Теорема равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с инволюцией, допускающей разрывы Текст научной статьи по специальности «Математика»

3) для всех x из (0; 1) \ S(а) справедливо равенство (pG^)x (x + 0, x) — (pG"x)x (x — 0, x) = 1, и

(pG^)X (x + 0,x) — (pG^)X (x — 0,x) + G(x, x)AQ(x) = 1 для x e S(а);

4) при всех s G(0,s) = pGXx(0, s) = PGiL(1, s) = (pG^x)i (1, s) = °-

i

Тогда, как нетрудно видеть, функция u(x) = f G(x, s)F^(s)da(s) является решением краевой за-

0

дачи (1). Теорема доказана.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность и признательность своему научному руководителю профессору Юлию Витальевичу Покорному за постановку задачи и чуткое руководство.

Библиографический список

1. Покорный Ю.В., Копытин А.В. О регулярном толко- ского ун-та. Математика. Механика. Ижевск, 2000.

вании уравнения негладкого стержня // Вестн. Удмурт- № 1. С. 137-144.

УДК 517.984

ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬН! ОПЕРАТОРОВ С ИНВОЛЮЦИЕЙ, ДОПУСКАЮЩЕЙ РАЗРЫВЫ

А.В. Голубь, А.П. Хромов

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики

E-mail: [email protected]

В статье устанавливается равносходимость разложений в тригонометрический ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора с инволюцией, допускающей разрывы первого рода.

Equiconvergence Theorem for Expansions in Eigenfunctions of Integral Operators with Discontinuous Involution

A.V. Golub, A.P. Khromov

In the paper we consider the equiconvergence of expansions in trigonometric Fourier series and in eigen- and associated functions of integral operators with involution having discontinuities of the first type.

Рассмотрим оператор

0(x)

A/ (x) = J A(ö(x),t)/(t) dt, 0

(1)

где #(х) = 1 — х при х Е [0; |] и 0(х) = § — х при х Е [2; 1]. Функция 0(х) является инволюцией, т.е. 0(0(х)) = х, причем 0(х) терпит разрыв первого рода при х = 2.

Требования на ядро оператора (1): функция A(x,t) = 0 при t > x, A(x,x — 0) = 1

ak+l

dxk dtl

A(x, t)

непрерывны при £ < х и к +1 < 2.

Операторы такого вида рассматривались в [1]. В данной статье, в отличие от результатов [1], получаются просто проверяемые условия, при которых имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора (1) и в обычный тригонометрический ряд Фурье.

Обозначим А(х, £) = А(0(х),£) при £ < 0(х) и А(х, £) = 0 при £ > 0(х) и введем матрицу В(х, £) с компонентами В^ (х, £) = А + х, + £) (г, ] = 1, 2), х, £ Е [0; |] .

Лемма 1. Если у(х) = А/(х), то г(х) = Вд(х), х Е [0; 1 /2], где г(х) = (^(х),^(х))т (Г — знак транспонирования), ¿1 (х) = у(х), г2(х) = у (1 + х), д(х) = (д. (х),д2(х))т, 51 (х) = /(х),

1/2

52(х) = / (1 + х), Вд(х) = / В(х, £)д(£) М.

о

Доказательство. Из определения оператора А имеем

y(x) = J A(^2 — x,t^f(t) dt> x Є [0;1/2],

(2)

и

x

(g) AB. Голубь, А.П. Хромов, 2007

т;—Х

3 2 '

у(х) = У А^2 — х,£)/(£) ^ х Е [1/2;1]. (3)

о

Но А (2 — х, £) = В11 (х, £), тогда (2) перепишется как

1/2

21(х)=У Вц (х, £)д1 (£) й£. (4)

о

В (3) положим х = 1 + С. Тогда £ Е [0; 2] и (3) перепишется следующим образом:

1-5 1/2 1-{

У (її + С) = / A(1 - C,t)f (t) dt = / A(1 - C,t)f (t) dt + / A(1 - C,t)f (t) dt = 0 0 1/2

1/2 2-í

= IA(1 - c,t)f (t) dt + / A f1 - c, 2 + n)f (!+n) dn-

00

(5)

Так как А(1 — х, £) = В21 (х, £), А (1 — х, 1 + £) = В22 (х, £), то (5) можно переписать как

1/2 1/2

¿2(х) ^ У В21 (х,£)#1 (£) ^ + J В22 (х, £)д2 (£) ^£. (6)

оо Из (4) и (6), учитывая, что В12(х,£) = 0, следует утверждение леммы. □

Следствие. Имеет место формула х' (2 — X = —д(ж) + Б^ж), где Б^ж) = / Я* (2 — ж,£) х

о

д

х д(£) Бх(ж, £) = д~Б(ж, і).

Доказательство. Так как компоненты матрицы Б(ж, £) могут терпеть разрыв на линии £ + ж = 2, то х(ж) можно представить в виде

1/2 1 -х 1/2

х(ж) = У Б(ж, £)д(£) = J Б (ж, £)д(£) + J Б(ж, £)д(£) =

о о !_ х

2 х

^а(2 — ж,і) 0 \ / / 0 0\

А(1 — ж,і) А(1 — ж, 2 + і)) Я(І) Л +1 (а(1 — ж, і) ^ д(£) *•

После дифференцирования получим

2 — ж, 2 — ж — о) 0 \( 1 ) ( 0 0

"(Х) = - Ц1 - х,’1 - x - 0) A(1 - x, 1 - x - 0)J ^2 - x) + (a( 1 - x, 1 - x + 0) 0

1/2 1/2

xg(2 - x) + f Bx(x,t)g(t)dt = ( о" Л) К2 - x) + /Bx(x,t)g(t)dt

Поменяв ж на 2 — ж, получим требуемое. Лемма доказана. □

Представим оператор Б2 в пространстве ^2[0,1/2] в виде Б2 = ^ + V, где ||^|| < 1, Уд(ж) =

т

= (д, Фк)'-Рк(ж), {фк(ж)}т, {^к(ж)}т _ линейно независимые системы в пространстве вектор-

к=1

2 1/2

функций размерности 2, (д,фк) = ^ / д- (£)Фк(£) ^£. Тогда по следствию из леммы 1 х' (2 — ж) =

.7 = 1 о

= (^ — Е)д(ж) + Уд(ж). Откуда

/1 \ т

'-1хМ 2 — ж ) = д(ж) + ^(д,Фк)(^ — Е)-1 ^к(ж)

2 к=1

(W - £Г‘г'(1; - ж) = 9(ж) + Х>Л )(W - E)-1 n (x). (7)

б

Научный отдел

AS. Голубь, АП. Хромов. Теорема равносходимости разложений по собственным функциям Обозначим (W — E)-1(k(x) = (k(x), E — единичный оператор.

Лемма 2. Оператор B-1 существует тогда и только тогда, когда rang M = m, где / E + ((,^)T \

M = 1/2 ~т^ т , E — единичная матрица размерности m х m, ((,-0) = {(( ,-0k)}j”k=1,

I J B(0, t)( (t) dt /

(T = (ti, . . . , (m).

m

Доказательство. Пусть Bg = 0. Тогда из (7) при z(x) = 0 получим 0 = g(x) + ^ Yk(k (x), где

k=i

Yk = (g, "0k)• Умножая последнее равенство скалярно на {^fc(x)}m, получим систему

m

0 = Yk + ^2 Yj (t/k,^k), k = 1,..., m. (8)

k=i

m 1/2

Подставляя g(x) = — ^ Yk(/k(x) в / B(0, t)g(t) dt = 0, получаем k=1 0

m 1/2

° = X! yW b (0,t)(/j(t) dt. (9)

j = 1 0

Соотношения (8)-(9) представляют собой необходимые и достаточные условия для нахождения

{Yk}• Поэтому B-1 существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы M системы (8)-(9) равен m.

Лемма 3. Пусть B-1 существует и для определенности минор А матрицы M, образованный из первых m строк, отличен от нуля. Тогда

m 1/2

B-1 z = (W — E )-1 z' (2 — x) ^ £ ((W — E )-1 z' (1 — x),j Ajk (/k (x), /B (0,t)B-1 z (t) dt = 0,

j,k=1 0

где Ajk — алгебраические дополнения элементов определителя А.

Лемма 4. Для оператора B-1 справедливо представление

1/2

B-1 z(x) = z; (1 — x) + a1 (x)z(0) + a2z (1) + a3(x)z(x) + a4(x)z (1 — x) + / a(x, t)z(t) dt,

_ _ '1 0\ T = f0 —1' 0

^7 ^ - 10 0 ’ T h 0

где а(х) (г = 1,..., 4), а3(х), а4(х), а(х, £) — непрерывные матрицы-функции. Кроме того, каждая компонента матрицы а(х, £) имеет ту же гладкость, что и компоненты Вх(х, £), с той лишь разницей, что теперь по £ предполагается лишь непрерывность.

Лемма 5. Если г(х) = (Е — АВ)-1 Вд(х), а г>(х) = (гт(х),гт (1 — х))Т, то -и(х) удовлетворяет интегро-дифференциальной системе:

фг>'(х) + -Р1 (х)г>(0) + Р2(х)г> (1 ) + Р3(х)г>(х) + NV — Аг>(х) = т(х), М0г>(0) + М 1и (2) = 0, (10)

0Е Е) р1(х)= (а10х) р2 (х)= (а2 (10— х) 01 (20—

Рз(х) = (а4<()(!)х[ аза)), ^ ^ЛТОММ*) Д, ^У(х,£) = (а 0

)v(t) at, n (x

^2 — xj аз ^2 — x MMo = (0 "0), 1 = (T 0), m(x) = (gT(x),gT (2—x))T•

Лемма 6. Если Ra = (E — AA)-1A существует, то

Да/(ж) = ^(ж), ж Є [0,1/2], Да/(ж) = ^2 ^ж — ^ , ж Є [1/2,1], (11)

где г>і(ж) — компоненты вектора г>(ж), удовлетворяющего системе (10). Верно и обратное, то есть если А таково, что однородная краевая задача для системы (10) имеет только нулевое решение, то Да существует и определяется по формуле (11).

Лемма 7. Существует матрица-функция Н(ж, А) = Но (ж) + А-1#1 (ж) с непрерывно дифференцируемыми компонентами матриц Н0 (ж), Н1(ж), причем Н0(ж) невырождена при всех ж и диагональна, что преобразование г>(ж) = ГН(ж, А)'^(ж), где Г — матрица, диагонализирующая матрицу Q-1, т.е. Г-1 ^-1Г = Б = (г, —г, г, -г), приводит систему (10) к виду

-^ж) + (ж, А)w(0) + Р2(ж, А)w (2) + Р3(ж, А)w(ж) + — АБw(ж) = т(ж, А), (1 „)

и(w) = Moлw(0) + Mlлw (2) = 0, ( )

где Р1(ж,А) = Н-1 (ж, А)БГ-1р1 (ж)Н(0, А), Р2(ж,А) = Н-1(ж, А)БГ-1,Р2(ж)Н (1 ,А), Рз(ж,А) = = А-1 Н-1(ж,А)[Н1 (ж) + БГ-1 ^з(ж)Н1(ж)], N = Н-1 (ж, А)БГ-1ЖГН(ж, А), Мол = МоГН(0, А), М1л = М1ГН (1/2, А), т(ж, А) = Н-1 (ж, а)бГ-1 т(ж).

Рассмотрим краевую задачу

ад'(ж) = АБад(ж) + т(ж), и (ад) = 0, (13)

где и(■) — краевые условия из (12), т(ж) — произвольный вектор-функция с компонентами из Ь [0,1/2].

Лемма 8. Для решения задачи (13) имеет место формула

1/2

ад(ж, А) = —К(ж, А)Д-1 (А) J их(д(ж, £, А))ш(£) + длт(ж), (14)

0

где К (ж,А) = diag (елгх, е-лгх ,елгх ,е-лгх); Д(А) = и (К (ж,А)); д(ж, ¿, А) = diag (д1(ж, ¿, А),..., ...,д4 (ж, £, А)); д^- (ж, £,А) = — е(£, ж)елг(х-^ (^ = 1, 3); д^- (ж, £, А) = е(ж, £)е-лг(ж-*) (^ = 2,4); е(ж,£) = 1

1/2

при I < ж, е(ж, £) = 0 при I > ж; длт(ж) = / д(ж, £, А)ш(£) и их(■) означает, что краевое условие

0

берется по аргументу ж.

Здесь и далее считаем, что Ие Аг > 0.

Лемма 9. Для матрицы Д(А) при больших |А| имеет место следующее представление: Д(А) = = ([а^] + [6^]е()4^=1, где р = А/2, ^1 = )3 = г, <^2 = <^4 = —г, а^ (6^) — компоненты матрицы

К (Ь )К = (5Г11 + ТГ21 5Г12 + ТГ22) н (0) ь = ( 0 0 ) Н (1) где

К° (Ьо),Ко ^0 0 у)Н°(0), Ьо ^ТГц + 5*Г21 ТГ12 + 5Г2^ Н(°^, где

Г у — блоки матрицы Г размера 2 х 2, [а] = а + 0(А-1).

Доказательство. По определению Д(А) = и (К (ж, А)), где К (ж, А) = diag(eЛшl х ,...,ел^4 х). Тогда

Д(А) = Мол К (0, А) + М1л К ^, а) = МоН (0, А)Е + М1Н ( 2, а) Г , А^ =

= ЛМоГ(Но(0) + А-1Н1 (0)) + М1Г (#о (2) + А-1 Н^2)) К (2, а) =

0 0)(Г11 Г22) (Но(0)+А-1Н1 (0))+

т 5) Й Э И0+А-1 *(2)) К (2,

Откуда следует утверждение леммы. □

Следствие. Имеет место следующая асимптотическая формула:

det Д(А) = (^о + 01е-^ + ^е-2^ + Азе-3^ + ^4е-4^г + 0(А-1)) е2^г,

где 0* — комплексные числа, причем 0о =

Ьи «12 Ьіз «14 = 1, 04 = «11 Ь12 «13 Ь14

Ь41 «42 Ь43 «44 «41 Ь42 «43 Ь44

= 1.

Обозначим далее через £5 комплексную А-плоскость с удаленными нулями det Д(А) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса <5.

Лемма 10. В области справедлива оценка | det Д(А)| > С|еАг|.

8

Научный отдел

Лемма 11. В области 5^ при больших |А| для решения ад(ж, А) = Л1лш(ж) задачи (13) имеют место оценки:

||Я1л ш||^ = О(||ш||1), ||^1л ш||^ = О(к (А)||ш||^),

||Я1л ш|1 = О(к(А)||ш||1), ||^1л х1и = О(А-1),

где | ■ ||^ (У ■ у1) — нормы в Ь^ [0,1/2] (Ь [0,1/2]) в пространстве вектор-функций, х(ж) — вектор-функция, у которой каждая компонента есть характеристическая функция отрезка [0,1/2], 1 — е-|К-е И

к(А) = ^-¡е------¡—.

|Ие рг|

Доказательство. Найдем оценки элементов матрицы К (ж, А)Д-1 (А). Пусть Д^ — алгебраические дополнения элементов матрицы Д(А). Тогда имеют место оценки Дг1 = Дг3 = О(е^г), Дг2 = Дг4 = О(елг), следующие из леммы 9. Тогда, учитывая оценку из леммы 10, получаем оценку элементов матрицы К (ж, А)Д-1 (А): элементы первой и третьей строк имеют оценку О(елг(х-2)); второй и четвертой — О(е-лгх). Рассуждая далее аналогично [2] получаем требуемое. □

Рассмотрим задачу (12).

Лемма 12. В области 5^ при больших |А| имеет место оценка |Д1л^лу^ = о(1).

Следствие. В при больших |А| оператор Е + Л1лР3(ж, А) + Л1л^л обратим в Ь^.

Лемма 13. В при больших |А| краевая задача (12) однозначно разрешима и для ее решения

w(ж, А) справедлива оценка |^(ж, А) — Д1лНо“1 ш(ж, А)||^ = О ^+ к2(А)^ ||/11

Лемма 14. Если ш(ж) = х(ж), то |^(ж, А) — Л1лН^ш^)^ = О(А-2).

Лемма 15. Для любой /(ж) е Ь[0,1] имеет место

Ііт

Т—>оо

Н(х, А)^(х, А) — Л1ЛН- 1т(х)] ¿А

= 0

|Л|=г

(считается, что окружности |А| = г находятся в £5).

Рассмотрим еще одну краевую задачу

и'(х) = АБи(х) + т(х), и0(и) = и(0) — и (2) = 0

и ее решение обозначим Л2Лт. Для Л2Лт имеет место формула (14), где Д(А) заменяется на Д0(А) = = и (Г (х, А)), а и (•) - на и (•).

Удалим из £5 вместе с круговыми окрестностями радиуса 5 еще и собственные значения краевых задач

{и'(х) — Аги(х) = 0, ] и'(х) + Аги(х) = 0,

и(0) = и (1/2) и |и(0) = и (1/2)

и получившуюся область снова обозначим через £5.

Лемма 16. Если т(х) — вектор-функция с компонентами из Ь [0,1] и т(х, А) = Н-1(х, А)т(х),

то

Ііт

Т—>00

Н(х, А)[Л2Лт(х, А) — Л2Л(Н0 1 т(х))] ¿А

= 0.

|Л|=Г

Лемма 17. Если т(х) из леммы 16, то

Ііт

Т—>оо

Н(х, А)[Л1Лт(х) — Л2Лт(х)] ¿А

|Л|=Г

[є, 2 —є]

= 0, є Є (0,1/4).

Лемма 18. Если /(х) Є Ь[0,1], то

Ііт

[Н(х, А^(х, А) — Н0(х)Л2Л(Н— 1т(х))] ¿А

|Л|=Г

[є, 2—є]

= 0,

где е е (0, 4) и w(ж, А) — решение задачи (12), ш(ж) — из (10).

Теорема. Пусть А-1 существует. Тогда для любой /(ж) е Ь[0,1] и любого е е (0, 4) имеют

место соотношения:

Ііт ||£г (/,х) — аг (/,х)У[є, 2 —є] = 0

2

Ііт

т—>оо

£г (/, х) — аг #,х —

= 0,

[1 +є,1 —є]

оо

ОС

т—>ос

где g(x) = f (2 + x), x Є [ü, 2], Sr(f, x) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора A для тех характеристичеких чисел, для которых |Ak | < r, <rr (g, x) - частичная сумма ряда Фурье по ( Л 00

системе | e4kni:Ej функции g(x) на отрезке x Є [ü, 2] для тех k, для которых |4kn| < г.

Доказательство. Имеем Sr(f,x) = -¿Л? / RA(A)f (x) dA, <rr(f,x) = -2ПЇ / Roaf (x) dA, где

|A|=r | A | =r

y(x) = R0Af(x) есть решение краевой задачи y'(x) — Ay(x) = f(x), y(ü) = y(1/2).

Пусть x Є [ü, 2]. Тогда Roaf (x) = (rHo(x)R2A(#-2m))i, RAf (x) = (ГН(x, A)w(x, A))i, где (-)i означает первую компоненту вектора, помещенного в скобки. По лемме 18 имеем

lim

Г—>оо

[(ГН(x, A)w(x, A))i — (r#o(x)R2A(H0 1?m(x)))i] dA

|A|=r

= 0.

[є, 2 —є]

Тогда £г(/,х) = — ¿т / (ГНо (x)R2Л(H0 17Й(х)))1 ¿А + о(1), где о(1) ^ 0 при г ^ ^ равномерно |Л|=г

по х Є [є, 2 — Є . Но — 2П І (ГН0 (x)R2Л(H0 1?т(х)))1 ¿А = ау(/, х) и первое соотношение теоремы

|Л|=г

получено. Второе соотношение получается аналогично. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003). Библиографический список

1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, раз- разложений по собственным функциям интегральных

рывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, операторов с ядрами, допускающими разрывы произ-

вып. 11. С. 115-142. водных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10.

2. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости С. 33-50.

УДК 517.984.52

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА п-ГО ПОРЯДКА С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

О.Ю. Дмитриев

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики

E-mail: [email protected]

В работе рассматривается задача разложения по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями специального вида. Получены необходимые и достаточные условия разложения по собственным функциям на отрезке [0,1] и внутри него.

Expansions in Eigenfunctions of the n-th Order Differential Operator with Non-Regular Boundary Conditions

O.Yu. Dmitriev

The paper deals with the expansions in eigenfunctions of the n-th order differential operator with non-regular boundary conditions of special type. Necessary and sufficient conditions for existing of such expansions either on the interval [0,1] or inside it are derived.

Рассмотрим на отрезке [0,1] краевую задачу, определенную дифференциальным уравнением

— Ay = 0,

(1)

и краевыми условиями

иг(у) = агу(г-1) (0) + у(г-1) (1) = 0, г = 1,..., п, (2)

где аг - константы, А - спектральный параметр, п = 4к + 1, к е N.

Для случая п = 3 А.П.Хромовым в [1] были получены необходимые и достаточные условия

разложения функции в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по собственным и присоединенным

функциям краевой задачи (1)-(2) с нерегулярными краевыми условиями. Там же были получены теоремы о разложении внутри интервала (0,1).

© О.Ю. Дмитриев, 2007