CC BY
36
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
Андреев А. И.,
кандидат физико-математических наук, e-mail: andranatoliy@yandex.ru
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
Однородные функции часто используются в прикладных направлениях. Решениями уравнений Лапласа Ди(х,у) = 0 или Ди(х,у,2) = 0 являются однородные функции соответствующих степеней. Любой полином степени п представляет последовательность однородных биномиальных функций.
Целью предлагаемой работы является изложение фундаментальной теории однородных функций, отличающейся простотой.
к п-к
Определение: функции = х1 х 2 , к = 0,1,2,... п называются однородными степени п. В последовательности однородных
к п-к
функций 1к = х1 х2 , к = 0,1,2,...п сумма показателей к + (п - к) = п является постоянным числом.
Любой бином произвольной степени п представляет сумму однородных функций с биномиальными коэффициентами:
(х + хг)п = СоХ1Хп + С1Х1Х2 . +
n ^.к ^п—к
c Xi x
2 CkX1 X2
12 = к=0
n!
где Ск = к!(п к)! - биномиальный коэффициент, значение 0! = 1,
п п 1
С0 = Сп = 1.
В теории различают однородные функции простых переменных х1, х2 и со-
* *
Х2x2. Состав-
ставных переменных 1 1 ные переменные обычно связаны с линей ным (унитарным) преобразованием векто
за x(2) =
a b
-f * *
-b a
x
x„
x
x.
x'(2) =
Xi x2
= u X
Унитарная матрица и(2,2) сохраняет
длину своего входного вектора х в выход
•тг^-тг? * ^ *
ном векторе:
x • x = (ux)*(ux) = x (u u)x
X ' • X ' = X • X
= XX = х*х или
В ортонормированном базисе скаляр-
ное произведение векторов имеет вид:
х' • х'
X • X = X1 X1 + X2X2
f* t f* f
Xi — a«i + b«2
x2
* * b «i + a «2
При унитарном преобразовании пере-
X
X0
менных , ""2 однородные функции 1к(х1,х2) также преобразуются унитарно (при соответствующей их нормировке):
к п - к „ _ Х1 х2 к ~ ПТ7
д/к! (п — к)!
x t кх t п — к г2 _ X1 x2
J к = /TT
л/к!(п - к) оследователь
г .
функций к и к определим в форме
к = 0,1, 2.п. Последовательность однородных
г г'
•У к и к |
5/2015
—>
п
столбца функций, используя векторные обозначения Ь (п+1) и Ь (п+1):
/с
/1 /
/с
/1
/
Ь (п+1) = iл ], Ь' (п+1) =
Векторы однородных функций Ь (п+1)
и Ь (п+1) связаны унитарным преобразованием согласно доказанной ниже теореме.
ТЕОРЕМА. Векторы Ь (п+1) и Ь' (п+1)
/„ =
к n - к
однородных функций
д/k! (n - к)!
f'=■
J к
tк t n - к
к Vк!(п - к)! , П1
у 4 у , k = 0,1,...п при унитарном преобразовании переменных А = u(2,2) А преобразуются унитарно матрицей U(n+1, п+1):
Ь' (п+1) = U(n+1, п+1) Ь (п+1) или
Ь' = u Ь.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим два
бинома исходных составных переменных
* *
Х1Х1
2""2 и унитарно преобразованных
x • x )n
1*1 t*
составных переменных 1 1, 2 2
* *
:)n = (xi xi +
fj] ^ (X1 X1 ) (X2X2 ) 'к=с M(n - к)! = n! b.b,
(
X2 X2 )n =
( x t • x t )n = ( x • x )n = (
(X Xt ) (X2 X2 ) к=с k!(n - к)!
r* r r* r
x • x )n = ( Xt Xt + X2 X2
)n
= п! Ь' • Ь'.
Из унитарности преобразования пере-
XV X, X, , X0X0 V* V*
----------- •А = 11 + 2 2 = А • А =
Г* Г Г* Г г* г
"V "V "V "V
1 1 + 2 2 следуют равенства ( 1 1 +
f* f * X2 X2 )n = (X1 X1 +
*
X2 X2
4n bt bt
) или b •b =
Равенство
Ь
bt •bt = b. b
показывает,
что вектор представляет результат унитарного преобразования исходного вектора
Ь , т.е. Ь = UЬ . Равенство Ь = UЬ доказывает теорему.
Фундаментальной особенностью однородных функций является их явная зависимость от своих аргументов. Поэтому с унитарным преобразованием аргументов связана матрица U(a,b) унитарного преобразования исходных функций, зависящая только от параметров a, Ь унитарной матрицы и(2,2).
Изменим нумерацию функций
Г Г'
лк л к и нормировку, определив функции к к
к
yj +
Xj Л2
к
*J(j + m)!(j - m)!
Y'( j+m) Y'( j-m)
Xt X 2
V(j" + m)!(j - m)!
m = - j, - j +1, -
] + 2,..о.
Параметр 1 фиксирован, определяет
к
2j+1 однородных функций т исходных переменных x1, X2 и 2j+1 однородных
функций кт унитарно преобразованных
переменных 1 , 2 .
При целом значении j, например, j = 2,
к
однородные функции т имеют вид:
х4 - -3
к -*2
-2
л/4!
3 2 2
к = X1X2 к — X1 X2
1 л/3!
л/2!2!
к = ^ к = ±
1 л/3! , 2 л/4!.
Полуцелому значению j, например, j = 5/2, соответствуют однородные функции
к
bb
5/2015
к _
"5/2 л/5!,
2 3
к _ Х, Х2 к-1/2 л/2!3!,
_ Х2 т
к3/2 _ /ТТ к5/2
Х1Х2 к-32 л/4!
3 2
к _ Х, Х2
к,/2 л/2!3!
л/4!
Х1
л/5!
С последовательностью функций
к
к'
т свяжем соответствующие векторы
Ь(2/ +1) Ь'(2у +1)
однородных
, .к к'
функций т и т
Ь = к _ 7 _ Ь' = к' _ 7 _
Ь' =
И(2]+1,2]+1) Ь или Ь ' = и Ь .
В линейном преобразовании Ь =
иЬ элементы итк унитарной матрицы и явно зависят от параметров а, Ь унитарной матрицы и(2,2). Для определения элементов итк унитарной матрицы и применим равенство:
V ' 7 +ку ' 7-к Л| Хг^
К=
4(] + к)!(у - к)!
(ах1 + Ьх2)]+к (-Кх1 + а*х2)7 к
->/(-/ + к)!(7 - к)! =
ик* Ь,
где ик*(2]+1) - строка матрицы И(2]+1,2]+1) с номером к.
Левая часть приведенного равенства содержит произведение двух биномов различной степени. Приравнивая при перемножении биномов коэффициенты при одинаковых произведениях элементов хтхк в левой и правой части равенств, определим все элементы итк матрицы И(2]+1,2]+1).
В качестве примера определим элементы Итк унитарной матрицы И(2]+1,2]+1) = И(3,3) для ] = +1 при унитарном преобразовании х = и(2,2) х .
к к'
Однородные функции к , к в соста-
ве векторов вид:
Ь^3) Ь'(3) . ,
17 и 4 7 для ) = 1 имеют
1+к 1-к Л| Хг^
к =-
к 7(1 + к)!(1 - к)!
\1+к ,
(ах1 + Ьх2) + (-Ь х1 + а х2) л/(1 + к)!(1 - к)!
1-к
кк =
к = - 1,
о, 1,
и Ь
"к_! _ х\/42. к0 _ Х1Х2 и_ х^л/2! j = ь ' = к_х _ (а*2х2 - 2а*Ь*х1х2 + Ь*2х12)^л/2! к' _ а*Ьх1 + (а*а - Ь*Ь)х1х2 - аЬ*х^ к_ _ (Ь2х2 + 2аЬх1х2 + а2х2) / л/2!
И;
а
*2
42а* Ь*
И(3,3)
Ь*2
л[2а*Ь (аа* - ЬЬ*) -42аЬ* Ь2 л/2аЬ а'
Для сравнения определим матрицу И(4,4) в пространстве четной размерности
И;
3/2
И(4,4)
-43а*2Ь*
л/3а*Ь*
-Ь*
43а'2Ь (аа'2 - 2а*ЬЬ*) (ЬЬ*2 - 2ааЬ) л/3аЬ*2 43а*Ь2 (2аа*Ь - Ь2Ь*) (аV - 2аЬЬ*) -л/Эа2Ь*
Ь3
43аЬ2
-Да 2Ь
Определим матрицы И(3,3), И(4,4) как последовательности своих столбцов 8к И(3,3) = [81 Б2 83], И(4,4) = [81 Б2 84].
5/2015
а
а
Применим теорию однопараметриче-ских унитарных матриц u(2,2) согласно [1], определив a = cos a eJ9, b = j sin a eJ9 При этом столбцы sk(a,b) становятся явно орто-нормированными: sk*sm = 5km-
В квантовой теории унитарное преобразование столбца волновых функций приводит к теории спиноров. В спинорах используют половинные углы Эйлера ф/2, у/2, 0/2, которые связаны с параметрами a,b унитарной матрицы u(2,2) [3].
Матрицы U(n,n) и u(2,2) связаны функционально в виде U = U(u). Множество функций делится на однозначные и многозначные функции своих переменных. По симметрии функции делятся на симметричные f(x) = f(-x), антисимметричные f(x) = - f(-x), несимметричные.
С унитарной матрицей u(2,2) свяжем
инвертированную матрицу (-1)u(2,2) = u . Унитарные матрицы U(n,n) с условием
U(u) = - U( u ) являются однозначными от параметров a, b матрицы u(2,2). Матрицы
U(u) = U(u ) являются двузначными, так
как преобразования u и u приводят к одной и той же матрице U(n,n) [3].
В приведенных примерах матрицы нечетной размерности типа U(3,3) симметричны относительно инверсии параметров a ^ (-a), b ^ (-b). Матрицы четной размерности типа U(4,4) не симметричны относительно инверсии a, b параметров:
U(a,b) = - U 'b ) .
В квантовой теории для частиц с полуцелым спином h/2 (электронов, протонов) волновые функции могут быть только антисимметричными.
В теории групп взаимно однозначное преобразование элементов g ^ h групп G(g) и H(h) называется изоморфизмом. Неоднозначное преобразование g ^ h называется гомоморфизмом.
В дальнейшем изложении рассматриваются особенности матриц унитарного преобразования однородных функций.
ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ И АМПЛИТУДНЫХ МАТРИЦ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ.
Явная зависимость элементов унитарных матриц Ц = = и(п,п) от параметров а, Ь унитарных матриц и(2,2) определяет ц(п,п) как не симметричные матрицы, т.е. Цкт Ф Цтк. Например, для элементов матрицы Ц(3,3) справедливо:
_42аЬ* Ф тт., = ЛаЬ
', Ui3 =
U12 = -'
b*2 ф Ü3i = b2.
Для унитарных матриц преобразования однородных функций в текущем изложении сформулирована и доказана теорема о фазовых и амплитудных унитарных матрицах.
ТЕОРЕМА. Унитарная матрица Üj = U(2j+1,2j+1) = U(n,n) представляет произведение унитарной фазовой диагональной матрицы D(n,n) и амплитудной унитарной матрицы A(n,n) согласно U(n,n) = D(n,n) A(n,n) = DA.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы применим теорию однопара-метрических унитарных матриц u(2,2), изложенную в работе [1]. Для любой унитарной матрицы u(2,2) справедливо ее представление единственным независимым комплексным параметром, например, a =
j Voin ™ ✓j
, при этом
= - j sin ae
cos ae9 , i sin ae *
----------b = j a =
cosae 19 b*
-j <p
a b '
- b' a* —
cos a e 9 jsin aej
cosae
* „ *
u(2,2) = L-b a J = Usin ae
Подставив параметры a, b, a, b в определение унитарных матриц U(3,3), U(4,4), получим u(3,3) = D(3,3) A(3,3), U(4,4) = D(4,4) A(4,4): U(3,3)
e-129 0 0 "
0 1 0
0 0 ej29
cos2 a 42 j cos a sin a - sin2 a
42j cos a sin a 22 cos a-sin a 42j cos a sin a
- sin2 a 42j cos a sin a cos2 a
5/2015
10
МИР современной науки
U(4,4)=
D(4,4)
A(4,4)
-j3<p
0 0 0
0 e-9 0 0 0 0 eJV 0 0 0 0
j3<P
cos a sina
т/3jcos2a sina (cos^a - 2cos a sin2a) (2cos2a sina - jsirfa) -V3cos a sinza -43cos a sinza (2cos2a sina - jsirfa) (cos^a - 2cos a sin2a) V3jcos2a sina
cos a sin a s2a
3
- jsin a
-jsin^a -43cos a sin2a V3j
cos a sin a
Из явного вида амплитудных матриц А(3,3), А(4,4) следует их симметрия, т.е. акт = атк. Любая диагональная матрица, например, Б(3,3), является унитарной, поэтому справедливо равенство И(3,3) = Б(3,3) А(3,3) ^ ^ Б*(3,3) И(3,3) = А(3,3). Выражение Б (3,3) И(3,3) = БИ является произведением унитарных матриц. Из этого следует, что любая амплитудная матрица А(п,п) является унитарной.
Собственными значениями любой унитарной матрицы И(п,п) являются вещественные числа (+1) и (-1) и пары комплексно сопряженных чисел с модулем единица. [2]. Собственными значениями любой симметричной матрицы являются только вещественные числа [3]. Поэтому
собственными значениями любой амплитудной матрицы А(п,п), как унитарной и симметричной, могут быть только вещественные числа (+1) и (-1), составляющие ее спектр.
Унитарная матрица и(2,2) в однопара-метрическом представлении имеет вид:
а Ь
- b* a *
u(2,2)
ej cos« j sin aeJ<p je~J9 sin a cos a e~J j
e]<p 0 0 e"
J9
cosa jsina jsina cosa J=DA
Отметим не коммутативность матриц DA Ф AD. Любая диагональная матрица может коммутировать только с другой диагональной матрицей
Предлагаемая работа представляется полезной широкому кругу специалистов по математике и физике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев А.И. Фундаментальная теория однопараметрических унитарных матриц И(2,2). Журнал МИР СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. Издательство "ПЕРО", № 1, 2014, М., 2014 г.
2. Андреев А.И. Фундаментальная теория унитарных матриц И(п,п). Журнал
МИР СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. Издательство "ПЕРО", № 3, 2014, М., 2014 г.
3..Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1. М., ГИТТЛ, 1956 г.
e
X
cos a
cos a
5/2015
