CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 147, кн. 1
Физико-математические науки
2005
УДК 514.16
ОБ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ОБОБЩЕННОГО ЛАГРАНЖЕВА ПРОСТРАНСТВА
М.В. Сорокина
Аннотация
На касательном расслоении обобщенного лагранжева пространства определена почти симплектическая структура. Доказано, что естественное инфинитезимальное преобразование является инфинитезимальным автоморфизмом почти симплектической структуры тогда и только тогда, когда оно является инфинитезимальным движением обобщенного лагранжева пространства. Если произвольные инфинитезимальные автоморфизмы сохраняют некоторую линейную связность и расслоенную структуру, то размерность алгебры Ли таких автоморфизмов не превосходит п(3п + 5)/2, где п - размерность базисного многообразия.
1. Пусть М - п-мерное гладкое многообразие, ТМ - касательное расслоение над М, п : ТМ ^ М - каноническая проекция, (хг) - локальные координаты на М, (хА) = (хг,хп+г = уг) - естественные локальные координаты на ТМ. Задание невырожденного симметрического тензорного поля
д = дг2 (х, у)<1хг ® ¿х3
(1)
определяет на М обобщенную лагранжеву структуру, а Сп = (М,д) называется обобщенным лагранжевым пространством.
Пусть V — усеченная связность Картана регулярного обобщенного лагранжева пространства Сп с компонентами Г*к (х,у). Связность Картана является симметрической и согласована с метрикой (1): Г**1 = Г*гк, Vg = 0. Связность V индуцирует нелинейную связность с коэффициентами = Г*ку3. Векторные поля (6а) = (6г,дп+г), где 5г = дг - дп+к, дп+г = д/дуг, образуют локальный базис ТМ
[6а,6в ] = яаб 6с ,
где
= 63 Мк - 6г ^
як
пп+к
ягп+з
N1
як
ягп+з
як
яп+гз
як
яп+гп+з
яп+к = яп+гз -
пп+к яn+гn+J
0.
Корепер, дуальный |6а} , состоит из форм 6хА = (¿хг,6уг), где 6уг = ¿уг + <Лхк . Заметим, что коэффициенты Г*; связности Картана определяются из следующих соотношений: Vsi д3 = Г*кдк.
Рассмотрим на ТМ риманову метрику О типа Сасаки, определенную условиями
О(Х л,Ул) = О(Х у ,Уу) = д(Х,У)у,
О(Х л,У ь ) = О(Х и ,У л)=0, (2)
где Х \ У\ Х \ Уу - горизонтальные и вертикальные лифты векторных полей с базы М на касательное расслоение ТМ. В координатах метрика (2) имеет вид
О = д^ вх« < вхэ + д^ 5уг < 5уэ. (3)
Распределение горизонтальных площадок связности V определяет на ТМ каноническую комплексную структуру 3:
ЗХ л = х " ,3Х и = -Х л. (4)
Метрика (2) является эрмитовой относительно (4), т. е. О(3Х, Зу) = О(Х,У) для любых векторных полей X ,У на ТМ, и мы имеем на ТМ почти эрмитову структуру (О, 3). Фундаментальная 2-форма этой структуры определяется следующим образом: П(Х, У) = О(Х, ЗУ). Форма П определяет на ТМ почти симплектиче-скую структуру
П(Х л,Ул) =П(Х и ,УЬ) = 0,
П(Хл) = - П(Хи,Ул) = -д(Х,У)и. ^
В координатах форма П имеет вид
П = д^ 5у« Л . (6)
Если форма П замкнута: вП = 0, то она определяет на ТМ симплектическую структуру. В частности, если метрика (1) риманова или финслерова, то П - сим-
ТМ
На ТМ рассмотрим линейную связность V. В случае, когда метрика (1) риманова, связность V есть связность Леви-Чивита и V определяется следующим образом:
V* н Ул = (V* У)л, V* - Ул = V*- Уv = 0, V* н Уv = (V* У)У. (7)
Если (1) - обобщенная лагранжева метрика, то
^Н Ул = (V* Н У )л, 'V X V Ул = V X V у У = 0.^7 х н У" = (V* Н У . (8)
Если V5в = уАв 5с ; то ненулевые компоненты этой связности имеют вид
_ -рп+к _ л^к
Г У = Г ¿п+Э = Г «Э .
Связность V согласована с формой П, т. е. VП = 0. Действительно, в локальных координатах имеем
5с Пав — ГСАПРВ — ГСв ПАР . (9)
Записывая уравнения (9) для различных серий индексов и учитывая, что Vи= 0 приходим к выводу, что Vс Пав = 0.
2. Векторное поле X = £А 8 а на ТМ является инфинитезимальным автоморфизмом почти симплектической структуры П, если производная Ли от П вдоль XX равна нулю: ЬхП = 0. В адаптированном репере (8а) эти уравнения имеют вид
£с (8сПав - ПРВЯ£А - ПАР) + 8А£РПрв + 8В£рПАР = 0. (10)
Рассмотрим автоморфизмы почти симплектической структуры, состоящие из преобразований базы, продолженных на касательное расслоение. В этом случае вектор инфинитезимального преобразования есть полный лифт некоторого поля X = £г (х)д^ базы
хс = е (ж)8;+ук у к е с)п+ъ. (п)
Если Xс есть автоморфизм структуры П, то ЬхсП = 0. Запишем уравнения (10) для различных серий индексов
£с (8сдц - дкзКСг - 9гк ) + 8г£кдкц + ди+ц£и+кд^к = 0, (12)
£с (8сдц - Якзхс+и+ - gik) + £и+кдкз + 8ц£кд*к = 0, (13)
£с(дкзяс+к - д^кяс+к) + ^£и+кд^ - 8з£и+кgik = 0, (14)
£с (дкзя^ - gikДси+з) + ди+*£кдкз - ди+ц£кд« = 0. (15)
Уравнения (12) и (13) эквивалентны уравнениям
Ьх дц = 0, (16)
(14) эквивалентны уравнениям
дкз Ьх - дгк Ьх= 0. (17)
Уравнения (15) выполняются тождественно.
Из уравнения (16) следует ЬхГ?к = 0, значит, Ьх N = 0. Таким образом, (17) являются следствиями (16). Следовательно, (10) выполнено тогда и только тогда, когда имеет место (16). Поэтому справедлива
Теорема 1. Для того чтобы полный лифт Xс векторного поля X был инфи-
П ТМ,
необходимо и достаточно, чтобы векторное поле X было инфинитезимальным движением пространства Са.
Из теоремы 1 следует, что максимальная размерность алгебры инфинитези-
П
ной размерности алгебры Ли движений регулярного пространства £и, т. е. равна п(п + 1)/2.
ТМ,
известно, такие автоморфизмы определяются проектируемыми векторными полями на ТМ [1]. Векторное поле XX на ТМ является проектируемым, если d■кXX есть векторное поле на М. В этом случае в координатах поле XX имеет вид
XX = £ *(х)8< + £"+ (ж,у)ди+*. (18)
Потребуем, чтобы автоморфизмы, сохраняющие слои, оставляли инвариантной вполне приводимую линейную связность V, т. е.
Ьх гАВ =0. (19)
Запишем уравнения (10) в ковариантных производных
СС (V с Пав - Прв Sac - Пар SBC ) + V аСр Прв + V в СР Пар = 0, (20)
где SCB = ГАв — ГВА — Rab _ компоненты тензора кручения связности V. Пусть
СС = V В СС — СР Scp , (21)
тогда уравнения (20) примут вид
ПсаСс +Пас СС = 0. (22)
Аналогично, заменив в (19) частные производные ковариантными, получим
V A V в Сс — V а Ср SCp — Ср V A SCp + С р KCbp = 0, (23)
где КАВр — компоненты тензора кривизны связности V. С учетом (21) уравнения (23) примут вид
V АСС + Ср Kcbp = 0. (24)
Наряду с 2n неизвестными функциями Сс (x,y) - компонентами инфинитезималь-ного автоморфизма - введем новые функции
Сав = СС Псв. (25)
В силу того, что V согласована с П, уравнения (24) примут вид
V аСвс + СР Кавср = 0, (26)
где Кавср = П^сКАВР.
Из (21), (22), (25), (26) следует, что для того чтобы векторное поле X являлось автоморфизмом почти симплектической структуры, сохраняющим связность V, необходимо и достаточно, чтобы функции СА и Сав являлись решением системы уравнений
Сав — Сва = 0, (27)
V в СС =ПСР Срв + СР SPc, (28)
V аСвс = —Ср КАВСР, (29)
где ПсрПра = ¿с • Уравнения (28) и (29) представимы в виде, разрешенном относительно первых производных от 2n + 4n2 неизвестных функций СА и Сав , а уравнения (27) накладывают на функции ряд алгебраических условий. Если условия интегрируемости уравнений (28) и (29) выполняются тождественно, то как известно из [2], общее решение зависит от r = 2n + 4n2 — s произвольных постоянных, где s - число независимых алгебраических условий в (27).
Учитывая, что векторное поле X проектируемо на базу, из (21) следует, что Сп+j =0 (n2 условий). Запишем уравнения (27) для различных серий индексов:
gik Сп+к — gkj СГ+к = 0, (30)
gik Ск + gkj СП+k = 0, (31)
9ik СП+j + gkj Ск =0, (32)
gifc— gfcj Ск+г = (33)
Уравнения (30) накладывают n(n —1)/2 условий, уравнения (31) и (32) зависимы и определяют n2 связей, а (33) для проектируемого поля выполнены тождественно. Таким образом, s = (n — 1)/2 + 2n2. Следовательно, r = n(3n + 5)/2. Имеет место
Теорема 2. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов почти симплектической структуры П, сохраняющих слои касательного расслое-ниея и линейную связность V, не превосходит n(3n + 5)/2.
Заметим, что в случае, когда X - произвольное векторное ноле на касательном расслоении, уравнения (30)—(33) накладывают на неизвестные функции , s = n(n — 1) + n2 алгебраических условий, следовательно, r = 2n2 + 3n.
Summary
M. V. Sorohina. Oil infinitesimal automorphisms of almost symplectic structures on tangent bundle of generalized Lagrangian space.
Almost symplectic structure is defined on tangent bundle of generalized Lagrange space. It is proved that natural infinitesimal transformation is infinitesimal automorphism of almost symplectic structure if and only if it is infinitesimal motion of generalized Lagrange space. If arbitrary infinitesimal automorphism conserves certain linear connection and foliate structure then dimensionality of algebra Lie of automorphisms not exceed n(3n + 5)/2, n -dimensionality of basis manifold.
Литература
1. Шапуков Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Тр. геом. сем. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. - Вып. 14. - С. 97-108.
2. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.: ИЛ, 1947.
Поступила в редакцию 06.12.04
Сорокина Марина Валерьевна - кандидат физико-математических наук, сотрудник кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета. E-mail: Sorohina [email protected]
