ГРАНИЧНЫЕ ФУНКЦИИ КЛАССА $E_2^2\left(1,\frac{\pi^2}6\right)$ ДЛЯ СЕТОК СМОЛЯКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 11-28

Математика

УДК 511.9

Граничные функции класса ^1, для сеток Смоляка *

Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов

Аннотация. В работе найдены граничные функции класса

^1, для сеток Смоляка и в явном виде вычислена

норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с двумерными сетками Смоляка.

Ключевые слова: сетка Смоляка, квадратурная формула,

граничная функция, погрешность интегрирования.

Введение

Рассмотрим простейшую 2-мерную декартову сетку на квадрате [0,1)2

м (VI, »2 ) = {(£, 21) 0 < к < 2"1 - 1, 0 < к2 < 2^2 - 1} (1)

из 2^1+^2 точек, которая также называется обобщенной равномерной

сеткой. Очевидно, что обобщенная равномерная сетка М(и\ ,»2) является декартовым произведением соответствующих одномерных равномерных сеток:

М(VI, и2) = М(VI) х М(и2).

Сетка Смоляка 3т(д) = 3т(д, 2) с целочисленным параметром д ^ ^ 3 определяется как объединение всех обобщенных равномерных сеток М(и\ ,и2) с д — 1 ^ VI + и2 ^ д. Таким образом,

3,,,.«,, 2)= ((к!, М 0 < к1 < Г1 — 1 к2< 2- — Ц (2)

\ \2^1 2”у VI, V2 ^ 1, д — 1 ^ VI + V2 ^ д )

Можно заметить, что минимальной равномерной сеткой, содержащей сетку Смоляка как подсетку, является М(д — 1,д — 1): 3т(д) С М(д — 1,д —

— 1).

Двумерные сетки Смоляка 3т(д) являются частным случаем 8-мерных сеток 3т(д,8), которые использовались Е. С. Смоляком в работе [1] для

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-а).

построения квадратурных и интерполяционных формул с весами и на них были получены результаты на различных классах функций, сравнимые с наилучшими из известных.

В работе будут рассматриваться классы Л2, E| периодических функций: Л2 - класс периодических функций f (x\,x2) с периодом 1 по каждой переменной и абсолютно сходящимся рядом Фурье:

+ 0 + 0

f (xi,x2)= £ C(m1,m2)e2n%(miX1+m2X2\ \C(m1,m2)\ < ос.

mi ,m2=—oo mi,m2 =—o

На пространстве Л2 рассмотрим норму

+o

\\f (x1,x2)\\A2 = \C (m1, m2) \ ,

mi,m2=—o

относительно которой Л2 сепарабельное банахово пространство, изоморфное пространству ¡2,1 комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2 со сходящимся рядом из модулей значений.

В пространстве периодических функций Л2 выделяется класс E22 более гладких функций, определяемый следующими условиями на коэффициенты Фурье.

Пусть f (x1,x2) Е Л2. Функция f (x1,x2) Е E% тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье

C(m1,m2)= С f1 f(x1,x2)e—2ni(miXi+m2X2)dx1dx2 J 0 J 0

выполнено условие

sup \C(m1,m2)\(m1 m2)2 < с,

m ez2

где для любого вещественного m полагается m = max{1, \m\}.

На классе E22 рассмотрим две эквивалентные нормы:

\\f(Me2 = sup \C(m1,m2)\(m1m2)2, (3)

2 mez2

\\f(x)\\E2;,ci = sup \C(m1,m2)\(C1m1C1m2)2. (4)

2 mez2

Класс функций E22 c нормой (3) будем обозначать E|, а с нормой (4) — E22 (;C{).

Пространства E| и E%(^,C1) — несепарабельные банаховы пространства, изоморфные пространству ¡2,o — ограниченных комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2, которое в силу счётности Z2 изоморфно пространству ¡o — ограниченных последовательностей

комплексных чисел. Действительно, этот изоморфизм нормированных пространств Е% и l2^ задается равенствами для коэффициентов Фурье:

c( m)

C(m) =_________,2 , m е Z2, \\с(т)\\ж = sup \c(m\,m2)| < то.

(Ш1Ш2)2 mez2

Шар радиуса C > 0 в пространстве Е2 с нормой (3) обозначают через Е2(C), а с нормой (4) — E^(C,C1). Класс функций Ef ввел Н. М. Коробов. О свойствах этого класса подробно можно узнать в [4] и [6] (также см. [7]).

Квадратурные формулы с двумерными сетками Сомоляка выглядят достаточно просто (см. [3], стр. 122).

Теорема 1. Пусть f(x\,x2) е Е2, q ^ 3, тогда для погрешности квадратурной формулы

1 1 1 q-!2v — 12q—v— 1 ,

f (x1, x2)dx1dx2 = ^EE 2 f( 21, 2—

0 0 v=1fci=0 fc2=0

1 q—22v —12q-1-v — 1 / k k ^

2o—£ f\ , 2q-1—v) — Rn (1)(q)[f 1 (5)

v=1 fc1=0 k2=0

справедлива оценка

R Ifi < 4i4i = n(!°3N(1)(q)^

N(1)(q)If 1 Щ < 9 • 4q v (N(1)(q))V ’

где N(1)(q) = — 2q — количество точек сетки Смоляка с учетом их

кратности.

Если квадратурную формулу (5) записать без повторения узлов, то получается более сложное выражение (см. [3], стр. 123).

Теорема 2. Пусть f(x1,x2) е E22(C), q ^ 3, тогда для погрешности квадратурной формулы 1 1

1 ' ' ' a(v, q — v) + a(q — 1, 0) + а(0, q — 1 ) —

г г 1 (q—1

f (x1,x2)dx1dx2 = — 'Yl a(v,1

0 0 V=1

0 0

q—3 q—3 \

—(q—3)^(0, 0) —J^(q—2 — v)(a(v, 0)+a(0,v)) — ^ (q — 1 — v—^)a(v,^)

V = 1 v,P = 1, I

v+p^q-2 /

— RN (q)If ],

где

^ ») = ^ /(Х)

хЄМ* (V,р)

( 21'-1-1 2^-1-1

— 1 2Г — 1 / Е Е /(

2кі + 1 2*2 + 1

кі=0 ^2=0

2^-1_ і

V 2^

2Р

=

Е /( ^ • о)

кі=0 2^-1 —1

Е /(о

к2=0 / (0, 0)

2*2 + 1 2Р

при V, ^ > 0,

при V > 0, ц = 0,

при V = 0, ц > 0, при V = ц = 0,

справедлива оценка

4п4д

= О

1п3 N (д) \ N (д) ) ’

(7)

где N(д) = 3д29 3 — количество узлов в квадратурной формуле (6).

Целью данной работы является получение явной формулы для выражения через элементарные функции граничной функции класса Е| с нормой (4) для сеток Смоляка и вычисление нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с сетками Смоляка.

Термин граничные функции ввёл Н. М. Коробов в статье [5]. Так как общий термин «экстремальная функция» требует уточнения, о каком функционале идет речь, то в этой работе мы будем придерживаться терминологии Н. М. Коробова, так как в нем подразумевается, что речь идет

о линейном функционале погрешности приближенного интегрирования и указывается, на каком классе функций и для какой квадратурной формулы.

1. Граничные функции

Пусть функция /(ж1 ,х2) Є А2. Рассмотрим квадратурную формулу с весами рк (к = 1,..., N):

11 N

[ !/(Х1,Х2)йХ1йХ2 = рк/[6(к),6(к)] - RN[/]. (8)

0 0 к=1

Здесь через Ям [/] обозначен линейный функционал погрешности приближенного интегрирования, получающийся при замене интеграла

1 1

У У /(х1,х2)йх1йх2

0 0

взвешенным средним значением функции /(Х1,Х2), вычисленным в точках

мк = Ык),Ш) (к = 1...М).

Совокупность М точек Мк называется сеткой, а сами точки — узлами квадратурной формулы с весами рк.

Для произвольных целых т1,т2 суммы Б(ш1,ш2), определённые равенством

N

Б(т1,т2) = Е рк е2п1[т1^1(к)+т2^2(к)] (д)

к=1

называются тригонометрическими суммами сетки М с весами, а суммы Б*(т1,т2), определённые равенством

1 м

Б*(т1, т2) = N Е рк е2™[т1?1(к)+т2?2(к)], (10)

к=1

называются нормированными тригонометрическими суммами сетки М с весами.

N

Положим р(М) = ^2 \Рз \, тогда для всех нормированных тригонометрических

3 = 1

сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

\Б*(т1,т2)\ < ^Р(М).

Сформулируем в нужных нам обозначениях частные случаи двух теорем Коробова о погрешности квадратурных формул, из книги [6, стр. 56, 57].

Теорема 3. Пусть /(х1,х2) € А2, С(т1,т2) — ее коэффициенты Фурье и Б(т1,т2) — тригонометрические суммы сетки М, тогда справедливо

Н<

равенство

оо

Ям [/] = N ^2 С (тьт2 )Б (т1,т2) +

Ш\ ,Ш2 = — Ж

+С(0,0) Г Б(°0) - Л= ^ С(т1,т2)Б*(т1,т2) + С(0, 0) (Б* (0,0) - 1)

' ' Ш1,Ш2 = -^

(11)

Здесь ^2' означает суммирование по (т1,т2) = (0, 0).

и при N ^ ж погрешность Rn [f ] будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда узлы квадратурной формулы 'равномерно распределены с весами в единичном квадрате.

Кроме того,

\\Rnl]\\A2 = SUp |S*(ift)|.

m GZ2

Для нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле на классе Е|, заданной равенством

\\Rnl]\\E2 = SUP \Rn[f\\,

справедлива следующая теорема Коробова.

Теорема 4. Если f(хі,х2) Є Е%, то для нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле справедливо равенство

ОО

Г1|| 1 V-' I5 (т1,т2) +

WRn Г1||£| = N Ъ (Ж1Ш2)2 +

т±,т2 =—ж

где сумма S(m1,ms) определена равенством (9).

S(0,0) 1

“-1

(12)

Класс функций Е| является частным случаем выделения линейного многообразия в А2 через условия на коэффициенты Фурье, а именно А2;^ с помощью функции ф(т1,т2) > 0, для которой

Е

ф(т1, m2)

mi,m2=-M

< ОО.

Пусть f (xi,x2) £ A2. Функция f (x\, x2) £ Л2,ф тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье

C(Ш1,Ш2)= f1 С f (xi,x2)e-2ni(miXl+m2X2)dxidx2 Jo J0

выполняется условие

C

\C(mi-m2)' < «mm) ■ (13)

где C не зависит от m1, m2.

На классе Л2,ф рассмотрим норму

\\f\\a2,ф = sup \C(mi,m2)\«(mi,m2),

m GZ2

относительно которой A2 ф — несепарабельное банахово пространство.

2=1

E2

Е2

1

Справедливо обобщение утверждения (12), что для нормы функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле на классе А2 ф справедливо равенство

ши.. = щ - ч- (14)

Ш\, Ш2 = -Ж ТК '

В частности, если * ф2(гп) = (т1т2)2, то пространство А2,ф2 = Е|; если

ф2,с1(т) = (т1ш2)2С[(гга), где г(т) — количество ненулевых т1, т2, то пространство А2,ф2,с1 = Е|(•,С1).

Ясно, что класс функций (13) относительно нормы || • ||л2 ф является шаром радиуса С. Будем его обозначать через А2,ф (С). В частности, получаем известные классы функций Е|(С) = А2 ф2 (С), Е22(С,С1) = А2^2с, (С).

Так как А2 ,ф относительно нормы || • ||л2 ф является несепарабельным банаховым пространством, то шар А2 ,ф (С) не является компактом при С > 0.

Функции / е А2,ф, для которых \\/\\а2 ^ =1 и \Яп(/)\ = ||Дп[^]||а2 ^, называют граничными функциями класса А2,ф (С). Нетрудно видеть, что для функции д0(Х) е А2,ф с коэффициентами Фурье^

если 5*(т) = 0,

Со(т) = ^ \5*(т)\ф(ту ’ (15)

ч0, если 5*(т) = 0

справедливы равенства

\до(х)\л2 = 1, [до] I = \\Ям Ша2 ,,р , (16)

таким образом, функция д0(Х) — граничная функция класса А2,ф.

В конечном виде норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования для заданного класса функций и заданной сетки вычисляется в небольшом количестве случаев. Ясно, что если при некоторых значениях щ, т2 тригонометрическая сумма 5(т 1, т2) = 0, то граничная функция класса сеткой определена неоднозначно. Если для любого набора целых т1, т3 тригонометрическая сумма Б(т 1, т2) ^ 0, то граничная функция класса определяется особенно просто:

^ ^2^г(т1Ж1+т2^2)

/(х1,....х,) = с £ -фттГ- (17)

Ш1 ,Ш2 = -Ж г 4 '

и не зависит от конкретной сетки с неотрицательными тригонометрическими суммами.

* Для вещественных т, следуя Коробову, полагаем т = тах(1, \т\). ^ Здесь Б*(т) означает комплексное сопряжение к величине Я*(т,).

Впервые понятие граничной функции класса содержится в работе

Н. М. Коробов [5], а более подробно в его монографии [6].

Как указывает Н. М. Коробов, наиболее интересным является случай граничных функций класса, когда они выражаются в элементарных функциях.

В монографии [6] приводится пример граничной функций класса для сеток с неотрицательными тригонометрическими суммами. Функция ф0(т1,ш2), заданная с помощью равенств

Таким образом, функция 9С Л (1 — 2{xV})2 является граничной

V =1

тригонометрическими суммами, но как показано в работе [3], нормированные тригонометрические суммы двумерных сеток Смоляка с весами принимают одно из трех значений — 0, -1, 1 (см. [3, стр. 120 — 121]).

2. Оператор взвешенных сеточных средних и разбиение

Коробова

В работе [2] (см. стр. 194 — 197) для любой сетки М с весами р на пространстве периодических функций Е2 определен линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних, заданный равенством

Обозначим через Ам,рС (т) действие линейного оператора Ам, р на коэффициенты Фурье функции f (X). Приведем без доказательства лемму из работы [2, стр. 194]).

(18)

для которой граничная функция

ГО

Є2пі(т1х1+т2Х2)

(19)

имеет простое выражение

2

Н(Х1,Х2) = 9 П(1 — 2 {XV})2-

(20)

V=1

2

функцией класса

для любой сетки с неотрицательными

д(х) = Ам,р!(Х) = N 2 Рк!Х1 + ^1(к)’х2 + (21)

к=1

Лемма 1. Для любой периодической функции / (X) из пространства Е2 и её коэффициентов Фурье С(т) разложения в ряд Фурье

/ (X) = ^ С (т )е2™(т’Х) (22)

02пг(т,х)

Ш1,Ш2 = — ^

справедливо равенство

Ам,рС(т) = 8м,р^т) С(т) = Б*м,р(т)С(т), (23)

где Бм,р(т) — тригонометрическая сумма сетки с весами, а Б*м р(т) — нормированная тригонометрическая сумма сетки с весами.

Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа

им/(Х)|Ц « V• (24)

Линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних, не увеличивающий норму любой функции, в статье [2] стр. 195 назывался нормальным.

Очевидно, что необходимым и достаточным условием того, что линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних не увеличивает норму любой функции, является ограниченность сверху единицей модуля всех

нормированных тригонометрических сумм с весами: Бм р(т) ^ 1 (т € Ъ2),

и, следовательно, оператор сеточных средних по двумерной сетке Смоляка является не увеличивающим норму любой функции.

В работе [2, стр. 206 — 209]) для любой сетки с весами < М,р> определены пять подмножеств фундаментальной решётки Ъ2:

Ко = {т € Ъ2 | Бм,р(т) = 0}, К1 = {т € Ъ2 | Бм,р(т) = М|},

К2 = {т € Ъ2 | Бм,р(т) = МI, |Бмт(т)| = М|}, Кз = {т € Ъ2 | ^м^т)| < М|},

К4 = {т € Ъ2 | ^м^т)| > М|}

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

Таким образом, Ъ2 = К0[] К^ К2[] К3 У К4.

Множества Ко, К1, К2, Кз и К4 порождают разбиение пространства

периодических функций Е| на подпространства Е2’К = 0,1, 2, 3, 4), где

для произвольного подмножества К С Ъ2

Е2’К = /(X) € Е2

/(х) = ^ С(т)е

2пг(гт,ж)

(30)

т £К

Такое разбиение названо разбиением Коробова, так как оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования по различным сеткам и естественным образом область суммирования разбивалась в зависимости от величины тригонометрической суммы сетки.

Из определения множеств Ко, К1, К2, К3 и К4 и свойств нормированных тригонометрических сумм двумерных сеток Смоляка следует, что:

1-12’Ко « л

• подпространство Е2 является ядром линейного оператора Ам р взвешенных сеточных средних;

• Е^’К1 — инвариантное подпространство, то есть все функции из этого подпространства переходят сами в себя под действием оператора Ам ,р;

• Е^’К2 — подпространство постоянной нормы без неподвижных точек, то есть все функции из этого подпространства сохраняют свою норму под действием оператора Ам,р;

7^2 , К3 7^2 , К4

• и — пустые подпространства.

Отсюда следует, что каждая периодическая функция / (X) из пространства Е22 представима в виде суммы соответствующих компонент из разбиения Коробова:

Для любого несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних имеем

Для двумерных сеток Смоляка в силу линейности функционала погрешности приближенного интегрирования имеем равенство

Теперь, пользуясь граничной функцией Н(х1,х2) = 9(1 — 2{жі})2(1 —

с помощью оператора взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка построить граничную функцию для двумерных сеток Смоляка.

/ (х) = /о(х) + Д(Х) + ¡2(х).

і і

і і

і і

(31)

оо

оо

оо

^[/] = Іім [/і] + Іім [/2],

(32)

так как на подпространстве Е22,Ко этот функционал тождественно равен нулю.

для параллелепипедальных сеток, нетрудно

Теорема 5. Пусть функция С(х1,х2) задана формулой

1 я-12"-12— -1 /7 ,

П(х1,х2) = ^2 Т, Мх1 + 91, Х2 + 2

2? \ 2У 2?-^

и=1 к1=0 к2=0 . д-2 2"-12«-1—-1 , , , х

1 ЕЕ Е Чх, + 21 ,х2 + --ь), (зз)

2?-1 ^ ^ \ 2^ 2?-1-^

^=1 к1=0 к2=0

2 11 п2

тогда С(х1} х2) — граничная функция класса Е§ ^1, Пт ^ для сетки Смоляка.

Доказательство. Действительно, согласно формулам (18) — (20) справедливо равенство

^2пг(т1Ж1+т2^2)

Н(Х1,Х2) = -------------------г • (34)

^ ^0(Ш1,Ш2)

Ш1 т2=—го г 4 '

Так как функция С(х1;х2) получена из Н(х1,х2) с помощью оператора взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка, то по лемме 1 имеем

Х2)= Е ) . (35)

^ Щ(т1,т2)

Ш1 ’Ш2 = — Ж /

Заметим, что по свойствам нормированных тригонометрических сумм с весами сеток Смоляка справедливы равенства

{0, если (ш1,ш2) е К0,

1, если (ш1,ш2) е К1,

-1, если (ш1,ш2) е К2.

Отсюда и из равенства (35) следует, что

е2пг(т1Х1+т2Х2) _____ е2пг(т1Х1+т2Х2)

С(Х1’Х2) = ( ^ ф0(ш1,ш2) ^ ф0(ш1,ш2) . (36)

(т1, т2) €К 1 (т1, т2) 6К2

Таким образом, ||С(х1,х2)У^2^1 П2^ =1 и С(х1;х2) е Е| ^1, П2). Далее

по теореме Коробова (теорема 3, стр. 15) для величины погрешности приближенного интегрирования получим

И П1 = ^ *(ш1,ш2) У'' ^ *(ш1,ш2 ) =

* (1)(?)[ , ^ ^ ^0(шЬш2) , ^ ^ ^0(шЬш2) =

(т1, т2)6К1 (т1, т2)6К2

( К ^0(ш1, ш2) + ^ К ^0(ш1,ш2) (1)(д)[ ]|е2(1 ’ ^)’

(т1, т2 )6К1 (т1, т2)6К

что и доказывает утверждение теоремы.

3. Обобщенные равномерные сетки и явный вид граничной

функции 0(х1,х2)

Для нахождения явного вида граничной функции С(х1,х2) заметим, что оператор А3т(д),р взвешенных сеточных средних по сеткам Смоляка, заданный формулой

1 д-12*-12— -1 , , ,

АЯт(д),р/О^^Н^ЕЕ Е /(Х1 + 21, Х2 + 2-

^=1 к1=0 к2 =0

. д-2 2--12«-1-^-1 , , Ь \

-гЕЕ Е /(х1 + 21,х2 + 2-^) , (38)

v=1 к1=0 к2=0

выражается через операторы Ам(^ и2) 1 взвешенных сеточных средних по обобщенным равномерным сеткам М(^1,^2):

. 2^1 -12^2-1 , к к \

Ам(У1 ’ ъ), 1/(х1,х2) = 2^+2 Е Е /(х1 + 2^т,х2 + 2^) , (39)

к1=0 к2=0 д-1 д-2

АЯт(д),р/(х1,х2) = ^ Ам(V,-) ,1/(х1> Х2) - Е Ам(и,д-1-и), 1/(х1,х2). (40)

v=1 v=1

В работе [2, стр. 210]) доказана следующая лемма.

Лемма 2. Для обобщенной равномерной сетки М(и1,и2), функции Н(х1,х2) и компоненты Н1(х1,х2) из разбиения Коробова справедливо равенство

Мхьх2) = (1 + 421 - (2'‘Х1( (1 - (2йХ1») х

Х ^ + 4^7 - 41 (2"Х'2( (1 - (2"х2()) ■ (41)

Для компактности записи введем обозначение

2 12

РV(х) = 1 + ^ - IV (2"х( (1 - (2Vх() ■

Теорема 6. Для граничной функции С(хьх2) кла,сса Е22 (1, П2 ) и сетки Смоляка справедливо равенство

д-1 д-2

С(х1}х2) = Е рV (х 1) Рд—V (х2) - ^2 РV (х1)Рд-1-и (х2 )■ (42)

"=1 V=1

Доказательство. Заметим, что

Л.1 (х1,х2) = Ам(V1, V2), 1^(х1,х2) = РV1 (х1)р^2 (х2).

Отсюда и из формул (33) и (40) следует утверждение теоремы.

Лемма 3. Справедливо равенство

( pV(х)йх = 1. (43)

0

Доказательство. Функция pV(х) периодична с периодом ^, поэтому

1 — — / \

I pV(х)йх = 2^/ pV(х)йх = 2V I (1 + 4г7 - 477 ' ^х (1 - 2Vхм йх =

00

1 + 7^ - х (1 - х)) йх = 1 + IV - 7^( 7Т-о) =1

0

и лемма доказана.

Лемма 4. Справедливо равенство

г-1 г 1

ПО(х1,х2)йх1йх2 = 1. (44)

00

Доказательство. Действительно

-1 г 1 д-1 г 1 г 1

" '^l)Рg-v (х2)ах1

П1 ^^ /*1 /*1

о(х1,х2)ах1ах2 = ^2 / pV(х^рд^(х2)ах1ах2-

V=^0 ./0

^ /*1 г 1 д-1 г 1 г 1

V / Рv (х1)Рд— 1—V (х2)ах1ах2 = ^ / Рv (х1)ах1 Рд-V (х2)ах2-

,,= ^0 J0 V=1Jо ^0

д~2 г 1 /• 1

УЗ / Рv(х1)ах1 Рд--(х2)ах2 = (^ - 1) - (^ - 2) = 1

V=1 ^ -]0

Ю -10 V=1J0 .30

д-2 г 1

р (х )ах p7-l-v^v

00

и лемма доказана.

Лемма 5. Для суммы

1 2"-1 / к

ст(^) = ^ 2 рЛ ^

к=0

справедливо равенство

2

а(^, и) = 1 +------------—г. (45)

4 ’ 4max(V’ у) к }

Доказательство. Рассмотрим два случая:

(1) Пусть V ^ и, тогда

р*{£) =1 + ^ -12 (2""'к>(1 - =1 + I"

и = 1 + 4тг.

(2) Пусть V > и, тогда

2^ — 1

*(^.) = ^Е/>- + |- - ё (2- К1 -

2^ ^ \ 4" 4" 2^" V 2^"

к=0

2^ — ^ — 1

2 12 1 2 ^ 1 к ( к \ 2 12 1

кк

= 1+----'----- > - 1---=1+-----

4" 4" 2^" /—с 2V—"\ 2V-" 4" 4"

X

4" 4" 2V-" ^ 2V-" \ 2V-^ 4" 4" 2V-"

к=0 \

х - 1 (2V-" - 1)(2 ' 2V-" - 1) \ = 1 + 2 2 4V-" - 1= 2

2 6' 2V-" / 4" 4" 4V-" 4V

и лемма доказана.

Лемма 6. Для суммы

д-121'-12— -1 ^ , \ д-2 2’'-12Ч-1-’'-1 /, ,

я(<г) = - ЕЕ Е с(^,-к2-Л - ЕЕ Е с(*1 .-kf-

у у 2д ^ ^ ^ V 2 2д-^ 2д-1 ^ ^ ^ V 2 2д—l—v

v=1 к1=0 к2=0 v=1 к1=0 к2=0

справедливо равенство

Я(9)= в1(д) - 2ЗД + Бз(д), (46)

где

Я1(9) ^ ^ у1 + 4max(V’") у ( 1 + 4тах(д—V’д—")

V’"=1 ' ' '

*(«)=££( 1 + 4max(V’") ) ( 1 + 4тах(д—V’д—1—")

V=1 "=1 ' ' '

д-2 2 2

Яз(9) = ^2 1 + 4тах?ы 1 +

4max(V’") / у 4тах(д—1—V’д—1—")

V’"=1 4 ' '

Доказательство. Воспользовавшись формулой (42), получим

Я (9) =

1у1у12у1 (уР /к1\Р- /-*^\ -уР /^\Р-1- /-к-

2д / ^ ^ / -/ I / ^Р" I 2^ / Рд " \ 2д—^) Р" \ 24 Рд 1 " \ 2д—v

7=1 к1=0 к2 =0 \"=1 4 7 7 "=1 4 7 4

д-2 2й-12д—1—^-1 /д-1

2д

т££ £ £р"

v=1 к1=0 к2=0 \"=1

I *2

2^ I Рд—"\ 2д—l—v

Ер^ (21) Рд-1-^2^l=v)) = Е Е а^,и)а(9 - ^9 - и)-

д—1 д-2 д-2 д-1

53 53 а^, и) а (Я - V, д - 1 - и) - ^5^ р)а(ч - 1 - v,q - и) +

V=1 "=1 V =1 "=1

д-2 д-2

+ 53 5^ а^, и)а(д - 1 - V,q - 1 - и).

7=1 "=1

Так как а(р^) = а^,и), то суммы со знаком минус равны и по лемме 5 получаем доказываемое утверждение.

Лемма 7. Справедливо равенство

Я (9) = ! + ^ +

4д

16д

1

Доказательство. Имеем

- Я2(9) = Е (1 + 4max(V’") ) (

V "— 1 ' ' '

2

д-1д-2

1+

V =1 "=1

2

4max(V’")

д-1 д-2

+££(1 +

V =1 "=1

д-1

£

7’"=1

1+

2

1+

2

4max(д—V’д—")

4max(д—V’д—1—") \ / 2

д-1

V=1

1+

4д

1

2

4max(V’") / у 4max(д—V’g—") 4max(д—V’д— 1—")

Аналогично,

д-1д-2

ЗД) - Яз(9) = ££( 1+

V=1 "=1

д- 2 /

£' +

V’"=1 4

д-2

2

2

4max(V’")

4max(V’")

2

1+

2

+ £ <1 +

V’"=1

2

4max(g— 1—V’g— 1—") 2

4max(g—V’g—1—") 2

д-2

Е(1 +

"=1

4д

-1

2

(47)

1+

4д-

1+

2

+

4д-1-"

+

4max(V’") / у 4max(g—V’g—1—") 4max(g— 1—V’g— 1—")

1

8

2

2

Поэтому

д-1

Я1(9) = 53

2

4д-1

V=1 4

д-1д-2 /

+££0+

V=1"=1 4

д- 2 /

£ 1 +

V’"=1 4

1+

4д-

д-2

£

"=1

4д

1

1+

2

4д—1—"

+

2

2

2

4max(V’") / у 4max(g—V’g—") 4max(g— V’g— 1—")

2 \ / 2 2

4max(V’") / у 4max(g—V’g—1—") 4max(g— 1 — V’g— 1—")

/д-1

= 11 + 4—^^ ^ (1+2

ЧV=1

4д-

4V

д-2

Е( ' + £) 1 +

"=1

2

д-2 2

+ ^(1 + 1д-г "=1

д-2

+ £ (1+

V’"=1

2

4д-

2

2

2

4д—" 4д-1-"

4

+

+

2

4max(V’") / у 4max(g—V’g—") 4max(g—V’g— 1—") 4max(g— 1—V’g— 1—")

= Я (9)+ ЗД,

где

Я4(9) =

4д

1

^=1

д-2

+£(1 +

"=1

4д-1 \ 4д-" 4д-1-"

"=1

2

4"

2

2

2

х(Е4"-Е2) = 0 + ^) -(1 +

\"=2 "=1 / 4

4д-1) ' V ' 4д-1 2 \ /1 2

4д-1 V 2 4д-1

4д-1 V 2 4д-1 У ’

д-2

1+

V’"=1

2

2

4

+

2

4max(V’") / у 4max(g—V’g—") 4max(g—V’g—1—") 4max(g— 1—V’g— 1—")

££(1 +

V =1 "=1 4

4V

2

4

+

2

4 -" 4 -1-" 4 -1-"

+

2

2

2

2

2

х

- ( 2 W 2 4 2 Ч

+ 2-^ 1 + 4V ) V 4q-^ 4q-^ + 4q-i-v I +

V=1 ' 7 ' 7

- y1 / 2 4 / 2 4 2

+ l + 41 J l 4q-v 4q-v + 4q-i-v

¡1=1 V=1 ' 7 '

- / 2 4 2 - 4 V^ 2 2 4 2

2--/ \ + 4V M 2-^t 4q-1 2-^t 4q-1-1 + 2-^t 4q-1-ß + 4q-v 4q-v + 4q-1-v +

V =1 7 V=1 1=1 1=1

V 2 - 4 - 2 \ _ - Л 2 \ 6 =

+ ¿-^ 4q-i 2-^ 4q-i + 2-^ 4q-1-i / 2-^ \ +4^ 4q-V

1=1 1=1 1=1 / V=1 4 7

_ 12(q - 2) + 1_ 2

4« 2 49-1‘

Отсюда следует, что

/ 2 \/1 4 Ч 12(д - 2) 1 2 , 3(д - 1) 8

5(д) = (^ + 49-Г) + 4« +2 - 4«-1 = 1 + 4«-1 + 16—

и лемма доказана.

Теорема 7. Для нормы п2 ^ линейного функционала

погрешности квадратурной формулы (5) справедливо равенство

11Е^(1)(д)[']11е2(1; £) = -^4—1 + 169-1 •

Доказательство. Действительно, из формулы (37) следует

11^м (1)(д)[']НЕ|(1; П2 ^ (1)(9)[^] =

= 5(д) — ( / С(х1,х2)йх1йх2 = 3(9 1) 1 8

Уо Уо

(48)

4q-1 16q-1

что и доказывает утверждение теоремы.

Список литературы

1. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. Т.148, №5. С.1042-1045.

2. Добровольская Л.П., Добровольский Н.М., Симонов А.С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2008. Т.9. Вып.1(25). С.185-223.

3. Добровольский Н.Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2007. Т.8. Вып.1(21). С.110-152.

4. Коробов Н.М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М.: Наука, 1963.

5. Коробов Н.М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Матем. заметки. 1994. Т.55. Вып.2. С.83-90.

6. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004.

7. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.3. С.56-67.

Добровольский Николай Николаевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Киселева Ольга Владимировна, аспирант, кафедра теории чисел, Московский педагогический государственный университет.

Симонов Александ Сергеевич, д.п.н., профессор, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педогогический университет им. Л.Н. Толстого.

Boundary functions of class (1, ^r) for grids Smolyak

Smolyak and explicitly calculated the norm of the linear functional error in the approximate integration by quadrature formulas with two-dimensional grids Smolyak

Keywords: Smolyak grids, quadrature formula, the boundary function, the error of integration.

Dobrovolsky Nikolai ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Kiseleva Olga, postgraduate student, department of number theory, Moscow State Pedagogical University.

Simonov Alexander, doctor of pedagogical sciences, professor, department of mathematical analysis, algebra and geometry, Tolstoy Tula State Pedagogical University.

N.N. Doborvolsky, O.V. Kiseleva, A. S. Simonov

Abstract. We find the boundary

for grids

Поступила 14-05.2011