Об оценке размерностей алгебр Ли инфинитезимальных автоморфизмов касательных расслоений со связностью полного лифта над непроективно-евклидовой базой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Г. А. Султанова

Пензенский государственный университет [email protected]

Об оценке размерностей алгебр Ли инфинитезимальных автоморфизмов касательных расслоений со связностью полного лифта над непроективно-евклидовой базой

В настоящей работе получены оценки сверху размерностей алгебр Ли инфинитезимальных автоморфизмов в касательных расслоениях со связностью полного лифта в случае, когда связность в базовом пространстве является непроектив-но-евклидовой, а тензор кривизны связности удовлетворяет специальному условию.

Ключевые слова: дифференцируемое многообразие, касательное расслоение, полный лифт линейной связности, вертикальный лифт векторных полей, полный лифт векторных полей, вертикально-векторное поднятие аффинора, горизонтально-векторное поднятие аффинора.

1. Предварительные сведения

Пусть М — дифференцируемое многообразие класса С" размерности п; Т(М) — его касательное расслоение с канонической проекцией п;

А = [аа° + Ъе1\ а, Ъ е Я, 5° = 1, (г1)2 = 0} — алгебра дуальных чисел со стандартным базисом (г0, 5).

© Султанова Г. А., 2016 146

Если (х ) — локальные координаты в некоторой окрестности и е М, то в ж 1 (и) е Т(М) возникают естественные локальные координаты (х0, х1). Закон преобразования этих координат при переходе от локальной карты (ж 1(и), х0, X ) к локальной карте (ж 1(У), Х0, х1г) имеет вид [3]

Х0 = Х0 (х1,..., Х0 ), Х1 =

( дх' ^

дхк Ких Ло)

^. (1.1)

Введем понятия лифтов функций, векторных полей, полного лифта линейной связности V, тензорных полей типа (1,1) с базы в касательное расслоение.

Для функции / : М ^ Я класса С™ функция /(0) = / °ж называется вертикальным лифтом, а функция /(Г) = (д )(0) х/ —

полным лифтом функции / с базы М в его касательное расслоение Т (М) [3].

Пусть X е30(М). Векторные поля X(1) еЗ'0(Т(М)) и

X(0) е ^0(Т(М)) называются вертикальным и полным лифтом векторного поля X соответственно, которые в локальных координатах определяются условиями

^ = (X )(0) д1, ^ = (X' )(0) д0 + (д X )(0) х/д1.

Если на многообразии М задана линейная связность V, то

на Т(М) существует единственная линейная связность V(0), называемая полным лифтом связности V и удовлетворяющая условию [6]

VX0(l 7(Ь) = ^7 )(аЬ), (1.2)

где X,7 е30(М), а, Ь е А.

Пусть О еЗ|(М). Векторное поле уО = (О/)(0)Х81 называется вертикально-векторным поднятием [1], а векторное поле ОНу = (О/)(0) Х (80 - (Г^ )(0) x1s81р) — горизонтально-вектор-

ным поднятием [2] аффинора О .

2. Инфинитезимальные аффинные преобразования пространств (Т (М), У(0))

Определение. Векторное поле X е30(Т(М)) называется инфинитезимальным аффинным преобразованием, или автоморфизмом связности V(0), если

ьх V(0) = 0, (2.1)

где Ь~ — символ производной Ли вдоль векторного поля

X е30(Т(М)).

Изучаемые линейные связности V на базе М предполагаются не имеющими кручения, то есть для каждой связности V тензорное поле кручения Т(X, У) = VхУ -VГХ - [X, У] равно

нулю. Инфинитезимальное аффинное преобразование X связности V(0) в Т (М) имеет вид [8]

XX = X(0) + У(1) +уО + ЕНу , (2.2)

где X, У — векторные поля; Е, О — тензорные поля типа (1,1) на многообразии М , удовлетворяющие условиям

^ V = 0; ЬУ V = 0; VО = 0; VF = 0; Я}м1Ек = —К =0, Я)м1От - Ка^м =

Обозначим через L алгебру Ли векторных полей вида (2.2), а через L (а = 0,1, 2, 3) — подалгебры Ли векторных полей вида X(0), Y(1), yG , FHy соответственно. Тогда

~ 0 1 2 3

dimL = dimL + dimL + dimL + dimL ,

причем размерности подалгебр L0 и L1 равны размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (M, V).

3. Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных автоморфизмов пространств

(T (M), V(0)) над непроективно-евклидовой базой

Линейная связность, заданная на (M, V), n > 2, является

непроективно-евклидовой, если тензорное поле Г. Вейля этой связности отлично от нулевого, что равносильно выполнению одного из следующих условий [5].

I. Существует карта гладкого атласа (U,<) такая, что составляющая тензорного поля кривизны вида отлична от

нуля для некоторых попарно различных индексов.

II. В каждой карте (V, ц) все составляющие тензорного поля кривизны R}in4 равны нулю для попарно различных индексов, но существует карта (U, <) такая, что составляющая вида-Rw4 отлична от нуля для попарно различных индексов.

В работе [7] исследованы алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов в касательных расслоениях со связностью полного лифта в случае, когда база расслоения удовлетворяет условию I. В данной работе мы будем рассматривать случай II.

Оценим размерности подалгебр I0 и I1. И. П. Егоровым показано [4], что размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований непроективно-евклидова пространства (М, V), удовлетворяющего условию II, не более

п2 - 3п + 8 . Значит,

&т£ + й1м1 < 2п2 - 6п +16.

Оценим размерность подалгебры I . Рассмотрим пространство решений уравнения VО = 0, равносильного системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

8О - О'рГ- + О? Г- =0,

где О еЗ|(М).

Условия интегрируемости ОМЯ'тП - О'тЯМ1 = 0 этой системы

Д, П \ лм [X

к]1 1 )Оп = 0, где по определению

Т (

п ) = ЯпЯ' - Я' Яп

т> к т-! "т^к]!'

Рассмотрим матрицу О системы, составленную из коэффициентов

г - ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^

234

534

5 24

532

232

224

332

/ V V V V V / V

Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^ Г 1 ^

343

443

424

243

432

324

при неизвестных

О1, Ок2, Ок3, Ок4, О22, О33, О44, О2 , О4 , О34, ^ О2 О' >1, к >4)

в уравнениях Тп )ОМ = 0 . Тогда матрица О приобретет вид

в--

а * * * * * * * * * * * *

0 а * * * * * * * * * * *

0 0 а * * * * * * * * * *

0 0 0 а1п—1 * * * * * * * * *

0 0 0 0 а1п—4 * * * * * * * *

0 0 0 0 0 Ь * * * * * * *

0 0 0 0 0 0 Ь * * * * * *

0 0 0 0 0 0 0 Ь * * * * *

0 0 0 0 0 0 0 0 Ып—4 * * * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 — а — Ь * * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —а—Ь * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —а—Ь *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (—а — Ь)1п

где 1к — единичная матрица порядка к, К^43 = а, К^32 = Ь.

Ранг данной матрицы не менее 4п — 4 . Значит, размерность пространства решений У О = 0 не более п — 4п + 4. От-

22

сюда следует, что dimL < п — 4п + 4 .

Оценим размерность подалгебры L3. Рассмотрим пространство решений уравнения VF = 0 , где F е (M) . Условия интегрируемости

Т7тп' — П тг^и' — П 77™»* — П Пт — П F] Кшк1 = 0, Fk К]т1 = 0, Ь1 К]кт = 0 ЬтК]к1 = 0

данного уравнения дают соотношения вида К(]к1 где по определению

т) Fhm=0:

К (

т )=¿х«, к (

]к1

т )=зкккм, к с.

й ) = я' кн

т ' т ]к1'

к ]т1 ^ ^-]к1

Рассмотрим матрицу Р системы при неизвестных , (к > 1), (1 > 1), ^ (р >1), составленную из коэффициентов

243

534

( 1 ^ 25 4

( 1 ^ 532

5

в уравнениях К(]kl т ) = О, К(т т ) = О, К(

jkl

К jkl

) = S'mR%. Мат-

рица P приобретет следующий вид:

P =

i aIn * * * ^

0 - aIn-1 * *

0 0 - aIn-1 *

V 0 0 0 (-a - b) In-X,

Ранг данной матрицы не менее 4п - 3 . Значит, размерность

2

пространства решений УР = 0 не более п - 4п + 3. Следовательно, йттЁ < п2 - 4п + 3. Таким образом, имеет место

Теорема. Если в пространстве (М, V) тензорное поле Я имеет в некоторой координатной окрестности составляющую Я^34 Ф 0, то размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (Т(М),У(0)) не более, чем 4п2 - 14п + 23.

Список литературы

1. Sato К. Infinitesimal affine transformations of the tangent bundles with Sasaki metric // Tohoku Math. Jour. 1974. № 26. P. 353—361.

2. Tanno S. Infinitesimal isometries on the tangent bundles with complete lift metric // Tensor, N. S. 1974. Vol. 28. P. 139—144.

3. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. N. Y., 1973.

4. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности., M., 2ОО9.

5. Синюков Н. C. Геодезические отображения римановых пространств. M., 1979.

6. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Матем. 1999. № 9. C. 64—72.

7. Султанов A. Я., Султанова Г. А. Оценка размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения T(M) со связностью полного лифта // Учeн. зап. Казан. гос. ун-та. Сер.: Физ.-матем. науки. 2014. Т. 156, кн. 2. С. 43—54.

8. Шадыев X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении // Тр. геом. семин. Казань, 1984. № 16. C. 117—127.

G. Sultanova

The estimate of dimensions of Lie algebras for infinitesimal automorphisms in the tangent bundle with the complete lift connection with nonprojective Euclidean base

We obtain upper bounds of dimensions of Lie algebra for infinitesimal automorphisms in tangent bundles with a complete lift connection in the case when the connection is nonprojective-Euclidean, and the curvature tensor components of connection satisfy the special condition.

УДК 514.76

К. К. Хабазня

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Связности 1-го и 2-го порядков на центропроективных многообразиях

Работа посвящена центропроективным многообразиям, связностям на них и геометрическим объектам, описывающим эти связности. Определяется центропроективное многообразие , даются его структурные уравнения, вводятся понятия

голономного , полуголономного и неголономного 1¥пм многообразий, а также главных расслоений центропроективных кореперов 1-го С 1(^п) и 2-го С2 (№п) порядков. Задаются фундаментально-групповые связности в этих рас© Хабазня К. К., 2016