Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 6, № 3, 2001

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МИКРОКОНВЕКЦИИ *

А.А. Родионов Институт вычислительного моделирования СО РАН

Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

Group analysis of a new model for convection under low gravity which are presented in the works of V. V. Pukhnachov are considered. The complete group of admissible transformations, the optimal systems of first- and second-order sub-algebras of Lie algebra of operators, some examples of exact solutions of the model are presented in this paper.

1. Базис допустимых операторов

Известно, что движение жидкости, вызванное тепловой гравитационной конвекцией, обычно моделируется системой уравнений Обербека — Буссинеска. Эта модель, хорошо описывающая конвективные течения в естественных земных условиях, перестает работать в очень слабых силовых полях. В. В. Пухначевым предложена новая модель тепловой конвекции при пониженной гравитации, основанная на точных уравнениях неразрывности и импульса [1, 2]. Модель учитывает, что диссипативные функции и силы давления пренебрежимо малы и в уравнении состояния используется обратно пропорциональная зависимость плотности от температуры.

Рассматривается система уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации

wt + w у w + x(v0 V w -yw у 0) + x2(A0 V 0 - V| V 0|2/2) = 0(- V q + vAw) + g,

Здесь функции w = (и, V, эд), д, в имеют смысл скорости по осям (х, у, г), давления и температуры соответственно; £ — время, g = (0, 0, —д) — ускорение силы тяжести; х — коэффициент температуропроводности; V — коэффициент кинематической вязкости.

Функции w, д, в связаны с естественными физическими функциями Т (скоростью, давлением, температурой) соотношениями

где р0 — характерное значение плотности жидкости; р0 > 0, А > 0. Плотность жидкости определяется из выражения р = р0в-1.

* Работа выполнена при поддержке СО РАН (проект №5) и Красноярского краевого фонда науки. © А. А. Родионов, 2001.

0t + w V 0 + xlv 0|2 = x0A0, div w = 0.

(1.1)

v = w + x V 0, p = po(q + (v - x)xA0) + A div v, 1+ pT = 0,

(1.2)

Если в уравнениях (1.1) сделать замену х9 ^ 9, д ^ ХЯ, V ^ хи, то коэффициент температуропроводности х исключается. Поэтому в системе уравнений (1.1) можно положить Х =1.

На первом этапе группового анализа системы уравнений (1.1) исследуются свойства ее инвариантности относительно преобразований пространства всех независимых и зависимых переменных В9(Ь, х, у, г, и, V, ш, д, 9). Наиболее широкая группа Ли преобразований пространства В9, допускаемая системой (1.1), бесконечномерна, так как преобразование д ^ д + р(Ь) с произвольной функцией р сохраняет систему. Соответствующая алгебра Ли операторов вычисляется по стандартной методике [3], и ее базис образуют следующие операторы [4]:

Х1 = 9Х, Х2 = ду, Х3 = дх, Х4 = Ьдх + ди, Х5 = Ьду + , Х6 = + дт, Х7 = дь, Хз = хдх + уду + (г + дЬ2/2)дг + иди + vдv + (ш + д1)дш + 29дв, Х9 = хдх + уду + (г - дЬ2/2)дх + Ьдь - gtдw + 9дв - ддя,

Х10 = (г + дЬ2/2)ду - удх + (ш + дЬ)д*„ - vдw,

Хп = хдх - (г + дЬ2/2)дх + uдw - (ш + дЬ)ди,

Х12 = удх - хду + vдu - uдv, Хи(р) = р(Ь)дя (1.3)

(д3 — оператор дифференцирования по координате в пространства В9). Обозначим алгебру Ли операторов (1.3) через Ь.

При описании нестационарного движения жидкости можно воспользоваться преобразованием эквивалентности

г ^ г - дЬ2/2, ш ^ ш - дЬ, (1.4)

которое упрощает уравнения системы (1.1), исключая в первом уравнении ускорение силы тяжести. Структура уравнений при такой замене сохраняется. Всякое точное решение уравнений (1.1) с д = 0 обратной заменой (1.4) переводится в их точное решение с д = 0. Далее рассматривается система уравнений (1.1) с д = 0. Соответствующая алгебра Ли допустимых операторов (1.3) упрощается: в базисных операторах Х8, Х9, Х10, Х11 необходимо положить д = 0.

В настоящей работе решается задача построения оптимальной системы подалгебр первого в1 и второго в2 порядков для алгебры Ли операторов (1.3). Необходимо выделить такие линейные комбинации базисных операторов (1.3), которые приводят к построению существенно различных (с точки зрения допустимых групп преобразований) точных инвариантных решений уравнений системы (1.1). Метод поиска операторов оптимальных систем подалгебр подробно изложен в работах [3, 5].

2. Построение отимальной системы подалгебр ©1

Вычисляются коммутаторы операторов (1.3) по формулам

\Х1,Х3] = Хк = Х1(Х^ ) - (Xi),

где Ск — структурные постоянные, 1,],к = 1, ..., 13. Затем вычисляется присоединенная группа А внутренних автоморфизмов алгебры Ь и проводится структурный анализ алгебры Ь.

В табл. 1 представлены коммутаторы базисных операторов алгебры Ь.

Таблица 1

Коммутаторы операторов алгебры Ь

[1. Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Хб Ху Х8 Хд Х10 Х11 Х12 Х1з

XI 0 0 0 0 0 0 0 Х1 Х1 0 Хз —Х2 0

Х2 0 0 0 0 0 0 0 Х2 Х2 —Хз 0 Х1 0

Хз 0 0 0 0 0 0 0 Хз Хз Х2 —Х1 0 0

Х4 0 0 0 0 0 0 —Х1 Х4 0 0 Хб —Х5 0

Х5 0 0 0 0 0 0 —Х2 Х5 0 —Хб 0 Х4 0

Хб 0 0 0 0 0 0 —Хз Хб 0 Х5 —Х4 0 0

Ху 0 0 0 Х1 Х2 Хз 0 0 Ху 0 0 0 Х1з (</>)

Х8 -Х1 —Х2 —Хз — Х4 —Х5 —Хб 0 0 0 0 0 0 0

Хд -Х1 —Х2 —Хз 0 0 0 —Х7 0 0 0 0 0 Х1з(4^ +

Х10 0 Хз —Х2 0 Хб —Х5 0 0 0 0 Х12 —Х11 0

Х11 —Хз 0 Х1 —Хб 0 Х4 0 0 0 —Х12 0 Х10 0

Х12 Х2 —Х1 0 Х5 — Х4 0 0 0 0 Х11 —Х10 0 0

Х1з(^) 0 0 0 0 0 0 Х1з(—5) 0 Х1з(—45 — 5) 0 0 0 0

Примечание. <^(Ь), ф(Ь) — произвольные гладкие функции, точка означает дифференцирование по

Таблица 2

Группа внутренних автоморфизмов

ж1 = ж2 = жз = ж4 = ж5 = жб = у ж' = ж8 = д жд = ж10 = ж11 = ж12 = 5

А1 ж1 — «1 х х (ж8 + жд) ж2 + «1ж12 жз — «1ж11 4 ж4 ж5 жб у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

А2 ж1 — «2Ж12 ж2 — «2 (ж8 + +жд) жз + «2ж10 4 ж4 ж5 жб у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

Аз ж1+ «зж11 ж2 — «зж10 жз — «з(ж8+ +жд) ж4 ж5 жб у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

А4 ж1 + «4ж7 ж2 жз ж4 — «4ж8 ж5 + «4ж12 жб — «4ж11 у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

А5 ж1 ж2 + «5ж' жз ж4 — «5ж12 ж5 — «5ж8 жб + «5ж10 у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

Аб ж1 ж2 жз + «бж' ж4 + «бж11 ж5 — «бж10 жб — «бж8 у ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

Ау 14 ж1 — «уж4 ж2 — «уж5 жз — «ужб 4 ж4 ж5 жб жу — д —«ужд ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4— — «у )

А8 еа8 ж1 е°8 ж2 е°8 жз еа8 ж4 еа8 ж5 еа8 жб жу ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)

Ад еа9 ж1 е°9 ж2 е°9 жз 4 ж4 ж5 жб е°9 жу ж8 д жд ж10 ж11 ж12 е-°9 х Х5(е-"9 4)

А10 ж1 ж2 СОБ «10 + +жз б1п «10 —ж2 Б1П «10 + +жз СОБ «10 4 ж4 ж5 СОБ «10 + +жб б1п «10 —ж5 Б1П «10 + +жб СОБ «10 жу ж8 д жд ж10 ж11 СОБ «10 + +ж12 б1п «10 ж12 СОБ «10 — —ж11 б1П «10 5(4) 5(4)

А11 ж1 ООв «11 — з — жз БШ «11 ж2 ж1 б1п «11 + +жз СОБ «11 4 ж4 СОБ «11 — —жб б1П «11 ж5 ж4 б1п «11 + +жб СОБ «11 у ж8 д жд ж10 СОБ «11 — 12 — ж12 Б1П «11 ж11 ж10 б1п «11 + +ж12 СОБ «11 5(4) 5(4)

А12 ж1 СОБ «12 + +ж2 б1п «12 —ж1 Б1П «12 + +ж2 СОБ «12 жз ж4 СОБ «12 + +ж5 б1п «12 5 ж5 СОБ «12 — 4 — ж4 Б1П «12 жб у ж8 д жд ж10 СОБ «12 + +ж11 б1п «12 ж11СО««12 — —ж10 б1П «12 ж12 5(4) 5(4)

А1з ж1 ж2 жз ж4 ж5 жб ж7 ж8 д жд ж10 ж11 ж12 5(4)+ +(жу+ +4жд)^(4) +жд^(4)

Примечание. А — преобразование с параметром а^, г = 1, ..., 12.

Рассмотрим оператор общего положения

12

Х = ^ xiXi + Х13(р), Х е Ь,

i=1

где х = (х1, ..., х12,р(Ь)) — вектор координат оператора Х в базисе (1.3). На каждом из операторов Х.1 е Ь строятся автоморфизмы Аи^ алгебры Ь, действие которых на оператор Х определяется по формуле

п ■ п2

АШХг(пг){Х) = Х + 1 [Х, Хг] + -±[[Х,Х1Х^ + ... (2.1)

Формула (2.1) также определяет полную группу преобразований вектора координат оператора Х е Ь:

х = (х1, ..., х12, р) ^ х = (х1, ..., х12, р). (2.2)

Задача построения оптимальной системы подалгебр состоит в построении таких наборов х = (х1, ..., х12, р), что ни один из векторов не может быть переведен в другой автоморфизмами Аи1х4.

Согласно формулам (2.1), находятся все возможные преобразования (2.2) векторов х. В табл. 2 приведена полная группа преобразований координат этого вектора (группа внутренних автоморфизмов). Преобразованиям Аi соответствуют Аи1х4 с параметром а,, I = 1, ..., 12, преобразованию А13 с функцией ф(Ь) соответствует Аи^^^. Из А13 следует, что если х7 = х9 = 0, то р(Ь) = р(Ь), а если х7 = 0 или х9 = 0, то всегда найдется функция ф(Ь), что р(Ь) = 0.

Из стуктурного анализа коммутаторов из табл. 1 видно, что Ь = Ь1-12 ф Ь^, где Ь1-12 = {Х1, ..., Х12} — конечномерная подалгебра, а Ь^ = {Х13(р)} — бесконечномерная подалгебра. Выделяется и фиксируется последовательность вложенных подалгебр:

0 С Ь8,9 С Ь7-9 С Ь7-12

С Ь1-12 С Ь, (2.3)

где, например, Ь7-12 = {Х7,Х8, ..., Х12}. Последовательность (2.3) определяет порядок рассмотрения координат вектора х и действие на них внутренних автоморфизмов. Из формул табл. 2 видим, что компоненты (х8х9) вектора х под действием преобразований А.1 всегда остаются тождественными. Поэтому сначала рассматривается подалгебра Ь8,9 с возможными вариантами компонент (х8х9) : (00), (х80), (0х9), (х8х9), х8 = 0, х9 = 0. На подалгебре Ь7-12 рассматриваем вектор (х7,..., х12) в зависимости от выбора вариантов для (х8х9) и действия преобразований группы автоморфизмов А. Результат второго шага переносится на конечномерную подалгебру Ь1-12 с вектором (х1, ... , х12) с учетом действия группы А. Полученные варианты (х1, ... , х12) окончательно рассматриваются на алгебре Ь с вектором (х1, ..., х12,р(Ь)).

Заметим, что оператор общего вида определен с точностью до произвольного множителя. Поэтому кроме преобразований группы автоморфизмов (табл. 2) возможно преобразование общего растяжения вектора х. В результате получаем набор существенно различных векторов х, которые не могут быть переведены друг в друга преобразованиями группы А внутренних автоморфизмов. Этому набору координатных векторов х соответствует набор операторов, называемый оптимальной системой подалгебр в1 для уравнений (1.1):

еХ1 + Хб + Х13(р), £Х3 + 5Х12 + Х13(р), иХ6 + Х12 + Х13(р),

Х8 + Х13(р), еХг + Х8 + сХи + Х13 (ф), иХ4 + Х8 + сХи + Хи(р), £гХ6 + Х7 + £2 Х12, еХх + иХ7 + Х8 + сХи, ух + у2Хч + Х8 + сХ12, иХ7 + Х8, £Х6 + Хд, £\Х\ + ЕъХб + Х9 + сХ12, УХЪ + Х8 - Хд, Х8 + ЬХд, иХ3 + Х8 - Хд + сХг2, £Х3 + иХ4 + Х8 - Хд + сХи, £\Х\ + £2Х4 + Х8 + ЬХд + СХ12, (2.4) где 8 = {0; 1}; £,£1,£2 = {-1;0;1}; = {-1; 1}; Ь,с, е Я, Ь = 0, с = 0; ф(Ь) —

произвольная гладкая функция.

Заметим, что уравнения (1.1) при д = 0 допускают следующие дискретные преобразования своих переменных:

Е1 : (Ь,и^,т,9,д) ^ (-Ь, -и, -V, -т, -9, -д); Е2 : (х, и) ^ (-х, -и);

Е3 : (у, V) ^ (-у, -V); Е4 : (Ь, г, т) ^ (Ь, -г - дЬ, -т - 2дЬ),

хотя первое преобразование не имеет физического смысла.

Для системы (1.1) с д = 0 преобразования Е1, Е2, Е3 допускаются в том же виде, а преобразование Е4 упрощается: (г,т) ^ (-г, -т).

Данным дискретным преобразованиям физических переменных соответствуют дискретные преобразования компонент вектора х:

Е \ : !~у - ( хх1 хх2 хх3 _х'4 _хх5 _х"6 _х7 X'8 хх9 хх10 X*11 X'12 _! /О (_Ь)) *

I У 1 . «X' I •X' ^ у у у •X' «X' «X' ^ у у у у у ^^ I 1/11^

Е ^ : Х' - (_ XX 1 XX2 <х3 _ X4 X'5 XX6 XX7 X'8 <х9 XX 10 _ XX 1 1 _ XX12 ф/О (_ Ь))*

2-----

Ех ' : ХХ - ( XX 1 _ XX2 ,х3 XX4 _ ,х5 IX6 XX7 ,х8 IX9 _ XX 10 XX 1 1 _ XX 12 //О (_ Ь))*

Хи 3 ' ш I •X' ^ •X' ^ у у •X' ^ у у у у •X' ^ у у {¿У I 1/11^

ТХ, : хх - (хх1 хх2 _,х3 х'4 X5 _XX6 X7 X'8 XX9 _хх10 _ XX 11 XX12 _Ь))

4-----

Если в оптимальной системе подалгебр (2.4) учесть преобразования Е^ Е2, Е3, Е4, то можно получить набор операторов вида (2.4), в котором постоянные £, £1, £2 нужно положить равными {0; 1}, а постоянные V, и1, и2 — единице.

3. Построение отимальной системы подалгебр ©2

При построении оптимальной системы подалгебр второго порядка в2 алгебры Ли операторов (1.3) рассматривается двумерная подалгебра общего положения

12 12 (Х,У) = хгХг + Х13Ш), ^УгХг + Х13(и(Ь))) , (Х,У)е ь2 (3.1)

г=1 г=1

, (х\ (х1 ... х12 ф)\

с вектором коэффициентов = , 12 ; .

\у) \У ... у2

Преобразования внутренних автоморфизмов, которые действуют в ь2 одновременно на коэффициенты операторов Х и У, определяют отображение

12 12

(Х, У) ^ (Х ,У) = ХгХг + Х1з(ф),^УгХг + Х1з(и)),

г=1 г=1

т. е. производится преобразование векторов коэффициентов по правилу табл. 2:

1 12 1 12 х1 ... х12 (х1 ... х ф

У1 ... У12 ^ {у1 ... у12 их

Для операторов общего положения X, Y допускается умножение на произвольное число, не равное нулю. Поэтому имеют место преобразования растяжения

: Хг = ax*, i = 1, ..., 12, (3 = а(, а = const = 0,

Byy : yj = , j = 1, ..., 12, ¿3 = вз, в = const = 0. (3.2)

Заметим, что наборы операторов (X, Y), (X, aX + Y), (bY + X, Y), a, b = const с точки зрения алгебры эквивалентны, так как имеют одни и те же коммутаторы. Поэтому для координат (x1, ..., x12,(), (y1, ..., у12,з) используются дополнительные преобразования

: x* = x* + ay*, i = 1, ..., 12, (3 = ( + аз, a = const,

: yj = yj + bxj, j = 1, ..., 12, ¿3 = з + b(, b = const. (3.3)

Для того чтобы исключить из рассмотрения повторение подалгебр, например, (X 1,Y1) = (X2,Y2), если X1 = Y2, X2 = Y1, будем применять преобразование подстановок (замену координат):

x ^ y, y ^ x. (3.4)

То, что операторы X, Y образуют подалгебру, означает, что операция коммутации не должна выводить за пределы подалгебры, т.е. [X,Y] = AX + ^Y, где А, ^ — некоторые постоянные. Реализуя это требование, получим соотношения, связывающие коэффицинты векторов x, y — условия подалгебры:

Ax1 + ^y1 = x1(y8 + y9) — y1(x8 + x9) + x2y12 — x12y2 — x3y11 + x11y3 — x4y7 + x7y4,

Ax2 + ^y2 = x2(y8 + y9) — y2(x8 + x9) — x1y12 + x12y1 + x3y10 — x10y3 — x5y7 + x7y5,

Ax3 + ^y3 = x3(y8 + y9) — y3(x8 + x9) + x1y11 — x11y1 — x2y10 + x10y2 — x6y7 + x7y6,

Ax4 + ^y4 = x4y8 — x8y4 + x5y12 — x12y5 — x6y11 + x11y6,

Ax5 + ^y5 = —x4y12 + x12y4 + x5y8 — x8 y5 + x6y10 — x10y6,

Ax6 + ^y6 = x4y11 — x11y4 — x5y10 + x10y5 + x6y8 — x8y6,

Ax7 + ^y7 = x7y9 — x9y7, Ax8 + ^y8 = 0, Ax9 + ^y9 = 0,

Ax10 + ^y10 = x11y12 — x12y11, Ax11 + ^y11 = —x10y12 + x12y10, Ax12 + ^y12 = x10y11 — x11y10, A((t) + ^¿(i) = x73(t) — ((t)y7 + x9(w(t) + t3(t)) — (((t) + t(((t))y9. (3.5)

Из структурного анализа коммутаторов из табл. 1 видим, что L = L1-12 ф L^, где L1-12 = {X1, ..., X12} — конечномерная подалгебра, а L^ = {X13(()} — бесконечномерная подалгебра. Выделяется и фиксируется последовательность вложенных двумерных подалгебр

0 С L8,92 С L7-92 С L7-122 С L1-122 С L2,

x

которая определяет пять этапов последовательного рассмотрения координат вектора y

На каждом из этих этапов производится упрощение координат вектора за счет преобразований внутренних автоморфизмов (см. табл. 2) и преобразований (3.2)-(3.4). Условия

подалгебры (3.5) реализуются только на четвертом и пятом этапах.

x8 x9 x

Из формул табл. 2 видим, что компоненты y8 y9 вектора y под действием преобразований всегда остаются тождественными. Поэтому на первом этапе рассматривается подалгебра L|9, на которой с учетом (3.3), (3.4) выделяются возможные варианты

х 0

х 0

х 0

координат:

......0\ /х8 0\ /0 х9\ /0 0х

0) ' ^0 уУ ' ^0 0) ' ^0 0.

где х8, х9, у9 = 0. Далее на ¿2-12 получаются следующие наборы координат, в которых используется результат первого этапа:

0

у7

х 0

х 0

у'

0 0

0

х 0

х 0

х 0

х 0

00 00

х 0

х 0

х 0

0

9

у9

00 00

х

х

12

у'

у

12

Координаты со второго шага переносятся на подалгебру ¿7-12 с вектором После упрощений, в которых используются условия подалгебры (3.5), результат переносится на ¿1-12. На последнем этапе рассматриваем Ь2 с вектором ^х1 х12 ^ . Здесь

окончательно реализуются требования (3.5), растяжения (3.2) и неиспользованные преобразования табл. 2.

В результате получается оптимальная система подалгебр второго порядка в2, приведенная в табл. 3.

Таблица 3

Оптимальная система подалгебр ©2

X = У = Примечание

1 £1X1 + £2X4 + аХв + Х9 + ЬХ12 у1Х1 + у2Х2 + у4Х4 + у5Х5 + Х12 + Х13(^о4-1) у1 = £1Ь

(1+ а)2 + Ь2 '

у2 = -£1 (1 + а) (1+ а)2 + Ь2 '

2 3 4 £1X1 + £2X4 + аХв + Х9 + ЬХ12 £1X1 + £2X4 + аХв + Х9 + ЬХ12 £1X1 + £2X4 + аХв + Х9 + ЬХ12 Х13(4а) Х3 + Х13(шо4-(а+2)) Хб + Х13(^о*-(а+1)) (£1)2 + (£2)2 =0

5 £1X1 + £2X4 + аХв + Х9 + ЬХ12 у1Х1 + у2Х2 + Х7 + Х13^о*-2) у1 = -£2 а у2 =

а2 + Ь2

6 £1X1 + £2X4 + Хв + Х9 + ЬХ12 у1Х1 + у2Х2 + ЬХб + Х7 + Х13(^о*-2) У1 = £2 у2 =

1 + Ь2 '

7 £1X3 + £2X4 - Хв + Х9 + ЬХ12 сХ3 + у4Х4 + у5Х5 + Х12 + Х13(^о*-1) у4 = £2Ь у5 =

1+ Ь2 '

8 9 10 £1X4 - Хв + Х9 + ЬХ12 £1X3 + £2X4 - Хв + Х9 + ЬХ12 £1X3 + £2X4 - Хв + Х9 + ЬХ12 Х3 + Х13(£2*-1) Х13(*-а) Хб + Х13(шо)

11 £1X3 + £2X4 - Хв + Х9 + ЬХ12 у1Х1 + у2Х2 + Х7 + Х13(^о*-2) у1 = £2 у2 =

1 + Ь2 '

12 аХв + Х9 Х12 + Х13(^-1)

13 сХв + Х9 Х3 + Х13(£*-(с+2))

14 сХв + Х9 Хб + Х13(£*-(с+1))

15 сХв + Х9 йХ7 + Х13(^о*-2)

16 Хв + Х9 ^Хб + Х7 + Х13(^о*-2)

17 ^Х3 - Хв + Х9 кХ1 + тХ3 + Х13(£*-1) к2 + т2 =0

18 ^Х3 - Хв + Х9 кХ4 + йХб + Х13(£*-1) к2 + й2 = 0

19 20 ^Х3 - Хв + Х9 Хв + Х13(5о) йХ7 + Х13(^о*-2) Х7 + £Х12 Шо = 1 , если й = 0

21 ^Х4 + Хв + ЬХ12 + Х13(Ы у1Х1 + у2Х2 + у4Х4 + у5Х5 + Х7 + £Х12 у1 = -V у2 =

1 + Ь2 '

у4 = V£b у5 =

1 + Ь2 '

22 £1X1 + Хв + ЬХ12 + Х13(^о) у1Х1 + у2Х2 + Х7 + £2X12 у1 = £1£2Ь у2 =

1 + Ь2 '

£26 1+ Ь2 -£2 1 + Ь2

у4 =

у5 =

—£26 а2 + Ь2 -£2Ь 1 + Ь2 £2 1 + Ь2

-£26

1+

-

1 + Ь2 ' -

1 + Ь2 -£1£2 1 + Ь2

7

у

0

А. А. Родионов Таблица 3 (окончание)

X =

у =

Примечание

1 = 26^x^2 У = (1 + 62)2 '

2 VI ^2 (62 - 1) 5 -VI6

у2 = ,--, > У5 =-

VI6

1 + 62'

VIХ4 + V2X7 + Х8 + 6X12

VIХ4 + V2X7 + Х8 + 6X12 VIX4 + V2X7 + X8 + 6X12

VI Xl + V2X7 + X8 + 6X12

vXl + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) 6X1 + X8 + 6X12 + Xlз(^0Í-1)

VX4 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í))

VX4 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) VX4 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) VX4 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í))

VX4 + X8 + 6X12 + Xlз(^0Í-1)

6X1 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) 6X1 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) 6X1 + X8 + 6X12 + Xlз(^(í)) 6X1 + VX7 + X8 + 6X12 6X1 + VX7 + X8 + 6X12

VX7 + X8 vX7 + X8 VX7 + X8 VX7 + X8 X8 + Xlз(^(í)) X8 + Xlз(^(í)) X8 + Xlз(^(í)) X8 + Xlз(^(í)) X8 + Xlз(^o(í-1) 61X1 + X9 + 6X12 61X1 + X9 + 6X12

vXl + 6X6 + X9 + 6X12

61X1 + 62X6 + X9 + 6X12 61X1 + 62X6 + X9 + 6X12 6X6 + X9

X9

6X6 + X7 + vXl2 6X6 + X7 + vXl2 61X6 + X7 61X6 + X7 VX6 + X7 X7

VX6 + Xl2 + Xlз(^(í)) VX6 + Xl2 + Xlз(^(í)) 6Xз + Xl2 + Xlз(^(í)) 6Xз + Xl2 + Xlз(^(í)) Xl2 + Xlз(^(í)) vXl + X6 + Xlз(^(í)) vXl + X6 + Xlз(^(í)) vXl + X6 + Xlз(^(í)) vXl + X6 + Xlз(^(í)) vXl + X6 + Xlз(^(í)) X6 + Xlз(^(í)) X6 + Xlз(^(í)) X6 + Xlз(^(í)) X6 + Xlз(^(í)) Xз + Xlз(^(í)) Xlз(¥>(t))

y1Xl + y2X2 + У4X4 + УБX5 + Xl2 + Xlз(wo)

Xз + Xlз(woe-V2t) Xlз(eat)

y1Xl + y2X2 + Xl2 + Xlз(шo) y1Xl + y2X2 + Xl2 + Xlз(ш(í)) У^х + y2X2 + X9 + mXl2

У4X4 + УБX5 + Xl2 + Xlз(ш(í))

6Xз + X6 Xз

Xlз(ш(í))

y4X4 + У^в + X9 + mXl2

X6 Xз

Xlз(ш(í))

Xз + Xlз(woe-vt)

Xlз(eat)

Xl2 + Xlз(wo)

Xз + Xlз(woe-vt)

Xlз(eat)

X9 + mXl2 + Xlз(6) Xl2 + Xlз(ш(í)) 6X1 + X6 Xз

Xlз(ш(í)) X9 + mXl2 X6 + Xlз(62Í-1) mXз + X7 + Xlз(woí-2)

y1Xl + У^2 + mX6 + Xl2 + Xlз(woí-1)

Xз + Xlз(woí-2) Xlз(ía)

mX6 + Xl2 + Xlз(woí-1) X7 + Xlз(6Í-2) Xз + Xlз(шo) Xlз(eat)

62Xз + Xl2 + Xlз(шo) Xlз(eaí)

»XI + 5Xз + Xlз(wo) Xз + Xlз(6)

Xз + 6X6 + Xl2 + Xlз(ш(í))

Xlз(ш(í))

X6 + Xlз(ш(í))

Xlз(ш(í))

Xз + Xlз(ш(í))

fcXl + mXз + raX4 + X5 + Xlз(ш(í))

fcX2 + mXз + X4 + Xlз(ш(í))

fcXl + mX2 + Xз + XlзИt))

fcXl + X2 + Xlз(ш(í))

5X1 + Xlз(ш(í))

fcX2 + vXз + X4 + XlзИt))

6X2 + X4 + Xlз(ш(í))

fcXl + Xз + XlзИt))

5X1 + Xlз(ш(í))

5X1 + Xlз(ш(í))

Xlз(ш(í))

У =

(1 + 62)2

1+

У1 =

v6 1 + 6' v6

У =

1+

1 + 62 1 + 62 х 6(1 + 6т) 2 6(6 — т)

У1 = , . ,2 > У _

У4 =

1+ v6

1+

1 + 62 ' У 1 + 62

v6m 1 + 62

—v6 1+ 62

v6 1 + 6'

1+

Примечание. а, Ь, с, к, т, п, а, ш0, (р0 — постоянные, а = {0; -1}, Ь = 0, с = 0; е, е1, е2 = {0; ±1}; V, V!, У2 = {±1}; 5 = {0; 1}; ш(Ь) — произвольные гладкие функции.

— V

— V

2

1 _

— V

5

4

У

У

— V

2

1

У

У

4. Построение фактор-систем и решений

Используя операторы оптимальных систем подалгебр O1, O2, построим несколько примеров фактор-систем в инвариантных переменных [6].

Пример 1. Рассмотрим операторы (Xg, + X13(c0t-1)) = (töt + xöx + yöy + zöz + — , töz + + c0t-1öq), где c0 = const. Инвариантами этих операторов являются переменные {xt-1, yt-1, u, v, w — zt-1, Öt-1, qt — c0zt-1}. Решение системы (1.1) ищем в виде

(u,v,w,q,Ö) = (U, V, W + zt-1 ,t-1Q + соzt-2,tT),

где U, V, W, Q, T зависят от £ = xt-1, n = yt-1. Фактор-система запишется так:

(U — £ )U? + (V — n)Un + (Un — V )Tn + T Tnn — ^ T^ = T (—Q? + v (UK + Uw)),

(U — £)V + (V — n)Vn + (V — Un )T + Tn TK — T T^ = T (—Q, + v (% + Vw)),

W + (U — £)W? + (V — n)Wn + W? T? + Wn Tn = T (—со + v (WK + W,,)),

T + (U — £)T + (V — n)Tn + T 2 + Tn2 = T (TK + Tnn), U + Vn + 1 = 0. (4.1)

Предположим, что функции U, V, W, Q, T не зависят от n- Тогда из последнего уравнения системы (4.1) получаем U = C1 — £, C1 = const. Обозначим 2£ — C1 = h. Остальные уравнения будут иметь вид

2TQh = — h, —2hVh + 4VhTh = 4vTVhh,

W — 2hWh + 4Wh Th = T (—со + 4vWhh), T — 2hTh + 4(Th)2 = 4TThh. (4.2) Если решение третьего уравнения системы (4.2) искать в виде T = ah2 + bh + d, то получим

3 4

T = 3h2, Q = C2 — Jin |h|, V = C3h(2/3v)+1 + C4. о 3

Функция W удовлетворяет уравнению Эйлера

33 -vh2Whh — hWh — W = -coh2

2о

и имеет представление

W = ^5 + ln |h|^ h2 + Ceh-1/3 при V =1,

W Ch*i + + Co h2 =-, A (3v + 2) ± V(3v + 2)2 + 24v

W = C5h 1 + Coh 2 + —-— h при v = 1, Ai,2 =-^-.

8(v — 1) 6v

Здесь Cj, i = 1, 2, 3, 4, 5,6 — произвольные постоянные.

Пример 2. Рассмотрим комбинацию операторов (aX7 + X8, X3 + X13(ce-at)) = (adt + xdx + ydy + + udu + vdv + + 205^, + ce-aiSq), a = 0, c = const. Инвариантами этих операторов являются переменные {(x, y, u, v, w)e-at, 0e-2at, q — cze-at}. Решение системы (1.1) ищем в виде

(u,v,w,q,0) = (Ueat, Veat,Weat,Q + cze-at, Te2at),

где U, V, W, Q, T зависят от £ = xe at, п = ye at. Фактор-система запишется так: aU + (U - + (V - aV)Uv + (Uv - V)TV + T?Tvv - TvTSv = T(-Q? + v(UK + Uvv)),

aV +(U - a£)V? + (V - aV)Vv + (V - Uv)T + TvTK - T?Ti4 = T(-Qv + v(% + Vvv)),

aW + (U - a£)W? + (V - aV)Wv + W?T? + WvTv = T(-c + v(WK + Wvv)),

aT + (U - a£)T? + (V - aV)Tv + T?2 + Tv2 = T(TK + Tvv), Щ + V„ = 0. (4.3)

Так же, как в примере 1, предположим, что функции U, V, W, Q, T не зависят от п-Тогда из последнего уравнения системы (4.3) получаем U = U0 = const. Введем замену a£ - U0 = h, тогда остальные уравнения перепишутся так:

TQh = -Uo, V - hVh + aVhTh = vaTVhh, (4.4)

-hWh + aWhTh = T (-a + vaWhh) , T - hTh + aTh2 = aTThh.

Решение последнего уравнения системы (4.4) будем искать в виде T = ah2 + bh + d (a, b, d — произвольные постоянные). Получаем три варианта решений:

T = 0, T = bh - ab2, T =— h2 + c.

2a

Первый случай приводит к простому решению системы (1.1):

u = 0, v = V0x, w = W0x, q = Q(xe-at) + cze-at, в = 0,

где V0, W0 — произвольные постоянные; Q(£) — произвольная функция. Во втором случае (b = 0) имеем

Q = -Uo ln |bh - ab2| + Qo, V = CiX - Co b

- ^ X

e vab —

vab I X

1

e vab dX

в третьем случае

Q(h)

Q(h) = -

2

1

1h

arctg

ca

V2ca'

если 2a > 0,

2V/Z2ca Q(h) =

ln

\J-2ca - h

\J- 2ca - h

если 2a < 0,

2aU0 h

если c = 0.

Для функции V(h), W(h) получаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Пример 3. Рассмотрим подалгебру операторов (aX3+X7, Xi, X2) = (adz + dt, dx, dy), a = const. Инвариантами этих операторов являются переменные {z - at,u,v,w,q,e}. Поэтому считаем, что функции u,v,w,q,e зависят от одной переменной ( = z - at. После подстановки система (1.1) преобразуется в фактор-систему

(-a + w + в')и' = veu", (-a + w + e')v' = vev'

(-a + w)w' = e(-q' + vw''), w' = 0, (-a + w + в') (штрих означает дифференцирование по переменной ().

(4.5)

Система уравнений (4.5) интегрируется и имеет два варианта решений:

и = и + ихС, V = V. + = Же, 5 = О), 0 = -(Же - а)С + 7\; (4.6)

u = Uo + Ui eToZ/v, v = VQ + VieTo z/v, w = Wo, q = Qo, 9 = ^Q--+ TieToZ. (4.7)

W0 - a

To

Здесь Uo, Ui, VQ, Vi, W0, Q0, T0, T1 — произвольные постоянные, T0 = 0.

Возвращаясь к естественным физическим переменным v, p, T (скорости, давлению, температуре) при обратной замене в формулах (1.2), (1.3), получим решения: для (4.6)

ТТ , ТТ Г т/ , w + Т -(W0 - a)z + Ti - X

Vi = Uo + UiZ, V2 = VQ + ViZ, V3 = a - gt, p = poXQo, T =-—-;

для (4.7)

vi = Uq + UiexToZ/v, V2 = VQ + ViexToZ/v, V3 = Wo - gt + TiTqeToZ,

p = PoXQo + (po (v - x) + A)TiTo2eToZ, T = -L_(-xTq + Wq - a + TiToeToZ).

XPTo

gt2

Здесь T0 = 0, Z = z - at + —.

Аналогичные решения можно построить на подалгебрах (вХ + Х7, Х2, Х3), (yX2 + ХЪ Хз).

Пример 4. Будем строить решение на операторах (Х2; Х5; Х7; Х3 + Xi3(^0)), = const. Инвариантами этих операторов являются переменные {x, u, V, w, 9, q-^0z}. Поэтому частично-инвариантное решение ранга 1 и дефекта 1 ищем в виде

u = U (x), v = v(t,x,y,z), w = W (x), 9 = 9(x), q = ^0z + Q(x).

Система (1.1) преобразуется в систему

UUx = 9(-Qx + vUxx) =0, Vt + UVx + VVy + Wv^ + XVx9x = v9(Vxx + Vyy + Vzz),

UWx + xWx9x = 9(-Vo + vWxx) - g, U9x + x9X = X99xx, U = 0, (4.8)

из которой следует, что U = U0 = const, Q = Q0 = const.

Система (4.8) расщепляется относительно функций 9, W, V и имеет два решения

а ( \ 1 х п (СЦоЛ 0 ( ч , Uox 9i(x) = 77- + C2 ехш - , 92 (x) = 9q -

.-у i 2 I I •) ^ 2 / ^ о i

ci v x / x

где Ci, C2, 90 = const, Ci = 0.

Функция v = const = 0 (плоское движение) является решением системы (4.8). Этот случай подробно рассмотрен В. К. Андреевым и В. В. Бекежановой в работе [8]. Ими исследовано течение жидкости в полосе -a < x < а с заданным тепловым потоком на

д9

границе —— = $(9 - 9вн) = d, где 9вн — внешняя (на границе) температура жидкости. dn

Рассмотрим функцию 92(x), тогда, интегрируя, получим третье уравнение в (4.8):

W(x) = UVo x2 + Cix + C2 + gX2 f9o -— v I 2 U02 V X

ln |9o - |- 1

X

Отметим, что полученное решение существенно отличается от известного решения стационарной задачи в приближении Обербека — Буссинеска

W(x) = -x(a2 - x2). 6vX

Пример 5. На операторах (aXl + X7; X2; X3), a = const инвариантное решение ищем в виде

u = u(£), v = v(0, w = w(0, q = q(0, в = в(0, £ = x - at.

Система (1.1) перепишется в виде фактор-системы:

u = 0, (u - a)u^ = e(-q5 + vu^), (u - a)v5 + х^ = vвv^,

(u - a)w^ + xw%в^ = vвw^ - g, (u - a)e5 + хв2 = хвв^. Следовательно, u = u0 = const, q = q0 = const. Положим u0 - a = a0. Тогда

a0vg + xv5в^ = vвv^, a0wg + xw^в^ = vew^ - g, a0e5 + хв| = хвв^. (4.9)

Структура уравнений (4.9) аналогична уравнениям системы (4.8), уравнение на функцию в(£) "отщепляется". Поэтому

в1(£) = ± + C2expi^У в2(£) = во - ^, Ci V х J х

где Ci, C2, в0 = const; Cl = 0. Для решения в2(£) легко получаем

v2(£) = + B2, Bi ,B2 = const,

w2K)=1 ^+дх2 (во - f )(м* - 1)}.

Список литературы

[1] Пухначев В. В. Модель конвективного течения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. Т. 6(23), №4. С. 47-56.

[2] Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 320 с.

[3] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 c.

[4] Родионов А. А. Групповой анализ уравнений микроконвекции и одного неклассического уравнения // Математическое моделирование в механике: Тр. сем. ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999. С. 169-180. Деп. в ВИНИТИ 05.07.1999, №1999-B99.

[5] OvsiANNIKov L. V. On the Optimal Systems of Subalgebras //J. Lie Grroups and Their Applications. 1994. Vol. 1, No. 2. Celal Bayar Univ. P. 18-26.

[6] РОДИОНОВ А. А. Некоторые точные решения уравнений микроконвекции // Симметрия и дифференциальные уравнения: Тр. Междунар. конф. Красноярск, 2000. С. 186-189.

[7] РОДИОНОВ А. А. Оптимальная система подалгебр второго порядка уравнений микроконвекции // Математическое моделирование в механике: Тр. сем. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2000. С. 120-130. Деп. в ВИНИТИ 06.06.00, №1625-1300.

[8] АНДРЕЕВ В. К., Бекежанова В. Б. Об одном инвариантном решении уравнений микроконвекции // Математическое моделирование в механике: Тр. сем. ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999. С. 34-47. Деп. в ВИНИТИ 05.07.1999, №1999-В99.

Поступила в редакцию 7 февраля 2001 г.