CC BY
41
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 88-92
^ Механика :
УДК 539.3:534.1
Флаттер конической оболочки
И. А. Кийко, М. А. Наджафов
Аннотация. Приводится постановка задачи о флаттере конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом обтекании, в которой впервые основное состояние оболочки определено по реальному распределению давления в невозмущенном потоке.
Ключевые слова: коническая оболочка, флаттер, реальное давление.
Колебания и устойчивость круговой конической оболочки, внутри которой протекает газ с большой сверхзвуковой скоростью, изучались в работах [1-3]. Однако при математической формулировке задачи принимались гипотезы, правомерность которых не обосновывалась. В частности, в работе [2] для параметров невозмущенного потока принята аппроксимация, а в [3] они заменены средними значениями по потоку. В работе [4] представлена уточненная постановка — избыточное давление принято на основе результатов [5]. В предлагаемой работе, в добавок к этому, основное состояние оболочки определено с учетом реального распределения давления в невозмущенном потоке [6].
Представим себе круговую коническую оболочку, которая в сферической системе координата т, в, занимает часть Т\ ^ т ^ т2 конической поверхности {0 ^ т ^ то; в = а; 0 ^ ^ 2п}. Внутри конуса в положительном на-
правлении оси т протекает газ; невозмущенное течение считаем радиальным стационарным, его параметры — скорость ио(т) , плотность ро(т) , давление ро(т) , местная скорость звука ао(т) — известные функции радиуса [6]. Течение сверхзвуковое, принимается М2 = (ио/ао)2 ^ 1 ; при условии малой конусности (а2 ^ 1) координату т можно отождествить с координатой х , которая отсчитывается от вершины конуса вдоль потока.
Оболочку считаем упругой, механические характеристики ее материала: Е — модуль Юнга, и — коэффициент Пуассона, р — плотность; цилиндрическая жесткость Б = ЕН3/ (12(1 — и2)), Н — толщина оболочки.
Напряженно-деформированное состояние оболочки будем определять уравнениями технической теории в смешанной форме
1 я 2р
БА2т — —---—— Ь(т,Г) = 0, (1)
х tg а дх2
.a Eh д 2w 1 г
AF + • W - 2 L(w’w)=0' (2)
Оператор L(u, v) имеет вид
) д2u / 1 d2v 1 dv \ д2v / 1 d2u 1 du
Uj V дx2 yx2 дф2 + x dxj + dx2 yx2 дф2 + x dx
2 , 1 д2v 1 дv \ /1 д2u 1 дu
x дxдф x2 дф ) \x дxдф x2 дф
Обозначено ф = фі sin а, А — оператор Лапласа.
Решение нелинейной системы (1), (2) представим в виде суммы основного (казистатического) и возмущенного (динамического) состояний
w = wo(x) + w1(x^,t); F = Fo(x) + Fi(x, ф,і).
Подставим эти разложения в (1), (2) и линеаризуем по малым возмущениям; приняв обычные упрощения, получим в результате для возмущенного состояния
DA2wi — xtga • Ц- — L(w1'Fo) = Арі — ph?aW • (3)
A2F1 + -E- • ^ = 0. (4)
x tg а дx2
Введем координату y- соотношением
x = x- + y1, 0 ^ y- ^ l, l = x2 — x-
и соответственно безразмерную координату y:
x x- I y- I n г- ^1
l = — + — = xo + y; 0 < y < 1,
введем также безразмерные функции прогибов W- и усилий Ф-:
W- = w-/h, Ф- = F-/(E h2l).
Следуя результатам работы [3], определим T- и T2 по безмоментному напряженному состоянию, для чего воспользуемся известными выражениями для параметров невозмущенного потока [6]; основное из них имеет вид
S(x) _ x2 [2 +(7 — 1) M2]kl y +1
Б{хкр) х2р (7 + 1)*іМ ’ кі 2(7-1) ’ (5)
здесь 7 — показатель политропы газа, хкр — координата критического сечения (в нем М = 1 ). Остальные параметры выражаются через М (и, следовательно, через х/хкр ):
ро(х) = (7 + 1)к2Ркр [2+ (7 - 1)М2]~-2 , к2 = , (6)
ао — VT + 1 акр [1 + (7 — 1)M ]
21-1/2
ио — M ао,
(7)
индексом «кр» помечены значения параметров в критическом сечении. Усилия Т\, Т2 выражаются через ро известным образом
tg а [Х2
Т1 =--------'ро(х)х(1х, Т2 = ро(х)х tg а.
х х
(8)
Проведем вычисления для случая больших сверхзвуковых скоростей: (7 — 1)М2 ^ 1; тогда
- 1-1 М1/7-1,
хкр 7 +1
из (6) при этом последует
Ро
Y - 1\
Y/2
Y + 1
Подставив это в (8), получим
Ti — -
/ Y - 1\7/2 Ркр tg a xlp
\Y + V
x2\2Y-1
T2 —
2(y - 1) x2Y-i Y - 1\7/2 Ркр tg axjj
x2
x
x2y-1
(9)
(10)
Обратимся к уравнению (3) возмущенного состояния; внесем туда (9), (10), запишем его в безразмерных параметрах и положим Ш Ш ехр(ш£), Ф1 = Фехр(о>£) ; получим
A2W-------— Ф'' +
Bi
xo + y 2(y - 1)(xo + y)
xo + 1 \ 27 1 xo + 1
xo + y
xo + 1
W
B1
xo + y
W' — 12(^г. Aq - B2&W;
Eh4
fio — fio (y) — lu/ao(y),
Aq — -Ш ffioW + Md-W + 2— W - ÍYi-iM! fdUoW
i V dy 2 «a 2 ao dy
Уравнение (4) запишется в форме
(11)
А2Ф +
(xo + y) tga в последних формулах введены обозначения
W'' — 0,
fi — —; Bo
кр
12(1 - и2) i2 h2 :
B1 —
12(1 - и2) i3Ao
Eh3 :
1
_ 12(1 - v2) I2 а2Кр
B = h2 C02
Уравнения (11), (12), дополненные однородными граничными условиями на торцах оболочки у = 0, у = 1, составляют задачу на собственные значения
О. Система (11), (12) — несамосопряженная, поэтому собственные значения О будут комплексными. Колебания по определению устойчивы, если Ие О < < 0, неустойчивы — если Ие О > 0; граница областей Ие О = 0 определяет критическую комбинацию параметров задачи.
Отметим, что задача о флаттере конической оболочки при внутреннем обтекании, сформулированная на основе системы (11)—(12), приводится здесь впервые.
1. Григолюк Э.И., Михайлов А.И. Флаттер трехслойной круговой конической оболочки // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. № 5. С. 1100-1103.
2. Диткин В.В., Орлов В.А., Пшеничное Г.И. Численное исследование флаттера конических оболочек // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 185-189.
3. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа // Прикл. матем. и мех. 1964. Т. 58. Вып. 4. С. 123-132.
4. Кийко И.А., Наджафов М.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях и устойчивости конической оболочки // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С. 53-59.
5. Кийко И.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях конической оболочки малого раствора, внутри которой со сверхзвуковой скоростью протекает газ // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. 2004. № 3. С. 58-61.
6. Абрамович А.Г. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976. 888 с.
Кийко Игорь Анатольевич, д. ф.-м.н., профессор, кафедра теории упругости, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.
Наджафов Максуд Агакулиевич, к. ф.-м. н., доцент, Азербайджанский педагогический университет, Баку, Азербайджан.
Abstract. A propounding of a problem about a flutter of a conic shell at inner supersonic flow, in which for the first time main state of the shell is defined by real pressure distribution in a non-fluctuated flow, is brought.
Keywords: conic shell, flutter, real pressure.
Список литературы
Flutter of a conic shell
I. A. Kiyko, M.A. Nadjafov
Kiyko Igor', doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of elasticity theory, Lomonosov Moscow State University.
Nadjafov Maksud, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Azerbaijan Pedagogic University, Baku, Azerbaijan.
Поступила 09.12.2009
