CC BY
17
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 511.9.
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО МОДИФИЦИРОВАННЫМ СЕТКАМ1
Л. П. Добровольская, Н. М. Добровольский, А. С. Симонов (г. Тула)
Аннотация
В работе изучается линейный оператор взвешенных сеточных средних и получены оценки дискретной дисперсии погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам на классе периодических функций Е^-
1 Введение
В 1957 — 1960 годах при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е? (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье, состоящий из функций ,..., х5), имеющих то каждой из переменных х-|,..., х8 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье
ОО
^хь...,х8)= £ С(ть...,т5)е2™(т1Х1 +-+тх*) (1)
т-1 ,...,т =—ОО
удовлетворяют условиям
С
|С(т1 ,...,т*)| а, (2)
(т1 ...т8)а
где константа С те зависит от т1,... ,т8, и для веществе иных т полагаем т = тах(1, |т|). Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, а поэтому для любого (а > 1) они представляют непрерывные функции.
Относительно нормы
№1 ,...,х5)|и = вир |С(т )|(т1 ...т5)а
Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
пространство является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству loo — всех ограниченных комплексно значных последовательностей.
Усеченной нормой называется величина q(x) = xi ... xs, где для вещественного x обозначаем x = max(1, |x|). Тогда усеченной норменной поверхностью с параметром t называется множество N(t) = {x|q(x) = t}. Для натурального t
на усеченной норменной поверхности имеется T*(t) целых ненулевых точек, где 2
<и) = L' i о)
meN(t)
— число представлений натурального числа t в гаде t = mi ... ms.
Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы ||f(x)||E«. Справедливо равенство
l|f(x)lka = sup qa(t) max |C(m)|.
t^1 meN(t)
Через Ea(C) обозначается множество фуНКЦИЙ ИЗ Еа с нормой, не превосходящей C, то есть шар в банаховом пространстве Еа радиусa C с центром в нуле.
Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f(x) из Ef(C) по модулю ограничена величиной C (1 + 2Z(a))s, при этом данная оценка достижима на функции
ОО р,
f(x) = Y —----------C e2ni(A’X)
J— (mi •... • ms)a
m=-OO
в точке x = 0. Здесь и далее, как обычно, Z(a) — дзета-функция Римана.
Очевидно, что Ef(C) С Ee(C) при а ^ |3. Для любой периодической функции f( x) £ Esa(C) С Ee(C) справедливо неравенство для норм
l|f( x)||e« ^||f(x)||Ep.
Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов видя
f( x) = Y_ C(m) e2ni(A’X).
me N(1)
Рассмотрим квадратурную формулу с весами
11 1 N
... f(xi,...,xs)dxi ...dxs = — ^_Pkf[£i(k),...,£s(k)]- Rn [f]. (4)
2Здесь и далеe Y.' означает суммирование по системам (m1,..., ms) = (0,..., 0).
Здесь через ^ [А обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла
1 1
А(х-|,... ,Х8^Х1 ... dxs
0 0
средним взвешенным значением функции А(х1,... , х^, вычисленным в точках
Мк = (№),...,^ (к)) (к =
Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.
Для произвольных целых т1,.. .,т^ ^мы 3М)р(т1,.. .,т^), определённые равенством
N
5М)р(ть...,т^ =Х рке2™[т1^М+-+т^(к)], (5)
к=1
называются тригонометрическими суммами сетки с весам,и.
Будем, также, рассматривать нормированные тригонометрические сум,мм сетки с весам,и
$м,р(т1,.. .,тз) = ^м,р(ть.. .,т5).
N
Положим Р(М) = X 1Рз! , тогда для всех нормированных тригонометриче-3=1
ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка
!$М,р(т)| ^ у^Р(М).
1
ма сетки и писать Бм(т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки
БМ(т).
Обобщая работу [7], дадим следующее определение.
Определение 1. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 назовем, функцию С(а,р|М, р) заданную в правой полуплоскости а = а + ГЬ (а > 1) рядом, Дирихле
с(а,р|м,р) = £_' = £. 5‘(р,М;Р,п), (6)
— (т1 . ..т^а па
т1 =—го п=1
где
5‘(р,М,р,п) = 1^М,р(т)|р. (7)
те^-п.)
Непосредственно из определения следует неравенство
С(ра,р|М, р) ^ Ср(а, 1|М, р).
(8)
Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать С(а, р|М) .
Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул.
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции А х) сходится абсолютно, С(т) — ее коэффициенты Фурье и Бр(т) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство
и при N —> оо погрешность И^А будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном э мерном кубе.
Теорема 2. Если А(х-|,... ,х8) € Еа(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка
где сумма (т) определена, равенством (5). На классе Е^(С) эту оценку
нельзя, улучшить.
Модифицированной сеткой М(в) будем называть сетку, состоящую из модифицированных узлов
Линейный функционал погрешности приближенного интегрирования периодической функции Ах) из класса Е^ то квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М(в) будем обозначать через КМ(р) рА(х)], а его
ОО
тт =—оо
оо
(9)
Ш-| ,...,Шб =—оо
Шт ,...,Ш5 =—оо
(тт.. .т8)а
|5м,р(т)|
= С Б*м,р( 0)- 1 + С • С(а,1|М,р),
(10)
Мк(в) = ({^ (к) + вт},...,(£,8(к) + вЛ) (к = 1 ...
норму — через КМ(Р) р
Е<;
В новых обозначениях утверждение (10) формулируется: для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Еа то квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М(в) выполняется равенство
КМ(р),р
^м,р( 0) — 1
+
1 ' |$М,р(т1)'-’)т8
то =—оо
а
в )
$М,р( 0) — 1
+ Ца,1|М,р). (П)
Из этого равенства следует, что для всех модифицированных сеток М(в) норма определяется исходной сеткой М и не зависит от вектора модификации. Это просто объяснить через понятие граничной функции класса, которое впервые встречается в работе Н. М. Коробова [13], а более подробно в его монографии [11].
Функции ^ х) с единичной нормой , для которых абсолютная погрешность приближенного интегрирования равна норме линейного функционала погрешности, следуя Коробову, будем называть граничными функциями класса Е^. Легко видеть, что граничной функцией класса Е^ для сетки М с весами р будет функция с коэффициентами Фурье
0 при 5м,р(т) = 0,
С0(т) = < 5м,р(т) (12)
1$м,р(т)1яа(т)
при Бм,р(т) = 0.
Ясно, что если при некоторых значениях т.1, ..., тв тригонометрическая сумма 5м,р(т) = 0, то граничная функция класса сеткой определена неоднозначно.
Нетрудно видеть, что если А х) — граничная функция класса Е^ для сетки М, то д(х) = f( х — в) — граничная функция класса Е^ для модифицированной сетки М(в).
Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать суммирование в квадратурной формуле, как будет видно из дальнейшего.
Цель данной работы оценить распределение значений погрешности приближенного интегрирования при модификациях сеток и применить его для произведения некоторых типов сеток.
Будут рассмотрены параллелепипедальные сетки М(а, р), состоящие из точек
Мк =({ аг},'"’{^}) (к = 1’2,'"’р); (13)
неравномерные сетки М(Р), координаты точек которых выражаются через
Р
М‘ = ({к} •{¥}'''• (Я) 'к= ,.2...Р,, „„
где Р = ^и Р = р2 и р — нечетное простое число;
и обобщенные равномерные сетки М(п) из N = П1 • ... • п; точек вида
к
(15)
2 Алгоритмы приближенного интегрирования с правилом остановки
Сделаем ещё несколько замечаний по поводу приближенного интегрирования периодических функций многих переменных (см. также [5]). Согласно теореме 2 для погрешности приближенного интегрирования справедлива оценка
ЫА1 < |К(х)||е- • (зм,р(0) — 1 + с (а 1 |М5 р)
но норма функции ||f |как правило, неизвестна и задача её вычисления более сложная чем задача вычисления интеграла, который является значением
С( 0)
гладкости а для конкретной функции может быть известна только некоторая оценка, вытекающая из дифференциальных свойств функции, что приводит ещё к большей неопределенности для решения вопроса о достигнутой точности вычисления по конкретной квадратурной формуле для этой конкретной функции. Дадим следующее определение.
Определение 2. Будем говорить, что задан алгоритм приближенного интегрирования
< М(])) р(])) Д > 0 = 1)2)...)
периодической функции т х) из класса Е;= у Е^ с правилом, оста,новки Д^( х)),
а>1
если задана, бесконечная возрастающая, последовательность натуральных N3
с Иш N3 = то и сеток с ее сам,и М(])) р()) из N3 взвещенных узлов равномерно 3^00
распределенных в единичном s-мepнoм кубе такая, что для, правила, остановки дт х)) < £ величина,
Дт(х)) = Д т( х) М(])) р(]))
и выполняется равенство
Иш Д (^х) М(])) р(])) = 0. 3^00
В этом определении предполагается, что величина Д т( х)5 М(])) р(])) алгоритмически выражается через веса и значения функции в узлах сетки. Кроме того предполагается, что для любого N3 из данной последовательности сетка с весами М(])) р(]) алгоритмически вычисляется. В данной работе будет предложена в качестве правила остановки величины дискретной дисперсии и сеточного размаха, определение которых будет дано ниже. Таким образом, вычисление приближенного значения интеграла продолжается до тех пор, пока для заданного £ > 0 те будет выполнено правило остановки Д т( х) М(])) р(])) < £.
Следуя К. И. Бабенко [1] и О. В. Локуциевскому [15], дадим следующее определение ненасыщаемого алгоритма приближенного интегрирования на классе
Е; = и Е0-
:а
"Б ‘
а>1
Определение 3. Будем говорить, что периодическая функция т(х) из класса Е; = и Еа принадлежит конечном,у показателю а = а(т(х))) если
:а
"Б
а>1
:а
т(х) € Еаа и т(х) € Ев для, любого в > а. В противном случае будем гово-
Е
показателю.
Ясно, что бесконечному показателю принадлежит любой конечный тригонометрический полином. Если периодическая функция т(х) € Е ; не является конечным тригонометрическим полиномом и принадлежит бесконечному показателю, то она будет бесконечно дифференцируемой функцией.
Определение 4. Будем говорить, что алгоритм, приближенного интегрирования < маш)^ > (] = 1)2)'..) периодических функций из класса, Е ; = и Еа ненасыщаемый типа, (у)Л), если для, любой периодической функции
а>1
т(х) конечного показателя а = а(т(х)) и погрешности приближенного интегрирования выполняется равенство
Ч т х)] = о( . (17)
Как известно (см. [14]), методом оптимальных коэффициентов Коробова можно построить ненасыщаемые алгоритмы типа (^ — 1 )а51), а модифицированным методом Фролова — (^ — 1)? 1) . Для случая равномерных сеток имеем тип (051).
С точки зрения трудоемкости вычислений разумно выделить класс алгоритмов приближенного интегрирования, в которых ]-ая квадратурная формула полностью использует результаты вычислений по ] — 1-ой квадратурной формуле. Дадим следующее определение.
Определение 5. Будем говорить, что задан концентрический алгоритм приближенного интегрирования < М(]))р(]))Д > (] = 1)2)...) периодических
функций из класса Е; = у Е^, если для любого ) ^ 1 выполняются условия,
а>1
м(з) с М(з + 1), Зр : Ух € м(з): р,+1 (х) = р • р3( х). (18)
Наиболее простой пример концентрических алгоритмов приближенного интегрирования дают квадратурные формулы с равными весами, построенными
1
нечной последовательности точек из единичного Б-мерного куба. Другой класс концентрических алгоритмов приближенного интегрирования связан с понятием произведения сеток с весами.
Пусть даны две сетки с весами < М1, р1 > и < М2, р2 >■ Напомним определение произведения сеток с весами из работы [6], которое здесь несколько отличается для случая |М31 = |М11 • |М2| появлением нормировочного множителя.
Определение 6. Произведением двух сеток с весам,и < М1, р1 > и < м2, р2 >
< М3, рз >=< М1, р1 > • < М2, р2 >, (19)
где
Мз = {{х + у}|х Є Мі, у Є М2}, (20)
|Мз| |Мі| • |М2І
рз(г> = ІМ^МЇ L рі(Х) • Р2(У), (21)
2 = {х+у }, хЄМ^ ,у ЄМ2
и для, любого вектора X = (г-|,..., г5) дробной частью вектора называется, вектор { X} = ({гі},..., К}).
Определение 7. Будем говорить, что задан мультипликативный алгоритм, приближенного интегрирования < М*(і), р*0), А > (] = 1,2, ... ,п,...) периодических функций из класса, Е5 = и Е^, порожденный бесконечной после-
а>1
довательностью < М(]),р(]) > (] = 1,2,...), если М*(1) = М(1), р*(1) = р(1) и для, любого ) ^ 1 выполняются условия
< М*(і + 1), р*(] + 1) >=< М*Ш, р*(]) > • < М(і + 1), р(і + 1) > . (22)
Нетрудно видеть, что если для каждой сетки 0 Є М(]) (] = 1,2,...), то мультипликативный алгоритм приближенного интегрирования будет концентрическим, так как в этом случае всегда М*(]) С М*(] + 1).
Определение 8. Мультипликативный алгоритм, приближенного интегрирования
периодических функций из класса Es = (J E^, порожденный бесконечной по-
а>1
следователъностъю
<M(j),p(j) > (j = 1,2,...)
с дополнительным условием,
О £ M(j)(j = 1,2,...),
будем называть мультипликативным, концентрическим алгоритмом, приближенного интегрирования.
Пусть величины mf, Mf — минимальное и максимальное значение функции f(x) определены, соответственно, равенствами
mf = min f( x), Mf = max f( x), (23)
xe[0;1]s Xe[0;1]s
а размах функции vf = Mf — mf, тогда справедливо неравенство
vf ^ HAIe^2 ((1 + 2C(a))S — 1). (24)
<
M(j),p(j),A > ( j = 1, 2, . . . )
НОСТИ
mf(j) = min f( x), Mf(j) = max f( x), (25)
xeM(j) XeM(j)
для которых справедливы соотношения
mf(j) ^ mf, lim mf(j) = mf, Mf(j) ^ Mf, lim Mf(j) = Mf. (26)
j^ro j—^OO
Для любого концентрического алгоритма приближенного интегрирования
< M(j), p(j), Д > ( j = 1, 2, . . . )
монотонности:
mf ^ ... ^ mf(j) ^ ... ^ mf(2) ^ mf(1) ^
^ Mf(1) ^ Mf(2) ^ ... ^ Mf(j) ^ ... ^ Mf. (27)
Так как для "сеточного" размаха vf(j) = Mf(j) — mf(j) функции f( x) отличной от константы выполняется равенство lim vf(j) = vf > О, то величину
j—>оо
сеточного размаха нельзя использовать как правило остановки, но в качестве правила остановки можно использовать величину приращения сеточного размаха dvf(j) = vf(j) — vf(j — 1), которая стремится к нулю, но с оговоркой,, что если приращение сеточного размаха нулевое, то останавливаться можно только при Nr < £•
Таким образом, простейшее правило остановки для концентрического алгоритма можно определить как
Д (f(x),M(j),p(j)) = max ( ,^ \ ,,, max f(x) + min f( x)—
\JM(j)r )€M(j) XeM(j-1)
— max f( x) — min f( x)) (j = 2,3,...). (28)
x€M(j-1) XeM(j) j
3 Оператор взвешенных сеточных средних
Для любой сетки М с весами р рассмотрим на пространстве периодических функций линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних заданный равенством
1 N
д(х) = Ам,р^ х) = ^^РкШі + ^і(к),...,х5 + £*(к)]. (29)
к=1
Обозначим через АМ,рС(т) действие линейного оператора Ам,р на коэффициенты Фурье функции ^ х).
Лемма 1. Для любой периодической функции ^ х) из пространства Е^ и её коэффициентов Фурье С(т) разложения в ряд Фурье
^ х) = £_ С(т)е2п1(т’Х) (30)
-,2яі(т,х)
ч_- ( і т) е
ті =—оо
справедливо равенство
Ам,рС(т) = 5м,р(т) с(т) = 5М,р(т)С(т.) (31)
где 5м,р(т) — тригонометрическая сумма сетки с весам,и, а, БМр(т) — нормированная тригонометрическая сумма сетки с весам,и.
Кроме того, справедлива, тривиальная оценка для, нормы, образа
||Ам,рОД||Е« < ||ОД||Е,, . (32)
Доказательство. Действительно,
1 N
д(X) = Ам,рf( X) = *тХ.ркА*1 + ^1 (к),... ,Хз + ^(к)] =
к=1
-. N оо
С(т)е2п^(т1 (Х1 +£,1 (к))+...+ш* (х8 +£8 (к))) =
к=1 ш-| ,...,ш5 =—оо
^ 5м,р(т) с(т)е2п1(т>Х), (33)
ті ,---,т5 =—оо
II Ам,р^ (х)||ЕЯ = вир |5М,рС(т)|(т1 ...т5)с
что и доказывает утверждение леммы.
Ам,р
средних нормальным, если он не увеличивает норм,у любой функции.
Очевидно, что необходимым и достаточным условием нормальности линей-Ам,р
сверху единицей модуля всех нормированных тригонометрических сумм с веса-
ми:
^М,р(т)
^ 1 (т е zs).
.з доказанной леммы следует, что собственными функциями линейного опе-Ам,р
е2т(ш,х) (т е Zs) за исключением тех гармоник, которые переходят в ноль, то есть принадлежат ядру оператора. Собственными значениями являются соответствующие нормированные тригонометрические сумм сеток с весами БМр(т) отличные от нуля.
Ам,р
ных средних выделяются условием, что все собственные значения этих операторов не превосходят по модулю единицу.
Если сетка с весами < М, р > порождает нормальный линейный оператор Ам, р
оценка сверху
С(а, 1 |М, р) ^ Си№) = ((1 + 2С(а)Г - 1). (35)
Отсюда следует, что для образа д( X) = АМ)р^Х) справедливы более точные неравенства чем (24).
М9 - С(0)5М,р(0) ^ ||^Х)||Е? Ца,1|М,р),
С(0)5М,р(0) - тд ^ ||ПХ)||е« С(а, 1 |М, р),
"^д ^ №)||е« 2Ца,1|М,р). (36)
Из теорем 1 и 2 следует, что для любого алгоритма приближенного интегрирования < мо),рШ,л > (] = 1,2,...) периодической функции ^ X) из класса Es = У Еа выполняется равенство
:а
“Б
а>1
Ііш С(а,1|М(і),р(і)) = 0, (37)
7^оо
поэтому величину усредненного взвешенного сеточного размаха "Уд7)(] + 1), где д(І) = АМ0),р0)А х) — ]-ый образ функции ^ х) под действием ]-ого оператора Ам(і),р(ї), можно использовать как правило остановки с одной оговоркой, что если усредненный взвешенный сеточный размах нулевой, то останавливаться МОЖНО ТОЛЬКО при N7 < £,
Наиболее компактно правило остановки можно сформулировать для мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интегрирования
< М*(Я,р*0),Д > 0 = 1,2, ...,п,...) периодических функций из класса
Es = II ЕО, порожденный бесконечной последовательностью < ЛЛ(^),р(^),А >
а>1
(] = 1,2,...) с дополнительным условием 0 е М(]) (] = 1,2,...), если положить
< М(0) = { 0}, р(0) = (1), тогда Aм(0),р(0)f( X) = ^ X) и
А МЮ.М* Ш,р* (])) = тах( |М1(^)у,
хтм« |м*о-1)| £ +У)-
и п Уем*(3—1)
- хтм?,) |М* (;’-1)| Г р*(>- + У)) ° = 1-2>..'). (38)
и луем*(з—1) )
Если правило остановки выполнено, то в качестве приближенного значения интеграла берется величина
1 = ММ Г Р *(^У)^У) = Ам*о),р*шП0) =
| (J)| Уем*(з)
1^ Г Р(3,у)М*п-1)| Г Р*(3 - + У) =
|м(з)| ^>^м*а -1)|
и Уем(з) и уем* (3—1)
= Ам(з),р(з) Ам* о—1 ),р* о—1 ^( 0). (39)
Теорема 3. Для любых двух сеток с весам,и < М1, р1 > и < М2, р2 > и
произведения соответствующих линейных операторов взвешенных сеточных средних справедливо равенство
Ам1 ,р1 Ам2 ,р2 = Ам3 ,р3 (40)
и сетка с весам,и < М3, р3 >=< М1, р1 > • < М2, р2 > .
Кроме того нормированные тригонометрические суммы сетки с весам,и мультипликативны, то есть
$м1 ,р1(т) • 5*м2,р2(т) = (т). (41)
Доказательство. Действительно, для любой периодической функции ^ X) го пространства Е^ имеем
Амьр1 Ам2, р2f( X) = Ам1 ,р1 | |М— X. Р2(УК [{X + У}]
| 2| Уем2
1 Г р1( *) (Му ^ Р2(УК [{X+у + £}]
|М1|
2ем1
/
Уем2
|М3|
£
лемз
|М3|
\
V
|М1| • |М2|
X. Р1(^) • Р2(У)
л = {2 + у},
2Ем1 ,у €м2
f [{X + ™}] =
|Мз|
У Рз(^К [{X + ™}].
лемз
Аналогично для тригонометрических сумм имеем:
$м1 ,р1(т) • 5*м2,р2(т) =
1
|М1|
р1( ^)
2та(Ш,2)
1
2ем1
|М2|
X. Р2(У)
2па(Ш,у) | =
уем2
|Мз|
£
Лемз
|Мз|
|М1| • |М2|
X. Р1(^) • Р2(У)
л = {2 + у},
2Ем1 ,у €м2
е
2та(Ш,л) ___
|Мз|
Рз(Л)е“<Ш*> = Б'мз.рз (т),
Лемз
что и доказывает утверждение теоремы.
(42)
(43)
1
1
1
4 Случайные величины и многомерные квадратурные формулы
Возьмем произвольную равномерно распределенную случайную точку X из единичного в-мерного полуоткрытого куба Gs = [0; 1)% тогда определена случайная величина Хг = ^ X), для математического ожидания и дисперсии которой справедливы равенства
1 1
М(Хг) =
(44)
00
1 1
00
1 1
00
2
Пусть характеристическая функция х-ъМ промежутка [0; 1) задается равенством
1 при 0 ^ X < 1,
ХъМ =
!
(46)
тогда интегральная функция распределения Р^) случайной вели чины Хг = ^ X) имеет следующее интегральное представление
Р^) = Р(Хг < X) = <^
0
1 1
00
1
при X ^ т|,
Хх ^ (у) - т^ dt при mf < X ^ Мг, (47)
при X > М^
Лемма 2. Для дисперсии случайной величины Xf периодической функции ^ X) из пространства Е^ справедливо равенство
1 1
0(Х^ =
|f( X)|2dX -
00
1 1
f( X)dX
00
(48)
Доказательство. Как обычно, комплексное сопряжение для ъ будет обозначаться через ъ. Далее имеем
1 1
0(Х^ =
1 1
00
00 1 1
1 1
-
f( X) dX
00
dX =
1 1
f(X) -
^ X)dX I 1 f( X) -
^ X)dX I dX =
00
00
1 1
1 1
1 1
|f( X)| dX -
f( X)dX I =
00
00
00
1 1
|f(X)|2dX -
00
1 1
f( X)dX
00
что и требовалось доказать.
Из равенства Парсеваля следует, что
Ш-1 ,...,Ш5 =—оо
(49)
2
2
2
Для дисперсии справедлива оценка через норму функции:
У (ті... т5) 2а =
шт =—оо
= ІІВДІіЕ. ((1 + 2«2«)Г - 1).
(51)
Нетрудно видеть, что значение в произвольной точке образа функции ^ х) под действием линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних является статистикой для значения интеграла от ^х). Пользуясь таким взглядом на линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних дадим следующее определение.
Определение 10. Линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних называется несмещенным, если для любой периодической функции ^ х) из пространства Е^ справедливо равенство
М(ХАм,р^) =
А х^х.
(52)
Теорема 4. Линейный оператор взвешенных сеточных средних является несмещенным тогда и только тогда, когда для весов сетки справедливо равенство
1
N
N
X. Рк = 1,
к=1
то есть
$*м,р( 0) = 1.
Доказательство. Действительно,
(53)
(54)
1 1
М(ХАм,р^) =
Ам, рП х)ах =
0 0
1 1
00 1 1
(— Т.
\ |М|
V ^ем
2_ Р(^К [{х + ™}] ) dx =
йеМ
')
|М|
X. р(^)
йеМ
f [{х + ™}] dX I = т^—г
00
(щ Т Р(Л))
V йем /
М(Хг).
(55)
Отсюда следует, что М(ХАм -г) = М(Х^ для любой периодической функции ^ х) го пространства Е^ тогда и только тогда, когда для весов сетки справедливо равенство (53), которое эквивалентно равенству (54). Что и требовалось доказать.
1
Замечание 1. Для любой интегрируемой по Риману функции справедливо равенство
1 1
1 1
f [{х + ™}] dX,
(56)
00
00
так как отображение х —> {х + ^} отображает в-мерный полуоткрытый куб = [0; 1 )я на себя и является кусочно гладким с единичной матрицей Якоби. Отсюда следует, что несмещенный линейный оператор взвешенных сеточных средних обладает свойством, несмещенности на классе всех интегрируемых по Риману функций.
Сетки с весами < М, р >, задающие несмещенный линейный оператор взвешенных сеточных средних, обладают важным свойством: у них в формуле (11)
исчезает член
С*
°М,р
(0)- 1
и для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Е^, по квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М(в) выполняется равенство
И
М(в),р
= «а,1|М,р).
(57)
Из мультипликативности нормированных тригонометрических сумм сетки с весами и доказанной теоремы следует, что произведение несмещенных линейных операторов взвешенных сеточных средних является несмещенным линейным оператором взвешенных сеточных средних.
Нетрудно видеть, что для дисперсии случайной величины ХАм ^ = Ам^(х) справедливо равенство
° (ХАм,рО = Ц’ 1с(т)12|5*м,р(т)|2.
(58)
Ш-1 ,...,Ш5 =—оо
Переходя к оценкам коэффициентов Фурье через норму, получим неравенство ° (Ха„,„г) « 11+^1- • С(2«,2|М,р) < ЦЯ||« • С2(а,1|М,р). (59)
Как правило, норма функции ||А|е“ неизвестна и задача её вычисления более сложная чем задача вычисления интеграла, который является значением только одного коэффициента Фурье С( 0). Поэтому целесообразно оценивать дисперсию Э (ХАм , которая убывает вместе с величиной линейного функци-
онала погрешности приближенного интегрирования ^м(р) р[^( х)]- Так как саму дисперсию вычислить в общем виде не представляется возможным, то дадим следующее определение.
Е
Определение 11. Сеточной дисперсией с весами периодической функции f(х) из пространства Е^ будем называть величину Эм, р^( х)], заданную равенством,
N
Ом, р [f( х)] = ^Х.Рк
к=1
N
N
N
^Рк^ [^і(к),...,^3(к)]|:
к=1
1=1
N
N
^Р^ [Мі),...,иі)]
1=1
(60)
Лемма 3. Для сеточной дисперсии с весам,и периодической функции ^х) из пространства Е^ если линейный оператор Ам, р взвешенных сеточных средних является, несмещенным, то справедливо равенство
Ом,р№)] = О(Х,) - О (ХАм,,рг) + ОИм^ОД]
(61)
где
оим, р[f( х)]= ^ с(т)с(п) (бм,р(т- п)-бм,р(т)Бм,р(-я)). (62)
Ш,п=—оо
Доказательство. Действительно, полагая хк = (£-|(к),... ,£8(к)), подставляя вместо функции ^ х) её абсолютно сходящийся ряд Фурье и учитывая равенство БМр(т) = 5Мр(_т), получим
мр
N
Ом,р^( х)]= ^^Рк
N
к=1
оо
£ С(т) (е2"1(Ш'Хк) -Бм,р(т))
= ]^£Рк £ С(т)С(п) (е2”1**-1 -Б'м^т)) х
к=1 Ш,п=—оо
оо
х ^е—2пі(п,Хк) -5м,р(-п)) = с(т)с(п) (бм,р(т-п)+
Ш,п=—оо
+5*м,р(т)3*м,р(-п) (Б*м,р(0) - 2)) .
(63)
Так как для несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних выполняется равенство Бмр( 0) = 1, то
2
1
1
2
З3десь и далее ^1* означает суммирование по системам т = 0, п = 0, т = п.
Dm, p[f(x)]= C(m)C(n) (SM,p(m - n) -SM,p(m)SM,p(-n)) =
m,n=—oo oo oo
= Y-/ Y' C(m)C(n) (S*M,p(m - n)-SM,p(m)S*M,p(-n)) = m=—oo n=—oo
oo oo
= Y_ IC(m)|2 - Y_ IC(m)|2|SM, p(m)|2+
m=—ro m=—oo
oo
+ Y_ C(m)C(n) (SM, p(m- n) -SM,p(m)SM,p(-n)) . (64)
m,n=—oo
Отсюда и из (50) и (58) следует утверждение леммы.
Нетрудно видеть из доказанной леммы, что для любого алгоритма прибли-
< M(j),p(j),A > (j = 1,2,...) сеточную дисперсию с весами периодической функции f( x) нельзя использовать как правило остановки, так как она будет сходиться к дисперсии D(Xf) > 0. Поэтому дадим следующее определение.
Определение 12. Дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с сеткой M и весами р периодической функции f(x) из пространства будем называть величину DMpf(x)],
заданную равенством
DM, p [f(x)] = Dm, p [Am, pf( x)]. (65)
Следующая лемма показывает, что в принципе в случае несмещенного, нормального линейного оператора AM, p взвешенных сеточных средних дискретная дисперсия DMp[f( x)] может выполнять функции правила остановки в алгоритме приближенного интегрирования.
Лемма 4. Если линейный оператор AM,p взвешенных сеточных средних является несмещенным и нормальным, то для его дискретной дисперсии DMp[f(x)] справедливо неравенство
DM,p[f( x)] ^ 2||f|||а • z2(a, 1 |M, р). (66)
Доказательство. Действительно, из лемм 1 и 3 следует, что
оо оо
DM,p[f(x)] = Y Y- C(m)C(n)SM,p(m)SM,p(-n)x
m=—oo n=—oo
x (sM,p(m - n) - SM,p(m)SM,p(-n)) . (67)
Так как для нормального оператора Ам,р выполняется оценка |БМр(т — п) — Бм,р (т)Б*м,р( —п)| ^ 2, то имеем
оо оо
ОМ,р[^(Х)] ^ 2 ^ IС(т)||С(п)||БМ,р(т)||БМ,р(—п)|
т=—оо п=—оо
= 2
(у |С(т)||5М,р(т)|^ ^ 2||Я||? • С2(а, 1|М, р)
и лемма доказана.
Другим важным критерием возможности использования дискретной дисперсии в качестве правила остановки является её трудоемкость вычисления. В следующей лемме дается явное выражение для дискретной дисперсии, из которого видно, что необходимо учитывать конкретные свойства используемой сетки, чтобы провести дальнейшее упрощение выражения для дискретной дисперсии.
Лемма 5. Для дискретной дисперсии ОМр1А( X)] справедливо равенство
Ом,р 1А( х)] = Ам,р
Ам^
(<0
Ам,р Ам. рf
(69)
Доказательство. Действительно, положим д(X) = Aм,рf(X), тогда из формулы (29) и определений 11 и 12 следует, что
°м,р^( X)] = Ом,р[Ам,рП X)] = Ом,р[д(Х)] =
1
N
У р(Х) |д (
х) |2 —
хем
1
N
У Р( Х)д (X)
хем
р( X)
хем
N
У р(УК (X+У)
уем
1 У ргаN у р(ук (X+у)
N
хем
=А
м,р
Ам,р f
уем
2
Ам,рАм^
(<0
(70)
и лемма доказана.
Из доказанной леммы видно, что вычисление дискретной дисперсии произвольной сетки с весами требует О^2) операций, что является существенно более трудоемким чем вычисление приближенного значения интеграла. Поэтому дадим модифицированное определение дискретной дисперсии для случая мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интегрирования.
2
2
2
2
1
2
Фактически эта модификация применима для любого произведения двух сеток с весами. Поэтому назовем такую дисперсию мультипликативной дискретной дисперсией.
Определение 13. Если сетка М с весам,и р является произведением двух сеток с весам,и < М, р >=< Мт, рТ > • < М2, р2 >, то мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с сеткой М и весами р периодической функции ^ X) из пространства Е“ будем называть вел,ичину ОМ,р[^( X)], заданную равенством
Из определения видно, что функция мультипликативной дискретной дисперсии не является симметричной относительно сомножителей, но зато она по трудоемкости вычислений сравнима с трудоемкостью вычисления приближенного значения интеграла.
Лемма 6. Если сетка М с весами р является, произведением двух сеток с
< М, р >=< Мт, рТ > • < М2, Р2 > и операторы, Амт и Ам2,р2 — нормальные и несмещенные, то для, мультипликативной дискретной дисперсии Э*мр[-Р(X)] справедливо равенство
^м,р[^(Х)] = Ам2,р2 Ам1,р1 ^ — Ам^ . (71)
0*м,р[П X)] =
2
Доказательство. Действительно,
2
2
2
N
хеМ2
N1
У рт (У)f (У+х)
уеМт
—:2 £р(X)f га) £р(г)(: ( я) +
V хем / V 2еМ /
N
У р( (2)
2еМ
1
N
£ Р2(X)
хеМ2
У рт (УК (У + X)
УеМт
N
У р( ( 2)
2еМ
(73)
и лемма доказана.
М р
< М, р >=< Мт, рт > • < М2, р2 > и операторы Амт, рт и Ам2, р2 — нормальные и несмещенные, то для мультипликативной дискретной дисперсии ^Мр^( X)] справедливо неравенство
х (С(а,1|М,р) + С2(а,1|М1,р1) + С(а,1|М1,р1)С(а,1|М,р^) .
(74)
Доказательство. Действительно, применяя лемму 6 и подставляя вместо функции ^ X) её абсолютно сходящийся ряд Фурье и учитывая равенство БМ,р(т) = 5М.р(—'т), получим
ОМ,р[П X)] =
N
£ р2(X)
хеМ2
1 £ рт (У)f (У + X) — N £ р( ( 2)
N1
N
£ р2(X)
хеМ2
уеМт 2еМ
оо
С(т) (БМт.рт (А)е2“(т'х) —БМ,р(А))
X
£ р2(X) £ С(т)С(п) (5Мт ,рт (т)е2т(А,Х) — БМ,р(т
хе М2 т,п=—оо
х (БМтД (—п)е—м(пх) — БМ,р(—п)) =
ОО
= £ С(т)С(П) (БМт.рт (т)БМт,рт(—п) (БМ2,р2(т — п)—
т,п=—оо
Б*Мг,р2 (—п)) — БМ,р(т) (БМт.р (—п)Б*М2,рг(—п) — БМ,р(— п))). (75)
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
°м, рХ)]= £ С(т)С(П)5М,,р, (т^М,,р, (-п)х
т,П=—ОО
оо
х (Бм2)р2(т- п)- Бм2,р2(-п)) = £ С(т)$м,,р, (т)х
т=—оо
оо
X ^ С(П)Бм, , р, (-п) (5*М2,Р2(т - п)-5М2,Р2 (-п)) •
(76)
Переходя к оценке по модулю, получим
X
£
ил.' •£'
, р,(т)
(т, • • •т5)а
х
м,
, р, (-П) (Б*М2, р2 (т - П) - Б*М2, р2 (-П))
/ ии • ( £'
(п, • • .Пз)£
, р,(т)
(т „•т;)» ^ (т)1 +
+ £'
, р, (т)
(т, • • •т5)с
'
Бм,, р,( п)
+
Бм,р( п)
(п, • • •П;)С
И?
(С(а, 1 |М, р) + С2(а, 1 |М,, р,) + С(а, 1 |М,, р, )С(а, 1 |М, р)) (77)
и утверждение леммы доказано.
Из доказанной леммы вытекает, что для мультипликативного, концентрического алгоритма приближенного интегрирования
<М*0),р*0),Л> а = 1,2,...,п,...)
периодических функций из класса Е; = у Е^, порожденного бесконечной по-
а>,
следовательностью < МШ,РШ,Д > (] = 1,2, • • •) с дополнительным условием
0 Є М(і) (і = 1,2, • • •), правило остановки (38) будет более строгим, если добавить в него ещё величину мультипликативной дискретной дисперсии.
5 Разбиение Коробова
< М, р >
ментальной решётки Zs следующим образом:
2
Е
Ко = {т е Zs | Бм, р(т) = 0}, (78)
Кт = {т е Zs | Бм, р(т) = |М|}, (79)
К2 = {т е Zs | Бм, р(т) = |М|, |Бм, р(т)| = |М|}, (80)
Кз = {т е Zs ||Бм, р(т)| < |М|}, (81)
К4 = {т е Zs ||Бм, р(т)| > |М|}. (82)
Таким образом Zs = К0 и К-| и К2 и К3 и К4. Ко Кт К2 Кз
дических функций Еа на подщ вольного подмножества К С Zs
Множества К0, К-|, К2, К3 и К4 порождают разбиение пространства периодических функций Е^ на подпространства Еа ’ (] = 0,1,2,3,4), где для произ-
7 S
= | f( X) е Е“ f( X) = £ С(т)е2п1(т,х) 1 .
I теК )
Еа,К
^ 1 ' У'*) е '~S
е2п.(т,х^ .
Такое разбиение будем называть разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования по различным сеткам и естественным образом область суммирования разбивалась в зависимости от величины тригонометрической суммы сетки.
Из определения множеств К0, К-|, К2, К3 и К4 следует, что:
• подпространство Еа,Ко является ядром линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних;
• Еа,Кт — неподвижное подпространство, то есть все функции из этого под-
АМ,р
• е^,К2 — подпространство постоянной нормы, то есть все функции из этого
АМ,р
• Е^,Кз — подпространство сжатия, то есть все ненулевые коэффициенты Фурье уменьшаются на множители равные соответствующим нормированным тригонометрическим суммам сетки с весами;
• Е^,К4 — подпространство растяжения, то есть все ненулевые коэффициенты Фурье изменяются на множители равные соответствующим нормированным тригонометрическим суммам сетки с весами, которые по модулю больше 1.
Отсюда следует, что каждая периодическая функция f(X) из пространства Е^ представима в виде суммы соответствующих компонент из разбиения Коробова:
Если некоторое подпространство Е5’ 5 (] = 0,1,2,3,4) пустое, то соответствующая функция представления полагается равной нулю.
Для любого несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних имеем
1 1 ^(х)ах = 0 (І = 1),
(84)
В силу линейности функционала погрешности приближенного интегрирования имеем равенство
+ ^N^2] + RN [f з] + ^И, (85)
так как на подпространстве Еа,Ко этот функционал тождественно равен нулю. Согласно первой теореме Коробова, применяя разбиение Коробова, получим
= X- С(т) +£ £ С(т)БМ,р(т).
те К 5=2 те К,
Согласно второй теореме Коробова отсюда следует оценка
(86)
1
|5*м,р(т)|
и^ (ті•••т^)а ' ^ (ті•••ті)с
тЄКі У К2 5=3 тЄК
(87)
для любой периодической функции А X) го пространства Е^(С).
АМ,р К4
жения тоже пусто. В этом случае формула (87) примет более простой вид
1
шеК^К2
(ті • • •т5)с
+ £
ШєКз
|5*м,р(т)|
(ті • • • т^
К
решётки Zs гиперболическим, параметром, Ч(К) назовем, величину
а (К) = тіп т1 • • • т5-
ШєК
Для пустого множества К полагаем ц(К) = оо. Для натурального Ї > 1 положим:
1
(89)
А)М = £
ті ...Ш|
(ті • • •ті)с
(а > 1 )•
(90)
В работе [3] доказана следующая оценка, которая является уточнением известной леммы из книги Н. М. Коробова [11] (см. с. 125, лемма 28).
Лемма 8. Справедливо неравенство
Л , , 1 ( lnj 1 t
Aj(t) « (a- 1)(j - 1)! +
+ 22 22 Z(a)j-2-kCma -1+ Z(tt) + j
m! \ ^ k a — 1 a —
m=0 \k=m
(91)
где С(а) = т а — дзета-функция Рим а,на, при а > 1.
т=т
Эта лемма позволяет оценивать величину погрешности приближенного интегрирования через гиперболические параметры множеств К-| и К2, К3 и К4.
Рассмотрим разбиение Коробова для некоторых типов сеток. В данной работе мы остановимся на наиболее известном случае несмещенных операторов Ам,р, когда все веса Рз равны 1. В этом случае множество К4 пусто, а значит и подпространство растяжения тоже пусто. Указанный случай является наиболее простым примером нормального, несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних.
6 Обобщенные равномерные сетки
Для обобщенной равномерной сетки M(n) с равными весами Pj = 1 (j = 1,2,..., N) имеем для нормированной тригонометрической суммы равенство
S*M(n)(m) = 5щ (mi) •... • 6ns(ms) (92)
и символ Коробова §N(b) задан равенствами
я / 0, если 0 (mod N), (ач\
Mb) = \ 1, если b = 0 (mod N). (93)
Отсюда следует, что K2 = K3 = K4 = 0, K1 = n1Z х ... х nsZ и K0 = Zs \ K1. Таким образом для любой модифицированной обобщенной равномерной сетки M(n,P) справедливо следующее равенство для погрешности приближенного интегрирования RM(np)f( x)] по квадратурной формуле с модифицированной обобщенной равномерной сеткой и равными единичными весами
ОО
RM(n,e)[f(X)] = C(mi ni,...,msns)e2ni(minip1 +-+«в). (94)
mi ,...,ms =—00
Для случая обобщенной равномерной сетки M(n) с равными вес ами Pj = 1 (j = 1,2,..., N) любая периодическая функция f( x) го пространства Ef представима в виде суммы только двух компонент из разбиения Коробова:
Ясно, что компонента ^ ( х) = АМ(пК(х) и поэтому она имеет явное выражение ^,(Х) = -1- £ ...I'f ({^ + х,} ,..., {^ + Л) . (9В)
п' - •. кт=с С=о V и, 1 к и
Квадратурная формула с обобщенной равномерной сеткой М(п) и равными весами Р] = 1 (] = 1,2,. ..^) является частным случаем квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой с равными единичными весами, поэтому для неё граничной функцией из класса Е^О, П2) с ) будет функция (см. [2])
<-5) — 3Я(1 — 2{х,})2 . . . (1 — 2{х5})2
И(х,,..., х5) = 35(1 — 2{х,}) --- (1 — 2^}) =
°° е2яі(т,Х' +...+ш«х8)
= іЬ(т,) іІ>(т .) , ^
где
!
^(т)Н 2 (97)
1 при т = 0,
Цт т2 при т = 0,
, ,
И(х,,..., хз) dx' ... dxs = 1. (98)
0 0
Лемма 9. Справедливо равенство
П £( 1 - 2{П +х}) = 1 + ^ {пх}(1 - {пх}). (99)
Доказательство. Действительно, положим в = {пх}, тогда
£(■ -2{п+-))‘=£(■ -22
= £ (1 -2“)2-4в £ (1 -2П) + 4в! =
\ п п *— \ п п
к=0 у 7 к=0 у 7
= п + 3- - 4в + 4— (100)
3 3п п п
что и доказывает утверждение леммы.
Лемма 10. Для обобщенной равномерной сетки М(п), функции Н(х) и
компоненты, Н ( х) из разбиения Коробова справедливо равенство
є / 2 12 \
и, (х) = ]^[ |^1 + пі — {вд} (1 — {п,х}^ . (Ю1)
Доказательство. Действительно, по лемме 9 имеем
П, —1 П; —1
Н, ( х) =
£ ■■■£, Н а п --'>......Ё+•■}) П( Ш1 - 2! п+-}),
)■
П ( 1 + 2 2{пЗхЗ} (1 - {п)х})
}=! V п2 п2
(102)
Из доказанной леммы видно, что значение погрешности приближенного ин-
Н( х)
ной сетке М(п, в ) равна Нт (в) и пробегает несимметричный относительно 1 про-
межуток
1
п;=,0 - ±) л
хотя математическое ожидание этой
7 Обобщенные неравномерные сетки
Классические неравномерные сетки М(Р) Коробова, координаты точек которых выражаются через степенные функции по модулю Р:
Мк = ({Р} ’ Ш •••’ 1^}) (п= 1-2>'">р)> (103)
где Р = р или Р = р2 и р — нечетное простое число, имеют для нормированной тригонометрической суммы соотношение
I * [5 ^ пр и (т,, ••.,т8,р) = 1, , ч
|3*м(р)(т)| ^ I >/Р (Ю4)
[ 1 при (т,, • • •, т;, р) = р.
Поведение рациональных тригонометрических сумм достаточно сложное, поэтому мы не можем дать исчерпывающее описание разбиения Коробова для неравномерных сеток. Можно утверждать только следующее: К4 = 0, К, = PZs, при Р > (б - 1 )2 имеем К0 и К3 Э Zs \ pZs. Если Р = ^о К2 = 0. Если Р = р2, то К2 С pZs \ PZs.
Из вида неравномерных сеток вытекает одно обобщение их, связанное с рас-
Р
пользовать для оценок погрешности общие рациональные тригонометрические сумм, которые имеют другой вид оценок чем сумм по простому модулю, или по квадрату простого.
Другое обобщение неравномерных сеток возникает из использования конструкции произведения сеток.
Пусть р — нечетное простое число, тогда рассмотрим сетку М2(р) = М(р) • М(р). Очевидно, что |М2(р)| ^ р2. Сетка М2(р) имеет вид
“"={({ {^1)
}
(105)
Для нормированных тригонометрических сумм сетки М_2(р) имеем:
(3 - 1)2
р
1
при (т-|,..., т*, р) = 1, при (т.т,..., т*, р) = р.
(106)
Отсюда следует, что если N = |М2(р)|, то погрешность приближенного интегрирования с помощью обобщенных неравномерных сеток М2 (р) имеет О ^ ,
аналогичную оценки погрешности неравномерных сеток Коробова.
Ещё один класс неравномерных сеток получается, если брать произведение неравномерных сеток по разным модулям. Пусть рт,..., рк — различные нечетные простые числа, тогда рассмотрим сетку
М*(р) = М5(р-|,..., рк) = М(рт) • ... • М(рк).
Очевидно, что N = |М5(р-|,... , рк)1 = рт • ... • рк- Сетка М*(рт,... , рк) имеет
М5(рь...,рк) =
(((5 х} ■{ 5 р}.....! 5 р}) I0 и'[
Для нормированных тригонометрических сумм сетки М*(р) имеем:
(107)
^М*(р)(т)| = 11^)(т)
з=1
Г (3 - 1)*
П р*
^=1
при (m1,...,ms,N) =
N
П Рь
V = 1
при (тт,...,т*, N) = N.
(108)
Теорема 5. Для дзета-функции обобщенной неравномерной сетки М*(р) справедлива оценка
«ММ*(р)) < 5"(1 +^(я))*. (109)
Доказательство. Обозначим для с!|N через Zd множество всех целых ненулевых т таких, что (т.1,... ,т*, N = , тогда, согласно (108), для лю-
бого т Е Zd справедливо неравенство
| ^ *
ГМ* (р)
(110)
1
где "у(а) — количество простых делителей числа а.
Отсюда следует, что справедливо неравенство
_ (с - 1 )Ч^ _ 1
^(ттТТ:т*)а. (-)
d|N
Используя функцию Мёбиуса '(й) = (- 1)^^ для можно сумму по
множеству Zd записать следующим образом:
1 / 1 *
Г т=—= Г т=—=^П5N(тз)х
(тт ...т*)а (тт ...т*)^ d
теЖ;^ ' т1,...,ш* =-то 1 * з=1
( * ) °° / 1 * хП 1 -П 6р(т)П= Г (тт.. .т*)» П 5 N (т')х
р|^ \ 3=1 / тт =—го з=1
£ц(ат ^ 5* (т^ = Х. 7=-т=^П 5 N11 (тз). (112)
d1 ^ 3=1 d1 ^ т-1 ^.^т* =—го ‘‘‘ * )=1
Далее имеем
ПГ>
1*
У 7=----------------—П 5^1 (тз)
т1 ^.^т* =—го 4 з=1
= (1 +2 5 (жтг)-1 = 0 + 2ш1?)-1. (ш)
т)
Отсюда вытекает, что
^ЦМДр-)) < £ ^ £ ц№) ((1 + 2-1) =
d|N у 5 d1 ^ 44 ^ 1 7 7
(с - 1)-№^ г лл( (^ Ца)аа )Л
=:« (^'г^-^: ^ '■“>
t=1 4 7 d|N у 5 d1 ^ 1
Вычисление внутренних сумм мультипликативных функций дает:
: ^ = П (1 - рк) = ^ П (р“ -1);
d1 ^ 1 р|^ р|1
(с - 1)-(а)аа^ '(Й1) (с - 1)-№ (ра, 1
4- 75 V ^ I1(р -1
d|N у 5 d1 ^ 1 d|N у 5 р|1
=:п (с - у-1)=п 0+(с - 'Т- 1Г).
d|N р|1 p|N ^ К
Отсюда следует
)
что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволяет сделать вывод, что наилучшая оценка погрешности получается для обычных неравномерных сеток, хотя порядок во всех этих случаях одинаковый.
Рассмотрим бесконечную последовательность попарно взаимно простых чисел N1, N2, ■ ■ ■, N^5.... Например, можно рассмотреть последовательность различных простых чисел. Бесконечная последовательность параллелепипедаль-ных сеток М(а^ N) (] = 1,2,...) порождает концентрический мультипликативный алгоритм приближенного интегрирования < М*(Ъ),^),А > 0 = 1,2,...) с правилом остановки А = А^( х), М*(Ъ), N1)), выражаемым через мультипликативную дискретную дисперсию и сеточный размах, а параллелепипедальная сетка М*(Ър^) является произведением параллелепипедальных сеток
Для произведения двух параллелепипедальных сеток можно уточнить результат об оценке мультипликативной дискретной дисперсии.
Прежде всего заметим, что для случая параллелепипедальной сетки М с равными весами нормированная тригонометрическая сумма Б^т) принимает только два значения 0 и 1:
8 Параллелепипедальиые сетки
М*(Ъ3, ^) = П М(й, N0, N = N • ... • N3. (117)
г=1
при т Є Л, при т Є Л,
(118)
где Л — решётка решений линейного сравнения
a-|mi + ... + asms = 0 (mod N). (119)
Таким образом, Ко = Zs \ Л, К = Ли
Еа Кл т~ a,Zs \Л д
a,K0 = ts является ядром линеиного оператора Am
сеточных средних для параллелепипедальной сетки M;
• Esa’Kl = Еа,Л — неподвижное подпространство, то есть все функции из этого подпространства переходят сами в себя под действием оператора Am;
Дзета-функция Z(a,p|M) параллелепипедальной сетки M с параметром p от этого параметра не зависит и совпадает с гиперболической дзета-функцией решетки решений соответствующего линейного сравнения: Z(a, p|M) = £н(Л|а).
Теорема 6. Если параллелепипедальная сетка M является произведением двух параллелепипедальных сеток M = М-| • M2j то для мультипликативной дискретной дисперсии DM[f(x)] справедливы, неравенства
0 « DM[f( x)] < ||f||tf X x СН(Л + mj|a) + (Сн(Л1 la) - Сн(Л1а)) (1 + Сн(Л|а))^ i (120)
где 1
Сн(Л + mj|a) = У ^
l— qa (m + m,)
— обобщенная, гиперболическая, дзета-функция решётки, а, 0, m.i, ... ,m.t — полная систем,а, вылетов решётки Л1 по подрешётки Л = Л1 Р| Л2.
Доказательство. Действительно, согласно лемме 6 имеем
2
^ 0. (121)
DM[f(x)] = nt; L
xeM2
NT7 Lf (y +x)- Nbf (z)
yeM1 zeM
Из равенства (76) вытекает
OO
DM[f(x)]= Y- c(m)^i (m):
m=—oo
OO
X У С(п)бл1 (-n) (6л; (m - n) - §Л; (-n))
IX
n=—OO
= £ С(т)бд1 (т) £ С(п)бд1 (-п)6л2 (т - п)-
т=—го п=—оо
оо ОО
- У С(т)5Л1 (т) £ С(п)Ы-п) =
т=—го п=—го
= У С(т) £ С(п)6Л2 (т- п) - £ С(т) £ С(п).
теЛ1 п€Л1 теЛ1 пеЛ
Для решётки Л = Л1 Р| Л2 справедливы соотношения
Л1 = Л и(Л+т1) и... и(Л+т1;), Л2 = Л ^(Л + п1) и ... и(Л + Пи)
(122)
(123)
для некоторых тз Е Л1 \ Л (1 1) ТаКИХ, ЧТО тз - тг Е Л, и для некоторых
П Е Л2 \ Л (1 ^ ^ и) таких, что пз - пг Е Л.
В новых обозначениях получим
У С(т) £ С(п)6л2(т- п) = £ С(т) £ С(п)6л2(-п)+
теЛ1 п€Л1 те Л п.еЛ1
г
+££ С(т + тз) £ С(п)6л2 (т - п) = £ С(т) £ С(п) +
3=1 теЛ п€Л1 теЛ пеЛ
г
+ С(т + т-|) £ С(п + тз) =
3=1 теЛ пеЛ
У С(т) £ С(п) + У
теЛ пеЛ з=1
У С(т + тз)
теЛ
(124)
Отсюда следует, что
г
ОУП х)] = Х_' С(т) £ С(пУ + £
теЛ пеЛ
г
з=1
У С(т + тз)
теЛ
У С(т) £ С(п) = £
теЛ1 пеЛ з=1
У С(т + т^)
те Л
У С(т)£ С(п).
теЛ1 \Л пеЛ
Переходя к оценке по модулю, получим
2
2
2
+ тЛ ) + ца(т) ца(п^ КНе?х
ч3=1 \т£^^ ^Ч теЛт \Л м ^ п£Л^ У )
х ^£СИ(А + т|а) + (Си(А1|а) - Си(А|а))(1 + Си(А|а))^ (126)
и теорема доказана.
Следующая лемма объясняет почему понятия дискретной дисперсии недостаточно, а необходимо вводить понятие мультипликативной дискретной дисперсии.
Лемма 11. Для любой параллелепипедальной сетки М и дискретной дисперсии Эм^(Х)] справедливо равенство
0*м№)] = 0. (127)
М
является конечной коммутативной группой относительно операции сложения по модулю 1. Поэтому для периодической функции f (£) имеем
^(х + У) = £ f (У) (128)
уем уем
для любого х Е М.
Положим д(х) = Ам^х), тогда из формулы (29) и определений 11 и 12 следует, что
ом^(х)] = Ом[Ам^х)] = Эм[д(Х)] =
1 £ 1д (Х)|2 -
N
хем
1 £ д(х)
N
хем
2
N
£
хем
_ 1
= N
N
У f (х+У)
Г
хем
уем
1
N
£f (У)
уем
11 £м ^ (х+у)
N ^
хем уем
1 £ N £ f (У)
N ^
хем уем
уем
уем
2
2
1
1
2
2
2
1
1
и лемма доказана.
Из доказательства леммы видно, что оператор Ам является идемпотентом, то есть АмАм = Ам для любой параллелепипедальной сетки М. При условии положительности весов сетки верно и обратное утверждение.
Теорема 7. Если несмещенный линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных удовлетворяет условию идемпотентности Ам,рАм,р = Ам,р и все веса р положительные, то сетка М является обобщенной параллелепипедальной сеткой, а веса р — единичными.
Доказательство. Если выполнено условие идемпотентности, то согласно теореме 3 имеем равенство
< М, р >=< М, р > • < М, р >,
из которого следует, что
М • М = М, N ^ р(х)р(У) = р( г) ( г Е М). (130)
х+у=2,х,уем
М
параллелепипедальной сеткой.
Пусть при го достигается максимальное значение веса р( г) на всех точках М
NN £ р(х)р( го - х) = р( го) = N £ р(х)р( го). (131)
хем хем
Отсюда следует, что
0 = N £ р(х)р( го - х) - N ^ р( х)р( го) =
хе м хе м
= ^£Р(*)(Р(го - х)- Р( 2о)) ^ 0. (132)
хем
Но это возможно в силу положительности весов только при р( х) = 1 для любого х из М. Теорема доказана.
Приведем ещё несколько теоретических фактов, показывающих, что выработка универсального правила остановки является сложной задачей. Пусть Мо = { 0} — простейшая параллелепипедальная сетка из одного узла и М — произвольная параллелепипедальная сетка из N > 1 узлов. Тогда, очевидно, М = Мо • М
типликативной дисперсии в этом случае имеем
N
4°+х)- N£ f (г)
(133)
2
Если во всех точках сетки М функция f (х) — постоянная величина, то дискретная мультипликативная дисперсия становится нулевой: ОМ1^( х)] = 0.
Для описания этого явления напомним, что а = (аі,...,а8), (а.,р) = 1 (і = 1,..., б), через решётку Л мы обозначаем решётку решений линейного сравнения (119), и справедливо представление
Ъ = Л и (Л + ті) |^)... |^) (Л + тр_і), (134)
где т. = (], 0,..., 0) Є Ъ \ Л (1 ^ і ^ р — 1).
Лемма 12. Если f ( х) Є Е5 и во всех точках параллелепипедальной сетки М(а, р) функция f ( х) = С — постоянная величина, то для её коэффициентов Фурье С(т) справедливы, равенства,
У~ С(т) = 0 при і = 1,2, ...,р — 1,
теЛ+т.
£ С(т) = С. (135)
те Л
Доказательство. Действительно, пусть
Хк = ({"р”} Є М(а,р) (к = 0,1,...,р — 1)
— произвольная точка сетки, тогда для любого т Є Л имеем ( хк, т) Є Ъ, и
поэтому
f ( хк) = £ С(т)е2п1(Хк’А) =
теТ?
Р-1 Р-1 к.
= £ С(т) + £ £ С(т)е2я1(Хк,т) = £ С.е2пі£^, (136)
теЛ .=1 теЛ+т. .=0
ГД6
Со = С(т),
те Л
С. = £ С(т) (і = 1,2,... ,р — 1). (137)
теЛ+т.
Далее имеем
1 Р-1 Р-1 1 Р-1 к (. і)
I '*■> * а 1 кі I л . ^1 к (. і)
1 У f (хк) е-2™-^ = V С)1 У е2™-^ = рр
у к=0 .=0 у к=0
Р-1 Р-1
= У~ Сз^р(а1(і — 1)) = £ сі^р(і — 1) = Сь (138)
Отсюда с учетом равенства f (х) = С следует
(139)
и утверждение леммы доказано.
Как известно, одну и туже парраллелепипедальную сетку можно задать многими способами, но есть общий инвариантный способ описания её как множества точек взаимной решетки А* к решётке Л, попавших в единичный б-мерный полуоткрытый куб = [0; 1)я. Частным случаем ситуации, описанной в лемме 12, является функция f ( х), для которой решётка А* будет множеством периодов, то есть, когда для любого х и для любого у Е Л* выполняется равенство f ( х + у) = f ( х). В этом случае справедливо более сильное утверждение относительно коэффициентов функции f ( х).
Лемма 13. Если f (х) Е Е5 и решёт ка Л* будет множеством периодов функция f ( х), то для её коэффициенте в Фурье С(т) справедливы, равенства,
Доказательство. Действительно, по свойствам коэффициентов ряда Фу-
С(т) = 0 при т Е 1 \ Л,
(140)
то есть
(141)
те Л
рье имеем:
С(т)= ... f ( х) е-2"1,Аяах.
(142)
0 0
В силу периодичности по Л* для любо го у Е Л* имеем
С(т)= ... f ( х + у) е-2п1(т’Х)ах
00
... f( х)е-2п1(т’х-У)ах
00
00
По определению взаимной решетки
Л = (т|Уу Е Л* : (т,у) Е 1}. (144)
Отсюда следует, что если т Е 1я\Л, то найдется у Е Л* такой, что (т,у) Е 1 и) значит, е2т(т,У) = 1. Отсюда и из равенства (143) следует утверждение леммы.
Подводя итог обсуждения проблемы выработки правил остановки в алгоритмах численного интегрирования, дополним следующие соображения из работы
[5].
"В приложениях теории многомерных квадратурных формул на практике особенную роль играет вычислительный эксперимент. Дело в том, что результаты о величине погрешности этих формул выражаются в терминах норм линейного функционала погрешности на некотором функциональном пространстве и нормы функции, определенной на нем. А, как правило, норма функции неизвестна и ее вычисление более сложная задача, чем вычисление интеграла. Таким образом, мы сталкиваемся с той самой естественной постановкой задачи, о которой писал академик С. Л. Соболев. Теория нам дает ориентиры, где надо искать удовлетворительное решение проблемы, а уже далее, на основании вычислительного эксперимента вырабатываются рекомендации для конкретного класса задач в конкретной предметной области - какой метод и с какими параметрами дает удовлетворительные, достоверные результаты."
Из предыдущего следует, что при организации численных экспериментов по приближенному вычислению кратных интегралов с целью выработки практических рекомендаций необходимо создавать базу данных интегралов, в которой наряду с функцией и значением интеграла приводятся такие характеристики как сеточный максимум и сеточный минимум, сеточный размах, дискретная дисперсия, эмпирическая функция распределения значений интегрируемой функции и тому подобное. Накопление такой базы данных позволяет ставить вопрос о статистической обработке результатов вычислений и кластерного анализа классов функций, позволяющих давать конкретные рекомендации по применению тех или иных алгоритмов приближенного интегрирования к тому или иному выявленному кластеру функций. Можно предположить, что такие кластеры будут определяться областями параметров, которые определяют функции некоторого класса, возникающего в той или иной предметной области.
Постановка задачи принадлежит Н. М. Добровольскому. А. С. Симонов осуществлял консультирование и редактирование работы в аспекте функционального анализа. Вся содержательная часть работы выполнена Л. П. Добровольской.
В заключении авторы выражают благодарность М. Н. Добровольскому и Н. Н. Добровольскому за внимание к работе, полезное обсуждение и ценные замечания.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
[2] Бочарова Л. П. О граничных функциях некоторых классов // Наукоемкое образование. Традиции. I [новации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "Т1II К)". 2006. С. 198 - 202
[3] Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 - 90.
[4] Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник 2002 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.
[5] Добровольский Н. М., Бочарова Л. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе // Наукоемкое образование. Традиции.
I [новации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "ТИНО", 2006. С. 189 - 198
[6] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. К).. Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100-113.
[7] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. К).. Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.
[8] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 — 1065.
[9] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19 — 25.
[10] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. С. 1207 - 1210.
[11] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
[12] Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). С. 83 - 118.
[13] Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.
[14] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
[15] Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.
Тульский институт экономики и управления,
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Получено 28.09.2008.
