Задание аффинной связности 1-го порядка векторнозначными формами 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

К. В. Полякова

ЗАДАНИЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 1-ГО ПОРЯДКА ВЕКТОРНОЗНАЧНЫМИ ФОРМАМИ 2-ГО ПОРЯДКА

Аффинная связность задается векторами 2-го порядка, названными горизонтальными. Для аффинной связности 1-го порядка введены вертикальная и горизонтальная формы 2-го порядка. Доказано, что симметрическая аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет вертикальный линейный оператор (вертикальную вертикальнозначную форму 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка) из касательного пространства 2-го порядка в касательное пространство 1-го порядка к многообразию. Показано, что аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет линейный оператор из кокасательного пространства 1-го порядка (пространства форм степени 1) в кокасательное пространство 2-го порядка. Доказано, что аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет горизонтальный линейный оператор (горизонтальную горизснтальнозначную форму 2-го порядка аффинной связности 1 -го порядка) в касательном расслоении 2-го порядка. Показано, что второй (обычный) дифференциал точки многообразия можно представить в виде суммы вертикального и горизонтального проекторов.

Affine connection is given by 2nd order vectors called horizontal. Vertical and horizontal forms of 2nd order are entered for 1st order affine connection. It is proved that symmetric affine connection in the bundle of tangent linear frames defines vertical linear operator (a vertical vertical-valued form of 2nd order for 1st order affine connection) from 2nd order tangent space into 1st order tangent space to a manifold. It is shown that affine connection in bundle of tangent linear frames defines linear operator from 1st order cotangent space (space of forms of degree 1) in cotangent space of 2nd order. It is proved that affine connection in bundle of tangent linear frames defines horizontal linear operator (2nd order horizontal horizontal-valued form of 1st order affine connection) in 2nd order tangent bundle. It is shown that the second usual differential of a point of a manifold it is possible to present as sum of vertical and horizontal projectors.

Ключевые слова: аффинная связность, векторнозначные формы, касательное и кокасательное расслоения 2-го порядка.

Key words: affine connection, vector-valued forms, the 2nd order tangent and cotangent bundles.

1. Базисные и слоевые координаты на многообразии

Рассмотрим m-мерное гладкое многообразие Xm и некоторую окрестность, в которой текущая точка определяется локальными координатами хi (i, j, k,... = 1, m). Структурные формы ю' многообразия Xm удовлетворяют уравнениям Dm' = юJ лю1-, где

ю = xjdx', ю- =- х k dx'k - х'1кюк (det(xj) Ф 0, xjk = х'к-).

25

© Полякова К. В., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 25 — 35.

26

Переменные х., х']Ъ называются слоевыми координатами [5, с. 149] на

многообразии Хт. Будем считать, что х■ — слоевые координаты 0-го

порядка, х'к — слоевые координаты 1-го порядка.

Деривационная формула нулевого порядка, то есть выражение для дифференциала точки М многообразия Хт, имеет вид [1; 9]

йМ = ю' е,, (1)

где е' — базисные векторы касательного векторного пространства ТХт в точке М. Дифференциальные 1-формы ю' образуют кобазис, сопряженный к подвижному (неголономному) базису {б'}, то есть ю' (е ■) = 5-.

Слоевые формы ю- на базисных касательных векторах дают слоевые координаты 1-го порядка: ю- (ек) = -х'-к.

Замечание 1. Относительно натурального (голономного) репера

* ■ д

(3'} векторы е' раскладываются по формуле е{ = х ■ д ■, где д=—-, по-

■ дх'

этому в натуральном репере деривационная формула 0-го порядка принимает следующий вид: йМ = dx'д{.

2. Тангенциальнозначные формы и их дифференцирования

Из деривационной формулы (1) видим, что йМ можно рассматривать как векторнозначную 1-форму со значениями в касательном пространстве ТХт, то есть тангенциальнозначную 1-форму. Обозначим множество всех тангенциальнозначных 1-форм со значениями в касательном пространстве 1-го порядка ТХт через 0.11 = 01 (ТХт).

В общем случае ОЦ = (Т рХт) — множество всех векторнозначных

ц-форм со значениями в касательном пространстве ТрХт р-го порядка.

Также будем изучать множество 0/г = 0/г (Т рХт) векторнозначных форм

порядка г со значениями в касательном пространстве ТрХт порядка р.

При рассмотрении множества 0р = 0ц (ТрХт) мы указываем только степень ц формы, но не порядок формы, подразумевая, что присутствуют лишь дифференциалы 1-го порядка. При рассмотрении множества 0р/г =0./г (ТрХт) мы указываем только порядок г формы, но не степень формы, считая, что внешние произведения отсутствуют. Случаи р = 0 и ц = 0 не исключаются из рассмотрения, в частности

= (К) — множество всех обычных дифференциальных 1-форм, □0 = О0 (Т(Хт)) — тангенциальнозначных 0-форм (касательных векторов): = ТХт. Формы степени 1 и формы порядка 1 суть одно и тоже, то есть =0/1 = Т *Хт.

Также можно использовать обозначения

О; = Од(ТрХт ) = ТГ'Хт ® ТРХт , где Од = Тг*Хт = (ТгХт )* — множество дифференциальных форм порядка г, не совпадающее с пространством Т*гХт = (Т*Хт )г =лг TXт форм

степени г, то есть (Т*Хт )г ф (ТГХт )*.

Значок тензорного умножения в выражении (1) будем опускать (см., напр.: [7, с. 290]), считая е ® ю = ею= юе.

Действуя формой йМ = е,-ю' на касательные векторы е -, и = и■ е- е ТХт :

йМ(е -) = е'ю' (е -) = е -, йМ(и) = е Мю' (е -) = м-е - = и,

видим, что она соответствует тождественному преобразованию касательного пространства ТХт, то есть йМ = 'йТХ , следовательно, она является канонической формой [4, с. 118], формой смещения [2, с. 117], или структурной формой касательного расслоения [3, с. 48].

Аналогично, действуя формой (1) на ковекторы ю', ю = а-йх' е Т*Хт и считая, что е' (ю) = ю(е'), получим

йМ(ю1) = ю'е'(ю1) = ю' -ю1 (е') = ю1, йМ(ю) = ю' - а-е'(йх') = ю' - а-¿х-(е') = ю' - а-хк¿х-(дк) = ю ,

то есть видим, что она соответствует тождественному преобразованию кокасательного пространства Т*Хт, то есть йМ = 'й , . Таким образом,

можно отметить двойственный характер действия векторнозначных форм 1-го порядка О = ею е о1 = О1 (ТХт): они действуют как в пространстве векторов ТХ т, так и в пространстве ковекторов Т *Хт, то есть

О = ею : и е ТХт ^ О(и) = е - ю(и) е ТХт, О = юе : 6 е Т*Хт ^ О(0) = ю-е(0) = ю-0(е) е Т*Хт .

Замечание 2. В [8] подчеркивется, что и связности, и многие объекты на многообразиях струй выражаются через тангенциальнозначные дифференциальные формы, которыми легко оперировать. Эти формы составляют основу применяемой в книге [8] математической техники.

На дифференциальных формах помимо внешнего дифференциала также может действовать обычный дифференциал [12, р. 386].

Если ю = ю' е' — векторнозначная (тангенциальнозначная) 1-форма, то тогда:

1) внешний дифференциал О действует следующим способом: О : ю еО1 = О1 (ТХт) ^ Ою = е'Ою' -ю' л йег еО2 =О2(Т2Хт);

27

28

2) обычный дифференциал й действует следующим способом: Л: ю е о1 = О1 (ТХт) ^ йа=г{йа + Л8'ю' е О/2 = О/2 (Т2Хт).

При этом е' считаются подвижными. Внешние дифференциалы Ою' е О2 представляют собой 2-формы, то есть формы степени 2; обычные дифференциалы ЛшШ е о/2 — это формы порядка 2; векторы

8' еО.'0 = О0 (ТХт) считаются подвижными.

Видим, что при внешнем дифференцировании векторнозначной формы увеличивается степень дифференциальной формы (но не порядок) и порядок касательного пространства, в котором она принимает значения, поскольку дифференцируется 1-формы ю' и 0-формы е,-. При обычном дифференцировании векторнозначной формы увеличивается порядок дифференциальной формы (но не степень) и порядок касательного пространства, в котором она принимает значения. Внешнее дифференцирование векторнозначной формы в ковариантном методе является плодотворным. Обычное дифференцирование векторнозначной формы может служить для описания геометрии Шварца 2-го порядка [11].

Замечание 3. Современный контравариантный метод использует следующий способ внешнего дифференцирования векторнозначной формы:

О = Л : ю еО1 = О1 (ТХт) ^ Лю=8,Ою' е о1 = О2(ТХт),

при этом векторы е, считаются неподвижными. В этом случае увеличивается только степень формы, но не порядок касательного пространства, в котором она принимает значения.

Дифференцируя внешним образом форму (1) и разрешая по лемме Картана, получим деривационную формулу 1-го порядка

А8' =Ю 18 ц, (2)

где оператор а действует по закону

А8' = Ле' -81 ш\.

Новые векторы 8^, принадлежащие касательному пространству 2-го порядка Т2Хт в точке М, симметричны 8[,] = 0.

Векторы е, являются пфаффовыми (неголономными) производны-

ю

ми векторов 8,, то есть е, = д ■8i [3, с. 67], причем

8, = х \х 1д И + ХИ х кд I , (3)

где д', =

Л к

д

4 дх дх'

Утверждение 1. Тензорный закон (2) для базисных касательных векторов е1 в корепере {ю1} эквивалентен выражению (3) для пфаффовых производных е^

в корепере {dx1} через операторы частных дифференцирований 1-го и 2-го порядков и слоевые координаты xj, xl]k.

Доказательство. Действуя отображением (2), задаваемым деривационными формулами 1-го порядка, на векторы еj, получим dei(е ■) = е,

где еij = еij — x*еk — адаптированные пфаффовы производные, причем

еj = д^еi, кроме того, de¡(е .) = д^ [6]. □

3. Кокасательное пространство 2-го порядка

Дифференцируя форму (1) обычным образом, получим форму

d2 M = (dra1 + юj raj )е1 +ю1юj е, (4)

показывающую, что касательное пространство 2-го порядка T2Xm в точке М натянуто на векторы е1, е1;-, то есть

1

T 2Xm = ^ап(е , еу), dim T 2Xn = - m(m + 3).

Пространство T2Xn обобщает соприкасающуюся плоскость кривой

трехмерного пространства, поэтому его также называют соприкасающимся пространством.

Из выражения (4) видно, что второй обычный дифференциал точки — это векторнозначная форма кокасательного пространства 2-го порядка T2*Xn со значениями в касательном пространстве 2-го порядка T2Xn, то есть

d2 M efi 22 =ß/2 (T 2Xn).

Выражение для 2-го обычного дифференциала точки M многообразия относительно натуральных репера и корепера принимает вид

d2 M = d2 x1 д i + dx1 dx' д .

Известно [10; 11], что {d2x', dx'dxj} — натуральный корепер кокасательного пространства 2-го порядка (T2 )*Xn = T2*Xn, {д 1, д} — натуральный корепер касательного пространства 2-го порядка T2Xn . Будем полагать, что выполняются ненулевые условия сопряженности для ко-векторов и векторов 2-го порядка

1 . .

d2 x1 (д,) = 8j, dx4x '(ди) = - (818/+818к).

29

30

Из второго дифференциала (4) точки М видно, что репер {е{, г{.} и корепер {йю' + ю1 ю1, ю'ю1} — сопряженные. Действительно, условия

сопряженности для произвольных (неголономных, то есть не являющихся натуральными) базиса и кобазиса имеют вид

1 . .

(йю' + юкю* )(е 1) = 8), (ю'ю')(еи) = ^ф8/+8$),

(йю' + ю1 ю) )(е'1) = 0, (ю'ю1 )(е к) = 0.

Тогда й2М(е') = е', то есть й2М = 'йТХт; кроме того, й2М^) = еу, то

есть й2М = 'й 2 . Форма смещения й2М соответствует тождественному

т хт

преобразованию касательного пространства 2-го порядка Т2 X , а также его подпространства ТХт . Аналогично, действуя формой смещения

й2М на ковекторы 2-го порядка, видим, что она соответствует тождественному преобразованию кокасательного пространства 2-го порядка

О0/2 = Т2*Хт , то есть йМ = 'й 2. . Считаем при этом, что е(ю) = ю(е). Та/ т Т Хт

ким образом, можно отметить двойственный характер действия век-торнозначных форм 2-го порядка: они действуют как в пространстве векторов 2-го порядка Т2Хт, так и в пространстве ковекторов 2-го порядка Т2*Хт . В случае векторнозначной формы О = еюеОг/т = О/г(ТгХт), принимающей значения в Т рХт, имеем

О = ею : и е ТТХт ^ О(и) = е • ю(и) е ТрХт,

О = юе : 6 еТр'Хт ^ О(0) = ююе(0) = ю-0(е) е Тг*Хт .

Вычисляя обычные дифференциалах от форм ю', ю), получим следующие формы 2-го порядка:

йю' = -ю 1 ю1 - Xю1 юк + X 1й 2 X1,

1 !К 1

dюj = юк юк + 2х1к юк ю' -юк ю'1к - х к d2 хк - х^к х' d2 х' + + (2х*к- х^ + х]5хк' )юкю'.

Кроме того,

(йю')(е ) = х1к, (йю' )(е;) (йю1)(ек) = -х1к, (йю])(ерЧ) = х 'к .

Утверждение 2. Для базисных касательных векторов 1-го и 2-го порядка е = {е'}, е'= {е^} справедливы равенства бее'= йе'(е), 9ее = й2е(е').

Доказательство. Действительно, вычисляя дее ра или действуя линейным отображением йе а на касательные векторы е,, получим равные выражения

дее ра = Х РХ а Х гд Я + Х'па Х гХ 1д И ,

аЛ Iй¡и ^ лра Л ¿Л /^и'

йе (е) = е — е х1 + е (х! ха- + хК ха) — е х-е х1 .

ра\ </ ра1 1па1 щ рк а1' ¡а р РГ а1

Вычисляя де еi или действуя линейным отображением й2е{ на соприкасающиеся векторы ерд, получим равные выражения

дерае, = х рх ах гдщ + хра х гх адга' й2е (е ) = е —е х1 +е (х1, хк +х! хк) — е х1 — е х1 . □

л ра' 1ра 1 1ра ¡^кагр кр га* ¡а гр ¡р га

4. Горизонтальные векторы 2-го порядка для аффинной связности 1-го порядка

Внося формы 51 =ю1 — ГЩкюк аффинной связности Г;'к в уравнения (2) для векторов е,, получим Уе, =ю¡Vще,, где ковариантный дифференциал и ковариантные производные выражаются по формулам

Уе, = йе, — е 1 , У1е, = е! + екГЩ .

Дифференцируя векторы 5 = е ц + е к Г, имеем

ещ = е к (дГ у + Ю11) + ю (ещя + Г ¿1 ега Если функции ГЯ удовлетворяют известным уравнениям

де 1 = е к (АГ,к + Юк) + юк (8Цк + Г 8,к). (5)

АГ)к + ю 1 =Г)ию', (6)

1 я ' "-1 Я ~ х а то уравнения (5) принимают вид

де, =юк(ег^ +е,1к +Г1 е1к) .

Видно, что при условии (6) векторы 5 относительно инвариантны (так как неподвижны при фиксации точки М е Хт), а следовательно, соответствуют контравариантному заданию аффинной связности Г,а.

■¿1 = еЦ +екГ " О ™ "

Хотя векторы % = е,;- + е к Гк заданы в касательном пространстве 2-го по

рядка, но задают аффинную связность 1-го порядка; 5^] = у еТ.

При контравариантном способе задания аффинной связности в расслоении линейных реперов Ь(Хт) требуется инвариантность горизонтальных векторов (подпространств) относительно правых сдвигов в случае касательных векторов к расслоению Ь(Хт). Однако, если задавать горизонтальные векторы в соприкасающемся пространстве к мно-

31

32

гообразию Хт, то инвариантность относительно правых сдвигов не требуется. Таким образом, если исходить из касательных векторов 2-го порядка к многообразию, то условие инвариантности горизонтальных подпространств относительно действия группы не нужно.

Вычисляя повторные ковариантные производные, получим

.V де, = Т^ + ^ 8,,

то есть тензоры кручения Тк и кривизны являются горизонтальной и вертикальной составляющими альтернированных повторных ковариантных производных касательных векторов (ср.: [2, с. 121]).

Определение 1. Векторы = 8^ + 8кГк назовем горизонтальными векторами 2-го порядка для аффинной связности 1-го порядка, а подпространство НТ2Хт = эраи(~) пространства Т2Хт горизонтальным (оснащающим [9]) пространством в точке М.

В силу инвариантности векторов в;, а также е^, касательное пространство 2-го порядка в точке М распадается в прямую сумму

Т 2 Хт = ТХт © НТ 2 Хт

горизонтального пространства и касательного пространства ТХт, которое будем обозначать ТХт = УТ2Хт и называть вертикальным пространством в касательном пространстве 2-го порядка Т2 Хт в точке М.

5. Горизонтальная и вертикальная формы 2-го порядка для аффинной связности 1-го порядка

Выражение 2-го дифференциала (4) с помощью горизонтальных векторов ~ приведем к виду й2М = 2 со+ю'ю;е1-;-, где формы 2 со' = йа' +

+ю— Г'кю;юк будем называть горизонтальными формами 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка. Это формы из кокасательного пространства 2-го порядка, то есть 2ю' е Т2* (Хт).

V

Определение 2. Назовем векторнозначную форму ~ = ~ '8' верти-кальнозначной формой 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка, век-торнозначную форму ~ = а'а— горизонтальной горизонтальнознач-

ной формой 2-го порядка аффинной связности 1-го порядка.

По структуре форм видно, что вертикальнозначная форма связности принадлежит множеству векторнозначных форм 2-го порядка со значениями в касательном пространстве 1-го порядка ТХт, то есть

V

2 Ю = 2 Ю' 8' ^2 =□ /2 (ТХт ),

а горизонтальная форма связности принадлежит множеству векторно-значных форм 2-го порядка со значениями в касательном пространстве

ъ

2-го порядка Т2Хт, то есть ~ = ю'ю' ~ е П/2 = П/2(НТ Хт).

V

Для симметричной связности вертикальнозначная форма С = со' е{ является вертикальной. Действительно, рассматривая действие вертикальных форм связности 2 го' на горизонтальных векторах ю видим

2 ~' /ю \ Т-1' 2 Г-1-1'

а ( 8 ,к ) =Г[ .к ] = "2 Т]к ,

то есть вертикальные формы связности 2 ю' аннулируются горизонтальными векторами , если связность — симметрическая.

V

Вычислим действие вертикальной со = со'е{ и горизонтальной

ъ

га = а' га 'ш форм связности на произвольном касательном векторе 2-го порядка и = и'' 8.. + и' 8':

, V 2 ' '. ' 'к . к

а(и) = 8' ю'(и'Ч + и 8') = 8'(и — и' т(г'к + гг'/)) = 8' (и — и'Г'к) = UV,

_ (Г'к =г,к')

В' + и 8') = 8' (и — и Т(г к + 1к/) 2 С(и) = в'.га'га'(и''8'. + и'8') = и''Ю''. = и ,

V V Г'к =Гкк>

2 ю(У) = 8' 2 ю' (и' 8' ) = V , 2С(Н) =8' 2С' (и''Ю' ) = 2 Т'ки' 8' = 0 ,

2 Ю ~ I ■ 1~ 2Ю ~

С(Н) = Ю'ю'го' (и''Ю' ) = Н , ю(У) = еТ''ю'го' (и'8' ) = 0,

то есть вертикальная и горизонтальная формы связности — проекторы. Определение 3. Векторы

2С(и) = 8'(и' — и'кГ') = и1', 2С(и) = и''8'' = иъ

назовем вертикальной и горизонтальной проекциями вектора 2-го порядка

и = и''е'' + и'е' е Т2Хт .

Утверждение 3. Симметрическая аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет вертикальный линейный оператор

2С = 8'2 а' : Т2Хт ^УТ^Хт =ТХт

из касательного пространства 2-го порядка в касательное пространство 1-го порядка, сопоставляющий вектору и е Т2Хт его вертикальную составляющую

ии [10; 11]. Этот оператор:

1) является проектором;

2) аннулирует все горизонтальные векторы н = и''ю/ : 2С(Н) = 0;

3) при его ограничении на вертикальное подпространство УТ2Хт = ТХт является тождественным отображением.

33

34

Таким образом, ядро и образ оператора 2й = е12йi — горизонтальное НТ2Xm = эрап(б^.) и вертикальное VT2Xm = TXm = span(ei) подпро-

v V

странства пространства Т2Хт, то есть Кег(2й) = НТ2Хт, 1т(2й) = УТ2Хт,

V

при этом НТ2Хт = Апп(2 со).

Утверждение 4. Аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет линейный оператор

2й = 2 йЧ : ТХт ^ Т2'Хт

из кокасательного пространства 1-го порядка (пространство форм степени 1) в кокасательное пространство 2-го порядка (пространство форм порядка 2, которые также называются кодиффузорами [11, р. 408]).

V

Доказательство. При отображении 2й форма й = а1й1 е Т*Хт переводится в форму 2-го порядка

2й(ю) = 2й^(й) = 2соira(si) = аг 2йi е Т2*Хт .

Считаем при этом, что е1 (й) = ю(е1). Если й = aidxi е Т*Хт, то

2й(й) = 2й^(й) = 2й^) = а. X {■2¿оi е Т2*Хт . □

Утверждение 5 (ср.: [7, с. 298]). Аффинная связность в расслоении касательных линейных реперов определяет горизонтальный линейный оператор

2й = й: Т2Хт ^ НТ2Хт

в касательном расслоении 2-го порядка, сопоставляющий вектору и е Т2 Хт

его горизонтальную составляющую ин. Этот оператор:

1) является проектором;

Н

2) аннулирует все вертикальные векторы V = V1 si: 2й(V) = 0;

3) при его ограничении на горизонтальное подпространство НТ2Хт является тождественным отображением.

н

Таким образом, ядро и образ оператора й = ййе. — вертикальное VT2Хт = ТХт = span(e1) и горизонтальное НТ2Хт = span(6.) подпространства касательного пространства 2-го порядка Т2 Хт, то есть

Кег(2 й) = Т/Т2 Хт = ТХт, 1т(2 й) = НТ2 Хт,

Н

при этом ТТ2Хт = Апп(2 й).

Предложение. Форму d2M можно разложить в сумму вертикального

2 v h v h

S и горизонтального 2й проекторов: d2M = 2й + 2й.

Замечание 4. В натуральных реперах и кореперах имеем

а) в индексном виде d2 M=2S' д ¡ + dx' dx, где

2S' = d2 x' — rjk dxj dxk, eij = д ^ + Г| д k;

v h

б) в безындексном виде d2M = 2со + 2có, где

2 S = (d2x* — Г dx jdxk )д,, 2 S = dx'dx' (д,; + j).

Список литературы

1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. М., 1979. Т. 9.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981.

Т. 1.

5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии / / Тр. геом. семин. / / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139-189.

6. Полякова К. В. Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2014. Вып. 45. C. 92-104.

7. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV: Дифференциальная геометрия. М., 1988.

8. Сарданашвили Г. А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. М., 1996. Т. 1.

9. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

10. Catuogno P. A geometric Ito formula. Matemática Contemporánea. 2005. Vol. 33. P. 85-99.

11. Emery M. An Invitation to Second-Order Stochastic Differential Geometry. 42 pages. 2005. <hal-00145073>

12. Koláf I., Michor P. W, Slovák J. Natural operations in differential geometry / / Berlin, Springer-Ferlag, 1993.

Об авторе

Катерина Валентиновна Полякова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: polyakova_@mail.ru

About the author

35

Katerina Polyakova - Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: polyakova_@mail.ru