Условия фокусировки. Расщепление марковского процесса на несвязные фрагменты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

УСЛОВИЯ ФОКУСИРОВКИ. РАСЩЕПЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА НА НЕСВЯЗНЫЕ ФРАГМЕНТЫ

ДИКАРЕВ В.А.

Формулируются условия фокусировки вероятностей состояний марковского процесса с дискретным множеством состояний на заданное распределение. Устанавливается возможность фокусировки диффузионного процесса. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании нейронных и компьютерных сетей, а также в экологии, экономике и технике.

В [1-3] сформулированы условия, которым дол-

жна удовлетворять инфинитезимальная матрица л(ґ)

(s0 < t < t0) неоднородного марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, при выполнении которых имеет место точная фокусировка или ст - фокусировка. В этой статье также приводятся условия, обеспечивающие фокусировки указанных типов. Они более общие, чем соответствующие условия из [1-3], и поэтому приложимы к более широкому кругу прикладных задач. Основными условиями, которые приводят к формированию фокусирующего эффекта, являются быстро изменяющиеся во времени факторы, вызывающие сильные возмущения элементов матрицы Л . Сформулируем условия фокусировки.

1. Пусть существует такая последовательность попарно непересекающихся интервалов

{к, ^)}k=1, Sk < tk < sk+1 , sk t to , t0 <ад

и такая последовательность индексов jk (k = 1,2,...), для которых

ад tk

Xinf fXiY (s)ds

J 4k

k=1 i Sk

= ад

На множестве

(1)

k to) \ Uk, tk) (2)

k =1

норма матрицы Л(^) ограничена одной и той же константой: ||л|| < C.

2. Предположим также, что Л(t) непрерывна на отрезках [sk, tk) и существует предел

lim р(тk ) = р, (3)

k ^ад

где тk e[sk, tk), р(тk) — нулевой собственный вектор

матрицы Л*(тk).

Тогда для любого j (индекс j нумерует состояния) и любого начального распределения вероятностей, заданного в точке s0 < s1,

lim Pj (sr s ) = Pj. (4)

stto

Здесь Pj — j -я компонента вектора p из (3).

Если ряд (1) сходится, но его сумма достаточно велика и, начиная с k0, все распределения р(тk) из (3), на которые фокусирует процесс в точках tk, содержатся в ст* - окрестности распределения р, то

t0 является точкой ст - фокусировки. Здесь ст = inf ст , где ст* - любая окрестность распределения р, в которой, начиная с k0, содержатся все р(тk).

Рассмотрим марковский процесс с конечным числом состояний n и инфинитезимальной матрицей Л^) (s0 < t < t0), распадающийся при 1110 на несвязанные фрагменты, что означает следующее. Пусть левый верхний блок Л11 матрицы л , имеющий

размерность m х m, и ее нижний правый блок Л 22 размерности (n - m)x(n - m) удовлетворяют на [s0, t0) условиям 1,2. Обозначим через Л12 (t), Л 21(t) правый верхний и левый нижний блоки матрицы Л^) (внедиагональные блоки) размерностей m x(n - m) и (n - m)x m соответственно. Предположим, что элементы этих блоков стремятся к нулю при 1110 . Будем говорить, что при 1110 процесс распадается на несвязанные фрагменты. Представляет интерес случай, когда в момент распада t = t0 происходит и фокусировка распределений процессов, отвечающих матрицам Л11 и Л 22, или фокусировка хотя бы одного из них. Приведем условия, при выполнении которых эти фокусировки будут иметь место.

Пусть матрицы Лп, Л22 удовлетворяют условиям

1,2. Считаем, что последовательности интервалов

{[ sk, lk )}k= ^ из условия 1 являются общими для Лп и Л22 . Выполнение этого условия можно добиться всегда.

Известно [4], что “близким” в смысле нормы матрицам двух линейных систем дифференциальных уравнений отвечают мало отличающиеся друг от друга решения этих систем. Считаем, что

||Xk (t)- Xk (tIk 0 (k ^ад) . (5)

Здесь Xk (t) — матрицант распадающейся системы уравнений Колмогорова с матрицей Л^), отвечающий интервалу [tk, tk+1); X k (t) — матрицант системы

Колмогорова для этого же интервала с матрицей Л (t), полученной из Л^) заменой нулями элементов блоков Л12 , Л 21 с последующей коррекцией блоков Лп, Л22. Эта коррекция состоит в замене элементов Х,, (t) данных блоков величинами Х,, (t):

Х,,(t ) = Ха(t ) + А,(t), где

Аг (t)= SX!j(t), і = 1,..., m , j=m+1 m

Ai(t)= 2X,j(t), і = m +1,..., n .

j=1

Условие (5) будет выполнятся, если убывание к нулю элементов блоков Л12 , Л21 достаточно быстрое

134

РИ, 1998, № 3

[4]. Матрица Л(t) блочно-диагональная. Ее блоки Ап(t), Л22 (t) являются инфинитезимальными матрицами, точка t0 — их общая точка фокусировки.

Теорема. Пусть матрица A(t) распадающегося процесса удовлетворяет перечисленным выше условиям. Тогда для произвольного распределения вероятностей, заданного в любой точке 5 e[s0, t0) вероятности состояний Pj (5, t) распадающегося процесса, имеют пределы при 1110 :

lim Pj(5,t) = P*j. (6)

Вектор p* с компонентами pj имеет вид

p =(apJ, (1 -a)pj). (7)

Здесь a є (0, l), pj , pj - распределения, на которые

фокусируют при 1110 блоки Ап , Л22 .

Если лишь один из диагональных блоков (для определенности блок Л11) удовлетворяет условиям 1,2, но (5) по-прежнему выполняется, то формулировка теоремы несколько изменится. Теперь (6) будет иметь место только для j = 1,..., m . Равенство (7) сохраняется

лишь частично: aip, те же, что и в (7), но p* не есть

вектор, на который фокусирует блок Л22 .

Если (5) имеет место и каждый из блоков Ап , Л22 ст - фокусирует при 1110 на векторы распределений pj, p2 соответственно, то распадающийся процесс ст - фокусирует на p* = (apj, (1 -a)pj).

Если при 1110 один из диагональных блоков, например, Л и фокусирует на pj , а Л22 ст - фокусирует на pj и (5) имеет место, то распадающийся процесс осуществляет точную фокусировку первых m компонент на apj и ст - фокусирует последние

n - m компонент на (1 -a)p2 .

Во всех перечисленных случаях скалярный множитель a в (7) зависит от начального распределения вероятностей, точки 5, в которой оно задается, и

быстроты убывания к нулю элементов блоков Л12, Л 21.

Рассмотрим вопрос о фокусировке распределений неоднородного диффузионного процесса. Считаем, что диффундирующая частица в начальный момент t = 0 находится в начале координат и что процесс диффузии происходит на плоскости (случай большей размерности рассматривается аналогично). Обозначим через |1(t),

§2 (t) координаты частицы в момент t. Предположим, что смещение частицы в направлениях ортогональных осей OX1 и OX2 происходит независимо. Это означает, что при любомt случайные величины §1(t) и §2 (t) независимы. Тогда

каждая из них имеет нормальную плотность вероятности.

Для определенности рассмотрим случайную величину §1(t). На непересекающихся интервалах 0 <t1 <t2 <... <tn <... смещение частицы представляется независимыми величинами %(h)§(t2)-§(й),... §(tn)-§(tn-1),.... Значит, при

§(5) = y , §(t) = x , 5 < t условное распределение в

момент t имеет вид

p(, y, t, x)

л/2П

2

-да < x <да .

Здесь ст2 =ст2 (5, t, y, x) определяет суммарный диффузионный эффект при смещении частицы из у в x за промежуток (5, t).

Разобьем всю числовую прямую -да < x < да на n частей точками деления x1 < x2 <...< xn-1 . Если §(t) є (x;-1, x,) (x0 = -да, xn = да), считаем, что частица находится в состоянии At. Вероятность перехода из Aj в Aj за промежуток (t, t + At) равна

p(§(t+At )є Aj §(t )є a )=

' 1 -(iy) '

= J J і - e 2ст2 dx

A Aj V 2пст 2

ст = ст(t, t + At, у, x), ст 0 = ст(0, t, 0, y).

Нетрудно проверить, что для любого t при соответствующем изменении ст2 (5, t, y, x) приближенная фокусировка будет иметь место. Точная фокусировка невозможна, так как для ее

реализации необходимо, чтобы ст2(5, t, y, x) принимала сколь угодно большие значения. Однако многократным повторением фокусирующего фактора можно добиться фокусировки с любой наперед заданной точностью.

Литература: 1. Дикарев В. А. Точки фокусировки и теоремы о существовании предельныхвероятностей. Харьков. 1995. 11с. Рук. деп. в ГТНБ Украины28.02.95. № 526—Ук. 95. 2. Дикарев В. А Точки фокусировки и стабилизация неоднородных марковских процессов. Харьков. 1995. 9 с. Рук. деп. в ГТНБ Украины28.02.95. № 533—Ук. 95. 3. Герасим С. Н., ДикаревВЛ, Числим Н.И. Существование предельных вероятностей для конечных процессов Маркова с убывающими к нулю временными промежутками переходов // Докл. национальной академии наук Украины, №7. 1998. 4. Якубович В.Я., Старшинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

Поступила в редколлегию 06.09.98 Рецензент: д-р физ. -мат. наук Руткас А.Г.

Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХТУРЭ. Научные интересы: функциональный анализ, дифференциальные уравнения, случайный анализ и его применения. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 33-57-03, 40-94-36.

і

re 2ст0 dy

2пст 0

1

РИ, 1998, № 3

135