Подобие и моделирование процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 87-92

Механика

УДК 539.3:534

Подобие и моделирование процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа

И. А. Кийко, В. В. Показеев, С. И. Кийко

Аннотация. Исследуется взаимосвязь параметров натурного и модельного процессов, возникающих в рамках известных математических моделей флаттера упругих и вязкоупругих пластин. Установлены критерии подобия процессов и предложены некоторые возможные параметры моделирования.

Ключевые слова: панельный флаттер, вязкоупругая пластина, моделирование, условия подобия.

Насколько можно судить по известной литературе, вопрос, вынесенный в заголовок статьи, до сих пор не обсуждался, хотя представляет несомненный интерес, поскольку является основой при разработке теории эксперимента. В предлагаемой работе в рамках известных математических моделей флаттера упругих и вязкоупругих пластин устанавливаются параметры подобия и предлагаются некоторые возможные параметры моделирования.

1. Постановка задачи. Представим себе тонкую пластину, которая в плоскости xOy занимает некоторую область S, ограниченную кусочно-гладким контуром dS. С одной («верхней») стороны пластина обтекается плоско-параллельным сверхзвуковым потоком газа с невозмущенными параметрами p0, р0, a0, и = vn0, n0 = (cos в, sin в) — давлением, плотностью, скоростью звука, вектором скорости и; в — угол между вектором и и осью Ox. Материал пластины — линейный вязкоупругий, связь между напряжением и деформацией имеет вид

Здесь Ео — мгновенный модуль, ео — параметр вязкости. В дальнейшем изложении будем принимать ядро релаксации Г(£) в простейшем виде: Г(£) = = ехр—вЬ), где в — величина, обратная времени релаксации.

Уравнение колебаний пластины имеет вид [1]

д2

Бо(1 - еоГ*(£))Д2-ш + рЬд^2 =ДР- (1)

Здесь Бо = ЕоН3/(12(1 — V2)), р, V — плотность и постоянный коэффициент

Пуассона материала пластины, Н — ее толщина, ц — прогиб, Др — давление

аэродинамического взаимодействия между колеблющейся пластиной и

потоком (избыточное давление). Варианты выражений для Др будут

приведены ниже. Уравнение (1) дополняется однородными граничными

условиями на контуре дБ.

2. Упругая пластина. Уравнение движения в этом случае следует из (1)

при е0 = 0

0 д 2 ц]

А)Д2-ш + рНд^2 = Др • (2)

Для избыточного давления Др примем обобщенную формулу поршневой теории [2]

Др = — — (^ • (3)

ао \ дt )

Здесь 7 — показатель политропы газа. После подстановки (3) в (2) получим 2 и д2Ц 7ро ( дц

БоД ц + рНд^2 + \Ж + ^таоgrad^ =0 • (4)

Приведем это уравнение к безразмерному виду, используя характерные значения параметра процесса. Таковыми являются: Iо — характерный размер области Б; Н — толщина пластины; Ео, V, р или Ео, V, Со = Ео/р —

свойства материла пластины; ^ = 1о/ао — характерное время процесса; параметры невозмущенного потока. Введем безразмерные координаты х\ = = х/1о, у1 = у/£о и время t1 = t/t0 (в дальнейшем индексы опускаем); в этих обозначениях уравнение (4) примет вид

. 2 д2ц / дц , _ п \ . .

Д Ц + а2 -г^2 + ан + Mnоgrad■w I =0 . (5)

Здесь М = и/ао — число Маха,

а1 = 12(1 — V2Ьро^о/(ЕоН3), а2 = 12(1 — v2)i0ао/(cоh2) •

Представим теперь два процесса — натуральный и модельный, будем считать, что в обоих процессах участвуют геометрически подобные пластины с одинаковыми граничными условиями. Если окажется, что для натурного и модельного процессов все безразмерные коэффициенты в уравнении (5) и однородных граничных условиях совпадут, то это будет означать, что с математической точки зрения процессы колебаний пластины станут тождественными, а с физической, — что в соответствующие моменты времени в соответствующих точках модели

и натуры все безразмерные характеристики совпадут. Такие процессы называют подобными; сформулированные выше условия подобия являются необходимыми.

Установим достаточные условия моделирования. Модельный процесс (другими словами, лабораторный или промышленный эксперимент, в котором возможны измерения) удобно проводить, используя материал натурного процесса. Принимая это условие, и полагая, что параметры невозмущенного потока в натуре и модели совпадают, нетрудно установить, что достаточным условием полного моделирования будет равенство (¿о/Н)т = (¿о/Н)п — здесь и в дальнейшем натурные и модельные параметры снабжены индексами п и т соответственно. Легко показать, что граничные условия не выявят новых требований и будет выполнено равенство Мт = Мп, которое сохранится и для критических значений М. Пересчет физического времени (или частоты колебаний и = 1/г) с модели на натуру проводится по правилу: гт = Ып, ип = кит, к = ¿о,п/^о,т — масштаб моделирования.

Рассмотрим теперь случай, когда избыточное давление Др определяется линеаризованной теорией потенциального сверхзвукового обтекания. Потенциал возмущения ф удовлетворяет уравнению [3]

2 д2ф 2 д2ф д2ф , .

+Мх ^“2 + Му + 2МхМу , (6)

х дх2 у ду2 х у дхду которое дополняется граничным условием

дф

х,у е Б : —

дх

дц _ .

= ——+ un0gradw (7)

х=о дг

и условием затухания при х ^ ж.

Избыточное давление Др определяется соотношением

( дф_

Др = — ро ( дг + unоgradф

дг / г=о

(8

Положим ц = НЖ(х, у) ехр(иг), ф = Нао/(х, у) ехр(иг) и введем, как и ранее, безразмерные координаты, из (6)-(8) получим

Д/ = 02/ + 2п( Мх ^ + Му + М2 ^ + М2 ^ + 2МхМу-°—/, (9)

х дх у д^ х дх2 у ду2 х у дхду''

/

дх

= 0 = + Mn0gradW, (10)

г=о

Др = — (^/ + Mnоgrad/) . (11)

¿о

Уравнение (2) колебаний пластины примет после этого вид Д2^ + 02^2Ш + а1 (П/ + Mnоgrad/) = 0.

(12)

Здесь О = ¿ои/ао, параметры а1, а2 — те же, что и в предыдущем случае. Из вида уравнений (9)—(12) следует, что условия моделирования, сформулированные ранее, остаются достаточными для полного моделирования в рассмотренном случае.

3. Вязкоупругая пластина. Запишем уравнение колебаний (1) вязкоупругой пластины при условии, что Др задается выражением (3)

£о(1 - еоГ*)Д2-ш + рН^-2 + — ( + ■L’nogradw ) =0. (13)

д2ш 7Р0 / дш

ді2 + а0 \ ді

Приведем (13) к безразмерному виду, принимая для безразмерных координат прежние выражения, а для безразмерного времени — замену

і і = @і. В этих обозначениях из (13) получим

(1 - ЛіГ*)Д2ш +

+

12(1 — V2)£0Л2 д2ш 12(1 — V2)7р0£0е0Л2 дw

Н2

дії

+

00^0

діл

+

12(1 — V2Ьр0^0

ЕН3

Mn0gradw = 0.

(14)

здесь обозначено Л1 = ео//3, Л2 = [3£о/ео.

Дальнейший анализ проведем при условии, что параметры потока ро и ао = (7ро/р)1/2 одинаковы в модельном и натурном процессах, а скорости потока и — различны. Задачу моделирования сформулируем следующим образом: подобрать такой материал модели, чтобы уравнения (14),

записанные для натуры и модели были тождественными. Введем масштаб моделирования по линейному размеру ¿о: к = ¿о,п/£о,т, тогда нетрудно показать, что достаточные условия моделирования будут следующими:

1} ( Ют

2) Ш =

Н

0\ НП

3) т = -— =

Нт.т

А

0,т

3/2

А0,п

А0,пЕ0,т

А0,тЕ0,п

Е0,п

Е0,т

і/2

■к

і/2

к

характеристики модельного материала Е0 т, А0т = (Е0,т/рт)1/2 могут быть произвольными. При этих условиях скорость потока Мт в модели и, соответственно, критическая скорость флаттера определяется соотношением Мт = Е0,тк3Мп/(Е0,пт3).

Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований по панельному флаттеру упругих и вязкоупругих пластин.

Список литературы

1. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 3. С. 342-344.

2. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 167-171.

3. Основы газовой динамики. Сб. статей под ред. Г.Эммонса. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 702 с.

Кийко Игорь Анатольевич ([email protected]), д. ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра теории упругости, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Показеев Валерий Викторович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой, кафедра высшей математики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Кийко Светлана Игоревна ([email protected]), аспирант, кафедра высшей математики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Similarity and modeling of the process of plate oscillations in a supersonic gas flow

I. A. Kiyko, V. V. Pokazeyev, S. I. Kiyko

Abstract. The interconnection of parameters of full-scale and model processes, appearing within the framework of known mathematical models of flutter of elastic and viscoelastic plates is investigated. The conditions of the similarity of processes are established and some possible parameters of simulation are proposed.

Keywords : panel flutter, viscoelastic plate, simulation, conditions of similarity.

Kiyko Igor ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of theory of elasticity, Lomonosov Moscow State University.

Pokazeyev Valery ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head of department, department of higher mathematics, Moscow State Technical University «MAMI».

Kiyko Svetlana ([email protected]), postgraduate student, department of higher mathematics, Moscow State Technical University «MAMI».

Поступила 10.10.2011