT, то в силу теорем 1 и 3 справедлива
™|A|=r
Теорема 4. Для любой /(x) е L[0,1] имеют место соотношения
|Ч/м (gi, 2Y) + o(1) x е [е,7 — е],
Sr (/,x) — 1/1 \
|^r/M (g2, 2(l-Y) (x + 1 — 274 + °(1)' x 6 [7 + е' 1е —]'
где Sr(/, x) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора A для тех Ak, для которых |Ak| < r; g1(x) = /(2yx), g2(x) = /(2(1 — y)x + 7), o(1) ^ 0 равномерно по x при [е, y — е], [7 + е, 1 — е].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270).
Библиографический список
1. Хромов А. П., Кувардина Л. П. О равносходимости собственным функциям интегральных операторов с пе-разложений по собственным функциям интегрального ременными пределами интегрирования // Интеграль-оператора с инволюцией // Изв. вузов. Математика. ные преобразования и специальные функции : Ин-2008. № 5. С. 67-76. [Kuvardina L. P., Khromov A. P. форм. бюл. 2006. Т. 6, № 1. С. 46-55. [Khromov A. P. The equiconvergence of expansions in eigenfunctions The equiconvergence of expansions in eigenfunctions and and associated functions of an integral operator with associated functions of an integral operators with variable involution // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). limits of integration (in Russian) // Integral Transforms 2008. Vol. 52, № 5. P. 58-66.] and Special Functions. Inform. Byulleten. 2006. Vol. 6,
2. Хромов А. П. О равносходимости разложений по № 1. P. 46-55.]
УДК 517.587
p(x)
ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ В L2n СРЕДНИМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА
И. И. Шарапудинов
Дагестанский научный центр РАН, Махачкала E-mail: [email protected]
Рассматривается пространство Лебега с перемен-
ным показателем p(x), состоящее из измеримых функций
f (x), для которых существует интеграл / |f (x)|p(x) dx. Для
0
f е Lpnx) средние Валле-Пуссена Vm(f,x) определим так
rn
Vm (f,x) = ^ E Sn+i (f,x), где Sk (f,x) -- частичная 1=0
сумма Фурье функции f (x) порядка k. Исследованы аппроксимативные свойства операторов Vm(f) = Vm(f, x) в метрике
пространства ЬрП- ■ В случае, когда 2п-периодический переменный показатель р(х) > 1 удовлетворяет условию Дини-Липшица, доказано, что при т = п — 1 и т = п имеет место оценка ||/ — Угпп{/)||р(0 < ^Еп(/М)р(0 где Еп(/(г))р(.) -- наилучшее приближение функции /(г)(х) тригонометрическими полиномами порядка п в метрике пространства ь&х) ■
Ключевые слова: пространства Лебега и Соболева с переменным показателем, приближение тригонометрическими полиномами, средние Валле-Пуссена.
p(x)
Approximation of Smooth Functions in L by Vallee-Poussin Means
1.1. Sharapudinov
Variable exponent p(x) Lebesgue spaces Lpnx) is considered. For Vallee-Poussin means vm(/,x) can be defined as
g L
p(x)
vm(f,x) = E Sn+i(f,x), where Sk(f,x) -- partial
l=0
Fourier sum of f (x) of order k. Approximative properties of operators V£(f) = vn(f,x) are investigated in Lpx. Let p(x) > 1 be 2n-periodical variable exponent that satisfies Dini— Lipschitz condition. When m = n - 1 and m = n the following estimate is proved: ||f - vn(f>Hp(-) < ^En(f(r)W), where En (f (r))p(.) is the best approximation of function f (r)(x) by trigonometric polynomials of order n in L^.
Key words: variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces, approximation by trigonometric polynomials, Vallee-Poussin means.
© Шарапудинов И. И., 2013
45
