Эволюция распределений частиц, находящихся в жидкости, при изменении их плотностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ЭВОЛЮЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЧАСТИЦ, НАХОДЯЩИХСЯ В ЖИДКОСТИ, ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ИХ ПЛОТНОСТЕЙ

МИРОШНИЧЕНКО А.В.______________________

Исследуется задача о динамике распределений частиц различных плотностей, находящихся в активной жидкой среде, которая, воздействуя на частицы разных типов, изменяет их плотность. Поставленная задача сводится к вопросу о стабилизации распределений марковского процесса на заданном временном отрезке.

1. Актуальность исследования

На практике часто приходится сталкиваться с процессами перемещения твёрдых частиц различной природы, находящихся в жидкой среде. С многокомпонентными жидкостями, которые содержат твёрдые частицы (вообще говоря, разнородные по своей природе и свойствам), приходится иметь дело во многих производствах, например, на обогатительных комбинатах и в химической промышленности. Кроме того, они применяются в технике: их используют в качестве технических жидкостей, улучшающих работу узлов и звеньев сложных технических устройств, в частности в гидравлических и тормозных устройствах.

2. Постановка задачи

При исследовании многокомпонентных смесей часто возникает задача о сортировке частиц в зависимости от их свойств. Таковой является задача о распределении твёрдых частиц в жидкой смеси и их вертикальных перемещениях при изменении их плотностей. Исследуем задачу о перемещении частиц, находящихся внутри кругового цилиндрического сосуда, заполненного активной жидкостью, которая определённым образом воздействует на них.

3. Сущность задачи

Предполагается, что на частицы, находящиеся в указанном цилиндре, жидкость воздействует, вообще говоря, по-разному. Точнее, в цилиндре имеется n типов частиц, воздействие жидкостью на которые изменяет их плотность. Нас интересует изменение плотностей частиц вследствие образования на их поверхностях пор. Предполагается, что поры, возникающие на поверхностях частиц, не смачиваемые (т. е. внутрь их жидкость не проникает) или «полусмачиваемые». Последнее означает, что поверхностная плёнка, отделяющая жидкость от поры, образует мениск, выпуклость которого направлена внутрь поры, но не касается её дна. Плотности частиц, принадлежащих к различным типам, в начальный момент времени tp различны. С изменением времени плотности частиц каждого типа изменяются в связи с воздействием на них жидкости, в которой они находятся. Предполагает-

ся, что цилиндр с частицами, взвешенными в жидкости, подвергается вибрациям («встряхиваниям»). Их воздействие на исследуемую смесь приводит к тому, что в любой момент t (t > to) частицы, находящиеся в жидкости, распределены по вертикали следующим образом: в нижней части цилиндра, на дне, концентрируются частицы с наибольшей плотностью; в примыкающем к ней сверху слое находятся частицы с меньшей плотностью, чем частицы нижнего слоя, и так далее; наконец, вверху локализуются частицы с наименьшей плотностью. Описанный выше процесс упорядочения частиц по вертикали в соответствии с уменьшением (при движении вверх) их плотностей на самом деле может несколько отклоняться от точного упорядочения расположения частиц по плотностям, о котором было сказано выше. Точное распределение частиц по вертикали в соответствии с их плотностями будет иметь место лишь в пределе (при t ^ да ) в том случае, если плотности всех типов частиц не изменяются. Если же плотности частиц в результате воздействия на них жидкости изменяются достаточно медленно, а частота встряхиваний цилиндра, содержащего частицы, достаточно велика, то указанное выше распределение частиц по вертикали цилиндра в соответствии с их плотностями будет выполняться лишь с незначительными отклонениями.

Проведем обоснование этого утверждения. Существенную роль в этом случае будут играть результаты, содержащиеся в [1, 2]. В этих работах исследовано, как изменяется распределение вероятностей состояний при воздействии сильных или слабых возмущений, локализованных на малых временных промежутках. Также показано, как изменяется распределение вероятностей состояний исследуемой среды при возмущениях инфинитезимальной матрицы системы уравнений Колмогорова, описывающей исследуемый марковский процесс. В нашем случае объектом исследования является процесс изменения распределения частиц, находящихся в цилиндре, а роль возмущений, действующих на жидкую смесь, играют встряхивания цилиндра. Предполагается, что размеры частиц, находящихся в жидкости, достаточно малы в сравнении с размерами цилиндра, и что число частиц каждого из n типов (а значит и число всех частиц) достаточно велико. Таким образом, описанный процесс распределения частиц по вертикали цилиндра может быть исследован с достаточной степенью точности методами стохастического анализа.

4. Решение задачи

Опишем точное решение поставленной задачи. Будем называть её задачей о стабилизации распределений марковского процесса на заданном временном отрезке.

В работах [1,2] установлено, что в точке tp фокусировка имеет место, если элементы инфинитезимальной матрицы Л© = ||х jj(t)|| (все или их часть)

РИ, 2004, № 1

60

при t ^ to быстро возрастают. Такой рост обусловлен, в частности, воздействием на процесс быстро изменяющихся внешних факторов, локализованных на малых промежутках времени. На практике приходится иметь дело с такими факторами, которые, воздействуя на процесс на некотором промежутке времени [a,b], приводят к появлению на нём точек фокусировки, распределённых почти непрерывно . В таких условиях возникает задача о стабилизации вероятностей состояний марковского процесса в окрестности заданного распределения путём целенаправленного воздействия на его инфинитезимальную матрицу Л(В = ||хij (t)||.

Предположим, задана кривая

ф№ = (ф j(t),9 2(t),..., ф n(t)}

такая, что

n

9k(t) > 0, i = 1,2,...,n; ^9k(t) = 1, t є [a,b]. (1)

k=1

Начальное распределение p(a) задано в точке a интервала. Необходимо, чтобы в последующие моменты времени t є [a,b] распределение вероятностей p(t) находилось в окрестности кривой ф!), определённой в (1):

ф0) - o(t) < p(t) <q<t) + o(t), t є [a,b]. (2)

Здесь c(t) — максимально допустимая погрешность.

Будем предполагать, что в начальный момент времени t = a это условие уже выполнено, т.е.

cp(a) - c(a) < p(a) < cp(a) + c(a).

Задача состоит в том, чтобы при заданном начальном распределении p(a) выбрать инфинитезимальную матрицу A(t) таким образом, чтобы выполнялось условие (2). Предполагается, что c(t) > 0 и что функция c(t) и инфинитезимальная матрица Л(б непрерывны на отрезке [a,b] .

Прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова задаёт связь между инфинитезимальной матрицей Л(В = ||хij(t)|| и распределением вероятностей p(t) = (pi(t),p2 (t),...,pn (t)):

T

= л TpT. dt

Разобьем рассматриваемый временной отрезок [a, b] на малые отрезки [tk,tk+1], hk = tk+1 -tk, t0 = a, tm = b. Так как инфинитезимальная матрица

Л(В = Ціjj(t)|| непрерывна, а следовательно, непре-

рывны и решения p(t), то на каждом из частичных отрезков заменим уравнения Колмогорова приближённым разностным матричным уравнением.

hk

Значение в промежуточной точке tk + —^ может быть представлено в виде

pT(k+12)

E + jhk_лT(k) jpT(k)+o(hk)

(3)

С другой стороны,

pT(k+12)

E _ .hk.ЛT(k+1) |pT(k+1)+o(hk)

(4)

где e — единичная матрица. Сопоставив соотношения (3) и (4), получим аппроксимацию системы уравнений Колмогорова матричным уравнением

pT(k+1)

E - it Л T<k+1>

-1

*

. (E + it Л T<k> )pT<k>

(5)

Здесь символ (k) представляет собой значение

соответствующего параметра в точке tk. Можно добиться сколь угодно малой разности между точным решением системы дифференциальных уравнений и приближенным решением разностной

схемы за счёт уменьшения шага hk. Преобразовывая разностное уравнение, получаем

E - it ЛT<k+1> jpT<k+1> = ^E + it Л T« jpT«,

pT(k+1) _ hk ЛT(k+1)pT(k+1) =

2

= pT(k) + ЛT(k)pT(k)

2 ’

p(k+1) _ hk p(k+1)Л(k+1) = p(k) + hk p(k)Л(k)

2 2 ’

p(k+1)Л(k+1) = 2p(k+l) - p(k) - p(h)Л« (6)

hk

Таким образом, на каждом из отрезков [tk,tk+1] по заданному значению матрицы Л(k) в начальной

точке tk можно найти значение Л(k+1) в конечной точке tk+1 так, чтобы распределение вероятностей

в ней приняло значение p(k+1). Следует отметить,

что выражение (6) однозначно матрицу Л(k+1) не определяет. Поэтому необходимо из множества матриц Л(k+1) выбрать такую, которая бы минимально отклонялась от исходной невозмущённой матрицы.

РИ, 2004, № 1

61

Пусть X(k+1) — искомое значение возмущённой матрицы в точке tk; x(k+1) — элементы искомой матрицыX(t) в точке tk; x(k+1) — элементы невозмущённой матрицы Л(В в той же точке. Запишем выражение (6) в виде

p(k+1)X(k+1) = 2p(k+1) ~p(k) _p(k)X(k) hk

Возникает задача минимизации:

aZ (x(k+1) - x(k+1))2 + i,j

+ вZ(x(k+1) -x(k))2 ^ min

jij ij x(k+1) ;

ij

П (k+1) (k+1) П (k) (k) , 2 pi 'xh --Z pi xi/ +

i=1

ij

i=1

ij

2 . (k+1) (k). . , „

+ t~ (pj - pj 0 , j = 1,2,..., n: hk j ’

j

x'k+1> = -! x(k+1) , i = 1,2.n;

j* i

x(k+1) > 0 ij

i * j .

(7)

(8) (9)

(10)

Первое слагаемое в (7) означает стремление к минимальному отклонению от исходной невозму-

щённой матрицы Л(1), второе слагаемое введено для избежания резких осцилляций возмущенной

матрицы, а положительные коэффициенты а и в регулируют вклады этих слагаемых. Отметим, что ограничение (8) представляет собой аппроксимацию (6) уравнений Колмогорова. Ограничения (9), (10) определяются свойствами инфинитезимальной матрицы. Найденная таким образом задача минимизации представляет собой задачу квадратичного программирования с линейными ограничениями и квадратичной функцией цели. Она всегда имеет единственное решение, которое может быть найдено численными методами.

Таким образом, задача об удержании распределения вероятностей марковского процесса в окрестности некоторой функции распределения (2) сводится к разбиению временного интервала на частичные отрезки и решению задачи минимизации (7)-(10) на каждом из них. Если найденное решение X(k+1) при подстановке в уравнения Колмогорова даёт

p(tk+1) є tT(tk+1) - c(tk+1)’ T(tk+1) + c(tk+1)], то принимаем его как начальное значение на следующем отрезке [tk+1,tk+2]. Если же

p(tk+1) ^ [T(tk+1) - c(tk+1 X T(tk+1) + c(tk+1)],

то уменьшаем шаг hk на данном частичном отрезке и повторяем вычисление заново. Такой подход позволяет определить возмущённую инфинитезимальную матрицу процесса на любой системе точек из временного отрезка [a,b] .

5. Практические результаты. Выводы

Подчеркнем, что n-мерная кривая

ф(1) = {ф1 (t), T2(t),..., Tn(t)}

описывает эволюцию распределения частиц при изменении их плотностей. Отметим также, что формула (2) задаёт границы отклонения распределений плотностей от точного распределения фД); величина с зависит от скорости изменения фД) на

[a,b] при t є [a,b] и от частоты и силы возмущений, реализация которых приводит к (2).

Описанный в статье подход позволяет следить за изменением плотностей частиц различных типов при воздействии на них активной жидкости и имеет практическое значение. Его можно использовать при исследовании свойств многокомпонентных жидких смесей, применяемых на практике. В частности, он был использован при исследовании частиц, которые применяют в качестве добавок к техническим жидкостям и смазочным материалам, улучшающим работу технических устройств различного назначения.

Литература: 1. Дикарев В. А. Фокусировка распределений марковских процессов // Доповіді Національної академії наук України. 1999. № 11. С. 100-103. 2. Дикарев В.А., Герасин С.Н., Слипченко Н.И. Стабилизация вероятностей состояний марковского процесса при локальных возмущениях его параметров // Доповіді Національної академії наук України. 2000. №8. С.90-93.

Поступила в редколлегию 22.09.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г. Ф.

Мирошниченко Анна Викторовна, аспирантка кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, её приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

62

РИ, 2004, № 1