Фундаментальная теория однопараметрических унитарных матриц u(2,2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

Андреев, А. И.,

кандидат физико-математических наук,

e-mail: andranatoliy@yandex.ru Andreev, A. I.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УНИТАРНЫХ

МАТРИЦ U(2,2).

Аннотация. Работа "ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ и(2.2)" является изложением фундаментальной теории однопараметрических унитарных матриц u(2,2) = u(a,b) = u(a).

FUNDAMENTAL THEORY OF ONE-PARAMETER UNITARY MATRIX U (2,2).

SUMMARY. The work "fundamental theory of one-parameter unitary matrix u (2.2)" is a statement of the fundamental theory of one-parameter unitary matrices u (2,2) = u (a, b) = u (a).

Ключевые слова: однопараметрические унитарные матрицы, теория однопараметрических матриц.

Keywords: one-parameter unitary matrix theory of one-parameter matrices.

Матрица ^2,2), в которой столбцы и строки ортонормированы, называется унитарной. В матричной форме условие унитарности матрицы ^2,2) имеет вид:

^(2,2) ^2,2) = u*u = I (2,2), где I(2,2) - единичная матрица, символ * обозначает транспонирование векторов и матриц с комплексным сопряжением их элементов. Унитарная матрица ^2,2) содержит четыре комплексных параметра:

а Ь

u(2,2) =

c d

Из унитарности матрицы ^2,2) следует, что столбцы и строки матрицы взаимно ортогональны и нормированы на единицу. Используя условия нормировки столбцов и строк матрицы ^2,2) на единицу и их ортогональность, получим равенства:

а* Ь *

[a b] [a b] * = [a b]

= aa* + bb* = 1

[c d][c d] * = [c d]

[a b] [c d] * = [a b]

c * d *

d *

det u = ad - bc = 1

c

cc* + dd* = 1

= ac* + bd* = 0

(1');

(2); (3).

Определитель любой унитарной матрицы равен (+1) или (-1) в зависимости от фактических параметров унитарной матрицы. Для определенности в (3) принято det u = ad - bc = +1.

Умножим обе части равенства (3) на d* и, учитывая (1), (2), получим: add* - bcd* = a(dd* + cc*) = a = d* или d = a*.

Умножив обе части равенства (3) на c* и используя (1), (2), получим: adc* - bcc* = - b(d*d + c*c) = - b = c* или c = - b*.

Равенства d = a* и c = - b* определяют произвольную унитарную матрицу u(2,2) как двухпараметрическую:

u(2,2) =

a b a b

c d — b * a *

a b = a b на

c d — b * a *

Комплексные параметры a, b в матрице u(2,2)

зываются параметрами Кейли-Клейна.

Частным случаем унитарных матриц являются перестановочно-инверсионные матрицы Pi, Dj, введенные в работе [1]. Матрицы перестановок формируются перестановкой столбцов единичной матрицы E(n,n). Матрицы инверторы формируются заменой в единичной матрице E(n,n) диагональных значений (+1) на значения (-1). Произведения матриц перестановок Pi(3,3) и матриц инверторов Dj(3,3) по теореме в [1] определяют все 48 матриц симметрии куба.

Унитарные матрицы и (2,2) являются исходными при определении многомерных унитарных матриц и(2'+1,2''+1) в соответствующих приводимых и неприводимых линейных представлениях групп симметрии, групп симметрии квантовой физики.

В частном случае Ь = 0 унитарная матрица и (2,2) имеет вид: Га 0

и(2,2) =0 а *

Учитывая аа*

ре'ф р-''ф = р2 = 1, получим для р = +1: a = е'ф, a* = е-'ф,

u =

0

0 e

-j^

Условия унитарности матрицы и (2,2) определяют более глубокую связь между комплексными параметрами произвольной матрицы

и(2,2) = Г а Ь

- Ь * а *

Эта связь представлена в соответствующей теории однопараметриче-ских унитарных матриц и (2,2), излагаемой ниже.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ

и(2,2)

При изложении теории за исходную принята двухпараметрическая уни-

а Ь

Матрица и(2,2)

тарная матрица u (2,2)

a b

- b * a *

-b * a*

унитарна, ее

столбцы и строки ортонормированы.

Выделим строку матрицы = [ а Ь] и нормируем ее на единицу:

si •si = sisi* = [ a b][ a b]* = [ a b]

a b*

= aa* + bb* = 1.

Определим экспоненциальную форму комплексных чисел a, b в соответствии с формулой Эйлера: a = ai + j a2 = pxejp, b = bi + j b2. = p2e1 w. При этом модули и фазы комплексных параметров a, b имеют вид:

pi = +д/я,2 + ар , ф = arc tg(a2/ai), р2 = + д/b,2 + b22 , ф = arc tg(b2/bi). Модули pi,

матрицы u(2,2) =

Р2 комплексных параметров a, b произвольной унитарной ab

- b * a* aa* + bb* =

с определителем +1 связаны равенством:

pxeJP pxe-P + р2ew р2-

i

Pi +Р2

Из выражения рр + рр

метра a, b унитарной матрицы

1 следует: модуль любого комплексного пара-b

a

не превосходит по абсолютному

- b * a *

значению единицы, т. е. | рi |< 1, | р21 < 1.

Рассмотрим отрезок вещественной оси [-1, +1]. Значение любой точки x этого отрезка по модулю не превосходит единицу, т. е. | x | < 1. В этом случае значение любой точки x отрезка [-1, +1 ] допустимо однозначно определить как значение тригонометрической функции cos ф или sin ф. Например, 0,5 = cos 60° = sin 30°.

Так как величины модулей pi, р2 комплексных параметров a, b унитарной матрицы u(2,2) не превосходят единицы, допустимо однозначно выразить их как значения соответствующих тригонометрических функций. Определим pi = cos а.

Подставим значение pi = cos а в равенство рр + рр = i:

2 2 2 р +рр = cos2 а + рр = i.

Из полученного равенства следует:

р2 = i - cos2 а = sin2 а или р2 = +sin а,

где знак + в выражении р2 = +sin а означает положительный модуль комплексного числа.

Подставим значения комплексных параметров a

ab

cos а e , b = sin а e

JV

в определение унитарной матрицы u(2,2) =

- b * a

u(2,2)

a b

- b * a *

cos ae]P sin ae]J

- sin ae JP cosae JP

Полученная матрица содержит три независимых вещественных параметра а, Ф, ф.

*

Из условий унитарности матрицы ^2,2) следует, что фазовые углы ф, ф комплексных параметров а, Ь связаны определенным образом. Для выяснения этой связи применим вспомогательное геометрическое построение.

Рассмотрим плоскость вещественного переменного с декартовым базисом координат OXY и плоскость комплексного переменного с осями координат OXjY. Совместим координатные системы, принимая, что начало координат и направления базисных осей совпадают. При этом условии каждой точке вещественной плоскости с радиусом вектором г = xi +у] соответствует точка комплексной плоскости z = x + jy = peiф. Между точками г = xi +у] вещественной плоскости и точками комплексной плоскости z = x + jy = реф устанавливается взаимно однозначное соответствие: г ^ z.

Применим вспомогательное построение. Для этого введем векторную форму прямоугольного треугольника с катетами a, Ь и гипотенузой ^ a + Ь = ^ Умножим каждую часть векторного равенства скалярно на себя, учитывая ортогональность катетов a•b = 0: ^ + ^^ + Ь) = a•a + Ь^Ь +2(а^Ь) = a2 + Ь2 = c2 или a2 + Ь2 = c2 (теорема Пифагора).

Если длина гипотенузы равна единице, тогда a2 + Ь2 = 1.

а Ь

Комплексные параметры a, Ь унитарной матрицы ^2,2) =

-Ъ * a*

яв-

ляются точками комплексной плоскости, ограниченном радиусом, равным единице, так как модули комплексных чисел a, b не превосходят единицы. Из

выражения р\ + р\ = 1 следует, что комплексным числам a, b комплексной

плоскости в вещественной плоскости соответствует прямоугольный треугольник с катетами р1 и р2 и длиной гипотенузы c = 1 в соответствии с выражением Р12 + Р22 = 1.

Угол между катетами, проведенными из начала координат, равен п/2. Следовательно, фазовые углы ф, ф комплексных параметров a, b унитарной матрицы u(2,2) могут отличаться только значением (+п/2) или (-п/2). Полагая, что из двух фазовых углов ф, ф угол ф является меньшим, тогда ф = ф + п/2.

Подставим значение фазового угла ф = ф + п/2 в определение комплексного параметра b = sin а Ф'ф, в результате получим: b = sin а Ф'ф = sin а Ф'(ф+п/2) = sin а e№ e'n/2 = j sin а Ф'ф, так как ejn/2 = cos п/2 + j sin

п/2 = j.

Окончательно получим:

u (2,2)

a Ъ

- Ъ * a*

cos ae j sin ae]j

- sin ae j cosae JP

cosaej jsinaej j sin a e-JP cos a e~JP

В полученном выражении унитарная матрица u(2,2) содержит единственный комплексный параметр a = cos а Ф'ф, через который однозначно выражаются все четыре комплексных параметра произвольной унитарной матрицы u(2,2).

Предложенная теория отличается простотой и ясностью при однопара-метрическом определении произвольных унитарных матриц u(2,2) = u(a).

Дальнейшим в теории является применение однопараметрических матриц u(2,2) = u(a) в прикладных направлениях, в которых используются функции комплексных переменных a, b двухпараметрических унитарных матриц u(2,2).

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ u(2,2)

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 однопараметрической унитарной матрицы ^2,2) Матрица A(3,3) линейного преобразования трехмерного 3D-пространства с использованием стереографической проекции точек сферы в [2] или с использованием матриц Паули в [3] имеет вид:

У

1 / *2 , 2 — (a + a

2

b

*2

j (a2 + b 2

* -f -f * a b + ab

2 a 2

b2) b2)

j (a *2 + b 2

2 2 - a -

b2)

— (a *2 + a2 + b*2 + b2) 2

j (ab* - a*b)

- ( a*b* + ab) j (a*b* - ab)

* 7*7

a a - b b

или х' = A(3,3) х.

При вращении сферы относительно ее центра O все точки безграничного трехмерного пространства, жестко связанные со сферой, преобразуются линейно. Поэтому вращение сферы обычно называют вращением пространства.

Матрица A(3,3) по [2] является вещественной с определителем +1. Элементы матрицы A(3,3) в явном виде содержат комплексные параметры a, Ь

а Ь

двух параметрической унитарной матрицы ^2,2)

-b * a*

с комплексными

параметрами Кейли-Клейна a, b.

Комплексные параметры a, b двухпараметрической матрицы u(2,2) =

a b „

определим через единственный комплексный параметр a = cos а

- b * a *

j однопараметрической унитарной матрицы u(2,2) в соответствии с выражениями:

a = cos а e№, b = j sin а ew, a* = cos а e b* = - j sin а e X Подставив приведенные выражения параметров a, b в определение матрицы A (3,3), получим матрицу W(3,3):

W(3,3)

cos 2^ - cos 2a sin 2^ sin 2a sin 2^ sin 2^ cos 2a cos 2^ sin 2a cos 2^ 0 sin 2a cos 2a

Особенностью матрицы W(3,3) является появление удвоенных углов вращения 2а, 2ф по сравнению с обычными углами а, ф в комплексных элементах a, Ь унитарной матрицы ^2,2). Для исключения удвоенных углов в матрице W(3,3) используют комплексные параметры a, Ь с половинными углами а/2, ф /2.

Проблема удвоенных и половинных углов в теории вращения пространства связана с использованием в квантовой теории спиноров. Спиноры иногда называют полувекторами, подчеркивая, что закон их преобразования отличается от преобразований обычных векторов.

9 * " 9

В частном случае Ь = 0 (при этом а = 0, а = е , а = е 2 ), получим:

x

z

z

СОБ^ - БШ^ 0

W(3,3) = БШ^ СОБ^ 0 0 0 1

что соответствует вращению пространства (точек сферы) на угол ф относительно оси ъ.

В приведенном примере использование однопараметрической унитарной матрицы существенно уменьшает громоздкость исходных выражений.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 однопараметрической унитарной матрицы и(2,2)

Рассмотрим применение унитарных однопараметрических матриц в теории линейного представления групп симметрии, групп симметрии квантовой физики.

Решениями уравнений Лапласа Д11(х,у) = 0 или Д11(х,у,ъ) = 0 являются гармонические функции, которые связаны со сферическими функциями. Сферические функции выражаются через биномиальные функции. В связи с этим рассматриваются некоторые особенности биномиальных функций.

Последовательность из п+1 однородных функций

г п г п-1 г п-2 2 г

& = хп , = хп х2, ^2 = хп х2

х

является составной частью биномиальных функций:

п

/ , \ _ X""* к п—к к л 0 п А п-1 ^ л 2 п-2 2 , л п п

(х1 +х2)П = ^ Сп*1 Х2 = Сп х 1 + Сп*1 Х2 + Сп х 1 х 2 +.+ Сп х п ,

п!

к=0

где сп =-

п к!(п - к)!

биномиальный коэффициент, значение 0! = 1, с = с =

В однородных функциях х 1 кхк2 сумма показателей (п - к) + к = п - постоянное число п.

Определим вектор х =

х

переменных бинома хь х2 и применим к

нему унитарное преобразование

х

а Ь

1 * * - Ь а

и(2,2) х (2) Обозначим вектор х'

х

и х, где и

аЬ

у * *

- Ь а

х1 а Ь ' х1 ~

_ х2_ * * - Ь а _ х2 _

унитарная матрица.

и х или х = и х.

Из унитарности преобразования х' = и х следует, учитывая

х • х х^ х^ + х2*х2, х • х X' X' + х' х2,

х' • х' = (и х)• ( и х) = х*( и*и) х = х • х или х' • х' = х • х.

Унитарно преобразованные переменные х' и х' имеют вид:

х1 = ах1 + Ьх2, х2 = — Ь х1 + а х2. Вместо функций ^к = хп~к хк в теории групп используются функции ^ и g,k, которые приводят к унитарным преобразованиям исходных функций §<:

п-к к

8к у/к! (п - к)! ' 8

п-к к

, к = 0,1, 2...п.

^к!(п - к)!

Последовательность функций 8к и 8к определим в форме соответствующих векторов Ь (п+1), Ь' (п+1) однородных функций 8^ и 8к:

" 8 0" " 8 Г

Ь (п+1) = 81 , Ь' (п+1) = 8'

_ 8 п _ _ 8 п _

Вектор Ь'(п +1) является результатом унитарного преобразования исходного вектора Ь (п+1) согласно выражению

Ь' (п+1) = и (п+1, п+1) Ь(п +1) или Ь' = и Ь .

Унитарность матрицы и (п+1, п+1) следует из унитарных преобразований переменных Х1, Х2 согласно выражениям:

г г * *

Л' = ал1 + Ь%2, Л2 = — Ь Х1 + а Х2. Используя равенство х*Х1 + х2х2 = Х' Х' + Х' х2, определим биномы:

*

^2 х2

(Х'*ХЭ )П-к (Х'*ХЭ )к (Х'2х' + Х2*х2)п = п!£(Х' Х\! (Х2Х2) = п!Е8'к 81 = п!(Ь' • Ь'),

к=0

к!(п - к)!

к=0

п (Х Х )п-к (Х Х )к п

(Х1*Х1 + Х*2х2)п = п!£(Х1 Х1) (Х-Х2) = п!Е8к*8к = п!(Ь • Ь).

к=0

к=0 к!(п - к)!

Из приведенных равенств следует: «2 » »2 » 2 2

(Х' Х' + Х' Х')п = (х + х2х2)п или Ь • Ь = Ь • Ь.

Из равенства Ь' • Ь' = Ь • Ь следует, что матрица и(п+1, п+1) в преобразовании Ь' = и Ь является унитарной, так как сохраняет длину своего входного вектора Ь(п +1) в выходном векторе Ь'(п +1).

Изменим нумерацию функций 8к и 8', определив функции к и к':

к

+к у}-к

Х| Хг^

и кк

у.'(} +к )уГ( }-к)

Х' Х'

-, к = -}-} +1,-} + 2,...}.

№ + к)!(} - к)! к ^ + к)!(} - к)! Параметр } фиксирован и определяет 2]+1 функций исходных х1, х2 или унитарно преобразованных переменных х', х'.

Каждую последовательность \, к' определим соответствующим вектором однородных функций Ь(2} +1) и Ь'(2} +1).

и

-}+1

-}+2

к.

И' =.

"к- у '

к- у+. к- у +1

к'- у+2 , у+2 = и(2]+1,2]+1) к- у+2 или И' = и И

к' _ у _ к _ у _ к _ у _

В линейном преобразовании И' = и (2]+1,2]+1) И = и И элементы итк унитарной матрицы и(2]+1,2] +1) в явном виде выражаются через известные эле-

а Ь

менты а, Ь унитарной матрицы и(2,2) =

у * >

- Ь* а*

Задача определения элементов итк унитарной мат

рицы и(2]+1,2]+1) как аЬ

имеет са-

явных функций параметров а, Ь унитарной матрицы и

1 - Ь* а

мостоятельное значение. Решение этой задачи связано с учетом особенностей унитарной матрицы и(2]+1, 2] +1) при унитарном преобразовании исходных переменных х1, х2 в унитарно преобразованные переменные х', х' согласно выражению:

= и х.

х^ а Ь ' ' х1"

_ х2 _ _- Ь* * а _ х2 _

к

к

к

При преобразовании исходных переменных х , х в унитарно преобразованные переменные х', х' компоненты к исходного вектора И(2] +1) преобразуются в компоненты к' вектора И'(2у +1) унитарно преобразованных переменных:

Yj+к -уу-к х(j+k) х( j-к)

»/V-! »/\ Г\ й »/V-! »/V Г\

к, = , 12 , к, = ,—— 2 ■, к = - j, - j +1, - j + 2,... j. к ^(у + к)!(у - к)! к + к)!(j - к)!

Любая компонента к' вектора И'(п) унитарно преобразованных переменных имеет два определения. С одной стороны, компонента к' выражается в явном виде через известные параметры а, Ь унитарной матрицы и (2,2). С другой стороны, компонента к' представляет произведение строки ик*(п)

матрицы неизвестных элементов и(п,п) на вектор известных функций И(п +1). Приравнивание коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой части позволяет определить все неизвестные элементы икт матрицы и(п,п). Применим в выражении И' переменные х1 = ах^ + Ьх2,

Г 1 * *

х2 =- Ь х1 + а х2, в результате получим произведение двух биномов степени (]+к) и (]-к):

_ х'(у+к)х'(у-к) _ (ах + Ьх2)(у+к)(-Ь*х + а*х2)(у-к) кк _ _

^(у + к)!(у - к)! ^(у + к)!(у - к)!

Перемножив биномы степени (]+к) и ('-к) с использованием формулы Ньютона, получим последовательность однородных функций х(+кх2-к порядка 2], к = -И+1, -]+2,...].

С другой стороны, компоненты к[ вектора Ь' унитарно преобразованных переменных в соответствии с выражением Ь' = и(2]+1, 2]+1) Ь выражаются через неизвестные элементы икт матрицы и(2]+1, 2]+1):

'к

'К'

к; =

к' _ п _

ип ип... и1п

и21 и22...и2п

и и ... и

п1 п2 пп .

к

к

Приравняем выражения

, _ (ах + Ъх2)(7+к)(-Ь*х + а*X)(1 -к) к = 4(1 + к)!(1 - к)!

[ик1 ик 2...икп ]

к

к

к

Независимые переменные х1, х2 принимают произвольные значения. Поэтому коэффициенты при одинаковых функциях х(+кх!-к должны быть равными. Это позволяет определить все неизвестные элементы икт матрицы

и(2]+1, 2]+1).

В качестве примера определим матрицу и (3,3) при фиксированном параметре ] =1.

По определению:

кк =

V1 +к у1 -к

Х\ Х2

, кк =

у'1 +к у'1 -к

Х| Х2

(ах1 + Ьх2)1 (-Ь х + а х2)

4(1 + к)!(1 - к)!' к~4(1 + к)!(1 - к)! = 4(1 + к)!(1 - к)! При фиксированном ] = +1 получим значения к = - 1, 0, 1 и элемен-

1-к

ты к и к[.

к-1" ' х 2 /42' к-1" (-Ь* х + а * х2 )2 /42

Ь = к0 = , Ь' = к0 = (ах + Ьх2)(—Ь* х + а* х2)

К _ _ х 2/ 42 _ _к _ (ах1 + Ьх2 )2 /42

Ь' =

(-Ь* х1 + а * х2 )2 /42

* ^2

'2.

(ах1 + Ьх2)(—Ь* х + а* х2) (ах1 + Ьх2 )2 /42

и(3,3) Ь

и-1, -1 и-1,0

ио, -1 и0,0

и1,-1 и1,0

и

-1,1

и

0,1

и

1,1

к

к0 к

Применим соответствующие равенства в приведенном выражении и определим из них элементы икт матрицы и(п,п).

hl =

/ 7 * * \2 2

' - ' Xl^aX2) =U_i,_i h_i + U_i,0 h0+U_i,i hi U_i,_i = U_i,i + U_i,0 xix2 +

и —

^-1,-1 = а *2, и_1Л

к' = (ах + Ьх2) (-Ь*х + а*х2) = и^ к_х + и0>0 к+иод К =

и^ х\14ъ.+и00 хх2+и,! х2 / А/2Г ,

и_1= а*Ьл/2, ио 0= а*а - Ь*Ь, ио != аЬ*42,

к = (ах1 + ьх2)2 = и к +и к +и к =и + и хх +и

к1 и1,-1 к-1+и1,0 к0 + и1,1 к1 и1,+и1,0 х х2 + и1,1 ,

и^!= Ь2, и10 = аЬл/2 , ии = а2.

Окончательно получим матрицу и (3,3) вращения трехмерного пространства в параметризации элементами а, Ь унитарной матрицы и(2,2) =

а Ь

- b* a*

U(3,3) = U(a,b) =

a

*2

- a*b*42

b

*2

a

b2

Ъ42

*

a a

- b*b - ab* 42

a

b42

a

Элементы матрицы и (2,2) в параметризации углами Эйлера а, в, Y имеют вид [2, 3]:

a = e

-j («+Г)/2

cosß/2, b=e

-j (Г-«)/2

sin ß/2.

Существуют другие определения произвольного элемента Ums матрицы U(n,n) [2, 3]:

Ums = Cmsk aJ-k-saJ+m-kb*k+s~mbk,

где Cmsk = (-1)* m 2 (-1))

л/( j + m)!( j - m)!( j + s)!( j - s)! k!( j - s - k)!(j + m - k)!(k + s - m)!

m, s = - j, - j + 1, - j + 2,... j при фиксированном значении j.

Используем теорию однопараметрической матрицы u(2,2) с единственным комплексным параметром a = cosaeJ(p, (b = jsinae1<p). При этом в

определении элемента Ums матрицы множители a

* j-к—s s^j+m-к Jy*k+s-m j^k

a

b объе-

диняются:

au -k) a (j-k)

(cos a eJ(p cos a e~J(p)j-k = (cos a)2(j-k), Kkbk = (sin a)2k,

2(j-k)

*k r k

\2k

a

(- s )q mb *( s-m)

*( - m)

s-m 2 jmp

(a sb )(amb ') = (cosa)m-s (sin a)s-m (-j)s-m e

Пределы суммирования по переменной k ограничены значениями: k > 0, k > m - s, k < j - s, k < j + m.

k

В результате применения однопараметрической матрицы с единственным независимым параметром a = cos a eJ<p (b = j sin aeJ<p) получим выражение для произвольного элемента Ums матрицы U(n,n):

Ums = Z СтЛ (cos a)(2j+m-s) -2k (sin a)(s-m)+2k (-j)s

2 jmp

Полученная формула определения произвольного элемента Ums матрицы U(n,n) отличается от исходной формулы компактностью.

В приведенной формуле экспоненциальный множитель e2Jmp зависит только от номера m строки матрицы U(n,n), начиная от значений m = - j до значения m = + j.

В качестве примера определим элементы Ums матрицы U(3,3) с фиксированным параметром j = + 1. При этом m, s = -1, 0, 1

Вычислим параметр суммирования k для элемента U-1,-1 , где m = s = -1. Из ограничений параметра k при m = s = -1 следует:

k > 0, k > m-s > -1+1 > 0, k < j - s <1 + 1 <2, k < j + m < 1 - 1 < 0. Из условия k > 0 и k < 0 следует k = 0, поэтому сумма содержит только одно слагаемое.

*2

Подставив значения m, s, k = 0 в выражение U-1, -1, получим U-1,-1 = a . Аналогичные вычисления приводят к ранее полученной матрице U (3,3) вращения трехмерного пространства в параметрах a, b унитарной матрицы u(2,2) = u(a,b):

U(3,3) =

a

*2

- а*b*л/2

b

*2

a

b2

Ъ42

*

a*a

- b*b - ab* л/2

a

Ьл/2

a

Матрицы и(2]+1,2]+1) определяют неприводимое линейное ] представле-

а Ь

ние порядка (2]+1) с матрицей и(2]+1,2]+1), обозначаемое в виде О

- b a

D. {aß г}-

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев, А. И. Группы матриц перестановок в теории симметрии кристаллов [Текст] / депонировано в ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 02.06.2009. - № 341В 2009.

2. Смирнов, В. И. Курс высшей математики [Текст]. Т. 3. Ч. 1 / В. И. Смирнов. - М. : Изд-во технико-теоретической литературы, 1956.

3. Вигнер, Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров [Текст] / Е. Вигнер. - Новокузнецк : Изд-во Новокузнецкого физико-математического института, 2000.

к