CC BY
9ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1955. № 5. 3-41.
2. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic induced fractures //J. Petrol. Technol. 1969. 246. 1571-1581.
3. Perkins T.K, Kern L.R. Widths of hydraulic fractures // J. Petrol. Technol. 1961. 13, N 9. 937-949.
4. Nordgren R. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. 1972. 12, N 4. 306-314.
5. Ивашнев О.Е., Смирнов Н.Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 28-36.
6. Смирнов Н.Н, Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 1. 70-82.
Поступила в редакцию 06.06.2007
УДК 533.6.0115+539.3.534
К ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ О ФЛАТТЕРЕ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ МАЛОГО РАСТВОРА
И. А. Кийко1, М. А. Наджафов2
В большинстве работ по панельному флаттеру оболочек используется формула поршневой теории для избыточного аэродинамического давления. В предлагаемой работе применено уточненное выражение для избыточного давления, учитывающее неравномерность параметров невозмущенного потока. Подробно исследован случай умеренных сверхзвуковых скоростей. Задача о критической скорости потока приводится к новой (в теории панельного флаттера) задаче на собственные значения.
Ключевые слова: коническая оболочка, внутреннее обтекание, неравномерность потока, флаттер.
The well-known piston theory formula for the excessive aerodynamic pressure is used in the majority of works devoted to the panel flutter of shells. In this paper a refined expression for the excessive pressure is proposed to take into account the irregularity of undisturbed flow parameters. The case of moderate supersonic velocities is studied in detail. The critical velocity problem is reduced to a new eigenproblem in the panel flutter theory.
Key words: conical shell, internal flow, irregularity of flow, flutter.
Задача о панельном флаттере конической оболочки при внешнем или внутреннем обтекании потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью рассматривалась многими авторами (см. [1-10]). Обстоятельный обзор исследований в этой области содержится в [11], исчерпывающая библиография приведена в монографии [12]. Во всех практически без исключения работах для избыточного аэродинамического давления используется формула поршневой теории, иногда с некоторыми модификациями типа поправки Крум-хаара. Исследования [13] показывают, однако, что поршневая формула во многих случаях оказывается довольно грубым приближением, в особенности когда параметры основного потока в области, занятой оболочкой, неравномерны. В работе [14] приведено уточненное выражение для избыточного давления в случае больших сверхзвуковых скоростей потока; в предлагаемой статье результаты [14] обобщены на случай умеренных сверхзвуковых скоростей.
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 666krok@rambler.ru.
2 Наджафов Максуд Агакулиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, декан матем. ф-та Азерб. ун-та, e-mail: bnaj afov@physics.ab. az.
50
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
Пусть в = во, г Е [го, ж) — коническая поверхность в сферической системе координат г, в, ф; часть этой поверхности [ri > Го,Г2] занимает тонкая упругая оболочка, остальная часть поверхности считается жесткой. Угол во мал, так что sin во ~ во, cos в0/2 ~ 1. Внутри этой конструкции протекает газ, параметры которого — скорость, давление, плотность, скорость звука — в невозмущенном состоянии (как если бы оболочка покоилась) обозначим соответственно через ио(г), Ро(г), Ро(г), ао(г).
Предположим, что в бесконечно удаленной точке перед конусом поток является однородным; тогда возмущенное течение в области, занятой оболочкой, с хорошим приближением можно считать потенциальным, поэтому
г -i Í др др 1 др\
U= {ur,ue,u^\ = <и0 + -— . (1)
[ дг гдв г sin в дф )
Обозначим через а = ао + а' скорость звука в возмущенном потоке, тогда из интеграла Коши-Лагранжа найдем
, 7 — 1 / dp dp 2ао Г0 дг dt
здесь 7 — показатель политропы. Потенциал р подчиняется известному уравнению [15]
дг2
д2р ди _ у,
a2V-u = 1- + 2U- — +U- [(u-V)u] ,
(2)
(3)
в котором V — оператор Гамильтона.
Введем безразмерную переменную г' = г/1, I = Г2 — Т\] положим р = р1 ехр(ш£)сс^шф, оставив прежние обозначения; подставим (1) и (2) в (3) и линеаризуем по малым возмущениям. В результате получим
Zw M дио ( y - 1 2М — + 2--1 + -Ц—
ао
+
l2w2 . M2 lw дио —Г + (7 - 1)---^ +
ао дг \ 2
m2
г
др дг
a
о
ао ао дг г2 sin2 в
р
-J—JL(sino<k.\ =
г sin 9 дв\ гдв )
0.
(4)
Обозначим через Шо(г,ф,Ь) прогибы оболочки, положим Шо = Ш(г)exp(wt)cos шф и запишем условие непроницаемости на поверхности оболочки:
др гдв
е=е0
(cW lw Т1Г 1 дг ио г
на оси оболочки в = 0 скорость и$ обращается в нуль:
, 1 др ив1в=0 = 1ш
0.
(5)
(6)
в=о
Для избыточного давления примем Ар = Ад exp(wt)cos шф, Ад при этом выразится формулой
д _ PqUq Í dp | ml ^ I \dr uq1^
(7)
e=e0
Возможность приближенного решения задачи (4)-(7) основана на предположении о малой конусности, при этом параметры основного состояния — мало и плавно меняющиеся функции радиуса. Параметры возмущенного состояния, наоборот, могут быть быстро осциллирующими функциями радиуса и угла ф. Введем новую переменную: ( = г sin в; в пределах оболочки d( = sin вйг + г cos вйв = в йг + гйв = гйв, 2/г < 1. Из (4) и (5) получим
д2р i 1 др ' с Ж
m
д2р
д(2 + ^ - ^ V - (м2 - 1) ^ - 2A{r) ^ - В{г)р = 0,
др 9С
С=Сс
дг2
í &W lw Т1Г
дг ио
др дг
Со = г sin во,
где
,10) - м1с0 | м (1 | 7-1 мЛ ди° в(г) + ( 1) м21с0 ди°
ао ао \ 2 ) дг ' ад ао ао дг
Введем новую переменную соотношением т = Т\ + ж; в области х ^ 0 возмущения отсутствуют, а в (8) М2(х), А(х), В(х) — "почти постоянные" параметры, поэтому после преобразования Лапласа по х из (8) получим
dV 1 ду
+ -
dZ2 Z dZ
m
-\р + —\ч>* = О,
Z
ду*
dZ
Z=Zo ду*
( 1ш \
Uq ( s Н--
V uo)
W *,
dZ
(9) (10) (11)
C=o
Здесь в2 = (М2 — 1)в2 + Ав + В, в — параметр преобразования. Система (9)—(11) имеет решение
ио) вГт(вСс)
Для избыточного давления из (7) находим
/V ио) вгт (вСо)
здесь 1т — функция Бесселя, штрих — производная по аргументу.
При больших сверхзвуковых скоростях (М2 ^ 1) имеем |вСо| > 1, поэтому последнее выражение может быть приближенно заменено его асимптотическим представлением при больших значениях аргумента; в рассматриваемой задаче это эквивалентно высокочастотному приближению (здесь введено обозначение О = 1ш/а0)
(вМ + П)2Ш * ро и2 (вМ + П)2Ш *
Aq* = -
2
pouO
l^/W^l (s + si)V2(S + S2)i/2 2Co/(M2 - 1) (s + si)(s + s2)' (M2 - l)s1>2 = A± [A2 — (M2 - 1)5]1/2 = A ± y/D.
Оригинал Ад(х) легко восстанавливается:
Aq = -
_роо|М_ WM2 - 1
X
dW í
(2Q - a\M)W + M —— + / AvHJx - t)W(t) dr
dx J
poa0
2Zol(M2 - 1)
M2W - (MSl - Q) íe-^W(r)dr+iMS2-Ü) íe-^W(r)dr
si - S2 J Si - S2 J
(12)
по индексу V ведется суммирование от нуля до двух. Введены обозначения:
М
Ни = 1и{а2х)е~а1Х, Ао = — + у а22 - сц(2П - сцМ),
M
A
\П5
Ai = 2a2(Ü- aiM), А2 = у а£, ах = а2 = м2 _
2
*
X
X
При умеренных сверхзвуковых скоростях потока М >, у/2 упростить (12) можно на основании предположения о малой конусности и оценки (дио/дх)/ао ^ 1. Получим
А = МП, В = П2, Б = П2, ¿1 = тт^—, 82= П
M - Г 2 M + 1' MQ Q M2 - 2
ai = M^T' а2 = м^Т' 2iî " а*м = мггт
. (M2 + 2)Q2 2Q2 MQ2 (13)
Ao — j0-—77, A\ — -—77, A 2 —
2М(М2 - 1)2' (М2 - 1)2' 2~ 2(М2 - 1)'
(Мв1 -О)2 _ (М + 1)П (Мз2 - П)2 _ (М - 1)0 -82 ~ 2(М - 1) ' в! - Я2 _ 2(М + 1) '
Как видно, даже при таком упрощении формула для Ад остается достаточно сложной и принципиально отличается от поршневой. При больших сверхзвуковых скоростях (М ^ 1) роль интегральных слагаемых становится несущественной и (12) обращается в формулу поршневой теории в задаче о флаттере цилиндрической оболочки [2, 8] с добавлением слагаемого —(роа"^/(2(о 1))Ш, которое имеет смысл винклеровского основания. Интегральным слагаемым в (12) с учетом обозначений (13) можно с достаточной доли условности приписать некоторый механический смысл. В первом слагаемом — это фиктивная присоединенная масса (сами интегралы довольно сложно зависят от О); во втором — это фиктивное аэродинамическое демпфирование ( с той же оговоркой).
Обозначим через Ф1 = Ф(х)ехр(иЬ)соо8 шф функцию напряжений, колебания оболочки будут описываться системой уравнений
Ь1(Ш, Ф) + рфи2W — Ад = 0; ¿2^, Ф) = 0,
которые вместе с однородными граничными условиями составляют задачу на собственные значения. Заметим, что О = ¡и/ао; по теории одномерного течения ао = а*/!(М) = а*/(х), где а* — скорость звука в некотором фиксированном сечении; поэтому собственным числом следует считать О* = ¡и/а*. Задача флаттера ставится теперь обычно: определить критические значения параметров из условия Ие О* = 0, которое фиксирует границу областей устойчивых (Ие О* < 0) и неустойчивых (Ие О* > 0) колебаний. Сформулированная задача представляет значительный интерес, однако при фактическом исследовании вызывает существенные трудности.
Относительно просто исследуется случай больших сверхзвуковых скоростей, когда интегральными слагаемыми в первой скобке (12) можно пренебречь. Приближенное решение может быть получено проекционным методом с использованием граничных условий Навье при шарнирном опирании.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арканов С.В., Жинжер Н.И., Чаплыгин А.В. Расчет нелинейного флаттера конических оболочек // Тр. МЭИ. 1990. № 637. 148-153.
2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961.
3. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1975.
4. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничное Г.И. Численное исследование флаттера конических оболочек // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 1. 185-189.
5. Измайлов А.А. Некоторые вопросы устойчивости пластин и оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Упругость и неупругость. Вып. 1. М.: Изд-во МГУ, 1971. 265-269.
6. Кийко И.А., Наджафов М.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях и устойчивости конической оболочки // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. мат., мех., информ. 2005. 11, вып. 2. 32-37.
7. Колосов Г.И., Малинин А.Н. Анализ условий возникновения флаттера сопловых насадок ракетных двигателей // Космонавтика и ракетостроение. 1999. № 16. 93-96.
8. Крумхаар М. Точность линейной поршневой теории в применении к цилиндрическим оболочкам // Ракетная техника и космонавтика. 1963. № 6. 2006-2008.
9. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, вып. 4. 123-132.
10. Bismark-Nasr M.N., Savio H., Costa R. Finite-element solution of the supersonic flutter of conical shells // AJAA J. 1979. 17, N 10. 1148-1150.
11. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек //Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. 67-122.
12. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
13. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемой потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикл. матем. и механ. 1999. 63, вып. 2. 305-312.
14. Кийко И.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях конической оболочки малого раствора, внутри которой с сверхзвуковой скоростью протекает газ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 58-61.
15. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эммонса; пер. с англ. М.: ИЛ, 1963.
Поступила в редакцию 04.10.2007
УДК 539
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО СПЕКТРА В УГЛЕРОДНОЙ НАНОТРУБКЕ
Г. Л. Бровко1, З.Г. Тунгускова2
Для расчета спектра собственных колебаний углеродной нанотрубки использованы стержневые модели продольных, крутильных и изгибных колебаний, для расчета спектра собственных радиальных колебаний — теория безмоментной цилиндрической оболочки. Коэффициенты, входящие в эти модели, подбирались путем согласования результатов, полученных на основе микромодели с потенциалом взаимодействия Китинга в длинноволновом приближении и континуальной модели. Показано, что спектры продольных, радиальных и крутильных колебаний углеродной нанотрубки — одного порядка (минимальная частота ~ 1011 Гц), а спектр собственных частот изгибных колебаний на 2 порядка ниже (минимальная частота ~ 109 Гц). Эти спектры находятся в сверхвысокочастотном диапазоне.
Ключевые слова: углеродная нанотрубка, собственные колебания, спектры собственных частот.
Rod models of longitudinal, torsional, and bending vibrations are used to find the natural vibration spectrum of a carbon nanotube. The spectrum of natural radial vibrations is found using the membrane theory of cylindrical shells. The coefficients of these models are chosen by comparing the results obtained on the basis of the micromodel with the Keating interaction potential in the framework of the long-wave approximation and the continuous model. It is shown that the spectra of longitudinal, radial, and torsional vibrations of the carbon nanotube are of the same order of magnitude (the minimum frequency is about 1011 Hz), whereas the natural frequency spectrum for the bending vibrations is of two orders of magnitude less (the minimum frequency is about 109 Hz). These spectra belong to the super-high frequency range.
Key words: carbon nanotube, natural vibrations, spectrum of natural frequencies.
Углеродная нанотрубка представляет собой структурно-неоднородную конструкцию, механическое поведение которой можно описывать разными моделями.
Первый тип моделей — это модели, явно учитывающие микроструктуру и характер взаимодействия между ее элементами. К ним относятся модели, использующие понятие микроячейки и описывающие взаимодействие между ее элементами с помощью потенциала.
Второй тип — это континуальные модели, использующие понятия перемещений, деформаций, напряжений.
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glb@mech.math.msu.su.
Тунгускова Зоя Георгиевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: Tunguz44@mail.ru.
