ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ В L P(X) 2π СРЕДНИМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналогично при x е [е + 1/2,1 — е] имеем — ^ / R2,ЛfdX = ау/|ш|(/3,x — 1/2) + o(1). □

Так как ST,r(f, x) = — 2ni f R,Л/dX и Лл = T-1 Л1>лT, то в силу теорем 1 и 3 справедлива

7Г'|Л|=г

Теорема 4. Для любой f (x) е L[0,1] имеют место соотношения

|Ч/м (gi, 2Y) + o(1) x е [е,7 — е],

Sr (f,x) — 1/1 \

|^r/M (g2, 2(T-Y)(x + 1 — 2YV + o(1)' x е [Y + е'1е—]'

где Sr(f, x) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора A для тех Xk, для которых |Xk| < r; gT(x) = f (2yx), g2(x) = f (2(1 — y)x + 7), o(1) ^ 0 равномерно по x при [е, y — е], [7 + е, 1 — е].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270).

Библиографический список

1. Хромов А. П., Кувардина Л. П. О равносходимости собственным функциям интегральных операторов с пе-разложений по собственным функциям интегрального ременными пределами интегрирования // Интеграль-оператора с инволюцией // Изв. вузов. Математика. ные преобразования и специальные функции : Ин-2008. № 5. С. 67-76. [Kuvardina L. P., Khromov A. P. форм. бюл. 2006. Т. 6, № 1. С. 46-55. [Khromov A. P. The equiconvergence of expansions in eigenfunctions The equiconvergence of expansions in eigenfunctions and and associated functions of an integral operator with associated functions of an integral operators with variable involution // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). limits of integration (in Russian) // Integral Transforms 2008. Vol. 52, № 5. P. 58-66.] and Special Functions. Inform. Byulleten. 2006. Vol. 6,

2. Хромов А. П. О равносходимости разложений по № 1. P. 46-55.]

УДК 517.587

p(x)

ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ В L2n СРЕДНИМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА

И. И. Шарапудинов

Дагестанский научный центр РАН, Махачкала E-mail: [email protected]

Рассматривается пространство Лебега с перемен-

ным показателем p(x), состоящее из измеримых функций

f (x), для которых существует интеграл / |f (x)|p(x) dx. Для

0

f е Lpnx) средние Валле-Пуссена Vm(f,x) определим так

rn

Vm (f,x) = ^ E Sn+i (f,x), где Sk (f,x) -- частичная 1=0

сумма Фурье функции f (x) порядка k. Исследованы аппроксимативные свойства операторов Vm (f) = Vm(f, x) в метрике

пространства ЬрП- ■ В случае, когда 2п-периодический переменный показатель р(х) > 1 удовлетворяет условию Дини-Липшица, доказано, что при т = п — 1 и т = п имеет место оценка ||/ — Угпп(/)||р(0 < ^Еп(/(г))р(0 где Еп(/(г))р(.) -- наилучшее приближение функции /(г)(х) тригонометрическими полиномами порядка п в метрике пространства ь&х) ■

Ключевые слова: пространства Лебега и Соболева с переменным показателем, приближение тригонометрическими полиномами, средние Валле-Пуссена.

p(x)

Approximation of Smooth Functions in L by Vallee-Poussin Means

1.1. Sharapudinov

Variable exponent p(x) Lebesgue spaces Lpnx) is considered. For Vallee-Poussin means vn(f,x) can be defined as

g L

p(x)

vm(f,x) = ^ E Sn+i(f,x), where Sk(f,x) -- partial

l=0

Fourier sum of f (x) of order k. Approximative properties of operators V£(f) = vn(f,x) are investigated in Lpx. Let p(x) > 1 be 2n-periodical variable exponent that satisfies Dini-Lipschitz condition. When m = n - 1 and m = n the following estimate is proved: ||f - vn(f>Hp(-) < ^En(f(r)W), where En (f (r))p(.) is the best approximation of function f (r)(x) by trigonometric polynomials of order n in L^.

Key words: variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces, approximation by trigonometric polynomials, Vallee-Poussin means.

© Шарапудинов И. И., 2013

45

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 1

ВВЕДЕНИЕ

Через ¿р(х) (Е) обозначим пространство измеримых, по Лебегу, функций, определенных на измеримом множестве Е и таких, что

1|/(х)|р(х) йх < те,

Е

где р(х) — измеримая на Е функция. Если р(х) > 1, х е Е и существенно ограничена на Е, то ¿р(х) (Е) является [1] нормированным пространством с нормой:

2п

||/||Р(0 = а > 0:

/(х)

р(х)

йх < 1

Теория и приложения пространств ¿р(х)(Е) вызывает в последнее время усиливающийся интерес у специалистов самых различных областей. Не является исключением [2-10] и вопросы теории приближений в пространствах ¿р(х)(Е). Пусть р = р(х) — измеримая 2п-периодическая функция, р- = т£{р(х) : х е К}, р- = вир{р(х) : х е К}, 1 < р- < р- < те, ЬрПЕ) — пространство измеримых 2п-периодических функций, для которых /02п |/(х)|р(х) йх < те. Полагая

||/||Р(0 =1п^ а > 0: J

0

2п

/(х)

Р(х)

йх < 1 ^ , )

мы превратим Ь1^^ в банахово пространство.

Через Р2п обозначим множество всех 2п-периодических переменных показателей р = р(х) > 1, удовлетворяющих на периоде условию

|Р(х) - Р(У)| ь

2п

|х - У|

< й (х, у е [0, 2п]).

п п

Пусть р(х) е Р2п, /(х) Е ¿РП > ак(/) = п / /(¿)совМ, Ък(/) = П / /(*) в1пМ,

а (/) п

£п(/,х) = -02--Ь^ ак(/)соб + Ък(/) эт ^х.

к = 1

Мы определим суммы Валле-Пуссена "П (/,х) с помощью равенства

"го (/, х)

1

т + 1

(1)

г=о

Далее, построим классы функций Шр^)(М) по типу известных классов Соболева, а именно класс ^Р( )(М) состоит из г раз непрерывно дифференцируемых 2п-периодических функций /(х), у которых /(г-1) (х) абсолютно непрерывна на [0, 2п] и ||/(г) ||Р(^) < М. Через обозначим объединение

всех

называть соответственно классами и пространствами Соболева с переменным показателем р(х). Для удобства будем считать, что

ш = ¿Р(х)

классов ш;0) (М). Ш^)(М) и Ш^) = Ум>0 (М) принято

Р(0

2п

Пусть р(х) е Р2п, / Е ШР^). В настоящей работе при т = п — 1 и т = п установлена (теорема 1)

следующая оценка: ||/ — "ПШИко <

сг (р)

Еп

г))р(0 (г > 0), где Еп(/(г))р

— наилучшее

п

приближение в ЬрПг) функции /(г) (х) тригонометрическими полиномами порядка п, а сг, сг (р) здесь и далее — положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров.

а

0

а

1. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Нам понадобятся следующие тождества:

1 sin(n + 2 )v

+ cos v + ... + cos nv =--—, (2)

2 2 sin 2

^ in sin2nv

cosv + cos3v + ... + cos(2n — 1)v = ^^-, (3)

2 sin v

sin nv sin , . sin v + sin 2v + ... + sin nv =-2--—2—, (4)

sin 2 sin2 nv

sin v + sin 3v + ... + sin(2n — 1)v =--(5)

sin v

обозначения g*(t) = t-2*, q*(t) = t-2*+1, A<(t) = <(t + 1) — <(t), A2<(t) = A(A<(t)),

D I \ V^ cos(ku + ПГ) ,сч

Rr,n (u) = -—-, (6)

к=п+1 т

кП,т+1 (х) = (т + 1)г-1 (х) (п =1, 2,...). (7)

г=о

Рассмотрим некоторые свойства последовательности функций кПп(х) (п=1,2,.. .). Лемма 1. Имеют место следующие равенства:

«Ъ» = ( —1)'"2-' £ £ В'П ^ В'П 1^С0В(2" + ' + ' + 2)и Д2* (п + 1 + * + 1) +

1=0к=0 2в1п 2

^ 2s-i ~ sin ^ sin ik+1u cos(3n + k + iy. i 1) n / г ; 2

k = 0 2sin 2

+(—1)*n2-1^---^-Aj.(2n + k), (8)

' V cm _

^=2 » sin it+lu sin ШШи sin(2n + k + I + 2)u

4's-i,„ (u) = ( —1)* n2*-2 £ £ "" 2 2 — a2 q* (n + 1 + k + l) +

1=0 k=0 2sin 2

„ 2*-2 ^ sin nu sin sin(3n + k + l);

, 1) n / _ ,

k=0 2sin 2

+(—1)*n2*-2 £ ~ 2Г Aq*(2n + k). (9)

' J V cm _

Доказательство. Из (6) и (7) имеем:

<„ (u)=ni-i ее cos((n+1+l+t+*)

j (n + 1 + l + k)1

1=0 k=0 v

k=0 1=0

11

Отсюда, воспользовавшись преобразованием Абеля, мы можем записать:

те п — 1

Кп п (и) — п

где

(n +1+ k + l)r (n + 2 + k + l)1

vM,

k

vk,1 (u) =5]cos((n + 1+ l + j)u + y) . (10)

j=0

Рассмотрим два случая в зависимости от четности или нечетности числа r. Если r = 2s, то cos(^u + nl) = (—1)* cos д, стало быть, (10) в силу (2) принимает вид

k

vn,i (u) = (—1)*J] cos(n + 1 + l + j)u =

sin(2(n + 1 + l + k) + 1)u — sin(2(n + l) + 1):

2в1п и

5=0 2

Подставим это выражение в (10) и применим к внутренней сумме преобразование Абеля. Тогда после несложных элементарных преобразований мы приходим к равенству (8). Совершенно аналогично, пользуясь тождествами (2)-(5), доказывается также равенство (9). Лемма 1 доказана.

и

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 1 Лемма 2. Пусть 0 < k < I. Тогда

П

h sin u sin ^ u| í l + 1

2U du < 2(k + 1^2 + ln +

7 sin2 u " v 7 V k + V 3 - n2/8'

o 2

Несложное доказательство этой леммы мы опускаем.

Из лемм 1 и 2 без особого труда можно вывести следующие утверждения. Лемма 3. Пусть r > 1. Тогда имеет место оценка

п

J |кП,п(и) |du < cr.

— п

Лемма 4. Для r > 1, n—1/2 < u < 2п — n—1/2 имеет место неравенство |кпп(u)| < cr. Лемма 5. Справедлива оценка

max |<n(u)| < crn (n = 1, 2,...).

и '

Ниже нам понадобится также один результат, установленный в работе автора [3]. Теорема D. Пусть p(x) е Р2п и для каждого вещественного А > 1 задана измеримая существенно ограниченная 2п-периодическая функция (ядро) ka = KA(t). Если имеют место оценки

п

а) f |kA (x)| dx < c1;

—п

б) sup |kA (x)| < c2 Av;

x

в) |kA(x)| < сз при A-7 < |x| < n,

где v, 7, Cj > 0 не зависят от А, то семейство линейных операторов свертки KA(f) = KA (f )(x) =

= j f (t)KA(t — x) dt, действующих в пространстве Lp^, равномерно огранчено в нем, т. е. най-

— п

дется положительная постоянная c(p), не зависящая от А, для которой

над )цР(0 < c(p)iif цко.

Лемма 6. Пусть p(x) е Р2п, f (x) е ,

п

Kr,n(f) = Kr,n(f )(x) = J f (tK,n(t — x) dt.

—п

Тогда при r > 1 справедлива оценка

HKr,n(f)IUo < cr(p)HfIk).

Доказательство. Из лемм 3-5 следует, что последовательность ядер кП,п(x) (n =1, 2,...) удовлетворяет условиям а)-в) теоремы D с параметрами v = 1, 7 = —1/2. Поэтому утверждение леммы 6 является следствием теоремы D.

2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СУММАМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА

Перейдем к формулировке основного результата настоящей работы.

Теорема 1. Пусть p(x) е Р2п, r > 0, f (x) е W^. Тогда при m = n — 1 и m = n имеет место неравенство

Hf — vm(f)Ik) < cnp)En(f(r))K0 (r > 0).

Доказательство. Пусть сначала r > 1, m = n — 1. Тогда если f(x) е W^), то имеет место равенство

п

f (x) — Sn+1 (f,x) = Ц f(r) (t)Rr,n+1 (t — x) dt. (11)

—п

Из (1), (6), (7) и (11) имеем:

f (x) - (f,x) —

nn'

f (r)(i)<n(i - x) dt,

поэтому утверждение теоремы 1, относящееся к случаю г > 1 и т = п — 1, непосредственно вытекает из леммы 6. Доказательство теоремы 1 в случае г > 1 и т = п ничем не отличается от рассмотренного случая. Поэтому нам остается рассмотреть случай г = 0. Но в этом случае из равенства (1) следует, что

п

С(/,х)= / /(*)<(* — х)

где

кт(и) —

i

то

2(m + 1)sin u ^

, , ,N Nu sin (n + m + 1) U - sin n U

sin(2(n + l) + 1)- —--—---2

VV ; 2 2(m + 1)sin2 u

2 г=0 " "V"" | 2

Отсюда нетрудно увидеть, что последовательность ядер кт(и) (п = 1, 2,...) при т = п — 1 и т = п удовлетворяет условиям теоремы Э. Следовательно, справедлива оценка

IIC(f)IUo < c(p)Hf Ik).

(12)

Далее заметим, что для произвольного тригонометрического полинома Тп(х) порядка п имеет место равенство

С(Тп,х) = Тп (х). (13)

Утверждение теоремы 1, относящееся к случаю г = 0, вытекает из (12) и (13).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а).

Библиографический список

1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(x)([0,1]) // Мат. заметки. 1979. Т. 26, вып. 4. С. 613-632. [Sharapudinov I. I. Topology of the space Lp(x)([0,1]) // Math. Notes. 1979. Vol. 26, № 4. P. 796806.]

2. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве Lp(x)([0,1]) и принципе локализации в среднем // Мат. сб. 1986. T. 130(172), № 2(6). С. 275283. [Sharapudinov I. I. On the basis property of the Haar system in the space ([0,1]) and the principle of localization in the mean // Math. USSR Sb. 1987. Vol. 58, № 1. P. 279-287.]

3. Шарапудинов И. И. О равномерной ограниченности в Lp (p = p(x)) некоторых семейств операторов свертки // Мат. заметки.1996. Т. 59, вып. 2. С. 291302. [Sharapudinov I. I.. Uniform boundedness in Lp (p = p(x)) of some families of convolution operators // Math. Notes. 1996. Vol. 59, № 2. P. 205-212.]

4. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближения в пространствах Lp(x) // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 2. P. 135-153. [Sharapudinov I. I. Some problems of approximation theory in spaces Lp(x) // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 2. P. 135-153.]

5. Шарапудинов И. И. О базисности системы полиномов Лежандра в пространстве Lp(x) (—1,1) перемен-

ным показателем p(x)// Мат. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 137-160. [Sharapudinov I. I. The basis property of the Legendre polynomials in the variable exponent Lebesgue space Lp(x) (-1,1) // Sb. Math. 2009. Vol. 200, № 1. P. 133-156.]

6. GuvenA., Israfilov D. M. Trigonometric approximation in Generalized Lebesgue spaces Lp(x) // J. of Math. Inequalities. 2010. Vol. 4, № 2. P. 285-299.

7. Akgun R. Polynomial approximation of function in weigted Lebesgue and Smirnov spaces with nonstandard growth // Georgian Math.J. 2011. Vol. 18. P. 203-235.

8. Akgun R. Trigonometric approximation of functions in generalized Lebesgue spaces with variable exponent // Ukrainian Math. J. 2011. Vol. 63, № 1. P. 3-23.

9. Akgun R., Kokilashvili V. On converse theorems of trigonometric approximation in weighted variable exponent Lebesgue spaces // Banach J. Math. Anal. 2011. Vol. 5, № 1. P. 70-82.

10. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближения функций тригонометрическими полиномами в Lp(x) // Математический форум (Итоги науки. Юг России). 2011. Т. 5. С. 108-117. [Sharapudinov I. I. Some problems in approximation theory by trigonometric polynomials in Lp(x) // Math. Forum (Itogi nauki. The South of Russia). 2011. Vol. 5. P. 108-117.]

П

1

— П

— П