CC BY
24
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 60-72
Математика
УДК 511.9.
О количественной мере качества сеток Смоляка*
О.В. Киселева
Аннотация. В работе получены оценки количественной меры качества сеток Смоляка.
Ключевые слова-, сетка Смоляка, параллелепипедальная сетка, граничная функция класса, количественная мера качества.
Введение
Рассмотрим л-мерную простейшую декартову сетку
из точек, которая является декартовым произведением одномерных
равномерных сеток, вообще говоря, с различным количеством узлов:
В случае, когда величины щ,... , и8 равны, сетку М(щ,... , и8) называют равномерной, в противном случае — обобщенной равномерной сеткой.
Введем обозначения: для натурального ц ^ в Л8{д) = {$ = (г'ъ • • • ,^) е № I VI + ... + г/„ ^ д, Ч ^ 10' = 1, • • •, я)} ,
Сз{ч) = {$= (г/і,..., г/8) Є № | щ + ... + vs = д, ^ ^ 1 (^ = 1,... , в)}. Ясно, что
кг к8
2"і ’''' ’ 2"»
В8(д)
VI + ... + 1У3 > д,
Ч ^ 1 (І = !> • • • > я
Я
оо
Мя) = и = и с^к)-
к=Б
к=д+1
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00790).
Из комбинаторики известно, что для количеств элементов в множествах С8{ц) и А8(д) справедливы равенства
|с.(?)1 = с-;, и,ы| = ¿с-; = ¿(а-си> = с;.
к=в к—*
Последнее равенство становится совсем очевидным, если учесть взаимнооднозначное соответствие (г/1,..., г/8) о (щ,... , г/8+1), где г/в+1 = д + 1 — {щ + ... + г/в), между элементами множества А8(д) и множества С8 +1(9+ 1)-Сетка Смоляка Бт{д, я) с параметром д ^ я определяется как объединение всех простейших декартовых сеток М(г/\,... ,р8) с тах(д — з + 1, з) ^ г/1 + ... + г/в ^ д, г/1,... , и8 ^1. Таким образом,
о2^-1 0 = 1,..„а), 1,1
\\2г'1 2"«/ тах(я, д — я + 1) ^ г/і + .. . + г/в ^ д \
В работах [5]-[7] сетки Бт{д, я) использовались для построения квадратурных и интерполяционных формул с весами, и для них на различных классах функций были получены результаты сравнимые с наилучшими из известных.
Цель данной работы — получить количественные оценки качества сетки Смоляка, используя величину погрешности приближенного интегрирования функции /г(®1,... , х8) = Зв(1 — 2{®1})2 ... (1 — 2{ж8})2 по единичному .^-мерному кубу [0,1]8. Данная функция принадлежит классу Е2 и является граничной функцией * в пространстве Е2 2, которое отличается от I?2 только эквивалентной нормой.
1. Квадратурные формулы Смоляка
Количественные оценки качества будут сделаны для сетки квадратурной формулы, построенных методом С. А. Смоляка. Эти формулы строятся для класса функций Е£, который определяется следующим образом:
Определение 1. Пусть а > 1 и /(х\,... ,х8) — непрерывная, периодическая с периодом 1 по каждой переменной, определенная на единичном в-мерном кубе комплекснозначная функция, разлагающаяся в ряд Фурье
+оо
/(*1, ...,х,)= £ С(тг,..., ГП8)е2*Ц™1х1+...+т.Х')'
гт,...,т3=-оо
* Понятие граничной функции класса для сетки ввёл Н. М. Коробов, см. [3] и [4] с. 60.
Функция /(xi,... ,xs) G Е£ тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье
С(тг, ...,т8)= f1... f1 f(Xl,..., xs)e~2^m^+-+m^ dxt ...dx8 Jo Jo
справедлива оценка:
||/(ж)||я« = sup \C(mi,.. .,т8)\(гЩ- ■ ■ • •ms)a < oo,
m&e
где для любого вещественного т полагается Ш = тах(1, \т\).
Величина ||/(ж)||я« является нормой, относительно которой класс функций Ef — несепарабельное банахово пространство, изоморфное пространству lS;00 — ограниченных комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Zs, которое в силу ечётноети Zs изоморфно пространству — ограниченных последовательностей комплексных чисел. Действительно, этот изоморфизм нормированных пространств Е£ и lS;00 задается равенствами для коэффициентов Фурье
Л/ “* \ с(ш) rj] е || . -*\|| I / \|
С (т) = ----------- , , т 6 Z , \\с(т) Uo = sup cl mi,... , ms)\ < oo.
rns)a
Шар радиуса С > 0 в Ef обычно обозначают через Ef(C). Класс функций Ef ввел Н. М. Коробов. О свойствах этого класса подробно можно узнать в [2] и [4] (так же см. [1]). В частности, для нормы линейного функционала погрешности Rj\r[f] произвольной квадратурной формулы
pi pi ^
/ ••• / f{xi,... ,xs)dxi .. .dxs = y^Pkf {xk) - RN[f]
Jo Jo k=1
с весами pi,..., pn и сеткой M = {ж& | А: = 1......N} на пространстве Ef
справедливо равенство *
над/]ня? = sup |ад/]| = |1-5(йр)|+ Зт^\а > i1)
/ев?(1) Л=_-_ (т1 • • • тв)
где S(m,p) — тригонометрическая сумма сетки с весами, заданная равен-
2тгг(т711 хг <к +.. ,+тп3хв<к)
СТВОМ
N
S{m,p) = ^2Рке-
к=1
и узлы сетки Xk = (®1,ь • • • , ®s,fe) {к = 1 ,...,N), а вектор весов р {Р1, • • • , PN)•
* Здесь означает суммирование по системам (mi,. . . , те) ф (0, . .. , 0).
Эквивалентная норма ||/(ж)||£;2 на пространстве определяется ра-
s
’ тг
венством
2 \ г(т)
1/(*)11 Е2 , = SUP \С(т\,... , ms)|(ml • ... • Ш8)л I ) < оо,
<~в~
---JT |~v---------------a/IV----J- ......“О/ 1 г.
- теZ \ °
где r(m) — количество ненулевых координат вектора т. Относительно новой нормы равенство (1) перепишется следующим образом:
НВД/ИЬ* = sup |Ялг[/]| =
feE\2( 1) s,-g-
= |i-S(ff,fl|+ ¿'------------|я(й’й| г.я,. (2)
(mi... ms)2 (^)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть /(х%,..., х8) € Е£(С), ц ^ з, тогда для погрешности квадратурной формулы
»1 Г1
(1хя
'о Jo
«И 1 л\кпк 2*1-1 2"в — 1
/ ... /(жь . . . ,Х8)(1Х1 ...,
¿0 ¿0
Ж*> /_■>\кГк 2-1-1 2^-1 / , , х
Е Е"'Е/(|г."'.|^)-л«(,)[я (з)
¿=0 Р€Се(д-к)к1=0 кв=0 4 '
справедлива оценка
з-1 /( (а+1)(«-1) ^(д)\
где N(q) = О (д8_129) — количество узлов в квадратурной формуле (3) с сеткой Смоляка Бт (д, в) и д(я) = гшп(д — з, з — 1).
Согласно этой теореме можно дать следующее определение.
Определение 2. Назовем количественной мерой качества сеток Смоляка величину Н (Бт(д, з)), заданную равенством
( 1\kfik _____ 2"1-1 2"е — 1 х \
*(»"•(*•)) = ЕЦ£^ Е Е-Е*(£.-.&)- <*>
к=0 РеСв(д-к) *1=0 &8=0 4 '
Так как функция Н (Бт{ц, я)) является приближенным значением интеграла
[ ... [ 11{х1,...,х8)<1х1...<1х8 = 1, (6)
Jo ./о
то о качестве сеток Смоляка можно судить по величине разности Н (Бт(д, з)) — 1 в сравнении с количеством узлов квадратурной формулы с сеткой Смоляка.
2. Количество узлов в квадратурной формуле с сеткой Смоляка
Следующая теорема дает точное выражение для количества узлов квадратурной формулы с сеткой Смоляка и простую оценку для этого количества.
Теорема 2. Для №(д) — числа узлов квадратурной формулы (3) с сеткой Смоляка Зт(д, з) выполняются соотношения:
<?(«)
М(д) = £ 2«-*СД_1, СД2« ^Я(д) ^ 2С^.
к=О
Доказательство. Из формулы (3) непосредственно видно, что
д(в) 2*1-1 2*в—1
*м=Е Е Е-Е1-
к=0 ¡>еСв(д—к) кг=0 кв=О
Проводя суммирование, получим
Ф) Ф)
»ы = Е Е 2"‘.2«...2"- = ^2--‘с,
к=0р£С(д—к) к=О
Очевидно, что ^ №(д). Так как ^ &д-1 Для любого целого к
с 0 ^ к ^ я(з), то
Ф)
Щд) 2Ч~к ^ 2Сд-129
к=О
и теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекают оценки
М{д) = о( У ) , д = 0(ЬЩд)) и 2« = О ( ^---V
3. Оценки количественной меры качества сеток Смоляка
По аналогии с количественной мерой качества параллелепипедальных сеток Нр{а\,..., а8), заданной равенством
= (8)
к—О
введем количественную меру качества H (М(и1,..., vs)) обобщенной равномерной сетки M(v\,... , vs) с помощью равенства
2-1-1 2V*-1 , , , ч
H{M{V1,...,UB))= м (9)
fe1=0 ks= о 4 7
Лемма 1. Справедливо равенство
</0)
H(Sm(q,s)) = Y,(-l)kCl1 X) H{M{Vl,...,Va)). (10)
k=0 i'€Cs(q—k)
Доказательство. Так как при ¿7 6 Cs(q — к) имеем щ + ... + vs = q — &, то утверждение леммы вытекает непосредственно из равенств (5) и (9).
Лемма 2. Справедливо равенство
H(M(v1,...,vs)) = f\(l+^-). (11)
j=i 4 J
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,
2-1 —1 2-s — 1
у* г, . V
...= Е-ЕШ1“2^)
*1=0 fcs=0j=l 4 '
s „ 2V3-1 , , \ 2
ПІгЕ (і-4) '
0—1 І..—П \ '
3=1 к,=0
Так как
ЗуЛ ;*У~3 122""1 I - (1 2
2^ I 2^ / 2 • 2й 6 • 22г/ I 22г/
*=о 4 7 4
то утверждение леммы доказано.
Лемма 3. Для величины
Н8(р)= X Н{М{и1,...,и„)). (12)
РеСе(р)
при р ^ з справедливо равенство
в т р в
ц.(р) = с; 1; + Е2“2”Е2‘с!слГ-11+ Е 2~гт'Е2‘с‘-с‘ш-1- аз)
т=1 4=1 Т7г=я+1 4=1
Доказательство. Пусть jt = (^'г,..., ^'в) — произвольный целочисленный вектор, удовлетворяющий условиям
К Л < ... < ^ 1 ^ ^+1 <•.. < и ^ я, {л,...,^} = {1,...,в}.
Другими словами, координаты вектора jt - это натуральные числа от 1 до я без повторений и с указанным ограничением на упорядоченность. Если Jt -множество всех таких векторов, то, очевидно, |^| = С*. Ясно, что /о = Зз =
(1,2, ...,$) И */д J$ "{ ( ^ 7 ^7 * * * 7 'О}*
В этих обозначениях произведение можно раскрыть следующим образом
ГЇ(і + ^) = і + Е2‘Е2
А—л \ / 1 Л г- 1.
2 E Vj
¡х=1
3=1 4 7 4=1 Цел
Отсюда следует, что
н,{р)= £ п(і + ^-)= Е (і + Е2‘Е2
Т+.гГ-і („\ А — 1 V / ПгГ-і („\ \ +— 1 *.г- Т.
2 Е */=1
¿'€C's(p)j=l ^ЄСе(р) \ t—1 3t€.h
»і»
c;--\+E2\E E 2
t=l 3t€Jt і?єСе(р)
2 E "j
/Li = l
(14)
Далее заметим, что
-2 E -2 E vj JL
^ rit \ ' о Éi /^4 \ ' n—2m
^2 x 2 "=l " = ^ E 2 j=1 =c,*E2“2ra E 1
3t€JtP€Ce(p) u1+...+ut^p, m=t ¡y1 + ...+iyt=m,
"1 П ''iil
= с; £ г-^с^Л.
та=4
Подставляя последнее выражение в (14), получим
я, Ср) = с;:; + ¿ 2<с; £ г-^-Л =
¿ = 1 ГП=1
в тп р в
= ^:11 + Е2_2тЕ2‘сХ7Л+ Е г1*Е2'с-'С11 (15)
та=1 4=1 та=8+1 4=1
и лемма доказана.
Лемма 4. Для величины
я(»)
Оз(ч) = '£(-1)кС*-1С*ч-1-1 (16)
*=0
при в справедливо равенство
П,(д) = 1. (17)
Доказательство. Имеем
*=0
и утверждение леммы верно при 8 = 1и любом <7^1.
Аналогично, при д = в д(в) = гшп(д — в, в — 1) = 0, поэтому получим
о
о8(в) = ^2(-1)ксз-1с:~1-1 =1 *=0
и утверждение леммы верно при д = « и любом в ^ 1.
Далее проведем двойную индукцию по я и д.
Пусть утверждение леммы верно для в ^ 2 и любого д ^ я. И пусть
утверждение верно для £>,¡+1 (д) для некоторого д ^ в + 1-Рассмотрим отдельно два случая: з^д^2зид^2з.
При я имеем: <7(3 + 1) = шт((д + 1) — (5 + 1), (5 + 1) — 1) = д — в
и
Я—в Я~в
»,«(?+1) = Е(-1)‘с.Ч'+1-1-1 = +^-1) =
к=0 А;=0
в в в
їв—1 'д—к—1 >
*=0 *=0 к=0
так как (—1) С^С^_к_г = (—I)9 8С§ ЯС%_1 = 0 при к = д — в.
9
Преобразуем последнюю сумму, получим
(/—я (/—я
'_1\* (_1_ — 1% /
'ч-к-1
^(_цкс?с>-і_і = £(_ц* (с;_і + ^-і) с.-і
= + В-ЧЧ-!1 С#-!*-!)-! =
А;=0 А;=0
ц—1—в
= Оа{д) - X (-1)*С,в*-1С,(7-11)-*_1 = ^(д) - ¿>-<9 - 1) = 0
*=0
в силу индукционного предположения. Поэтому в этом случае £>8 +1(9 +1) = 1-Пусть теперь д > 2з. Имеем: д(я + 1) = тт((д + 1) — (в + 1), (в + 1) — 1) =
я и
в в
»,+!(? +1) = Е(-1>‘С.Ч'+1-*-1 = Е«-1)*^ (^'-‘-1 + =
*=о *=о
= ¿(-l)‘cic,*_t_1 + = D,(g) + ¿(-l)‘cic*z l_lt
k=0 k=0 k=0
так как min(g — (s + 1), (s + 1) — 1) = s при q > 2s и (—1 )кСкС^_к_1 = (-1 )SC'SSC'|_1 = 0 при & = s и q = 2s.
Преобразуем последнюю сумму, получим
¿(-«‘ciq:;.! = ¿(_ц* (c;_i+с,-_^ =
к=0 fc=0
s—1
= Ds{q) - '£(~1)kCs-iCtA)-k-i = D^ -Ds(q~l) = 0 k=0
в силу индукционного предположения и равенства
(-1) ‘cJucjiU = = о
при к = s. Поэтому и в этом случае l)s—\ (q + 1) = 1. Тем самым утверждение леммы полностью доказано.
Лемма 5. Для величины
*,(!>) = £(-l)‘Cti (18)
fc=0
при 0 « р « s — 1 справедливо равенство
K,(rt = {M)'C*-2 "Р“0«”«8-2-. (19)
1^0 при р = s — 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, воспользуемся соглашением С'п 1 = Q+1 = о ( п ^ 1) и рекуррентным соотношением для биномиальных коэффициентов С™ = С™_! + C™~i (0 « т « п), получим
К sip) = {cl 2 + c-fr!) =
fc=0
= ¿(-1)*с.‘-2 - Е(-1)*с;_2 = (-i)'c;_2 =
fc=0 fc=0
= f (-!)PCs-2 при 0 « p « s - 2,
\0 при p = s — 1
и лемма доказана.
Лемма 6. Для целозначного многочлена
Ев{д) = £ 22" (¿2(-1)пС?_2 (20)
п= О \*=1 /
справедливо асимптотическое равенство
/_ОЧЯ —2о 8п8-1
Е,(д) = ( + О {д*~2) . (21)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, для биномиального коэффициента -1
(} — П — 1
С1а±_г как целозначного многочлена степени і — 1 от д имеем представление
1 ___ __
ч~п~1 (г -1)
с целыми коэффициентами а$_1(^',п). Здесь при 1 = 1 сумма по ] пустая и равна 0.
Отсюда следуют равенства:
ад = Х 22" (Е2^^)! + (-1ГС-2 =
Е2‘^
*=1
(8-2 г-2 /8-2 \ \
,*-1 £ 2="(-1 Г си + Е Е 22"“<-10. ")(-1)"с,"-2 Ь1 =
п=0 ¿=0 \п=0 / /
= Е2‘^77^ТЙ')‘'1(-3)’"2 +
*=1
/ Я О*/'“»* \
+ Е Е т—тттЕ22”“*-'«.")«-1)“0^ ^“
3=0 \г=з+2 ' '* п=0 /
О«/" 2 «я/ оЧя—2
= “(Н)Г'г’"1 + ^ = тНоГ,’"1 + 0 (,’"2) ’
где
6,0) = -----‘ ,, ] + Е ТТТТТгЕ22““«-!^")^1)”^,
3' <=¿+2 1 ^ п—0
что и доказывает утверждение леммы.
Теорема 3. Для количественной меры качества сетки Смоляка 5'т(д, в) при ц ^ 2 в — 1 выполняется равенство:
Н (Ят(?, »)) = 1 + £ 2-2“ (¿21С1С‘тЛ (-1 )«-’“с;гг =
771=д—я+2 \£=1 /
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,
<г(я)
Я (5ш(д, в)) = Х<-1)*Св*_1Яв (9 " *) =
*=0
</(«)
А;=0
(в т д—к § \
<«-, + Е^Ёад.+ Е 2-2™Ё2*с:с‘7л =
771=1 ¿=1 т?г=я+1 ¿=1 /
«?(«)
Ч* у
'8-1 Х
*=0
('я т д—к в ''
¿2-2™Е2‘СгС‘7Л+ £ 2-2™Ё2‘С;С^Л
Чт=1 £=1 у
о.ы+е^1»^;
Преобразуем последнюю сумму, используя лемму 5, получим я(3) / з т д—к з ^
Е(-1)',с,‘-1 Е 2_2”‘ Е 2‘с‘Л~-1 + Е 2_2"‘ Е 2‘с‘.с‘ш~1
к—0 \т=1 ¿=1 т=я~|~1 ¿=1 у
Я 771 Я(8)
= Е2_2гаЕ24с'*с'--11Е(-1)"с'"-1+
та=1 4=1 *=0
9 я тт(д(в),д—т)
+ Е 1-2тТ,2гс1сг--1 Е (-1)"с'-1 =
771=5 + 1 ¿ = 1 &=()
в 771
= Е 2-2т£2‘^с»-11(-1),(‘1сй!)+
771=1 ¿ = 1
_1_ \ Л 2_2т \ Л 2^С^С^—^ (___________]_)т^п(^(в),^—'7П)^т^п(^(*),^—т)
5 771—IV / в — 2
771=в + 1 ¿=1
X (_1)тіп(9-8,8-1)с,тіп(9-8,8-1) +
-1,9-т)
\т=1 1=1
Я
+ X 2“2т (-1Г1п(в_1’9_т)сЙ(в_1’9
та=я+1 \4=1 /
Отсюда следует, что
(в т \
X 2-2гаХ2‘С'«С'т-1 (-1)т”(9-8’8-1)С'™2(9“8’8“1) +
та=1 4=1 /
9 / в \
_|_ ^ ^ 2—2та I ^ 21С1С1'~1 I (_(^т™(8—1’Ч—'т)
тп=8-\-1 \4=1 /
Если д ^ 2з — 1, то д(з) = в — 1 и тт(з — 1,9 — т) = в — 1 при я + 1 ^
^ , 1 лтт(}—8,8—1) п .^ттСя—1,9—та) п , л ^ ^
т ^ д — в + 1, поэтому Св_2 — 0 и С3_2 —0 при в + 1 ^ т ^
9 — з + 1. Отсюда следует равенство
Я(5т(?,в)) = 1+ ¿ 2-2™^2‘С,‘С^_11)(-1)«-"‘С;ГГ =
та=(/—я+2 \4=1 /
= 1 + ^2-21»-“> ) (-1 )“С™_2 =
п=0 \ 4=1 /
=1+ ® Ё22” (Е2‘^:и) (-Ц”с."-2 = 1 + ^г-
га=0 \4=1 /
Применяя лемму 6, получим
Я (5т(д, в)) = 1 + ---+ ° О?8“2)) =
(-3)8“22898-1 / 9е-2
= 1 + ——ттт^-----------\-0 1
^ - 1)!229 \ 229 у '
Так как д = О (1п ІУ (д)) и 29 = О (1пД^(д)). ТО
я (вга(,,.),=1+о =,+о (1п3(;;;м)
и теорема полностью доказана.
Из доказанной теоремы видно, что для любой размерности 8^2 порядок убывания погрешности приближенного интегрирования граничной функции /г(жх,... , х8) = Зв(1 — 2{жх})2 ... (1 — 2{ж8})2 по квадратурным формулам с
использованием сеток Смоляка на множитель равный в — 1 степени логарифма от числа узлов хуже чем порядок убывания погрешности для оптимальных параллелепипедальных сеток с известными алгоритмами построения.
Список литературы
1. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып.З. С. 56-67.
2. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физмат-гиз, 1963.
3. Коробов Н.М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Матем. заметки. 1994. Т. 55. Вып.2. С.83-90.
4. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦН-МО, 2004.
5. Смоляк С.А. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах И7’“ и £7? // ДАН СССР. 1960. Т. 131, № 5. С. 1028-1031.
6. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5. С. 1042-1045.
7. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Дис. ... к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1966.
Поступило 06.09.2009
Киселева Ольга Владимировна ([email protected]), аспирант, кафедра теории чисел, Московский государственный педагогический университет.
About Quantitative Measurement of Smolyak Nets
O.V. Kiseleva
Abstract. The estimation of quantitative measurement of Smolyak nets is reached.
Keywords: Smolyak net, parallelepiped net, boundary class function, quantitative measurement of quality.
Kiseleva Olga ([email protected]), postgraduate student, department of number theory, Moscow State Pedagogical University.
