Марковское описание процессов, происходящих в растворах Текст научной статьи по специальности «Математика»

(4)

УДК 519.21

МАРКОВСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ПРОИСХОДЯЩИХ В РАСТВОРАХ

АГАПОВА И. С, ДИКАРЕВ В.А., МИРОШНИЧЕНКО А.В.___________________

Описывается схема, позволяющая свести изучение процессов, происходящих в жидких смесях, к исследованию некоторого неоднородного марковского процесса с конечным числом состояний и непрерывным временем.

Процесс импульсной обработки лекарственного сырья слагается из сильных воздействий — ударов, следующих один за другим через короткие промежутки времени. К таким воздействиям относятся гидравлические удары — быстроизменяющиеся во времени воздействия, возникающие за счёт лазерных импульсов, и вливания в жидкую смесь малых порций реактивов, локализованных в малых объёмах обрабатываемой смеси и на малых временных промежутках. Суммарный эффект при указанном способе воздействия на жидкую смесь состоит в однородности её свойств после окончания процесса обработки. На последнем этапе этой операции обрабатываемый экстракт не содержит твёрдых фрагментов, и происходящие в нём процессы - это процессы диффузии.

Опишем, как процесс диффузии, происходящий в жидких смесях, можно свести к марковскому процессу с конечным числом состояний. Рассмотрим диффузионный процесс ^(t), заданный на отрезке r1,r2], -ж < r < r2 <ж, плотность распределения вероятностей <p{t, х) которого удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова:

Ж*х) = Щг хМ^ х)], (1)

где CT2(t, х) — коэффициент диффузии.

При указанных выше условиях при t ^ж распределение вероятностей диффузионного процесса стремится к стационарному распределению:

4х)=?йЛ^0 • (2)

Разобьем отрезок [r, r2] на частичные полуинтерва-

лы |н, н+1), j = 0,1,..., п , a0 = r , а = гг . Будем рас

J

Pj (t) = J ^(t, x)dx

(3)

Выпишем инфинитезимальную матрицу рассматриваемого марковского процесса. По определению диффузионного процесса

1 Щ * S + At, dy) = 0(At)

|y-X >

Здесь P(s, х, s + At, dy) есть вероятность события xs+At є dy при условии хі = х . Вероятность перехода между несоседними состояниями за малый промежуток времени At p4At) = o(At). Интенсивность перехода из i в j равна

рЛ At)

Я.. = lim—Д—- = 0

1 4t^0 At '

Iі _ 1 >1.

(5)

Таким образом, инфинитезимальная матрица Л = Ці. || представляет собой трёхдиагональную матрицу, у которой в каждой строке элементы, не лежащие на главной диагонали, равны между собой в силу равенства нулю коэффициента сноса:

Л =

-А

V

/2

Л

-л

я,/

V

/2

-К

-I

(6)

Неизвестные параметры Я1 выберем так, чтобы полученный марковский процесс имел стационарное распределение р*= (р*,р*,...р"п), где p* определяются через стационарное распределение диффузионного процесса:

J

р* = j 4х¥х.

(7)

1+1/ •> J " •> ++0 '1’ “п '2'

сматривать их как состояния марковского процесса с непрерывным временем, полагая, что процесс находится в состоянии j , если диффундирующая частица принадлежит рассматриваемому полуинтервалу _1 ,а4. Вероятность того, что в момент

времени t процесс находится в состоянии j , равна

Это означает, что вектор р * = (р*, р *,... р*) должен быть нулевым собственным вектором для инфинитезимальной матрицы К:

п

XРЯ = 0, j = 1,2,...,п . (8)

i=1

Решая систему (8) относительно элементов инфинитезимальной матрицы, находим их с точностью до постоянного множителя:

А=Р, л = 2Д^т , Л = 2ДР ,..., 2 = 2^ . (9)

Р 2 Рз Рп

Здесь Р — произвольная положительная константа. Ее величина влияет на скорость сходимости процесса к стационарному распределению, т. е. представляет собой масштаб по оси времени t.

Определим неизвестный параметр р так, чтобы скорость сходимости марковского процесса к его стационарному распределению была той же, что и у соответствующего диффузионного процесса:

— |"2(х( =Р-ІЛи . (10)

r2 - r1 Sx \aj_1 nt? У ’

Поскольку коэффициент P может различаться в зависимости от рассматриваемого состояния j , то его можно брать, например, исходя из минимума суммы квадратов отклонений:

а

J-1

а-1

РИ, 2002, № 1

43

I

д_

дх

a2( x

a

a-

^min. (її)

Точность описания диффузионного процесса марковским процессом с конечным числом состояний зависит от того, на сколько частей разбит отрезок Г, r 2 ], на котором происходит диффузия. Увеличивая число этих частей, мы можем добиться сколь угодно точного приближения диффузионного процесса марковским.

Полученные результаты непосредственно обобщаются на неоднородные процессы, когда коэффициент диффузии ст2 (х, t) является также и функцией времени. В этом случае мы проводим указанные выше рассуждения для каждого момента времени t и получаем коэффициент ft(t) и инфинитезимальную матрицу неоднородного марковского процесса A(t), зависящую от времени.

Предлагаемый подход позволяет использовать марковские процессы для моделирования диффузионных процессов и их анализа.

Если оборудование качественное, внешних воздействий практически нет и технологический режим протекает без нарушений, то процесс изготовления лекарственной формы происходит в соответствии с паспортным режимом. Это означает, что промежуток времени [s 0,10), при котором происходит изготовление лекарственного препарата, можно разбить на части, например, n частей, [s0,sj, [st,s2), ..., [sn1, 10), в каждой из которых формируемая масса находится в определённом нормативном состоянии. Под нормативным состоянием понимается такая ситуация, при которой основные характеристики фармакологического сиропа (его внутренняя температура, химический состав, содержание катализаторов и т. д.) находятся в заданных границах.

Чем больше n — число промежутков времени, на которые разбит интервал [s 0,10), — тем точнее описание процесса изготовления лекарственной формы. Обозначим состояния формируемой массы в промежутках времени [s0, s 1), [st, s2),..., [s^, 10) через E1, E2, ... , En. С каждым состоянием Et,

(k = 1,2,...,n) свяжем осреднённое значение основной характеристики фармакологической массы — степень чистоты эталонного лекарственного препарата, находящегося в состоянии Et.

Если процесс изготовления лекарственной формы протекает в соответствии с паспортным режимом и уровень высокочастотных вибраций и шумов низок, то на каждом из интервалов [sk_1, s^ фармакологическая масса находится в состоянии Et с вероятностью ptt, лишь незначительно отличающейся от единицы. Если же высокочастотные вибрации и случайные воздействия представлены достаточно массивно, то ptt заметно отличны от единицы, так как на временных промежутках [sk_1, s^ фармакологическая масса может находиться (помимо состояния Et) и в состояниях, близких к Et, в частности, в состояниях Et _1, Et+1, в которых она бы находилась

с вероятностью, близкой к нулю, в том случае, если бы высокочастотных вибраций и случайных воздействий на процесс не было.

Рассмотрим подробнее исследуемый процесс на любом из промежутков [sk1, sj. Для t є [sk1, sk)

обозначим через pk,k_2 (0, pt*Jt),..., Pk* Л0, Pk.k+ло вероятности нахождения формируемой массы в состояния Et 2, Ek1, Et+1, Ek 2 ,....Если числоn всех временных промежутков [sk1, sj не очень велико и, вместе с тем, таково, что с их помощью процесс описывается достаточно точно, то тогда стохастическая матрица процесса будет трёхдиагональной. При больших значениях n и значительном фоне высокочастотных и случайных воздействий стохастическая матрица процесса будет содержать меньше нулевых элементов, чем для трёхдиагональной матрицы.

Таким образом, при наличии вибраций и случайных воздействий исследование процесса изготовления лекарственной формы можно свести к изучению марковского процесса с конечным числом состояний, в частности, к исследованию марковского процесса с трёхдиагональной матрицей.

Более точный анализ процесса приготовления фармакологического сиропа основывается на его описании с помощью пятидиагональной матрицы. Если технологический режим протекает в соответствии с заданными ограничениями, то элементы этой матрицы, наиболее удалённые от её главной диагонали, малы и пренебрежение ими не приводит к грубым погрешностям в описании процесса.

В заключение отметим, что процесс приготовления лекарственного сиропа протекает в результате воздействия на него возмущений, локализованных на малых промежутках времени и следующих друг за другом достаточно часто. Их согласованное воздействие на жидкую смесь позволяет удерживать основные характеристики процесса в заданных границах в течение всего времени его изготовления.

Литература: 1. Герасин С. Н, Кириченко Л. О., Родзин-ский А. А. Применение марковских моделей фармакокинетики при анализе стабильности лекарственных форм // Радиоэлектроника и информатика, 1999. №2. С. 107-109. 2. Басманов А. Е, Герасин С.Н., Дикарев В. А. Фокусировка распределений марковских процессов в широком смысле // Радиоэлектроника и информатика, 1999. №2. С.15-16.

Поступила в редколлегию 29.08.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Авраменко В.П.

Агапова Ирина Степановна, аспирант кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и её приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ. -мат. наук, профессор кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы и их приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Мирошниченко Анна Викторовна, аспирант кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, её приложения. Увлечения: иностранные языки. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

РИ, 2002, № 1

44